Skkn giải pháp rèn kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp 9 trường thcs ái thượng, huyện bá thước, tỉnh thanh hóa

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN BÁ THƯỚC PHÒNG GD & ĐT HUYỆN BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁI THƯỢNG, HUYỆN BÁ THƯỚC, TỈNH THANH HÓA Người thực hiện: Nguyễn Văn Cảnh Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THCS Ái Thượng SKKN thuộc mơn: Tốn Ái Thượng, năm 2022 skkn MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 01 1.1 Lý chọn đề tài 01 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài 02 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) 02 2.1 Cơ sở lý luận 02 2.2 Trực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 03 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 05 2.3.1 Các dạng toán thường gặp 05 2.3.2 Một số tập - dạng tốn liên quan đến hệ phương trình 12 bậc ẩn 2.3.3 Bài tập tự giải 17 2.4 Hiệu SKKN 18 Kết luận kiến nghị 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 skkn 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Cùng với kiến thức môn học khác, kiến thức Tốn học phổ thơng nói chung kiến thức Tốn nói riêng có vai trị cần thiết học sinh sống, cụ thể như: việc đo lường, tính tốn tốn thực tế; phục vụ việc học nghề, học môn học khác, học cấp học cao hơn.v.v Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp số năm học Trường THCS Ái Thượng nhận thấy kết học tập mơn tốn chưa cao, cịn nhiều học sinh có điểm tốn xếp loại yếu Qua tìm hiểu, tơi thấy q trình học tập thấy đa số học sinh hổng kiến thức chưa có hứng thú, chưa có niềm vui học tập mơn Tốn Kiến thức phương trình hệ phương trình chương trình tốn bậc phổ thông nội dung quan trọng, tảng tư suy luận giúp học sinh tiếp cận đến nội dung khác chương trình tốn học, vật lý, hóa học, sinh học bậc học cấp học sau Trong chương trình tốn học bậc phổ thông, lớp học sinh học hệ phương trình, bắt đầu hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp giải, toán áp dụng Với thực trạng ấy, yêu cầu đặt với giáo viên giảng dạy mơn Tốn phải làm nào, phải tổ chức, hướng dẫn học sinh học tập để tạo cho học sinh có kiến thức tốn học thơng qua học giải hệ phương trình bậc hai ẩn, từ tạo cho em có hứng thú, u thích học tập mơn Tốn đặc biệt phát huy tính tích cực cho em học sinh q trình học tập mơn Tốn 9, với đối tượng học sinh yếu kém, giúp em học tập môn đạt kết cao Mục đích cuối để nâng cao chất lượng dạy - học nói chung Với thân giáo viên việc tự học, tự bồi dưỡng, tự nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi phương pháp dạy học v.v cần thiết để nâng cao dần chất lượng dạy kết giảng dạy mơn Tốn Từ lí trên, chọn đề tài: “Giải pháp rèn kỹ giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa” để giúp học sinh trường THCS Ái Thượng có kết học tập tốt việc học tập, lĩnh hội, chiếm lĩnh kiến thức Toán học, giúp em học sinh cuối cấp có tảng vững vàng chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10 Đề tài, giúp thân đồng nghiệp trao đổi kinh nghiệm, phương pháp 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tơi viết đề tài với mục đích: - Giúp học sinh lớp trường THCS Ái Thượng hình thành kỹ giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giúp giáo viên THCS Ái Thượng nói riêng, giáo viên THCS nói chung có thêm nguồn tài liệu tham khảo dạy giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Giải pháp rèn kỹ giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp trường THCS Ái Thượng, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu * Về lí thuyết: - Tham khảo tài liệu tin cậy, cơng trình nghiên cứu tác giả có uy tín, sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp - Sử dụng phương pháp khoa học như: khảo sát, thống kê, phân tích số liệu, so sánh đối chiếu, tổng h ợp…để nhận thức, triển khai đánh giá vấn đề nghiên cứu * Về thực tiễn: - Dự đồng nghiệp, góp ý, thảo luận với tổ chuyên môn - Thực nghiệm sư phạm: Áp dụng đề tài năm học chọn lớp thực nghiệm lớp đối chứng để có sở so sánh, đối chiếu Qua đó, kiểm chứng biện pháp nêu đề tài, đưa kết luận khoa học khẳng định tính khả thi đề tài - Nghiên cứu hồn cảnh, mơi trường, điều kiện học tập học sinh - Tiếp xúc trị chuyện với học sinh để nắm rõ thơng tin phản hồi NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong sách giáo khoa Đại số 9, tập II, nhà xuất giáo dục năm 2011 nêu định nghĩa hệ phương trình bậc hai ẩn, cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn sau: 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ phương trình tương đương a Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’  R: a, b; a’, b’ không đồng thời b Nghiệm hệ phương trình cặp số (x0; y0) thỏa mãn: Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm hệ phương trình c Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Dùng kí hiệu “ ” để hai hệ phương trình tương đương 2.1.2 Quy tắc giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Ta biết, muốn giải hệ phương trình hai ẩn, ta tìm cách quy việc giải phương trình ẩn Mục đích đạt cánh áp dụng quy tắc sau, gọi quy tắc cộng đại số a Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau: skkn Bước (khử ẩn): Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình Bước (Tìm tập nghiệm hệ): Dùng phương trình thay hai phương trình hệ (và giữ ngun phương trình kia) b Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: Bước (khử ẩn): Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối Bước (thực phương pháp cộng đại số): Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) Bước Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho c Một số lưu ý: Cho hệ phương trình (I) (I) Vơ nghiệm (I) Vơ số nghiệm (I) Có nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1 Thực trạng chung: - Do tình hình dịch bệnh Covid – 19 kéo dài (từ năm học 2019-2020) đến nên việc học tập em không thực thường xuyên dẫn đến chểnh mảng học tập, ảnh hưởng xấu đến kết học tập em năm học qua - Chương trình mơn Tốn bậc THCS rộng đa dạng, em lĩnh hội nhiều kiến thức Trong có nội dung kiến thức theo em suốt trình học tập phương trình, đến hệ phương trình Ngay từ ngày cắp sách đến trường, học sinh giải phương trình đơn giản dạng điền số thích hợp, tìm x … Đến lớp 8, lớp đề toán chương trình đại số phương trình đến hệ phương trình Các em vào phương pháp học để giải phương trình, hệ phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình, hệ phương trình mà em cịn phải biết áp dụng vào dạng toán khác chương trình tốn THCS Đó dạng tốn “Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số” Dạng tốn khơng phải dạng khó, địi hỏi học sinh phải có kiến thức số học, đại số để liên hệ vào môn học khác hình học, vật lí, hóa học phải biết tìm mối liên hệ yếu tố toán cho với thực tiễn đời sống Nhưng thực tế cho thấy phần nhiều học sinh trường THCS Ái Thượng học sinh huyện Bá Thước không đáp ứng khả nên không giải dạng toán áp dụng hệ phương trình Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn Mặt khác, skkn trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát cách giải cho dạng 2.2.2 Thực trạng trường THCS Ái Thượng * Về phía học sinh: - Do dịch bệnh nguy hiểm kéo dài nên việc đến trường em thường xuyên bị dán đoạn nên ảnh hưởng nhiều đến hứng thú học tập học sinh - Việc giải toán hệ phương trình học sinh THCS Ái Thượng việc làm mẻ khó khăn cho giáo viên Đề cho phương trình, hệ phương trình đơn giản phương pháp thơng thường mà địi hỏi học sinh phải vận dụng khéo léo kiến thức học để có cách biến đổi hợp lý hệ phương trình cho, điều đánh giá trình độ kiến thức học sinh - Kỹ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại tốn Đối với việc giải hệ phương trình em học nên chưa quen với dạng toán hệ phương trình Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải tập lại khơng làm Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập - Do điều kiện kinh tế hồn cảnh gia đình em cịn nhiều hạn chế, khơng quan tâm chăm sóc bố, mẹ bên cạnh có nhiều học sinh cịn mồ cơi cha lẫn mẹ - Do lôi kéo từ tệ nạn xã hội (đặc biệt điện thoại thông minh bố mẹ làm ăn xa nên mua cho em để liên lạc) dẫn đến em ham chơi game không quan tâm đến việc học tập *Về phía giáo viên: - Do tình hình dịch bệnh nguy hiểm kéo dài nên giáo viên không thường xuyên trực tiếp dạy kiểm tra em cách chi tiết mà hướng dẫn em học làm tập nhà - Giáo viên phần chưa tâm quan tâm đến tâm lý lứa tuổi học sinh, chưa đánh giá lực học sinh để phân lượng kiến thức cho học , chưa sử dụng phương pháp hợp lý cho đối tượng học sinh mà chủ yếu phần đứng lớp nhiều yếu tố khách quan nên dạy học theo tinh thần chủ quan, lối mòn kiến thức hàn lâm chưa phát tinh hoa giảng, chưa mạnh dạn trải nghiệm hiểu biết giảng… Từ thực trạng trên, năm học 2021 - 2022 trước vào giảng dạy “Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số tơi khảo sát học sinh hai lớp 9A 9B, với làm thời gian 45 phút sau: Giải hệ phương trình sau: skkn ; a b ; c Kết khảo sát Điểm số Đối tượng Sỹ số 9-10 7-9 5-7 Dưới 9A 30 1(3,3%) 13(43,3%) 16(53,4%) Lớp thực đề tài 9B 31 2(6,5%) 14(45,2%) 14(48,3%) Lớp đối chứng Qua khảo sát chất lượng ban đầu thấy học sinh hai lớp tương đồng nhau, hai lớp đểu khơng có học sinh giỏi, học sinh trung bình yếu có tỷ lệ cao 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Khi thực đề tài sau tóm tắt nội dung kiến thức tơi chia nhỏ lượng kiến thức học dạng toán - toán nhỏ khác nhau, dạng thực theo bước: Bước Lấy ví dụ minh hoạ cho dạng tốn – tốn Bước Cho học sinh nhận dạng toán, sau hướng dẫn giải chi tiết cuối nhận xét, lỗi học sinh thường gặp phải từ ưu điểm nhược điểm (nếu cần) cách giải toán Bước Bài tập luyện tập Bước Bài tập tự giải – Phần tập học sinh tự trình bày nhằm rèn luyện kỹ thực giải toán 2.3.1 Các dạng toán thường gặp: Sau giới thiệu xong phần kiến thức phương pháp “giải hệ phương trình phương pháp cộng đại” số chia kiến thức giảng thành dạng toán sau, cụ thể: Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình Ở dạng tốn giúp học sinh xem xong hệ phương trình nhận diện hệ phương trình vơ nghiệm hay vơ số nghiệm hay có nghiệm mà khơng cần phải sử dụng đến giải hệ phương trình hay vẽ hình học, cách sử dụng tỷ lệ thức học (nội dung phần 2.3.1.c) Ví dụ 1: Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau: a) b) c) Giải Giáo viên gợi ý: - Cho học sinh liệt kê hệ số x; y là: a; a’; b; b’; c; c’ - Cho học sinh lập tỷ lệ thức nhận xét Gọi học sinh trả lời: a) Ta có b) Ta có nên hệ phương trình vơ nghiệm (khơng có nghiệm) nên hệ phương trình có vơ số nghiệm skkn c) Ta có nên hệ phương trình có nghiệm Sau học sinh làm ví dụ giáo viên nhắc lại kiến thức lần yêu cầu học sinh làm tập: Bài tập luyện tập: 1.Bài tập SGK toán tập trang 12/ NXBGDVN năm 2011 sau: a) b) Đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau: a) b) c) Bài tập tự giải: Yêu cầu học sinh giải tập SGK vào vở, sau có kiểm tra đánh giá tập em Các tập 8, 9, 10 SGK toán tập trang 12/ NXBGDVN năm 2011 Khi em nhận diện số nghiệm hệ phương trình, bước hướng dẫn em giải dạng hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, cụ thể: Dạng 2: Giải hệ phương trình có hệ số ẩn hai phương trình Cách thức thực hiện: - Cho học sinh nhận xét hệ số ẩn hai phương trình - Cho học sinh thực phép tính trừ vế với vế hai phương trình (khử ẩn) - Giải hệ phương trình Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Đặt vấn đề: - Em có nhận xét hệ số x, y hai phương trình hệ phương trình trên? (để nhận xét giáo viên yêu cầu học sinh liệt kê hệ số đó) - Hệ phương trình có nghiệm - Em giải hệ phương trình nào? Giải vấn đề: - Học sinh phát hệ số y hai phương trình - Hệ phương trình có nghiệm - Để giải hệ phương trình ta lấy vế trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) Cụ thể: Bước 1: (Khử ẩn) Lấy vế trừ vế hai phương trình hệ (I) ta được: (2x - y) + (x + y) = hay 3x = (3) Bước 2: Thay phương trình (3) vào hai phương trình ta hệ Hoặc skkn Giải hệ Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) Tương tự em giải hệ (I”) Nhận xét: Ở hệ phương trình ta thấy hệ số y hai phương trình nên ta thực phép tốn lấy vế trừ vế ta phương trình thứ (3), sau thay phương trình (3) vào hai phương trình giải hệ phương trình (chỉ cần giải hệ phương trình (I’) hệ (I”) ) ta nghiệm hệ phương trình cho Ngồi em thực lấy vế trừ vế phương trình (2) cho phương trình (1), ta lại thực cách giải thứ hệ số x phương trình (1) lớn phương trình (2) Cách khác, sau thực bước (khử ẩn) ta phương trình (3) Giải phương trình (3) tìm giá trị x, thay giá trị x vào phương trình (1) phương trình (2) ta tìm giá trị y Cặp giá trị (x; y) tìm nghiệm hệ phương trình Cụ thể ta thực sau: Bước 1: (Khử ẩn) Lấy vế trừ vế hai phương trình hệ (I) ta được: (2x - y) + (x + y) = hay 3x = (3) Bước 2: giải phương trình (3): 3x = x=1 Bước 3: thay x = vào phương trình (2), ta được: + y = y = Bước 4: Kết luận Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 1) Qua cách thực toán trên, đến phụ thuộc vào lực tư học sinh mà em thực hai cách để giải tốn chấp nhận Để hình thành kỹ giải tốn tơi u cầu học sinh giải tập sau, có nhận xét đánh giá sửa lỗi làm cho em Bài tập luyện tập: Giải hệ phương trình sau: a) b) c) Đáp số: a) (x; y) = (-2; 8); b) (x; y) = (3; -7); c) (x; y) = (1; - 1) Dạng 3: Giải hệ phương trình có hệ số ẩn hai phương trình đối Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Đặt vấn đề: - Em có nhận xét hệ số x, y hai phương trình hệ phương trình trên? (để nhận xét giáo viên yêu cầu học sinh liệt kê hệ số đó) - Hệ phương trình có nghiệm - Em giải hệ phương trình nào? Giải vấn đề: - Học sinh phát hệ số y hai phương trình đối - Hệ phương trình có nghiệm - Để giải hệ phương trình ta lấy vế cộng vế phương trình (1) với phương skkn trình (2) Cụ thể: Bước 1(khử ẩn): Vì hệ số y hai phương trình đối nhau, nên ta không cần phải nhân hai vế phương trình với số thích hợp mà ta cộng vế hai phương trình để khử ẩn y Bước 2: Giải hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3;-3) Để hình thành kỹ giải tốn yêu cầu học sinh giải tập sau, có nhận xét đánh giá sửa lỗi làm cho em Bài tập luyện tập: Giải hệ phương trình sau: ĐS ; ĐS Dạng 4: Giải hệ phương trình có hệ số hai ẩn hai phương trình khơng Sau học sinh nhận dạng giải dạng toán trên, dạng toán hệ phương trình có hệ số x y khơng có đại lượng sẻ khó hơn, yêu cầu giáo viên hướng dẫn học sinh kỹ hình thành kỹ cho em, cụ thể: Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Đặt vấn đề: - Em có nhận xét hệ số x, y hai phương trình hệ phương trình trên? - Hệ phương trình có nghiệm? - Em giải hệ phương trình nào? Giải vấn đề: - Học sinh phát hệ số x, y hai phương trình khơng - Hệ phương trình có nghiệm - Vì hệ số x, y hai phương trình khơng nhau, nên ta cần phải nhân hai vế phương trình với số thích hợp để khử ẩn x ẩn y Cụ thể: Bước 1: Nhân hai vế phương trình (1) với hai vế phương trình (2) với 2, ta hệ phương trình sau: Bước 2: Giải hệ phương trình Đây hệ phương trình có hệ số y đối nên ta thực cách giải ví dụ Cụ thể: skkn Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) Sau học sinh giải xong toán, giáo viên cho em giải hệ phương trình cách thực sau để rèn luyện kỹ cho em: Bài tập luyện tập: Giải hệ phương trình cách: a Nhân hai vế phương trình (1) với nhân hai vế phương trình (2) với b Nhân hai vế phương trình (1) với - nhân hai vế phương trình (2) với c Nhân hai vế phương trình (1) với nhân hai vế phương trình (2) với -3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Giải Đặt vấn đề: - Em có nhận xét hệ số x, y hai phương trình hệ phương trình trên? - Hệ phương trình có nghiệm? - Em giải hệ phương trình nào? Giải vấn đề: - Học sinh phát hệ số x, y hai phương trình khơng - Hệ phương trình có nghiệm - Vì hệ số x, y hai phương trình khơng nhau, nên ta cần phải nhân hai vế phương trình với số thích hợp để khử ẩn x ẩn y Cụ thể: Vì hệ số x, y hai phương trình khơng nhau, nên ta nhân hai vế phương trình thứ với 2, nhân hai vế phương trình với để hệ số ẩn x nhau, sau ta trừ vế hai phương trình để khử ẩn x ( nhân với số thích hợp để hệ số ẩn y hai phương trình hệ nhau) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = Sau học sinh giải xong toán, giáo viên cho em giải hệ phương trình cách thực sau để rèn luyện kỹ cho em: Bài tập luyện tập: 1.Giải hệ phương trình cách: a Nhân hai vế phương trình (1) với nhân hai vế phương trình (2) với b Nhân hai vế phương trình (1) với - nhân hai vế phương trình (2) với c Nhân hai vế phương trình (1) với nhân hai vế phương trình (2) với -2 d Nhân hai vế phương trình (1) với -3 nhân hai vế phương trình (2) với Bài tập tự giải skkn 10 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: ; b) ; c) Đáp số: a) (x; y) = ; b) (x; y) = (2; 1); c) (x; y) = (1; 1) Dạng 5: Một số hệ phương trình biến đổi để đưa dạng Sau em giải hệ hai phương trình hai ẩn phương pháp cộng giáo viên giới thiệu thêm tốn đưa hệ hai phương trình hai ẩn Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau Giải Đặt vấn đề: Hệ phương trình cho có phải hệ phương trình bậc hai ẩn chưa? Nếu chưa làm để đưa hệ phương trình dạng bản? Học sinh cần trả lời được: - Hệ cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn, chưa phải dạng - Để đưa hệ phương trình dạng cần phải bỏ ngoặc thực phép toán biến đổi đa thức phương trình Cụ thể: Hệ phương trình Đến hệ trở hệ phương trình học sinh tự giải tiếp Đáp số Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau Giải Theo em hệ phương trình giải nào? Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải hệ phương trình này: - Bước 1: Phải khử mẫu số phương trình - Bước 2: Đưa hệ phương trình cho dạng hệ phương trình - Bước 3: Giải hệ phương trình kết luận nghiệm hệ phương trình Cụ thể: -Bước 1: Khử mẫu số: Hệ skkn 11 - Bước 2: - Bước 3: Giải hệ phương trình Đáp số: (x; y) = Lưu ý: Khi vế phương trình phân thức có mẫu số khác tiến hành quy đồng mẫu số sau đưa hệ phương trình hệ phương trình Dạng 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải : - Đặt điều kiện (nếu có) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ phương trình theo ẩn phụ đặt - Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: a) b) Giải a) Đặt vấn đề : -Ngoài cách giải tốn cách đưa hệ phương trình hệ phương trình tốn cịn cách giải khác khơng ? -Có cần đặt điều kiện cho ẩn số x, y không ? Giáo viên hướng dẫn : -Nhận thấy hai phương trình hệ có biểu (x-2) (1+y) nên ngồi cách giải hệ phương trình biến đổi đa thức đưa hệ phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình hệ phương trình bản, cụ thể : Bước 1: Đặt ẩn phụ : Đặt x – = u; + y = v Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ Ta có hệ phương trình: Bước 3: Giải hệ phương trình theo phép đặt Ta có Nghiệm hệ phương trình (x ; y) = (1 ; -1) b Đặt vấn đề : skkn 12 -Em có nhận xét hệ phương trình trên ? Hệ phương trình có sử dụng phép biến đổi đa thức để hệ phương trình khơng? -Khi giải hệ phương trình có cần đặt điều kiện cho ẩn số x, y không ? - Em giải hệ phương trình nào? Giáo viên hướng dẫn : -Nhận thấy hai phương trình hệ có biểu thức nên trước giải hệ phương trình cần phải đặt điều kiện cho x y Nếu giải hệ phương trình phép biến đổi đa thức để đưa hệ phương trình sẻ phức tạp nên toán ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hiệu nhất, cụ thể: Bước 1: ĐK: x ≠ 0; y ≠ Bước 2: Đặt ẩn phụ : Đặt Bước 3: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ Từ hệ ta có hệ phương trình Bước 4: Giải hệ phương trình theo phép đặt Thay ta có: (TMĐK) Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = Lưu ý: Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số số phải khác ( để phép biến đổi tương đương) 2.3.2 Một số toán - dạng toán liên quan đến hệ phương trình bậc hai ẩn Đối với học sinh lớp trường THCS Ái Thượng, phần nhiều học sinh trường THCS huyện Bá Thước tốn dạng mang tính chất giới thiệu cho em có hội tìm hiểu thêm, nên tơi mang tính chất giới thiệu hướng dẫn không vào chi tiết cụ thể cho tốn Bài tốn 1: Hệ phương trình chứa tham số Bài 1: Giải hệ phương trình sau, m tham số: Giải Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán sau: Bước 1: Khử ẩn - Nếu thừa số nhân chứa tham số m tham số m ta phải skkn 13 xét trường hợp: - Nếu thừa số nhân khơng, ta tính giá trị cụ thể m, thay giá trị m vào hệ giải - Nếu thừa số nhân khác 0, ta giải hệ phương trình thường lệ Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận nghiệm hệ tùy theo giá trị tham số m Cụ thể giải toán: Bước 1: Để khử ẩn x ẩn y, ta phải nhân với biểu thức chứa m Ta nên khử ẩn y hệ số y biểu thức chứa m đơn giản 1) Nếu m = thay vào hệ cho, ta được: 2) Nếu m nhân hai vế phương trình hai với m ta có: Cộng theo vế hai phương trình ta được: (2m + 6m +4) = 2m +2m – (m +3m+2)x = m + m – (m+1)(m+2)x = (m – 1)(m + 2) (3) Bước 2: Giải biện luận phương trình (3) hệ: a Nếu (m+1)(m+2) x= , y= b Nếu m = -1 phương trình (3) thành 0x = -2, vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vơ nghiệm c Nếu m = -2 hệ phương trình trở thành Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm Bước 3: - Với m = hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (-1 ; 7) - Với hệ phương trình có nghiệm nhất: x= , y= - Với m = -1 hệ phương trình vơ nghiệm - Với m = -2 hệ phương trình có vơ số nghiệm Bài tốn 2: Vận dụng kiến thức hệ phương trình để giải số dạng tốn có liên quan đến phương trình đường thẳng Dạng 1: Dạng tốn lập phương trình đường thẳng qua hai điểm Phương pháp giải - Xác định a,b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A B - Lần lượt thay tọa độ A B vào y = ax + b hệ phương trình hai ẩn a b - Giải hệ phương trình ta a, b Ví Dụ 1: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A (3, 4) ; B (7,8) Phương trình đường thẳng qua hai điểm A (3, 4) ; B (7,8) có dạng: y = ax + b Đường thẳng qua điểm A(3, 4); B (7,8) ta có hệ phương trình skkn 14 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + Ví dụ 2: Xác định a,b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2;-2) điểm B(-1;3) Giải: Vì A(2;-2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên 2a + b = -2 Vì B(-1;3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên -a + b = Ta có hệ phương trình hai ẩn Vậy với a = , b= đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A B Dạng 2: Dạng toán chứng minh điểm thẳng hàng: Ví dụ: Chứng minh điểm A(2, 5); B(3,7); C(4,9) thẳng hàng Hướng dẫn: Lập phương trình đường thẳng qua điểm (ví dụ điểm A, B) Chứng minh điểm C nằm đường thẳng AB Dạng 3: Dạng tốn tìm điều kiện để điểm A(2, 5); B(3, 7); C(m -1, 2m + 5) thẳng hàng Hướng dẫn: Ta lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cố định: A(2, 5) ; B(3,7) Tìm điều kiện để điểm C(m -1, 2m + 5) phải nằm đường thẳng AB > tìm m Nhận xét: Với dạng toán phần b c yêu cầu học sinh phải thông thạo tốn lập phương trình đường thẳng qua điểm điều kiện để điểm nằm đường thẳng biết Dạng toán yêu cầu học sinh có tư tốt Dạng 4: Dạng tốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Bài toán tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng thực chất tốn giải hệ phương trình tốn giải hệ phương trình chứa tham số Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng y = 3x + y = 2x - Giải: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng cho nghiệm hệ phương trình Vậy tọa độ giao điểm hai đương thẳng I(-6 ; -13) Nhận xét: Với dạng toán phương pháp chung để giải phải có lập luận để đưa tốn từ quan hệ hình học quan hệ đại số (hệ phương trình) Dạng 5: Dạng tốn chứng minh đường thẳng đồng quy Hướng dẫn: Tương tự dạng tốn nội dung 3.2, ta tìm tọa độ gaio điểm hai đường thẳng chứng minh giao điểm nằm đường thẳng thứ ba Ví dụ: Chứng minh đường thẳng sau đồng quy (d1): x + y = 5; (d2): x + 2y = 4; (d3): y = -3x + Dạng 6: Dạng tốn tìm điều kiện đường thẳng đồng quy skkn 15 Ví dụ: Tìm điều kiện để đường thẳng sau đồng quy: 3x - 2y = 1; 5x - y = vµ mx + 3y = m - Hướng dẫn : Tương tự phần toán dạng c ta tìm tọa độ giao điểm đường thẳng cố định 3x - 2y = 5x - y = -> Tìm điều kiện để đường thẳng mx + 3y = m – phải qua giao điểm Dạng 7: Dạng tốn tìm điều kiện để giao điểm đường thẳng nằm góc phần tư Nhận xét: Với tốn trước hết học sinh phải nắm vững được: - Cách tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng - Giải biện luận hệ phương trình - Điều kiện để điểm nằm góc phần tư Ví dụ: Cho đường thẳng 2x + y = mx + 2y = Tìm điều kiện để giao điểm đường thẳng nằm góc phần tư thứ (II) Giải Tọa độ giao điểm đường thẳng nghiệm hệ phương trình: Giải biện luận hệ ta được: Khi m ≠ hệ phuowngtrinhf có nghiệm là: Tọa độ giao điểm I ( ) Để giao điểm I nằm góc phần tư thứ (II) thì: Dạng 8: Dạng tốn tìm điều kiện để giao điểm hai đường thẳng số nguyên VD: Cho hai đường thẳng mx + 2y = 2x + y = Tìm m nguyên để hai đường thẳng cát điểm có tọa độ số nguyên Hướng dẫn: - Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: - Tìm điều kiện để m nguyên, từ x nguyên y nguyên Bài toán 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: - Giải hệ phương trình theo tham số - Viết x, y hệ dạng: n + skkn với n, k nguyên 16 - Tìm m nguyên để f(m) ước k VD: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: HD Giải: để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm Để x, y số nguyên m + Ư(3) = Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 Bài tập: Bài Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: Bài a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = Bài Cho hệ phương trình: Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + =3 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m - Giải hệ phương trình theo m - Thay x = ;y= 2 vào hệ thức cho ta được: + + =3 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m = (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) Vậy m = ; m = Bài Cho hệ phương trình skkn 17 (1) 3x  2y    3mx  (m  5)y (m  1)(m  1) (2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - (3) Hướng dẫn - Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: - Do (x; y) nghiệm hệ phương trình thoả mãn (3) - Giải phương trình (3) ẩn m Đs: m = m = 2.3.3 Bài tập tự giải Bài : Giải hệ phương trình sau : a) b (Đề thi vào 10 năm 2017- 2018) (Đề thi vào 10 năm 2012- 2013) c) d) (Đề thi vào 10 năm 2013- 2014) Bài : Giải hệ phương trình sau : a) (Đề thi vào 10 năm 2018- 2019) b) c) d) (Đề thi vào 10 năm 2019- 2020) Bài 3: Giải hệ phương trình sau : a) b) c) d) Bài : Đặt ẩn phụ giải phương trình sau : a b c) Bài 5: Giải hệ phương trình sau a) b) c) Bài 6: Giải hệ phương trình sau a c b d Bài : Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm: a A(-1 ; 3) B(-1 ; -4) skkn 18 b M(1 ; 2) N(-1 ; -4) c P(2 ; 1) Q(1 ; 2) Bài 8: Cho f(x) = x2 + bx + c Tìm b c biết a) f(1) = ; f(–3) = b) f(x) có nghiệm ; –6 Bài : Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng quy điểm mặt phẳng tọa độ : a) 3x + 2y = ; 2x – y = mx + 7y = 11 b) y = 2x + ; y = x + ; y = (3 – 5m)x – 5m c) 3x + y = ; 2x + y = –4 (4m – 1)x + y = –1 Bài 10 : Tìm m n để (d) : y = (2b – a) x – 3(a + 5b), qua hai điểm : a) (2 ; 4) ; (–1 ; 3) b) (2 ; 1) ; (1 ; –2) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2021 - 2022, sau áp dụng nội dung sáng kiến, tơi đưa tốn với mức độ khó tương đương năm học 2020 - 2021 tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp 9, cụ thể: Giải hệ phương trình sau: a ; b ; c Kết thống kê ghi lại sau: Bảng 1: Thống kê kết học lực năm học 2020 - 2021 trước áp dụng đề tài Điểm số học sinh 9-10 Tổng số HS SL % SL % 55 10 18,18 25 45.45 7-9 1.82 5-7 3-5 Dưới SL % SL % SL % 17 3.63 30.91 Bảng 2: Thống kê kết học lực năm học 2021 – 2022 áp dụng đề tài Sĩ Lớp số Điểm số học sinh 9-10 SL % 7-9 SL 5-7 % SL % 3-5 Dưới SL % SL % Đối tượng 9A 30 3.3 30 16 53,3 13.4 0 Áp dụng đề tài 9B 31 0 19,4 17 54,8 25.8 0 Không áp dụng đề tài Qua số thống kê bảng trên, thấy rõ mức độ tiến rõ rệt hai lớp ban đầu có chất lượng học sinh Như bước đầu đánh giá thành công đề tài KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận : skkn 19 Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tơi nhận thấy việc giảng dạy giải tốn hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ tốn học, … Do giải dạng tốn lớp có nhiều học sinh có học lực yếu, trường THCS Ái Thượng, giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, phân loại dạng toán nắm dạng toán hệ phương trình Các tốn, ví dụ nêu lên chủ yếu tập đơn giản, bên cạnh giới thiệu thêm cho em tốn địi hỏi tính vận dụng tư suy luận để gây hứng thú tìm tịi dẫn đến u thích mơn học qua tốn giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Từ làm tiền đề cho học sinh học dạng tốn khác chương trình tốn THCS THPT sau Vì giáo viên cần phân tích kỹ bước giải, lưu ý rõ cho học sinh yêu cầu giải dạng toán để học sinh có kiến thức vững phục vụ cho việc giải tốn Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo Điều địi hỏi người giáo viên phải có lịng u nghề, u thương học sinh phải có lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh Với giải pháp nêu vận dụng vào trình hướng dẫn cho học sinh giải tốn dạng nhận thấy em nắm quy tắc giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số, phân loại dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng hệ phương trình, từ việc giải hệ phương trình tìm đáp số tốn xác khơng gặp phải khó khăn sai lầm gặp dạng tốn này, kích thích học sinh lịng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, kiểm tra kì thi, đặc biệt em có hứng thú học toán 100% em học sinh lớp biết sử dụng phương pháp thông thường cách thành thạo, 80% em có kỹ nắm vững thủ thuật giải dạng toán đơn giản, hệ phương trình nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó có tính vận dụng kiến thức kiến thức việc hình thành số kỹ q trình học tập giải tốn 3.2 Kiến nghị Với thành công đề tài hy vọng đề tài “Giải pháp giúp học sinh lớp trường THCS Ái Thượng giải hệ phương trình phương pháp cộng dạng toán áp dụng ” tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp em học sinh, đặc biệt em học sinh cuối cấp Cần quan tâm nhiều từ Ban giám hiệu nhà trường sở vật chất, thiết bị hỗ trợ dạy học Khi giáo viên đứng lớp cần quan tâm đến tâm lý, cảm xúc học sinh skkn 20 học sinh có học lực yếu Với kinh nghiệm thân hướng dẫn học sinh giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn cịn nhiều hạn chế Rất mong tổ chuyên môn nhà trường đồng nghiệp đọc có nhiều góp ý, phê bình th iết thực để đề tài phong phú, đầy đủ Tôi xin chân thành cảm ơn! Bá Thước, ngày 28 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG NGƯỜI VIẾT Lương Thị Liên Nguyễn Văn Cảnh skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Để học tốt toán (NXB Giáo dục) 2) Nâng cao phát triển toán (NXB Giáo dục) 3)Toán nâng cao chuyên đề đại số 9(NXB Giáo dục) 4) SGK Toán tập (NXB Giáo dục) 5) Sách tập toán tập (NXB Giáo dục) 6) Ôn tập đại số (NXB GD) 7) Ôn kiến thức luyện kỹ đại số (NXB Giáo dục) 8) Trọng tâm kiến thức phương pháp giải tập toán Tập (NXB Giáo dục) 9) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Cảnh Chức vụ đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Ái Thượng TT Tên đề tài SKKN Phát triển tư cho học sinh lớp 12 TTGDTX – BT thông qua toán lượng giác hoá Phát triển tư cho học sinh Bổ túc THPT thơng qua tốn tìm nghiệm hệ phương trình đối xứng loại I phương pháp “điều kiện cần đủ” Phát triển tư cho học sinh lớp 11 BTTHPT thơng qua tốn sử dụng quy tắc đếm Chương II, đại số giải tích 11 Phát triển tư cho học sinh BTTHPT thơng qua tốn sử dụng tính đơn điệu hàm số đặc trưng để giải hệ phương trình đại số Giải pháp giúp học sinh yếu, trường THCS Ái Thượng tiếp cận “Hệ thức Vi – ét ứng dụng” trong chương trình đại số skkn Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá Năm học xếp loại đánh giá (A, B, xếp loại C) Tỉnh B 2008 Tỉnh C 2011 Tỉnh C 2014 Tỉnh C 2017 Huyện C 2020 ... dạy giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Giải pháp rèn kỹ giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số cho học sinh lớp trường THCS Ái Thượng, huyện. .. nghĩa hệ phương trình bậc hai ẩn, cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn sau: 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ phương trình tương đương a Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình. .. phương pháp cộng đại số) : Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) Bước Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho c Một số