1 Câu 81 Cho các số phức 1z , 2z , 3z thỏa mãn 1 2 3 1z z z= = = Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1 2 2 3 3 1P z z z z z z= − + − + − A 9P = B 10P = C 8P = D 12P = Lời giải Chọn A Gọi ( )1 1;[.]
Câu 81 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = Tính giá trị lớn biểu thức P = z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 2 A P = B P = 10 C P = Lời giải D P = 12 Chọn A Gọi A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 z1 = z2 = z3 = suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính Ta có z1 − z2 = AB ; z2 − z3 = BC z3 − z1 = AC Suy ( P = z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = AB + BC + AC 2 ) ( ) ( = − ( OA + OB + OC ) = − ( 3OG ) ) ( 2 = AO + OB + BO + OC + AO + OC = − OAOB + OB.OC + OAOC 2 ) = − OG ( với G trọng tâm tam giác ABC ) Dấu “ = “ xảy G O , hay ABC Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn z + z + z − z 12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z − + 3i Giá trị M m bằng: B 24 A 28 C 26 D 20 Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi ; x; y Xét z + z + z − z 12 x + y Ta có: P = z − + 3i = (1) ( x − 4)2 + ( y + 3)2 ( 2) Tập hợp điểm biểu diễn z = x + yi ; x; y thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A ( 0;3) ; B ( −2;0 ) ; C ( 0; −3) ; D ( 2;0 ) tạo đường thẳng x + y = Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường tròn tâm I ( 4; −3) bán kính R = P P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: 3x − y − = tương ứng có m = 3.4 + 2.3 − +2 2 = 12 Điểm giao xa đỉnh A ( 0;3) 13 hình thoi Do M = 42 + 62 = 13 M m = 24 Câu 83 Xét số phức z , w thỏa mãn z = w = Khi z + w − + 12i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w A 11 B 13 C D Lời giải Chọn C Ta có z = z = ( z − + 12i ) + − 12i = Đặt z − + 12i = w1 w1 + −12i = M ( w1 ) thuộc đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( −9;12 ) bán kính R1 = w = −w = Đặt w = −w w = N ( w ) thuộc đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 0;0 ) bán kính R2 = I1I = 15 13 = R1 + R2 suy ( C1 ) ( C2 ) không cắt Min z + w − + 12i = Min w1 − w = MinMN = I1I − ( R1 + R2 ) = Dấu xảy I2 N M ( −3;4) w = z − + 12i = −3 + 4i z = − 4i I I = 21 3I N = I I1 21 28 21 28 21 28 w = − i w = − w = − + i N − ; 15 I M = I I I2M = 2 5 5 5 I I1 15 21 28 Vậy z − w = ( − 4i ) − − i = 5 Câu 84 (Mã 120-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn z = w = z − w = Giá trị nhỏ P = z + + i + w − + 4i A − 2 B − C 41 D 13 Lời giải Chọn D Từ z z − w = −1 = w z=w Đặt z w x z =1 w yi x, y 2 x = z = iw x + y = 2 y = 1 z = −iw x − + y = ( ) Trường hợp : z = iw P = iw + + i + w − + 4i = w − i + + w − + 4i = −w + i −1 + w − + 4i 5i − = 41 Trường hợp : z = −iw P = −iw + + i + w − + 4i = −w − i + + w − + 4i 3i − = 13 −w − i + = m ( 3i − 2) Min P = 13 đạt ( m, n 0) w − + 4i = n ( 3i − 2) Câu 85 (Mã 101-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn P = z − − i + w + − 5i Giá trị nhỏ A − B 29 − C 17 z = w =3 z−w =3 D Lời giải Chọn C z w =1 z = w = Ta có: (I) z − w = z − = = w w Đặt z = a + bi ( a, b w ) a = b = a + b = z = iw Từ (I) ta có: z = −iw ( a − 1) + b = a = b = −1 2 TH1: z = iw ta có: P = z − − i + w + − 5i = iw − − i + w + − 5i = −w − i + + w + − 5i − 6i P3 TH2: z = −iw ta có: P = z − − i + w + − 5i = −iw − − i + w + − 5i = − w + i − + w + − 5i − 4i P 17 Vậy giá trị nhỏ P 17 Câu 86 (Mã 111-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn z = w = z − w = Giá trị nhỏ biểu thức P = z + + i + w − + 5i bằng: A B 17 C 29 − D − Lời giải Chọn B z =1 z = w = w Cho z − w = z − = = w w TH1: z z = −1 = (Loại) w w a = z 2 = a + bi a + b = b =1 TH2: w 2 a, b ( a − 1) + b = a = b = −1 Ta xét: z = iw P = iw + + i + w − + 5i = −w −1+ i + w − + 5i −3 + 6i = 45 Ta xét: z = −iw P = −iw + + i + w − + 5i = w −1+ i + −w + − 5i 1− 4i = 17 Pmin = 17 Câu 87 (Mã 102-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thoả mãn z = w = z − w = Giá trị nhỏ P = z − − i + w + − 4i A 41 B − 2 C − D 13 Lời giải Chọn D Gọi M N điểm biểu diễn số phức z w z = w = Theo giả thiết nên ta suy M N nằm đường tròn ( C ) tâm O ( 0;0 ) bán z − w = kính R = độ dài MN = Vậy suy tam giác OMN vuông cân O suy OM ⊥ ON OM ON = Đặt z = a + bi M ( a; b ) OM = ( a; b ) ON = (b; − a ) ON = ( −b; a ) Vậy ta có w = −b + = iz w = b − = −iz Xét trường hợp TH1: w = −b + = iz ta có: P = z − − i + w + − 4i = z − − i + iz + − 4i = z − − i + − z + 3i + z − − i + ( − z + 3i + 4) = 13 TH2: w = b − = −iz ta có: P = z − − i + w + − 4i = z − − i + −iz + − 4i = z − − i + z + 3i + z − − i + − z − 3i − z − − i + ( − z − 3i − 4) = −5 − 4i = 41 Vậy giá trị nhỏ P = 13 Xác định z để P đạt giá trị nhỏ nhất: Gọi A (1;1) , B ( 4;3) giá trị nhỏ P = 13 xảy M = AB ( C ) nằm A B Câu 88 (Mã 102 - 2021 Lần 1) Xét số phức z, w thỏa mãn z = w = Khi z + iw + − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w A B 221 C D 29 Lời giải Chọn B Ta có z + iw + − 8i − 8i − z − iw = 10 − − = “ =” Dấu xảy 1 z = t ( − 8i ) z = − ( − 8i ) z = − ( − 8i ) z = − ( − 8i ) 10 10 10 iw = t ( − 8i ) , t , t 1 iw = − ( − 8i ) w = (8 + 6i ) w = (8 − 6i ) z = 1, w = 10 5 Khi z − w = 221 Câu 89 (Mã 104 - 2021 Lần 1) Xét số phức z; w thỏa mãn z = w = Khi z + iw + + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng: A 29 B 221 C D Lời giải Chọn B Do w = nên iw = iw = i w = Ta có: z + iw + + 8i + 8i − z − iw = 1 k = − 10 k = − 10 z = k ( + 8i ) ( k ) m = − m = − iw = m + i m ( ) ( ) 5 Dấu xảy z = z = − − i z = − − i iw = 5 5 8 iw = − − i w = + i 5 5 221 Khi z − w = − − i − − i = 5 5 Câu 90 (Mã 101-2021-Lần 1) Xét số phức z , w thỏa mãn z = w = Khi z + iw − − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w A 221 B C D 29 Lời giải Chọn D Đặt z = a + bi , w = c + di với a , b , c , d 2 z =1 a + b = Theo giả thiết (*) c + d = w =2 Ta có z + iw − − 8i = a + bi + i ( c − di ) − − 8i = a + d − + (b + c − 8) i ( a + d − 6)2 + (b + c − 8)2 = ( −a − d + 6)2 + ( −b − c + 8)2 = Khi ( −a − d + 6)2 + ( −b − c + 8)2 + a + b2 + d + c ( 6)2 + (8)2 = 10 ( −a − d + 6)2 + ( −b − c + 8)2 + 10 ( a + d − 6)2 + (b + c − 8)2 Dấu “=” xảy a = , b = , c = , d = thỏa mãn (*) 5 5 Vậy z + iw − − 8i đạt giá trị nhỏ 29 Khi z = + i , w = + i Suy z − w = −1 − i z − w = 5 5 5 Câu 91 Xét số phức z , w thỏa mãn z = w = Khi z − ( 3i − 4) w + 15 + 8i đạt giá trị lớn nhất, z − w A 2357 12 B 37645 85 C 1226 D 5421 17 Lời giải Chọn B Ta có z = ( z + 15 + 8i ) − 15 − 8i = Đặt z + 15 + 8i = w1 w1 − 15 − 8i = M ( w1 ) thuộc đường tròn ( C1 ) có tâm I1 (15;8) bán kính R1 = w = w = 3i − w = 3i − ( 3i − 4) w = Đặt w2 = (3i − 4) w w2 = N ( w ) thuộc đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 0;0 ) bán kính R2 = I1I = 17 = R1 + R2 suy ( C1 ) ( C2 ) không cắt Max ( z + 15 + 8i ) − ( 3i − 4) w = Max w1 − w = MaxMN = I1I + ( R1 + R2 ) = 24 Dấu xảy 75 40 NI 75 40 N − 17 ; − 17 w = ( 3i − ) w = − − i I I = 17 17 NI = 5I I 21 17 17 2 17MI1 = 2I1I M 285 ; 152 MI1 = w = z + 15 + 8i = 285 + 152 i I1I 17 17 17 17 17 36 77 w = − i 85 85 30 16 z = + i 17 17 37645 30 16 36 77 Vậy z − w = + i − − i = 85 17 17 85 85 Câu 92 Xét số phức z , w thỏa mãn z = w = Khi iz + w − − 4i đạt giá trị lớn nhất, z − w A 106 B 21 C 26 D 131 Lời giải Chọn A Ta có z = iz = ( iz − − 4i ) + + 4i = Đặt iz − − 4i = w1 w1 + + 4i = M ( w1 ) thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( −3; −4) bán kính R1 = w = w = −w = Đặt w2 = −w w2 = N ( w ) thuộc đường tròn ( C2 ) có tâm I ( 0;0 ) bán kính R2 = I1I = = R1 + R2 suy ( C1 ) ( C2 ) không cắt ( ) Max iz + w − − 4i = Max ( iz − − 4i ) − −w =Max w1 − w = MaxMN = I1I + ( R1 + R2 ) = Dấu xảy 3 4 NI 4 w = −w = + i w=− + i N ; I I = 5NI = I I 21 5 5 2 5MI1 = 3I1I M − 24 ; −32 w = iz − − 4i = − 12 + i z = − 12 + i MI1 = 5 5 5 I1I 106 12 Vậy z − w = − + i − − + i = 5 5 Câu 93 (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Xét số phức z, w thoả mãn z = w = Khi z + iw − + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w A B 29 C D 221 Lời giải Chọn D z + iw − + 8i − 8i − z + iw = 10 − z + iw , ( ) ( ) 10 − z + iw 10 − z + iw = 10 − z + w = − 8i z = 10 z + iw − + 8i đạt giá trị nhỏ i w = − 8i = − 8i 10 − 4i z = − 4i 221 z−w = −− + i = 5 5 w = − − i 5 Câu 94 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2021) Xét số phức z , w thỏa mãn z − 2w = 3z + w = Khi z − 3w + i đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị z − w + ? A 17 B C D 170 Lời giải Chọn D 5z − 3w + i 5z − 3w − i = z − 4w + 3z + w − z − 4w − 3z + w − = − − = Dấu "=" xảy khi: mi 3z + w = − ( 3z + w)(1 − n ) = −mi 5z − 3w = −mi; m 1− n 2 z − 4w = −n ( 3z + w) ; n ( z − 4w)(1 − n ) = nmi z − 2w = nmi (1 − n ) Do đó: z − 2w = nmi nm =4 = (1) (1 − n ) 1− n 10 ... ( ) +) 4OA + AB OC 4OA + AB OC = 19. 5 = 10 19 Từ đó: P2 19 +10 19 + 25 = ( ) 19 + P 19 + Vậy giá trị lớn P = 19 + Câu 97 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần - 2021) Xét số phức z thỏa mãn... iw − + 8i − 8i − z + iw = 10 − z + iw , ( ) ( ) 10 − z + iw 10 − z + iw = 10 − z + w = − 8i z = 10 z + iw − + 8i đạt giá trị nhỏ i w = − 8i = − 8i 10 − 4i z = − 4i 221... 10 10 10 iw = t ( − 8i ) , t , t 1 iw = − ( − 8i ) w = (8 + 6i ) w = (8 − 6i ) z = 1, w = 10 5 Khi z − w = 221 Câu 89 (Mã 104 - 2021 Lần