Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
Chương 11 ĐẠO HÀM RIÊNG TS Lê Thị Thanh Bộ Mơn Tốn – Khoa Khoa học Ứng Dụng Nội dung chính: 11.1 Giới thiệu hàm nhiều biến 11.2 Giới hạn liên tục 11.3 Đạo hàm riêng 11.4 Mặt phẳng tiếp xúc, xấp xỉ đạo hàm 11.5 Đạo hàm hàm hợp 11.6 Đạo hàm theo hướng vectơ gradient 11.7 Cực trị hàm hai biến 11.1 Giới thiệu hàm nhiều biến Định nghĩa Một hàm hai biến quy tắc 𝑓 mà tương ứng cặp (𝑥, 𝑦) tập 𝐷 với số 𝑓(𝑥, 𝑦) Tập 𝐷 gọi miền xác định hàm số, giá trị tương ứng 𝑓(𝑥, 𝑦) tạo thành miền giá trị 𝑓 Các hàm ba biến nhiều biến định nghĩa tương tự Khi cho hàm hai biến 𝑓, ta viết 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) xem 𝑥, 𝑦 biến độc lập 𝑧 biến phụ thuộc Tập xác định 𝑓 tập hợp lớn điểm mặt phẳng mà biểu thức hàm số xác định Ví dụ: Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) = − 𝑥 − 4𝑦 a Tính 𝑓(2,1) 𝑓 2𝑡, 𝑡 b Mô tả miền xác định miền giá trị 𝑓 Giải a 𝑓(2,1) = − 22 − 4(1)2 = 𝑓 2𝑡, 𝑡 = − (2𝑡)2 − 𝑡 2 = − 4𝑡 − 4𝑡 b Miền xác định 𝑓 tập hợp tất cặp thứ tự (𝑥, 𝑦) cho − 𝑥 − 4𝑦 xác định Ta phải có − 𝑥 − 4𝑦 ≥ 0, tưong đương 𝑥 + 4𝑦 ≤ Như vậy, miền xác định 𝑓 tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦) đường êlíp 𝑥 + 4𝑦 = (xem hình bên) Miền giá trị 𝑓 tập hợp tất số 𝑧 = − 𝑥 − 4𝑦 với (𝑥, 𝑦) thuộc miền 𝑥 + 4𝑦 ≤ Như miền giá trị đoạn ≤ 𝑧 ≤ CÁC PHÉP TOÁN VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) hàm hai biến với miền xác định 𝐷, Tổng (𝑓 + 𝑔)(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦) Hiệu (𝑓 − 𝑔)(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦) Tích (𝑓 𝑔)(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Thương 𝑓 𝑔 𝑓(𝑥,𝑦) (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥,𝑦) , 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ Đường mức mặt Đồ thị hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tập hợp tất ba thành phần thứ tự (𝑥, 𝑦, 𝑧) cho (𝑥, 𝑦) thuộc miền xác định 𝑓 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Đồ thị 𝑓(𝑥, 𝑦) mặt ℝ3 mà có hình chiếu lên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 miền xác định 𝐷 Tập hợp điểm (𝑥, 𝑦) mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 gọi đường mức (đường đồng mức) 𝑓 𝐶, họ toàn đường mức sinh 𝐶 thay đổi tập giá trị 𝑓 Khái niệm đường mức tổng quát áp dụng cho hàm từ hai biến trở lên Đặc biệt, 𝑓 hàm ba biến 𝑥, 𝑦, 𝑧 tập nghiệm phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 miền ℝ3 gọi mặt mức 𝑓 𝐶 Ví dụ: Vẽ số đường mức hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10 − 𝑥 − 𝑦 Đồ thị 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) mặt hình a Hình 𝐛 vết đồ thị hàm 𝑓 mặt phẳng 𝑧 = 1, 𝑧 = 6, 𝑧 = 9, đường mức tương ứng hình c 11.2 Giới hạn liên tục Tập đóng, tập mở ℝ𝟐 : • Đĩa mở: 𝐵𝑟 (𝐶, 𝑟) = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝑟 • Đĩa đóng: 𝐵[𝐶, 𝑟] = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 ≤ 𝑟 • Một điểm 𝑃 gọi điểm tập 𝑆 ℝ2 có đĩa mở có tâm 𝑃 nằm hồn tồn 𝑆 • Tập rỗng tập chứa điểm gọi tập mở • Một điểm 𝑃 gọi điểm biên tập 𝑆 ℝ2 có đĩa mở có tâm 𝑃 chứa điểm thuộc 𝑆 điểm không thuộc 𝑆 Tập hợp tất điểm biên 𝑆 gọi biên 𝑆 • Một tập gọi đóng chứa biên Tập rỗng ℝ2 vừa đóng, vừa mở Tập đóng, tập mở ℝ𝟑 (tương tự) Giới hạn Ta viết lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 có nghĩa giá trị hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) làm cho gần số 𝐿 cách tùy ý cách chọn điểm (𝑥, 𝑦) thích hợp gần điểm 𝑥0 , 𝑦0 Định nghĩa Giới hạn lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 có nghĩa với số 𝜀 > cho trước, tồn số 𝛿 > cho điểm (𝑥, 𝑦) thuộc miền xác định 𝐷 thỏa < 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 < 𝛿 |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 Các quy tắc tính giới hạn hàm hai biến Giả sử lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑀 Khi đó, với số 𝑎 bất kỳ, Quy tắc nhân vơ hướng Quy tắc tổng Quy tắc tích Quy tắc thương lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 lim [𝑓 + 𝑔](𝑥, 𝑦) = 𝐿 + 𝑀 (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 lim (𝑥,𝑦)→ 𝑥0 ,𝑦0 [𝑎𝑓](𝑥, 𝑦) = 𝑎𝐿 [𝑓𝑔](𝑥, 𝑦) = 𝐿𝑀 𝑓 𝐿 (𝑥, 𝑦) = , 𝑀 ≠ 𝑔 𝑀 Ví dụ: Tính giới hạn hàm hai biến (1) Tính 2𝑥𝑦 (𝑥,𝑦)→ 1,2 𝑥 +𝑦 (2) Tính 𝑥 +𝑥−𝑥𝑦−𝑦 lim 𝑥−𝑦 (𝑥,𝑦)→ 0,0 lim Giải: (1) (2) 2𝑥𝑦 lim 𝑥 2+𝑦2 (𝑥,𝑦)→ 1,2 lim = (𝑥,𝑦)→ 1,2 lim (𝑥,𝑦)→ 1,2 Với 𝑥 ≠ 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = Như 2𝑥𝑦 𝑥 +𝑦 = 𝑥 +𝑥−𝑥𝑦−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥 +𝑥−𝑥𝑦−𝑦 lim 𝑥−𝑦 (𝑥,𝑦)→ 0,0 = 2(1)(2) 12 +22 = =5 (𝑥+1)(𝑥−𝑦) 𝑥−𝑦 lim (𝑥,𝑦)→ 0,0 = 𝑥 + (𝑥 + 1) = Các tính chất gradient Cho 𝑓 𝑔 hàm khả vi Khi Quy tắc ∶ Quy tắc tuyến tính: ∇c = với số 𝑐 ∇ 𝑎𝑓 + 𝑏𝑔 = 𝑎∇𝑓 + 𝑏∇𝑔 với số 𝑎 𝑏 Quy tắc nhân: ∇(𝑓𝑔) = 𝑓∇𝑔 + 𝑔∇𝑓 Quy tắc thương: 𝑓 𝑓∇𝑔 − 𝑓∇𝑔 ∇ = ,𝑔 ≠ 𝑔 𝑔2 Quy tắc mũ: ∇ 𝑓 𝑛 = 𝑛𝑓 𝑛−1 ∇𝑓 Tính chất cực đại Gradient Giả sử f khả vi điểm 𝑃0 gradient 𝑓 𝑃0 thỏa mãn ∇𝑓0 ≠ Khi đó: + Giá trị lớn đạo hàm theo hướng 𝐷𝑢 𝑓 𝑃0 ∇𝑓0 xuất véctơ đơn vị u hướng ∇𝑓0 + Giá trị nhỏ 𝐷𝑢 𝑓 𝑃0 − ∇𝑓0 xuất véctơ đơn vị u hướng −∇𝑓0 Ví dụ (Tỷ lệ tăng giảm cực đại) Theo hướng hàm xác định 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 2𝑦−𝑥 tăng nhanh điểm 𝑃0 (2,1), tỷ lệ tăng cực đại bao nhiêu? Theo hướng f giảm nhanh nhất? Đạo hàm theo hướng gradient hàm ba biến Với hàm ba biến, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) : • gradient ∇𝑓 xác định ∇𝑓 = 𝑓𝑥 i + 𝑓𝑦 j + 𝑓𝑧 k • đạo hàm theo hướng 𝐷u 𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑃0 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 theo hướng véctơ đơn vị u cho 𝐷u 𝑓 = ∇𝑓0 ⋅ u, ∇𝑓0 gradient ∇𝑓 𝑃0 • Các tính chất gradient hướng cực đại cho hàm biến Ví dụ (Đạo hàm theo hướng hàm ba biến) Cho 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦sin(𝑥𝑧) Tìm ∇𝑓0 điểm 𝑃0 (1, −2, 𝜋) sau tính đạo hàm theo hướng (được làm tròn đến phần trăm) f 𝑃0 theo hướng véctơ v = −2i + 3j − 5k Tính vng góc Gradient Giả sử hàm 𝑓 khả vi điểm 𝑃0 gradient 𝑃0 thỏa mãn ∇𝑓0 ≠ Khi ∇𝑓0 trực giao với mặt mức 𝑓 qua 𝑃0 Tiếp diện pháp tuyến Giả sử mặt cong S có véctơ pháp tuyến khác khơng N 𝑃0 Khi đường thẳng qua 𝑃0 song song với N gọi pháp tuyến với 𝑆 𝑃0 , mặt phẳng qua 𝑃0 với véctơ pháp tuyến N tiếp diện với S 𝑃0 Giả sử S mặt cong có phương trình 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 𝑃0 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 điểm S với F hàm khả vi có ∇𝐹0 ≠ Khi phương trình tiếp diện với S 𝑃0 𝐹𝑥 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = pháp tuyến với S 𝑃0 có phương trình tham số là: 𝑥 = 𝑥0 + 𝐹𝑥 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑡 ൞𝑦 = 𝑦0 + 𝐹𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝐹𝑧 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑡 Ví dụ Tìm véctơ vng góc với mặt mức 𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 + 3𝑧 = điểm 𝑃0 (1,1, −1) Tìm phương trình tiếp diện pháp tuyến điểm 𝑃0 (1, −1.2) mặt cong S xác định 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑧 + 𝑧 𝑥 = Tìm phương trình tiếp diện pháp tuyến với mặt nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 điểm có 𝑥 = 3, 𝑦 = 𝑧 > 11.7 Cực trị hàm hai biến Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) gọi đạt cực đại tuyệt đối (absolute maximum) 𝑥0 , 𝑦0 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) với (𝑥, 𝑦) miền xác định 𝐷 𝑓 Tương tự, 𝑓 gọi đạt cực tiểu tuyệt đối (absolute minimum) 𝑥0 , 𝑦0 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) với (𝑥, 𝑦) 𝐷 Cực đại tuyệt đối cực tiểu tuyệt đối gọi chung cực trị tuyệt đối (absolute extrema) Cho 𝑓 hàm xác định miền chứa 𝑥0 , 𝑦0 • 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 cực đại tương đối (relative maximum) 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 với (𝑥, 𝑦) nằm đĩa mở chứa 𝑥0 , 𝑦0 • 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 cực tiểu tương đối (relative minimum) 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 với (𝑥, 𝑦) nằm đĩa mở chứa 𝑥0 , 𝑦0 Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cho cực trị tương đối Nếu f có cực trị tương đối (cực đại cực tiểu) 𝑃0 𝑥0 , 𝑦0 đạo hàm riêng 𝑓𝑥 𝑓𝑦 tồn tại 𝑥0 , 𝑦0 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = Một điểm tới hạn (critical point) hàm 𝑓 xác định đĩa mở điểm 𝑥0 , 𝑦0 𝐷 điều sau xảy ra: (1) 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = (2) Ít 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 không tồn Một điểm 𝑃0 𝑥0 , 𝑦0 gọi điểm yên ngựa (saddle point) 𝑓(𝑥, 𝑦) với đĩa mở có tâm 𝑃0 có chứa điểm tập xác định 𝑓 thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑦) > 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 điểm tập xác định 𝑓 thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑦) < 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 Ví dụ Thảo luận chất điểm tới hạn (0,0) mặt bậc hai a 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 b 𝑧 + 𝑥 + 𝑦 = c 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) có điểm tới hạn 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 giả sử 𝑓 có đạo hàm riêng cấp hai liên tục đĩa trịn có tâm 𝑥0 , 𝑦0 Biệt thức 𝑓 biểu thức 𝐷 = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦 Khi đó: Hàm 𝑓 đạt cực đại tương đối 𝑃0 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 > 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 < (hoặc tương đương 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 > 𝑓𝑦𝑦 𝑥0 , 𝑦0 < 0൯ Hàm 𝑓 đạt cực tiểu tương đối 𝑃0 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 > 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 > (hoăc tương đương 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 > 𝑓𝑦𝑦 𝑥0 , 𝑦0 > 0൯ Điểm 𝑃0 điểm yên ngựa 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 < Nếu 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 = 0, tiêu chuần khơng xác định Chúng ta khơng thể nói chất mặt cong 𝑥0 , 𝑦0 mà khơng có thêm phân tích Ví dụ Tìm tất cực trị tương đối điểm yên ngựa hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 + Tìm tất điểm tới hạn đồ thị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 − 24𝑥𝑦 + 𝑦 , sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để phân loại điểm cực trị tương đối hay điểm yên ngựa (Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai khơng sử dụng được) Tìm tất cực trị tương đối điểm yên ngựa đồ thị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 Cực trị tuyệt đối hàm liên tục Một hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) nhận giá trị cực đại tuyệt đối cực tiểu tuyệt đối tập đóng bị chặn liên tục Cách tìm: ( 𝑓 hàm liên tục tập compact 𝑆) Bước Tìm tất điểm tới hạn 𝑓 𝑆 Bước Tìm tất điểm biên 𝑆 mà cực trị tuyệt đối xuất (các điểm biên, điểm tới hạn, điểm mút, ) Bước Tính giá trị 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 điểm 𝑥0 , 𝑦0 tìm thấy Bước Bước Bước Giá trị cực đại (cực tiểu) tuyệt đối 𝑓 𝑆 giá trị lớn (nhỏ nhất) tính Bước Ví dụ Tìm cực trị tuyệt đối hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 −𝑦 đĩa 𝑥 + 𝑦 ≤ Giải Bước 1: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑒 𝑥 −𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = −2𝑦𝑒 𝑥 −𝑦 Những đạo hàm riêng xác định với (𝑥, 𝑦) Vì 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 = 𝑦 = nên 𝑓 có điểm tới hạn (0,0) đĩa Bước 2: Xác định giá trị f đường cong biên 𝑥 + 𝑦 = Vì 𝑦 = − 𝑥 biên đĩa, ta tìm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 −𝑦 = 𝑒𝑥 2− 1−𝑥 = 𝑒 2𝑥 −1 Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhỏ 𝐹(𝑥) = 𝑒 2𝑥 Từ 𝐹 ′ (𝑥) = 4𝑥𝑒 2𝑥 −1 −1 , ta thấy 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑥 = (do 𝑒 2𝑥 với −1 ≤ 𝑥 ≤ −1 luôn dương) Tại 𝑥 = 0, ta có 𝑦 = − 02 , 𝑦 = ±1; (0,1) (0, −1) điểm tới hạn biên Tại mút đoạn −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, điểm tương ứng (−1,0) (1,0) Bước 3: Tính giá trị 𝑓 điểm tìm Bước Points to check (0,0) 2 Compute 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑒 𝑥0 −𝑦0 𝑓(0,0) = 𝑒 = (0,1) 𝑓(0,1) = 𝑒 −1 minimum (0, −1) 𝑓(0, −1) = 𝑒 −1 minimum (1,0) 𝑓(1,0) = 𝑒 maximum (−1,0) 𝑓(−1,0) = 𝑒 maximum Bước 4: Như bảng trên, giá trị cực đại tuyệt đối 𝑓 đĩa 𝑒, xuất (−1,0) (1,0), giá trị nhỏ 𝑒 −1 , xuất (0, −1) (0,1) Ví dụ Tìm điểm mặt phẳng 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = gần với điểm 𝑃(0,3,4) Giải Nếu 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) điểm mặt phẳng 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5, 𝑧 = − 𝑥 − 2𝑦 khoảng cách từ 𝑃 đến 𝑄 𝑑 = = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 𝑥 + (𝑦 − 3)2 + (5 − 𝑥 − 2𝑦 − 4)2 Thay cho cực tiểu hóa 𝑑, ta cực tiểu hóa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑 = 𝑥 + (𝑦 − 3)2 + (1 − 𝑥 − 2𝑦)2 giá trị nhỏ 𝑑 xuất điểm mà 𝑑 đạt cực tiểu Để cực tiểu hóa 𝑓(𝑥, 𝑦), trước hết xác định điểm tới hạn 𝑓 cách giải hệ phương trình 𝑓𝑥 = 2𝑥 − 2(1 − 𝑥 − 2𝑦) = 4𝑥 + 4𝑦 − = ቊ 𝑓𝑦 = 2(𝑦 − 3) − 4(1 − 𝑥 − 2𝑦) = 4𝑥 + 10𝑦 − 10 = Chúng ta nhận 𝑥 = − , 𝑦 = từ 𝑓𝑥𝑥 = 4, 𝑓𝑦𝑦 = 4, 𝑓𝑥𝑦 = 4, ta tìm 𝐷 = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦 = 4(10) − 42 > and 𝑓𝑥𝑥 = > cực tiểu tương đối đạt − , Bằng trực giác, ta thấy cực tiểu tương đối phải cực tiểu tuyệt đối phải có điểm mặt phẳng mà gần với điểm cho Giá trị tương ứng 𝑧 = − − − 19 𝑄 − , , = 19 Do điểm gần mặt phẳng , khảng cách nhỏ 𝑑= + −3 19 + −4 = 25 = 6 Kiểm tra: Có thể kiểm tra cơng việc cách sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ℝ3 : 𝑑= 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 − 𝐷 𝐴2 + 𝐵 + 𝐶 = + 2(3) + − 12 + 22 + 12 = ... với −4 12 ≈ −0 .33