Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MƠN TỐN - ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn Mã mơn học: MATH141801 Đề thi có 02 trang Thời gian: 90 phút Chỉ phép sử dụng tài liệu giấy Câu I (2 điểm) Vị trí vật di chuyển khơng gian cho R (t ) (t 2t )i (e t ) j cos t k Tìm vận tốc gia tốc vật thời điểm t Tìm giá trị a thỏa mãn phương trình 1 t t i t 1 t2 a jdt ln i 26 j II (2.5 điểm) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị f ( x, y ) x x y y điểm có ( x, y ) (3, 4) Tìm điểm tới hạn f ( x, y ) ( y 2) x y phân loại điểm thành cực tiểu, cực đại hay điểm yên ngựa III (2.5 điểm) Tính tích phân x xy dA , với D miền bị chặn đường y x D y x2 Sử dụng tọa độ cầu để tính tích phân bội ba x y dV , với E phần E hình cầu x y z góc phần tám thứ 2 IV (3 điểm) Tính div F curl F F ( x, y ) x y i z 3x j + y k Tính tích phân đường xy x dx x 1 dy với C đường cong C hình Trang / Tính thơng lượng trường véc tơ F ( x, y, z ) y i ( x) j (3 z 1) k qua phía phần mặt z x y ứng với z Hết -Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [G1.2]: Tính đạo hàm, tích phân hàm vectơ; hàm I, II,III nhiều biến [G1.3]: Áp dụng cơng thức để tính đại lượng đặc trưng IV.1 trường vectơ [G2.3]: Xử lý toán kỹ thuật liên quan đến đại IV.2, IV.3 lượng đặc trưng trường vectơ Ngày 03 tháng 01 năm 2019 Thông qua môn Trang / Trường ĐH Sư phạm kỹ thuật TP HCM Khoa KHUD – Bộ mơn Tốn Đáp án mơn: Tốn Ngày thi: 09/01/2019 Câu Ý Nội dung v (t ) R'(t ) (3t 2)i (e t ) j 2t sin t k I Điểm 0.5 a(t ) R"(t ) (6t )i (e t ) j 2sin t 4t cos t k 1 t t 1 t i t Từ ln a a 1 i 0.5 jdt ln t t i t j 1a a ln a a 1 i 0.5 a2 j 0.25 a j ln i 26 j suy a5 0.25 II f x ( x, y ) x x y f y ( x, y ) xy x y 2 3y2 252 ; f (3,4) 79 34 252 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc z 79 x 3 ( y 4) 5 2 f x x( y 2); f y x y f x (3,4) 34 ; x2 y ; f y (3, 4) Có điểm tới hạn: A(0,0), B(2,2), C(-2,2) f xx 2( y 2); f yy 2; f xy x 0.5 0.75 0.25 0.25 0.25 0.25 D ( x, y ) 4( y 2) x D (0,0) 8, f yy 2 : A cực đại tương đối; D (2, 2) 16 : B,C điểm yên ngựa III x D 2 xy dA y2 2x y x 0 2x 2x xy dydx x2 2x x2 0.25 0.5 0.5 dx x x (2 x x ) (4 x x ) dx 15 2 E x y dV /2 /2 0 sin d d d 0.5 0.5 Trang / 81 / /2 81 / sin 2 2 div F 2xy ; IV 0.25 sin d d /2 d 81 2 32 0.25 0.5 curl F y 3z i + x k Theo ĐL Green: xy C x3 3 3 x3 0.25 dx 4( x 3) x( x 3) dx 3 99 Giao tuyến: x y 6, z Thông lượng: 0.5 0.5 D xy dydx y xy x dx x 1 dy xy dydx 0.25 0.25 F NdS S y, x,5 x y 2 x, 2 y,1 dxdy x y dxdy 0.5 D 2 3x y dxdy D D 2 2 0 (5 3r )rdrd 42 d 84 0.25 Trang / TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MƠN TỐN - ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2019-2020 Mơn: Tốn Mã mơn học: MATH132601 Đề thi có 02 trang Thời gian: 90 phút Được phép sử dụng tài liệu Câu I: (2 điểm) Cho vật chuyển động với hàm véc tơ vận tốc V (t ) = ( 3sin t ) i − ( 3cos t ) j + 2k 1) Tìm hàm véc tơ vị trí chuyển động vật, biết R = ( 4, 1, ) 2 2) Chứng minh độ cong đồ thị hàm véc tơ R(t) thời điểm t số Hãy tìm giá trị độ cong Câu II: (3 điểm) 1) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong x z + = xy điểm M ( 4, 1, ) z y 2) Tìm cực trị địa phương hàm hai biến f ( x, y) = x2 y + 3x − xy − 12 x + y + y + 10 Câu III: (2 điểm) 1) Tính tích phân bội hai ( x + y ) dA , với D miền giới hạn đường thẳng D y = x + đường parabol y = x − 2) Tính tích phân bội ba z dV , với vật thể V miền giới hạn mặt paraboloid V z = − x − y giới hạn mặt paraboloid z = x2 + y 2 Câu IV: (2 điểm) 1) Tìm cơng trường lực F( x, y ) = xy i + ( x − y ) j để di chuyển chất điểm thực vịng quanh khung hình vng hình vẽ bên 2) Tính thơng lượng trường véc tơ F( x, y, z ) = ( x − z ) i − ( x3 − y ) j + ( 5z − x + ) k qua nửa mặt cầu z = − x − y định hướng trường véc tơ pháp tuyến đơn vị N hướng lên Câu V: (1 điểm) Theo khảo sát, lượng xe máy bán cửa hàng 219 20 Q( x, y ) = 237 − x + y + 12 50 23 (chiếc) -Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 1|2 x (nghìn đồng) giá xe máy, y (nghìn đồng) giá lít xăng Theo khảo sát khác, sau t tháng kể từ thời điểm bắt đầu khảo sát, giá xe t máy mức x = 30000 + 500 t (nghìn đồng/chiếc), giá xăng y = 19 + 25 (nghìn đồng/lít) Sau tháng kể từ thời điểm bắt đầu khảo sát, lượng xe máy cửa hàng bán thay đổi với tốc độ bao nhiêu? Lượng xe bán lúc tăng hay giảm? Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR G2.2]: Tính đạo hàm, tích phân hàm vectơ; hàm nhiều biến [CĐR G2.3]: Hiểu xử lý toán kĩ thuật liên quan đến đạo hàm, tích phân hàm vector, hàm nhiều biến [CĐR G2.5]: Vận dụng ý nghĩa mối quan hệ đại lượng đặc trưng trường vector để giải số toán ứng dụng Nội dung kiểm tra Câu I, câu II, V Câu III Câu IV Ngày 24 tháng 12 năm 2019 Thông qua môn -Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2|2 Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM Khoa KHCB-Bộ môn Tốn Đáp án mơn: TỐN (MATH132601) Ngày thi: 2/1/2020 Nội dung Câu Ý Hàm véc tơ vị trí R(t ) = V(t )dt = −3cos t i − 3sin t j + 2t k + C I R = −3cos i − 3sin j + k + C = 4,1, C = 4, 4, 2 2 2 Vậy hàm véc tơ vị trí R (t ) = ( − 3cos t ) i − ( 3sin t − ) j + 2t k V(t ) = R'(t ) = ( 3sin t ) i − ( 3cos t ) j + 2k R'(t ) = 13 R"(t ) = ( 3cos t ) i + ( 3sin t ) j R '(t ) R"(t ) = −6sin t i + 6cos tj + 9k 117 = 13 13 13 z x x z − y , − − xy, − + Xét F ( x, y, z ) = + − xy Ta có F = z y z y z y II 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Độ cong t k = Thang điểm 0.5 0.25 0.5 F ( M ) = − , −10, Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong điểm M − ( x − ) − 10 ( y − 1) = x + 10 y − 24 = f x = xy + x − y − 12 f y = x − x + y + f x = 2( x − 2)( y + 3) = x − 4x + y +1 = f y = 0.25 3 Điểm dừng M 2, , N ( −1, −3) , P ( 5, −3) 2 Ta có f xx = y + 6, f xy = x − 4, f yy = , 0.5 D = f xx f yy − ( f xy ) Điểm dừng M N P 0.25 0.5 0.25 fxx fxy fyy 0 -6 2 D 18>0 -36