Chương 1 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Chương 10 HÀM VECTƠ TS Lê Thị Thanh Bộ Môn Toán – Khoa Khoa học Ứng Dụng 10 1 Giới thiệu hàm vectơ 10 2 Đạo hàm và tích phân hàm vectơ 10 3 Tiếp tuyến đơn vị và vectơ pháp tu.
Chương 10 HÀM VECTƠ TS Lê Thị Thanh Bộ Môn Tốn – Khoa Khoa học Ứng Dụng Nội dung chính: 10.1 Giới thiệu hàm vectơ 10.2 Đạo hàm tích phân hàm vectơ 10.3 Tiếp tuyến đơn vị vectơ pháp tuyến đơn vị chính, độ cong 10.1 Giới thiệu hàm vectơ Định nghĩa: Một hàm có giá trị véctơ (hoặc, ngắn gọn hàm véctơ) 𝐅 biến thực có miền xác định 𝐷 cho tương ứng với số 𝑡 𝐷 véctơ 𝐅(𝑡) Tập hợp tất véctớ 𝐯 có dạng 𝐯 = 𝐅(𝑡) với 𝑡 thuộc 𝐷 miền giá trị 𝐅 Tức là, 𝐅(𝑡) = 𝑓1 (𝑡)𝐢 + 𝑓2 (𝑡)𝐣 𝐅(𝑡) = 𝑓1 (𝑡)𝐢 + 𝑓2 (𝑡)𝐣 + 𝑓3 (𝑡)𝐤 mặt phẳng ℝ2 không gian ℝ3 với 𝑓1 , 𝑓2 𝑓3 hàm giá trị thực (giá trị vô hướng) biến thực 𝑡 định nghĩa tập xác định 𝐷 Khi đó, 𝑓1 , 𝑓2 𝑓3 gọi thành phần 𝐅 Các hàm véctơ cho cịn kí hiệu cách tương ứng 𝐅(𝑡) = 𝑓1 (𝑡), 𝑓2 (𝑡) 𝐅(𝑡) = 𝑓1 (𝑡), 𝑓2 (𝑡), 𝑓3 (𝑡) Đồ thị hàm véctơ Với 𝑡 ∈ 𝐷, xem điểm đầu véctơ 𝐅(𝑡) gốc tọa độ, ta gọi đồ thị 𝐅 đường cong tạo điểm cuối véctơ 𝐅(𝑡) 𝑡 thay đổi toàn miền xác định 𝐷 Khi đó, 𝐅(𝑡) gọi véctơ vị trí 𝑡 cho điểm 𝑃 𝑓1 (𝑡), 𝑓2 (𝑡), 𝑓3 (𝑡) 𝐶 Đồ thị hàm véctơ 𝐅(𝑡) Ví dụ Vẽ đồ thị hàm vectơ: 𝐅(𝑡) = (3 − 𝑡)𝐢 + (2𝑡)𝐣 + (3𝑡 − 4)𝐤 Giải Đồ thị tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) với: 𝑥 = − 𝑡, 𝑦 = 2𝑡, 𝑧 = −4 + 3𝑡 với 𝑡 Đây phương trình tham số cho đường thẳng không gian mà qua điểm 𝑃0 3,0, −4 song song với vec tơ 𝐕 = −𝐢 + 2𝐣 + 3𝐤 Đồ thị 𝐅 Ví dụ Vẽ đồ thị hàm vectơ: 𝐅(𝑡) = (2sin 𝑡)𝐢 − (2cos 𝑡)𝐣 + (3𝑡)𝐤 Giải Đồ thị 𝐅 tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) khơng gian có tọa độ thỏa mãn 𝑥 = 2sin𝑡, 𝑦 = −2cos𝑡, 𝑧 = 3𝑡 với 𝑡 Hai thành phần đầu thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 = (2sin𝑡)2 +(−2cos𝑡)2 = nên đồ thị nằm mặt hình trụ trịn có bán kính Chú ý trục đối xứng đồ thị trục 𝑧 Ta biết 𝑡 tăng tọa độ 𝑧 điểm nằm đồ thị tăng theo công thức 𝑧 = 3𝑡, nghĩa điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) đồ thị tăng theo hình xoắn ốc mặt hình trụ 𝑥 + 𝑦 = Đồ thị xoắn ốc lên ngược chiều kim đồng hồ gọi helix tròn phải Đồ thị helix Ví dụ Tìm hàm véctơ 𝐅 có đồ thị giao nửa mặt cầu 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 hình trụ parabol 𝑦 = 𝑥 hình Giải Có nhiều cách để tham số hóa đường cong, số cho 𝑥 = 𝑡 Từ ta có 𝑦 = 𝑡 (từ phương trình hình trụ parabol), cách vào phương trình nửa mặt cầu, ta tìm 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 = − 𝑡 − 𝑡 Từ đó, cơng thức cho hàm véctơ đồ thị cho 𝐅 = 𝑡𝐢 + 𝑡 𝐣 + − 𝑡 − 𝑡 𝐤 Các phép toán với hàm véctơ Định nghĩa Cho 𝐅 𝐆 hàm véctơ biến thực 𝑡, cho 𝑓 hàm vơ hướng Khi đó, 𝐅 + 𝐆, 𝐅 − 𝐆, 𝑓𝐅 𝐅 × 𝐆 hàm véctơ, 𝐅 ⋅ 𝐆 hàm vơ hướng Những phép tốn định nghĩa sau: Hàm véctơ: (𝐅 + 𝐆)(𝑡) = 𝐅(𝑡) + 𝐆(𝑡) (𝐅 − 𝐆)(𝑡) = 𝐅(𝑡) − 𝐆(𝑡) (𝑓𝐅)(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐅(𝑡) (𝐅 × 𝐆)(𝑡) = 𝐅(𝑡) × 𝐆(𝑡) Hàm vô hướng: (𝐅 ⋅ 𝐆)(𝑡) =𝐅(𝑡) ⋅ 𝐆(𝑡) Các phép toán định nghĩa giao tập xác định hàm véctơ hàm vô hướng xuất định nghĩa Ví dụ Cho 𝐅(𝑡) = 𝑡 𝐢 + 𝑡𝐣 − (sin 𝑡)𝐤 𝐆(𝑡) = 𝑡𝐢 + 𝐣 + 5𝐤 Tìm: 𝑡 a (𝐅 + 𝐆)(𝑡) b 𝑒 𝑡 𝐅 (𝑡) c (𝐅 × 𝐆)(𝑡) d (𝐅 ⋅ 𝐆)(𝑡) 1 Giải 𝒂 𝐅 + 𝐆 𝑡 = 𝑡 𝐢 + 𝑡𝐣 − si n 𝑡 𝐤 + 𝑡𝐢 + 𝐣 + 5𝐤 = 𝑡 + 𝑡 𝐢 + 𝑡 + 𝐣 + − si n 𝑡 𝐤 𝑡 𝑡 b 𝑒 𝑡 𝐅 (𝑡) = 𝑒 𝑡 𝐅(𝑡) = 𝑒 𝑡 𝑡 𝐢 + 𝑒 𝑡 𝑡𝐣 − 𝑒 𝑡 sin 𝑡 𝐤 c (𝐅 × 𝐆)(𝑡) = 𝐅(𝑡) × 𝐆(𝑡) = 𝑡 𝐢 + 𝑡𝐣 − (sin 𝑡)𝐤 × 𝑡𝐢 + 𝑡 𝐣 + 5𝐤 𝐢 = 𝑡 𝑡 𝐣 𝑡 𝑡 𝐤 −sin 𝑡 = 5𝑡 + sin 𝑡 𝐢 − 5𝑡 + 𝑡sin 𝑡 𝐣 + 𝑡 − 𝑡 𝐤 𝑡 d (𝐅 ⋅ 𝐆)(𝑡) = 𝐅(𝑡) ⋅ 𝐆(𝑡) = 𝑡 𝐢 + 𝑡𝐣 − (sin 𝑡)𝐤 ⋅ 𝑡𝐢 + 𝑡 𝐣 + 5𝐤 = 𝑡 + − 5sin 𝑡 Giới hạn liên tục hàm vecto Định nghĩa Giả sử thành phần 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 hàm vecto 𝐅(𝑡) = 𝑓1 (𝑡)𝐢 + 𝑓2 (𝑡)𝐣 + 𝑓3 (𝑡)𝐤 có giới hạn 𝑡 → 𝑡0 , với 𝑡0 số ∞ −∞ Thế giới hạn 𝐅 𝑡 → 𝑡0 vecto lim 𝐅(𝑡) = lim 𝑓1 (𝑡) 𝐢 + lim 𝑓2 (𝑡) 𝐣 + lim 𝑓3 (𝑡) 𝐤 𝑡→𝑡0 𝑡→𝑡0 𝑡→𝑡0 𝑡→𝑡0 Ví dụ Tìm lim 𝐅 𝑡 với 𝐅(𝑡) = 𝑡 − 𝐢 + 𝑒 𝑡 𝐣 + (sin 𝜋𝑡)𝐤 𝑡→2 Giải lim 𝐅 𝑡 𝑡→2 = lim 𝑡 − 𝐢 + lim 𝑒 𝑡 𝐣 + lim si n 𝜋 𝑡 𝐤 = 1𝐢 + 𝑒 𝐣 + (sin2𝜋)𝐤 𝑡→2 𝑡→2 𝑡→2 = 𝐢 + 𝑒2𝐣 ...