Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
Chương 12 TÍCH PHÂN BỘI TS Lê Thị Thanh Bộ Mơn Tốn – Khoa Khoa học Ứng Dụng Nội dung chính: 12.1 Tích phân bội hai miền chữ nhật 12.2 Tích phân bội hai miền 12.3 Đổi biến sang hệ tọa độ cực 12.4 Diện tích bề mặt 12.5 Tích phân bội ba 12.1 Tích phân bội hai miền chữ nhật Tích phân hình chữ nhật 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 • Bước Phân hoạch 𝑅 thành 𝑚𝑛 hình chữ nhật con, gọi phân hoạch 𝑃 • Bước Trên hình chữ nhật chọn điểm đại diện 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ Gọi Δ𝐴𝑘 diện tích hình chữ nhật thứ 𝑘 Lập tổng ∗ ∗ ∑𝑁 𝑘=1 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 Δ𝐴𝑘 (gọi tổng Riemann hàm 𝑓 miền 𝑅 ) • Bước Gọi ∥ 𝑃 ∥ đường kính phân hoạch, giới hạn (nếu tồn tại) 𝑁 ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴: = lim 𝑓 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ Δ𝐴𝑘 ∥𝑃∥→0 𝑅 𝑘=1 gọi tích phân bội hai hàm 𝑓 miền 𝑅 Các tính chất tích phân bội hai Luật tuyến tính: Với số 𝑎 𝑏, ඵ 𝑎𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑏𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑎 ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 + 𝑏 ඵ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑅 𝑅 Luật trội: Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) miền chữ nhật 𝑅 ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ ඵ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑅 Luật chia nhỏ: Nếu miền chữ nhật 𝑅 lấy tích phân chia làm hai hình chữ nhật 𝑅1 𝑅2 ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 + ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑅1 𝑅2 Tích phân bội hai thể tích Vật thể phía mặt 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) hình chữ nhật 𝑅 tích: 𝑁 𝑉 = lim 𝑓 𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ Δ𝐴𝑘 = ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ∥𝑃∥→0 𝑘=1 𝑅 Định lí Fubini miền chữ nhật Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục hình chữ nhật 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 tích phân bội hai ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 tính hai tích phân lặp, 𝑑 𝑏 𝑏 𝑑 ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = න න 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = න න 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑐 𝑅 𝑎 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 Trong trường hợp 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), Định lí Fubini cho phép tích phân viết dạng ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∫𝑐 ℎ(𝑦)𝑑𝑦 Ví dụ Tính: ඵ − 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑅 hình chữ nhật mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 với đỉnh (0,0), (3,0), (3,2) (0,2) Tính: ඵ 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 hình chữ nhật ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑅 Tính ඵ 𝑥cos(𝑥𝑦) 𝑑𝐴 𝑅 𝜋 với 𝑅: ≤ 𝑥 ≤ , ≤ 𝑦 ≤ 12.2 Tích phân bội hai miền Định lý Fubini tổng quát Nếu 𝐷1 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥) (loại I) 𝑏 𝑦2 (𝑥) ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = න න 𝐷1 𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦1 (𝑥) Nếu 𝐷2 : 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑥1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2 (𝑦) (loại II) 𝑑 𝑥2 (𝑦) ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = න න 𝐷2 𝑐 𝑥1 (𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Ví dụ 𝑥 Tính ∫0 ∫𝑥 160𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Cho 𝑇 miền tam giác giới hạn đường thẳng 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = Tính tích phân bội hai ඵ(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴 𝑇 cách dùng tích phân lặp với (a) Lấy tích phân theo 𝑦 trước (b) Lấy tích phân theo 𝑥 trước Tích phân bội hai diện tích thể tích Diện tích miền 𝐷 mặt phẳng 𝑥𝑦 cho 𝐴 = ඵ 𝑑𝐴 𝐷 Nếu 𝑓 liên tục 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ miền 𝐷, thể tích khối bên mặt 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) bên miền 𝐷 cho 𝑉 = ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐷 Ví dụ 1) Tìm diện tích kủa miền 𝐷 𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 đoạn ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 dùng (a) tích phân đơn; (b) tích phân bội hai 2) Tìm thể tích khối bị chặn mặt phẳng 𝑧 = 𝑦 bị chặn mặt phẳng O𝑥y phần nằm góc phần tư thứ đĩa 𝑥 + 𝑦 ≤ 3) Đổi thứ tự lấy tích phân 𝑒𝑥 ∫0 ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 4) Miền 𝐷 bị chặn parabol 𝑦 = 𝑥 − đường thẳng 𝑦 = 𝑥 Tìm diện tích 𝐷? 1 5) Tính ∫0 ∫𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Do vậy: 𝑉 = ම 𝑑𝑉 𝑇 (6−2𝑥−𝑦) =ඵ න 𝑑𝑧𝑑𝐴 𝐴 6−2𝑥 =න න 6−2𝑥 =න න =න 0 (6−2𝑥−𝑦) න 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 (6 − 2𝑥 − 𝑦) − 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑦=6−2𝑥 = න 2𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 𝑦=0 2(6 − 2𝑥) − 𝑥(6 − 2𝑥) − (6 − 2𝑥)2 − 𝑑𝑥 = න − 4𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 =6 Ví dụ Thiết lập (khơng cần tính) tích phân bội ba để tính thể tích khối 𝐷 giới hạn mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt phẳng 𝑦 + 𝑧 = Hình chiếu lên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 biểu diễn hình Giải: Vi phân giới hạn mặt câu mặt phắng nằm phía mặt phẳng 0𝑥𝑦, nghĩa 𝑧 ≥ Từ phương trình mặt câu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ta có nửa mặt câu phía có phương trình 𝑧 = Giao tuyến nửa mặt cầu 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 − 𝑦 mặt phẳng 𝑦 + 𝑧 = là: − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑦 𝑥 + 2(𝑦 − 1)2 =2−𝑦 = − 4𝑦 + 𝑦 =0 𝑥2 =2⟺ + (𝑦 − 1)2 = Do hình chiếu khối 𝐷 lên mặt phẳng 0𝑥𝑦(𝑧 = 0) hình elip có phương trình 𝑥 + 2(𝑦 − 1)2 = (như hình 12.41) Từ phương trình 𝑥 + 2(𝑦 − 1)2 = ⇒ 𝑥 = ± − 2(𝑦 − 1)2 = ± 4𝑦 − 2𝑦 Do miền 𝐷 xác định ≤ 𝑦 ≤ 2, − 4𝑦 − 2𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑦 − 2𝑦 , − 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ Do ta có cơng thức tính thể tích khối 𝐷 𝑉= 4𝑦−2𝑦 2 4−𝑥 −𝑦 ∫0 ∫− 4𝑦−2𝑦2 ∫2−𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑉 = 2∫0 ∫0 4𝑦−2𝑦 4−𝑥 −𝑦 ∫2−𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 Ví dụ Tính thể tích vật thể 𝐷 giới hạn bên mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 giới hạn mặt phẳng 2𝑥 + 𝑧 = Giải Hình vẽ vật thể 𝐷 hình vẽ a Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 có biên hình trịn (xem hình b) có phương trình 𝑥 + 𝑦 = − 2𝑥 ⇔ (𝑥 + 1)2 + 𝑦 = Với hình chiếu lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 ta có cơng thức tính thể tích thiết lập 3−2𝑥−𝑥 𝑉 = 2න න −3 3−2𝑥 න 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 +𝑦 việc tính tích phân khơng đơn giản Do ta thử chiếu vật thể 𝐷 lên mặt phẳng 0𝑥𝑧(𝑦 = 0) ta miền giới hạn đường parabol 𝑧 = 𝑥 đường thẳng 2𝑥 + 𝑧 = (xem hình c) Ta tích vật thể 𝐷 cần tìm 𝑉 𝑧−𝑥 3−2𝑥 = 2න න −3 𝑥 න 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 = න න 𝑧 − 𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑥 −3 𝑥 3−2𝑥 = 2න 𝑧 − 𝑥2 −3 3−2𝑥 3/2 อ = න − (𝑥 + 1)2 −3 𝑥2 𝑑𝑥 = න − 2𝑥 − 𝑥 −3 3/2 𝑑𝑥 𝜋/2 3/2 𝑑𝑥 = න 8cos 𝜃(2cos 𝜃𝑑𝜃) −𝜋/2 128 𝜋/2 128 3𝜋 = න cos 𝜃𝑑𝜃 = = 8𝜋 3 16 Khối lượng khối tâm mặt phẳng • Khối lượng Nếu 𝜌(𝑥, 𝑦) hàm khối lượng riêng liên tục phẳng ứng với miền phẳng 𝑅, khối lượng 𝑚 phẳng xác định 𝑚 = ඵ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 NHẬN XÉT Nếu phẳng 𝑅 đồng chất có khối lượng riêng 𝜌 khối lượng 𝑚 phẳng xác định 𝑚 = 𝜌 ඵ 𝑑𝐴 = 𝜌 × ( diện tích 𝑅) = 𝜌𝐴𝑅 𝑅 • Mơmen khối lượng phẳng: Nếu 𝜌(𝑥, 𝑦) hàm khối lượng riêng liên tục phẳng ứng với miền phẳng 𝑅, mơ men khối lượng hàm khối lượng riêng quanh trục 𝑂𝑥 𝑂𝑦, 𝑀𝑥 = ඵ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑀𝑦 = ඵ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 𝑅 • Khối tâm: Nếu 𝑚 khối lượng mỏng, khối tâm (𝑥, ᪄ 𝑦), ᪄ 𝑀𝑦 𝑀𝑥 𝑥᪄ = 𝑦᪄ = 𝑚 𝑚 • Trọng tâm: Nếu trọng lượng riêng 𝜌 số, điểm (𝑥, ᪄ 𝑦) ᪄ trọng tâm miền Ví dụ: Tìm khối lượng mỏng có khối lượng riêng 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥 tương ứng với miền 𝑅 giới hạn parabol 𝑦 = − 𝑥 đường thẳng 𝑦 = 𝑥 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm 𝑥 = − 𝑥 ⇔ 𝑥 + 𝑥 − = ⇔ 𝑥 = 1; −2 −2 ≤ 𝑥 ≤ Chúng ta thấy miên 𝑅 tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦) thỏa: ቊ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥2 Do vậy, ta có: 2−𝑥 = ඵ 𝑥 𝑑𝐴 = න න 𝑚 𝑅 −2 𝑥 =න −2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑥2 2𝑥 − 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = න −2 2𝑥 𝑥 𝑥 = − − = −2 63 20 Khối lượng khối tâm vật thể ℝ𝟑 • Khối lượng: 𝑚 = 𝑥(𝜌 𝑅, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 • Mơmen: 𝑀𝑦𝑧 = ම 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, 𝑅 𝑀𝑥𝑧 = ම 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, 𝑅 𝑀𝑥𝑦 = ම 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝑅 • Trọng tâm: (𝑥, ᪄ 𝑦, ᪄ 𝑧) ᪄ = 𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑥𝑦 , 𝑦 , 𝑧 𝑥 Đổi biến sang hệ tọa độ trụ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑥 = 𝑟cos 𝜃 ቐ 𝑦 = 𝑟sin 𝜃 𝑧=𝑧 𝑟= 𝑥 + 𝑦 ; tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 𝜃 Tính tích phân tọa độ trụ Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục miền lấy tích phân 𝐷, với 𝐷 = (𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑢(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑣(𝑥, 𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝑦 Khi 𝑣 𝑥,𝑦 ම 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = ඵ 𝐷 𝐴𝑥𝑦 න 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝐴 𝑢 𝑥,𝑦 𝑣 𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃 =ඵ න 𝑓(𝑟cos𝜃, 𝑟sin𝜃, 𝑧) 𝐽 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴𝑟𝜃 = 𝑢(𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃) 𝑣 𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃 𝛽 𝑟2 (𝜃) ∫𝛼 ∫𝑟 (𝜃) න 𝑢(𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃) Với định thức Jacobi: 𝑓(𝑟cos𝜃, 𝑟sin𝜃, 𝑧)𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐽= 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 cos𝜑 = sin𝜑 −𝑟sin𝜑 𝑟cos𝜑 0 =𝑟 Ví dụ: Tìm phương trình tọa độ trụ elliptic paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 Giải Chúng ta sử dụng công thức 𝑥 = 𝑟cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟sin 𝜃 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 = (𝑟cos 𝜃)2 + 3(𝑟sin 𝜃)2 = 𝑟 cos 𝜃 + 3sin2 𝜃 = 𝑟 − sin2 𝜃 + 3sin2 𝜃 = 𝑟 + 2sin2 𝜃 Ví dụ Tính thể tích vật thể góc phần tám thứ giới hạn mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦, mặt nón 𝑧 = mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 Giải: 𝑥 = 𝑟cos 𝜃 ቐ 𝑦 = 𝑟sin 𝜃 𝑧=𝑧 Các mặt dễ dàng biểu diễn sang tọa độ trụ sau Cylinder: 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 ⇔ 𝑟 = 2𝑟sin𝜃 ⇔ 𝑟 = 2sin𝜃 Cone: 𝑧= 𝑥2 + 𝑦2 ⇔ 𝑧 = 𝑟 𝜋 Vì miền 𝐷 nằm góc phân tám thứ nhất, ta có ≤ 𝜃 ≤ , miền 𝐷 biểu diễn ≤ 𝑧 ≤ 𝑟; ≤ 𝑟 ≤ sin 𝜃 ; ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝑣 𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃 𝑉 = ම 𝑑𝑉 = ඵ න 𝐷 = 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 𝑢(𝑟cos𝜃,𝑟sin𝜃) 𝜋 2si n 𝜃 𝑟 ∫02 ∫0 ∫0 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝜋 ∫02 𝑟3 อ 𝑟=2si n 𝜃 𝑟=0 = 𝜋 2si n 𝜃 ∫02 ∫0 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜋2 𝑑𝜃 = ∫0 sin3 𝜃 𝑑𝜃 𝜋2 cos3 𝜃 = ∫0 − cos 𝜃 si n 𝜃 𝑑𝜃 = −co s 𝜃 + 3 𝜋 Τ2 = 16 Ví dụ: Bằng cách đổi biến sang tọa độ trụ, tính tích phân sau: a) 𝐼 = 𝑧 𝑉 𝑥2 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, b) 𝐽 = 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑥 𝑉, 𝑉 = 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥 𝑉: ൜ , (ℎ > 0) 𝑦 ≥ 0, ≤ 𝑧 ≤ ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 : ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 +𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≥ Đổi biến sang hệ tọa độ cầu 𝑥 = 𝑟sin 𝜃cos 𝜑 Công thức đổi biến: ቐ 𝑦 = 𝑟sin 𝜃sin 𝜑 𝑧 = 𝑟cos 𝜃 Điều kiện 𝜃: ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, Định thức Jacobi : 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝐽= 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑧 sin 𝜃cos 𝜑 𝜕𝑦 = sin 𝜃sin 𝜑 𝜕𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟cos 𝜃cos 𝜑 𝑟cos 𝜃sin 𝜑 −𝑟sin 𝜃𝑟 −𝑟sin 𝜃sin 𝜑 rsin 𝜃c𝑜𝑠𝜑 = −𝑟 sin 𝜃 Cơng thức tích phân: 𝐼 = ම 𝑓(𝑟sin 𝜃cos 𝜑, 𝑟sin 𝜃sin 𝜑, 𝑟cos 𝜃)𝑟 sin 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃 𝑉 Ví dụ Viết phương trình sau sang tọa độ cầu: (1) Mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎2 (𝑎 > 0) (2) Mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧 (3) Mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 (4) Mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −3𝑦 (5) Mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 (6) Mặt phẳng 𝑧 = (7) Mặt trụ 𝑥 + 𝑧 = (8) Mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = Ví dụ Bằng cách đổi biến sang tọa độ cầu, tính tích phân sau: a) 𝐼 = 𝑧 𝑉 b) 𝐽 = 𝑉 𝑥2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦2 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝑉: ቊ 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ + 𝑦 + 𝑧 ≤ 16 ≤ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: ቊ 𝑧≥0 ... tìm