Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
Chương 13 GIẢI TÍCH VECTƠ TS Lê Thị Thanh Bộ Mơn Tốn – Khoa Khoa học Ứng Dụng Nội dung chính: 13.1 Các tính chất trường vectơ: Độ phân kỳ vectơ xốy 13.2 Tích phân đường 13.3 Định lý tích phân khơng phụ thuộc đường 13.4 Định lý Green 13.5 Tích phân mặt 13.6 Định lý Stoke 13.7 Định lý độ phân kỳ 13.1 Các tính chất trường vectơ: Độ phân kỳ vectơ xoáy Định nghĩa Một trường véctơ ℝ3 hàm 𝐅 đặt tương ứng điểm thuộc miền xác định với véc tơ Một trường véc tơ với miền xác định 𝐷 ℝ3 có dạng 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 M, N, P hàm số xác định 𝐷 gọi hàm thành phần 𝐹 Trường véc tơ 𝐹 gọi liên tục 𝑀, 𝑁, 𝑃 liên tục, khả vi tất đạo hàm riêng M, N, P tồn Ví dụ: 𝑥 𝑥 Cho 𝐅 = 2𝑥 𝑦𝐢 + 𝑒 𝑦𝑧 𝐣 + tan 𝐤 trường véctơ với thành phần 2𝑥 𝑦; 𝑒 𝑦𝑧 tan (theo thứ tự định) Định nghĩa Độ phân kỳ trường véctơ khả vi 𝐕(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 ký hiệu div 𝐕 xác định công thức div 𝐕(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Độ phân kỳ trường véc tơ ℝ2 định nghĩa tương tự Ví dụ • Độ phân kỳ 𝐅(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦𝐢 + 𝑥𝑦 𝐣 là: div 𝐅 = 2𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 • Độ phân kỳ 𝐆(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝐢 + 𝑦 𝑧 𝐣 + 𝑥𝑧 𝐤 là: div 𝐆 = + 3𝑦 𝑧 + 3𝑥𝑧 Định nghĩa Véctơ xoáy trường véctơ khả vi 𝐕(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 ký hiệu curl 𝐕 xác định công thức 𝐢 𝜕 curl 𝐕 = ∇ × 𝐕 = 𝜕𝑥 𝑢 𝐣 𝜕 𝜕𝑦 𝑣 𝐤 𝜕𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕 = − 𝐢+ − 𝐣+ − 𝐤 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑤 Một trường véc tơ 𝑉 mà véc tơ xốy khơng điểm gọi trường khơng xốy Trong trường hợp dòng chất lỏng, vận tốc dòng chảy 𝐕 trường véctơ Khi curl 𝐕 gọi độ xốy dịng Dịng chất lỏng gọi khơng xốy trường vận tốc khơng xốy, tức độ xốy curl 𝐕 khơng điểm Ví dụ: Cho 𝐹 = 𝑥 𝑦𝑧𝐢 + 𝑥𝑦 𝑧𝐣 + 𝑥𝑦𝑧 𝐤 𝐺 = (𝑥cos(𝑦))𝐢 + 𝑥𝑦 𝐣 Khi đó, trường xốy trường véctơ curl 𝐅 = 𝑥𝑧 − 𝑥𝑦 𝐢 + 𝑥 − 𝑦𝑧 𝐣 + 𝑦 𝑧 − 𝑥 𝑧 𝐤 curl 𝐆 = 𝑦 + 𝑥sin(𝑦) 𝐤 13.2 Tích phân đường Cho 𝐶 cung trơn không gian xác định phương trình tham số 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) hàm số xác định miền chứa 𝐶 Chúng ta nói 𝐶 định hướng ta mơ tả hướng 𝐶 𝑡 tăng Chia 𝐶 thành n cung nhỏ, ký hiệu độ dài cung nhỏ thứ k Δ𝑠𝑘 Chọn điểm 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ , 𝑧𝑘∗ tùy ý cung nhỏ thứ k Ký hiệu ∥ Δ𝑠 ∥ độ dài lớn số độ dài cung nhỏ Định nghĩa Nếu giới hạn tổng Riemann 𝑛 lim 𝑓 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ , 𝑧𝑘∗ Δ𝑠𝑘 ∥Δ𝑠∥→0 𝑘=1 tồn giới hạn gọi tích phân đường 𝑓 𝐶 ký hiệu ∫𝐶 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 Như vậy, 𝑛 න 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = lim 𝑓 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ , 𝑧𝑘∗ Δ𝑠𝑘 𝐶 ∥Δ𝑠∥→0 𝑘=1 Nếu 𝐶 đường cong kín dùng ký hiệu ∮𝐶 𝑓𝑑𝑠 cho tích phân đường 𝑓 𝐶 Tính chất Nếu 𝐶 trơn 𝑓 liên tục 𝐶 tích phân đường 𝑓 𝐶 tồn ta có 𝑏 න 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = න 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝐶 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑧 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝑎 Chú ý Tích phân đường hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) đường cong trơn 𝐶 có phương trình tham số 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 định nghĩa tương tự Hơn nữa, 𝑏 න 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = න 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝐶 𝑎 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 Tính chất tích phân đường Giả sử tích phân sau tồn tại, với số 𝑘 bất kỳ, ta có: • ∫𝐶 𝑘𝑓𝑑𝑠 = 𝑘∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 • ∫𝐶 𝑓1 + 𝑓2 𝑑𝑠 = ∫𝐶 𝑓1 𝑑𝑠 + ∫𝐶 𝑓2 𝑑𝑠 • ∫−𝐶 𝑓𝑑𝑠 = −∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 −𝐶 có từ 𝐶 sau đổi hướng (theo hướng - 𝐶 tham số t giảm) • ∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 = ∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 + ∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 + ⋯ + ∫𝐶 𝑓𝑑𝑠 𝑛 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ ⋯ ∪ 𝐶𝑛 𝐶𝑖 giao điểm đầu cuối Ví dụ: Tính tích phân đường cong ∫𝐶 𝑥 𝑧𝑑𝑠, với 𝐶 có dạng 𝑥 = cost, 𝑦 = 2𝑡, 𝑧 = sint ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 Giải: 𝜋 න 𝑥 𝑧𝑑𝑠 𝐶 = න [𝑥(𝑡)]2 𝑧(𝑡) 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑧 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝜋 = න (cos 𝑡)2 (sin 𝑡) (−sin 𝑡)2 + 22 + (cos 𝑡)2 𝑑𝑡 𝜋 =න = 5cos2 𝑡sin 𝑡𝑑𝑡 𝜋 − cos3 𝑡ቤ = Tính diện tích theo tích phân đường D miền liên thông đơn giới hạn đương cong trơn tùng khúc, định hứng dưong 𝐶 Khi diên tích 𝑆𝐷 𝐷 tính theo cách cách sau: 𝑆𝐷 = ∮ 𝐶 𝑥𝑑𝑦 = − ∮ 𝐶 𝑦𝑑𝑥 = Ví dụ Tính diện tích miền D tạo elip E : 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏2 ∮ [𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥] 𝐶 13.5 Tích phân mặt Mặt cong trơn, mặt cong trơn mảnh Một mặt cong gọi trơn điểm có véctơ pháp tuyến khác Một mặt cong gọi trơn mảnh hợp thành từ số hữu hạn mặt cong trơn Định nghĩa: Cho hàm ba biến 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục mặt cong trơn mảnh 𝑆 Chia 𝑆 thành 𝑛 mảnh nhỏ Mảnh thứ 𝑘 có diện tích Δ𝑆𝑘 chọn điểm 𝑃𝑘∗ 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ , 𝑧𝑘∗ Ký hiệu ∥ Δ𝑆 ∥ diện tích mảnh nhỏ lớn Nếu giới hạn lim∥Δ𝑆∥→0 ∑𝑛𝑘=1 𝑓 𝑃𝑘∗ Δ𝑆𝑘 tồn ta gọi giới hạn tích phân mặt 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑆 ký hiệu ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 𝑆 Như ∬𝑆 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓 𝑃𝑘∗ Δ𝑆𝑘 ∥Δ𝑠∥→0 Mệnh đề: Giả sử phương trình 𝑆 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑅 hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 Giả sử 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ liên tục 𝑅 Khi ඵ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ඵ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) + 𝑓𝑥′ 𝑆 𝑅 + 𝑓𝑦′ 𝑑𝐴 Ví dụ: Tính tích phân 𝐼 = ∬𝑆 𝑥𝑧 + 2𝑥 − 3𝑥𝑦 𝑑𝑆, 𝑆 phần mặt phẳng có phương trình 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = nằm phía (𝑧 ≥ 0) hình vng 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∣ ≤ 𝑥 ≤ 3; ≤ 𝑦 ≤ 3} Giải Phương trình mặt S viết lại 𝑧 = − 2𝑥 + 3𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Kiểm tra thấy 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ điểm R Theo mệnh đề ta có: ඵ 𝑔𝑑𝑆 = ඵ 𝑥𝑧 + 2𝑥 − 3𝑥𝑦 𝑆 (−2)2 + 32 𝑑𝐴 𝑆 = ඵ 𝑥(6 − 2𝑥 + 3𝑦) + 2𝑥 − 3𝑥𝑦 14𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 3 = 14 න 𝑥𝑑𝑥 න 𝑑𝑦 = 15 14 2 Mệnh đề Nếu mặt 𝑆 trơn mảnh diện tích xác định cơng thức sau 𝐴 = ඵ 𝑑𝑆 𝑆 Nếu ký hiệu 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) khối lượng riêng điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) mỏng 𝑆 tổng khối lượng 𝑚 mỏng cho công thức 𝑚 = ∬𝑆 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 Khối tâm 𝑆 điểm 𝐶(𝑥, ᪄ 𝑦, ᪄ 𝑧) ᪄ với 𝑥᪄ = 1 ඵ 𝑥 𝜌𝑑𝑆, 𝑦᪄ = ඵ 𝑦 𝜌𝑑𝑆, 𝑧᪄ = ඵ 𝑧 𝜌𝑑𝑆 𝑚 𝑆 𝑚 𝑆 𝑚 𝑆 Ví dụ: Tìm khối lượng mỏng S có khối lượng riêng (theo đơn vị diện tích) 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 có hình dáng nửa mặt cầu phương trình 𝑧 = 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 1/2 Giải : Từ phương trình S suy ra: 𝑑𝑆 = = 𝑎 − 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑧𝑥′ −1/2 (−2𝑥) 2 + 𝑧𝑦′ 2 + 𝑎 − 𝑥2 − 𝑦2 + 1𝑑𝐴 𝑥2 𝑦2 + + 1𝑑𝐴 = 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 2 −1/2 (−2𝑦) + 1𝑑𝐴 𝑎𝑑𝐴 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 Do khối lượng S là: 𝑚 = ඵ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ඵ 𝑧 𝑆 = ඵ 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 𝑆 𝑆 1/2 𝑎𝑑𝐴 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 𝑎𝑑𝐴 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 = 𝑎 ඵ 𝑑𝐴 = 𝜋𝑎3 𝑅 Lưu ý R hình chiếu S lên O𝑥𝑦 nên hình trịn bán kính a Nghĩa diện tích R 𝑆𝑅 = 𝜋𝑎2 Mặt định hướng Ta nói mặt cong 𝑆 định hướng 𝑆 có trường véctơ pháp tuyến đơn vị biến thiên liên tục Những mặt thơng thường mặt cầu, mặt nón, mặt trụ định hướng Nếu 𝑆 mặt định hướng được, véc tơ pháp tuyến 𝐍 hướng vào 𝑆 hướng ngồi 𝑆 minh họa hình Thông lượng Xét mặt 𝑆 với trường véc tơ pháp tuyến đơn vị liên tục 𝐍 chất lỏng chảy ổn định qua bề mặt 𝑆 Mật độ thông lượng đại lượng đo lượng chất lỏng chảy qua đơn vị diện tích bề mặt đơn vị thời gian Trong vật lý bản, người ta đại lượng tỉ lệ thuận với số véc tơ trường qua mặt 𝑆 Điều hình dung dòng nước chảy qua lưới Trường vector F có thành phần mà đạo hàm riêng liên tục mặt S Mặt S định hướng theo pháp tuyến đơn vị N Khi thơng lượng F qua S định bởi: Flux = ඵ F ⋅ 𝐍𝑑𝑆 𝑆 Giả sử mặt S có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 Khi vector 𝑛 = −𝑧𝑥′ , −𝑧𝑦′ , pháp vector S Chúng ta 𝑛 𝑛 quy ước 𝑁 = ∥𝑛∥ pháp vector đơn vị xác định hướng lên cho S (thành phần thứ dương) Và ngược lại, 𝑁 = − ∥𝑛∥ pháp vector đơn vị xác định hướng xuống cho S Bởi 𝑑𝑆 = 𝑧𝑥′ + 𝑧𝑦′ + 1𝑑𝐴 =∥ 𝑛 ∥ 𝑑𝐴, cho nên: Nếu 𝑆 định hướng lên thì: ඵ F ⋅ 𝑵𝑑𝑆 = ඵ 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)) −𝑧𝑥′ , −𝑧𝑦′ , 𝑑𝐴 𝑆 𝑅 Và 𝑆 định hướng xuống thì: ඵ 𝐅 ⋅ 𝐍𝑑𝑆 = ඵ 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)) 𝑧𝑥′ , 𝑧𝑦′ , −1 𝑑𝐴 𝑆 𝑅 Chú ý tính tích phân thơng lượng (tích phân mặt loại 2), phải rõ hướng mặt 𝑆 lên hay xuống Ví dụ Tính thơng lượng 𝐅 = 𝑥𝑦i + 𝑧j + (𝑥 + 𝑦)k qua S phần mặt phẳng có phương trình 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = thuộc góc phần tám thứ Pháp vector S định hướng lên Giải Từ phương trình S suy 𝑛 = −𝑧𝑥′ , −𝑧𝑦′ , = (1,1,1) cho nên: flux = ඵ F ⋅ N𝑑𝑆 = ඵ (𝑥𝑦, − 𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦) ⋅ (1,1,1)𝑑𝐴 𝑆 𝑅 = ඵ (𝑥𝑦 + − 𝑥 − 𝑦 + 𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 1−𝑥 = න 𝑑𝑥 න =න (1 − 𝑥 𝑥)2 [𝑥𝑦 + 1]𝑑𝑦 13 + (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 24 13.6 Định lý Stoke ứng dụng Trên mặt cong định hướng 𝑆, cho đường cong kín 𝐶 có định hướng Chúng ta nói hướng 𝐶 tương thích với hướng 𝑆 người đứng 𝐶, hướng đầu theo pháp tuyến N (hướng ngoài) 𝑆, theo chiều 𝐶 miền giới hạn 𝐶 nằm bên tay trái Cho mặt định hướng 𝑆 có biên đường cong Jordan trơn khúc 𝐶 Hướng 𝐶 tương thích với hướng 𝑆 Nếu trường véctơ 𝐅 khả vi liên tục 𝑆 ∮𝐶 𝐅 ⋅ 𝑑𝐑 = ඵ (curl 𝐅 ⋅ 𝐍)𝑑𝑆 𝑆 Ví dụ: Tính tích phân đường ∮𝐶 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 với 𝐶 giao tuyến mặt phẳng 𝑥 + 𝑧 = mặt ellipsoid 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = Hướng 𝐶 hướng dương (ngược chiều kim dồng hồ) nhìn từ phía xuống Giải Tích phân cần tìm có dạng ∮𝐶 𝐅 ⋅ 𝑑𝐑 𝐅 = 𝑦2 𝐢+ 𝑧𝐣 + 𝑥𝐤 Áp dụng định lý Stoke, ta có ∮𝐶 𝐅 ⋅ 𝑑𝐑 = ඵ (curl 𝐅 ⋅ 𝐍)𝑑𝑆 𝑆 Ta có: curl 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝜕 𝜕𝑥 𝑦2 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑧 𝑥 = −𝐢 − 𝐣 − 𝑦𝐤 S phần mặt 𝑥 + 𝑧 = giới hạn C, hướng dương C tương thích hướng N S hướng N hướng lên (thành phần thứ dương) Từ phương trình 𝑆, véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng lên 𝑆 𝐍 = ⟨1,0,1⟩ Từ suy ra: curl 𝐅 ⋅ 𝐍 = −1 (1 Hơn nữa, 𝑑𝑆 = + 𝑦) 𝑧𝑥′ + 𝑧𝑦′ + 1𝑑𝐴 = 2𝑑𝐴 Cuối cùng, 𝐶 giao tuyến trình mặt 𝑥 + 𝑧 = với ellipsoid 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1, cách 𝑧 = − 𝑥 vào phương trình Ellipsoid ta 𝑥 + 2𝑦 + (1 − 𝑥)2 = ⇔ 𝑥 − 2 + 𝑦2 = Vì hình chiếu 𝑆 lên Oxy hình trịn 𝑥 − 2 + 𝑦 ≤ Dùng phương pháp đổi biến tọa độ cực tọa thu được: ∮𝐶 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 = ∮𝐶 𝐅 ⋅ 𝑑𝐑 = ඵ (curl 𝐅 ⋅ 𝐍)𝑑𝑆 𝑆 =ඵ −1 𝐷 𝜋 cos 𝜃 = − න 𝑑𝜃 න 𝜋 = −න 0 (1 + 𝑦) 2𝑑𝐴 (1 + 𝑟sin 𝜃)𝑟𝑑𝑟 1 𝜋 cos 𝜃 + cos3 𝜃sin 𝜃 𝑑𝜃 = − 13.7 Định lý độ phân kỳ Cho 𝑆 mặt cong kín trơn, định hướng được, giới hạn miền 𝑅 ⊂ ℝ3 F trường véctơ liên tục, thành phần có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa 𝑅 Khi ඵ 𝐅 ⋅ 𝐍𝑑𝑆 = ම div 𝐅𝑑𝑉, 𝑆 𝑅 với 𝐍 trường véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng 𝑆 Ví dụ: (Tính tích phân mặt dùng định lý phân kì) Tính ∬𝑆 𝐅 ⋅ 𝐍𝑑𝑆 với 𝐅 = 𝑥 𝐢 + 𝑥𝑦𝐣 + 𝑥 𝑦 𝐤 𝑆 bề mặt tứ diện giới hạn mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt phẳng tọa độ véctơ pháp tuyến đơn vị 𝐍 hướng ngồi Giải Ta có: div 𝐅 = 𝜕 𝜕 𝜕 3 𝑥 + (𝑥𝑦) + 𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 + = 3𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Tứ diện miền 𝑅 : gồm tất điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) chẳng hạn ≤ 𝑧 ≤ − 𝑥 − 𝑦 với ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ Trong miền 𝑥𝑦 biên miền tam giác mô tả 𝐷 : tất (𝑥, 𝑦) với ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥 với ≤ 𝑥 ≤ Sau áp dụng định lý phân kì, ta tìm thấy 1−𝑥 ඵ 𝐅 ⋅ 𝐍𝑑𝑆 = ම 𝑑𝑖𝑣𝐅𝑑𝑉 = න න 𝑆 𝑅 1−𝑥 =න න 0 0 1−𝑥−𝑦 න 3𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 3𝑥 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න 𝑥 − 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦 1 2 = න 𝑥 ቆ1 − 𝑥) − 𝑥൫1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 1−𝑥 𝑑𝑥 ... chính: 13. 1 Các tính chất trường vectơ: Độ phân kỳ vectơ xốy 13. 2 Tích phân đường 13. 3 Định lý tích phân khơng phụ thuộc đường 13. 4 Định lý Green 13. 5 Tích phân mặt 13. 6 Định lý Stoke 13. 7 Định...