TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Dạng 2 Cực trị 1 Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh[.]
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489 Dạng Cực trị Một số bất đẳng thức Kết Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn Kết Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn Như hình vẽ ta ln có AM AH Kết Với ba điểm A, B, C ta ln có bất đẳng thức AB BC AC Tổng quát ta có bất đẳng thức đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 , An ta ln có A1 A2 A2 A3 An 1 An A1 An x y xy Đẳng thức xảy x y Kết Với hai số khơng âm x, y ta ln có Kết Với hai véc tơ a, b ta ln có a.b a b Đẳng thức xảy a kb, k Một số toán thường gặp Bài toán Cho điểm A cố định điểm M di động hình H ( H đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ AM Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên hình H Khi đó, tam giác AHM Vng M ta có AM AH Đẳng thức xảy M H Do AM nhỏ M hình chiếu A lên H Bài toán Cho điểm A mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M điểm di động S Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn AM Lời giải Xét A nằm mặt cầu ( S ) Gọi M1 , M giao điểm đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM AM ( ) mặt phẳng qua M đường thẳng AI Khi ( ) cắt ( S ) theo đường trịn lớn (C ) Ta có M 1MM 90 , nên AMM AM1M góc tù, nên tam giác AMM AMM ta có AI R AM AM AM AI R Tương tự với A nằm mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy AM | AI R |, max AM R AI Bài toán Cho măt phẳng ( P) hai điểm phân biệt A, B Tìm điể M thuộc ( P) cho Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ MA MB nhỏ | MA MB | lớn Lời giải Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm hai phía so với ( P) Khi AM BM AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) - TH 2: Nếu A B nằm phía so với ( P) Gọi A đối xứng với A qua ( P) Khi AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm phía so với ( P) Khi | AM BM | AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) - TH 2: Nếu A B nằm khác phía so với ( P) Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Bài toán Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A cách B khoảng lớn Lời giải Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng ( P), d( B, ( P)) BH BA Do P mặt phẳng qua A vng góc với AB Bài tốn Cho số thực dương , ba điểm A, B, C Viết phương trình măt phẳng ( P) qua C T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ Lời giải Xét A, B nằm phía so với ( P) - Nếu AB‖ ( P) P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) I Gọi D điểm thỏa mãn IB ID E trung điểm BD Khi IB d( D, ( P)) 2 d( E, ( P)) 2( ) EC ID Xét A, B nằm hai phía so với ( P) Gọi I giao điểm AB ( P ), B điểm đối xứng với B qua I Khi P d( A, ( P)) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 P d( A, ( P)) d B , ( P) Đến ta chuyển trường hợp So sánh kết ta chọn kết lớn Bài toán Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tổng khoảng cách từ điểm Ai (i 1, n ) lớn Lời giải - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm phía so với ( P ) Gọi G trọng tâm n điểm cho Khi n d A ,( P) nd(G, ( P)) nGA i i 1 - Trong n điểm có m điểm nằm phía k điểm nằm phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G1 trọng tâm m điểm, G2 trọng tâm k điểm G3 đối xứng với G1 qua A Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) Đến ta chuyển tốn Bài tốn 7.Viết phương trình mặt phẳng P qua đường thẳng cách A khoảng lớn Lời giải Gọi H , K hình chiếu A lên mặt phẳng ( P) đường thẳng Khi d( A, ( P)) AH AK Do ( P) mặt phẳng qua K vuông góc vói AK Bài tốn Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A1 , A2 ,, An Xét véc tơ w 1 MA1 M A2 n M An Trong 1; n số thực cho trước thỏa mãn 1 n Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) cho | w | có dài nhỏ Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn 1GA1 GA2 n GAn (điểm G hoàn toàn xác định) Ta có MAk MG GAk vói k 1;2;; n, nên w 1 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 n MG Do | w | 1 n | MG | Vi 1 n số khác không nên | w | có giá trị nhỏ MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn Trong khơng gian Oxy z, cho diểm A1 , A2 ,, An Xét biểu thức: T 1MA12 MA22 n MAn2 Trong 1 , ,, n số thực cho trước Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) cho T giá trị nhỏ biết 1 n T có giá trị lớn biết 1 n Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn 1GA1 GA2 n GAn Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ MAk2 MG GAk MG MG GAk GAk2 Do T 1 n MG 1GA12 2GA22 n GAn2 Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 n T đạt giá trị nhỏ MG nhỏ • với 1 n T đạt giá trị lớn MG nhỏ Mà M ( P) nên MG nhỏ điểm M hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) cắt Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng ( P) góc nhỏ Lời giải Gọi I giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( P) lấy điểm M d , M I Gọi H , K lầ lượt hình chiếu M lên ( P) giao tuyến ( P) (Q) , Đặt góc ( P) (Q), ta có MKH HM HM HK HI Do (Q) mặt phẳng qua d vng góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) qua M nhận nP ud ud làm VTPT Chú ý Ta giải toán phương pháp đai số sau: - Goi n (a; b; c), a b c VTPT mặt phẳng (Q) Khi n ud từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) - Gọi góc ( P) (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP tan b với t , c Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) c Bài tốn 11 Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d chéo Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d tạo với d góc lớn Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M dựng đường thẳng qua M song song với d Khi góc ( P) góc d ( P) Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H K hình chiếu A lên ( P) d , góc ( P) HM KM Khi AMH cos AM AM Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Suy ( P) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng ( AMK ) Do dó ( P) qua M nhận ud ud ud làm VTPT Chú ý Ta giải toán phương pháp đại số sau: - Goi n (a; b; c), a b c VTPT măt phẳng ( P ) Khi n ud từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) - Gọi góc ( P) d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud b với t , c Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) c Dạng 2.1 Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích Câu (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2; , B 0;1; mặt 2 cầu S : x 1 y z 3 25 Mặt phẳng P : ax by cz qua A, B cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c A T B T C T Lời giải Chọn A D T Mặt cầu S có tâm I 1; 2; bán kính R A P 3a 2b 6c a 2c Ta có b b B P Bán kính đường trịn giao tuyến r R d I ; P 25 d I ; P Bán kính đường trịn giao tuyến nhỏ d I ; P lớn Ta có d I , P Xét f c a b 3c a2 b2 c c 4 2c 3c 2c 5c 8c c 4 5c 8c 22 c2 48c 144c 192 f c 5c 8c c 4 5c 8c c f c c 4 Bảng biến thiên x y' y 4 5 Vậy d I ; P lớn c a 0, b a b c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng P qua điểm M 1;1;1 cắt tia Ox , Oy , Oz A a;0;0 , B 0; b; , C 0;0;c cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Khi a 2b 3c A 12 B 21 C 15 Lời giải Từ giả thiết ta có a 0, b 0, c thể tích khối tứ diện OABC VOABC Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng P có dạng D 18 abc x y z a b c 1 a b c Mà M P Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số ta có: 1 1 33 abc 27 a b c abc abc Đẳng thức xảy a b c a b c Khi a 2b 3c 18 Do VOABC Vậy m inVOABC Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , M 1;1;1 Mặt phẳng P thay đổi qua AM cắt tia Oy , Oz B , C Khi mặt phẳng P thay đổi diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Lời giải Chọn B Đặt B 0; b ;0 , C 0;0; c với b, c x y z b c 1 1 1 M P b c b c Phương trình mặt phẳng P Suy 1 bc 16 b c bc 2 S ABC AB; AC b c 4b2 4c2 2 2 b c 8bc 162 8.16 Vậy S ABC , đạt b c Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y z 3 , điểm A 0;0; Mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo thiết diện hình trịn C có diện tích nhỏ nhất, phương trình P là: A P : x y z B P : x y z C P : x y z D P : x y z Lời giải Chọn D Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Ta có IA R A nằm mặt cầu S Do mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo thiết diện hình trịn C có bán kính r R IH (với H hình chiếu I 1; ;3 P ) Ta ln có IA IH R IH R IA2 r R IA2 Diện tích hình trịn C nhỏ bán kính r nhỏ nhất, tức r R IA2 H A Khi IA P mặt phẳng P nhận IA 1; 2; 1 làm VTPT Vậy phương trình mặt phẳng P : x y z x y z Câu (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 (S ) : x 1 y z 3 27 Gọi mặt phẳng qua điểm A 0; 0; 4 , B 2;0;0 cắt S theo giao tuyến đường trịn C cho khối nón có đỉnh tâm S , hình trịn C tích lớn Biết mặt phẳng có phương trình dạng ax by z c , a b c bằng: A B C Lời giải D -4 Chọn D + Vì qua A ta có: (4) c c 4 + Vì qua B ta có: 2a c a : x by z + Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , R 3 + Chiều cao khối nón: h d I , 2b 4 b2 2b b2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2b 2b +Bán kính đường trịn: r R h 27 27 b 5 b 5 2 2b 2b + Thể tích khối nón: V r h 27 3 b b + Tới ta Thử trường hợp đáp án Hoặc ta làm tự luận sau: Đặt t 2b b 5 xét hàm số f t 27 t t đoạn 0;3 t Ta có: f t 27 3t ; f t Ta có bảng biến thiên: t 3 l Do thể tích khối nón lớn 2b 2 t 3 4b 20b 25 9b 45 b 5 5b2 20b 20 b Vì a b c 4 Câu 5 7 5 7 ; ;3 , B ; ;3 mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2 (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 Xét mặt phẳng ( P ) : ax by cz d , a, b, c, d : d 5 mặt phẳng thay đổi qua hai điểm A, B Gọi ( N ) hình nón có đỉnh tâm mặt cầu ( S ) đường tròn đáy đường tròn giao tuyến ( P ) ( S ) Tính giá trị T a b c d thiết diện qua trục hình nón ( N ) có diện tích lớn A T B T C T Lời giải D T 12 Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Có IA IB nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) 5 AB 3; 3;0 1; 1;0 a , M ; ;3 trung điểm AB 2 2 Gọi a (1; 1;0) n ( a; b; c) với a b c vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) 5 I ( P ) d 6a 3c a b 3c d Vì A, B ( P ) nên có 2 a b a.n a b Gọi h d I ,( P) , (C ) ( P ) ( S ) , r bán kính đường trịn (C ) r R2 h2 h2 Diện tích thiết diện qua trục hình nón ( N ) h h2 S h.2r h h2 2 max S h2 h2 h h d I ,( P) a 2b 3c d a c a2 c2 a c a b2 c2 Nếu a c b a; d 9 a ( P ) : ax ay az - a x y z (nhận) Nếu a c b a; d 3a ( P ) : ax ay az - 3a x y z (loại) Vây T a b c d Câu (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0; 1; 1 , B 1; 3;1 Giả sử C, D hai điểm di động mặt phẳng P :2 x y z cho CD A, C , D thẳng hàng Gọi S1 , S diện tích lớn nhỏ tam giác BCD Khi tổng S1 S có giá trị bao nhiêu? A 34 B 37 11 Lời giải C D 17 Chọn A Ta có AB 1; 2; Gọi H hình chiếu B CD ta có BH BA nên S BCD lớn H A Vậy S1 1 BA.CD 3.4 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gọi H1 hình chiếu B mặt phẳng P SBCD 1 BH1.CD d B; P CD 2 điều xảy A, C , D, H1 thẳng hàng Vậy S 1 2 16 d B, P CD 2 Khi S1 S2 Câu 16 34 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y z điểm A 0;1;1 ; B 1; 0; ( A B nằm mặt phẳng P ) mặt cầu 2 S : x y 1 z CD đường kính thay đổi S cho CD song song với mặt phẳng P bốn điểm A, B , C , D tạo thành tứ diện Giá trị lớn tứ diện A B C 2 Lời giải D Chọn C Mặt cầu S có tâm I 2; 1; , mặt phẳng P có VTPT n (1; 1; 2) Gọi điểm C x; y; z , ta có C ( S ) nên 2 x 2 y 1 z 2 (1) Do CD đường kính mặt cầu (S) nên I trung điểm CD , suy D x; y 2; z Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng P nên IC n IC n x ( y 1) 2( z 2) (2) Ta có: AB 1; 1; 1 ; AC x; y 1; z 1 ; AD x; y 3;3 z AC ; AD y z 6; 2 x z 4; 4 x y AB AC ; AD y z (1) 2 x z (1).(4 x y 4) x y Thể tích khối tứ diện ABCD là: V AB AC ; AD x y x a Đặt y b Từ (1) (2) ta có hệ: z c a b 2c a b c 5c a b c ab V x y x y a b (a b) 4ab 4c 2(4 5c ) 6c 2 Vậy GTLN V 2 z x 2; y 1 2; z x y 1 x 2; y 2; z 2 x y 1 z Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ r AH AM MH h2 24 h 4 Thể tích khối trụ: 24 h V r h h 24 h h 4 24 h 24 h 24 h Ta có: h2 3 h 2 2 24 h 24 h 24 h 3 h h 512 h 16 V 4 24 h h h 2 MH MK Dấu " " xảy Gọi vng góc với IJ cách tâm M mặt cầu khoảng : x y z d Có d M , Mà d M , 2.1 d 12 2 1 1 d d 1 d d Nhận xét mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy mặt phẳng Khơng tính tổng quát gọi d1 3; d d12 d 22 26 Câu 20 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c với 10 ngoại tiếp tứ diện O ABC Khi tổng OA OB OC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng qua tâm I mặt cầu S song song với mặt a 4, b 5, c mặt cầu S có bán kính phẳng OAB có dạng mx ny pz q ( với m,n,p,q ; q phân số tối giản) Giá trị p T = m + n + p + q A B C Lời giải D 5 Chọn D Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC R a b c 10 a b c 90 2 Ta có P OA OB OC a b c Đặt x a 0, y b 0, z c Khi 2 a b2 c x y 5 z x y z 8x 10 y 12 z 77 90 x y z x 10 y 12 z 13 T x y z 12 x y z x y z x 10 y 12 z xy yz zx x y Vì x y z x 10 y 12 z 13 x, y, z nên x y z 12 x y z 13 x y z a b c a b c 16 OA OB OC min 16 Dấu “ = ” xảy a 4, b 5, c Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Suy ra, A 4; 0; , B 0;5; , C 0; 0; Gọi mặt cầu S : x y z 2ax 2by 2cz d Vì A 4; 0; , B 0;5; , C 0; 0; , O 0; 0; nên ta có hệ a 16 a d b 25 10b d 47 14 z d c d d 7 Tâm mặt cầu S I 2; ; 2 Mặt phẳng song song với mặt phẳng OAB Oxy : z : z e 7 7 Vì I 2; ; thuộc nên e e 2 2 Suy ra, z m 0; n 0; p 2; q 7 T= m + n + p + q = -5 Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C 1; 2;11 , H (1; 2; 1) , hình nón N có đường cao CH h bán kính đáy R Gọi M điểm đoạn CH , C thiết diện mặt phẳng P vng góc với trục CH M hình nón N Gọi N khối nón có đỉnh H đáy C Khi thể tích khối nón N lớn mặt cầu ngoại tiếp nón N có tọa độ tâm I a; b, c , bán kính d Giá trị a b c d A B C Lời giải D 6 Chọn C Đặt HM x , x h Gọi I , R, r tâm bán kính đường trịn đáy nón ( N ) , bán kính đường trịn C Khi ta có CH h 12 chiều cao ( N ), R Khi C , I , H thẳng hàng ( I nằm C, H ) Do tam giác CEM ∽ CQH nên R h x EM CM QH CM r EM FM EM QH CH h CH Thể tích khối nón đỉnh O đáy C R h x 1 R2 V EM HM x h x x h h Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ R2 Ta có Xét hàm số f x h x x , x h h R R2 h f x h x h x ; f x h x h x x h h Lập bảng biến thiên ta có Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O đáy C lớn x h Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào 1 h x h x 2x ( h x )( h x)2 x ( ) với x h Dấu "=" xảy 2 h ba số ( h x) ( h x) x x h R.CM R.(h x) Khi HM x , r 2 MF h h Gọi P giao điểm HM với mặt cầu ngoại tiếp nón N Ta có HFP vng h x 2 x (h x)(h x) x F HF HM HP HM MF HM HP 16 2 4.HP HP d HI HC HI HC I ( 1; 2; 2) 4 Vậy a b c d 2 Câu 22 Trong hệ trục Oxyz , cho hai mặt cầu S1 : x 1 y 3 z 49 2 S2 : x 10 y 9 z 2 400 mặt phẳng P : x y mz 22 Có số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu S1 , S theo giao tuyến hai đường trịn khơng có tiếp tuyến chung? A B 11 C Vô số D Lời giải Chọn D Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... ( P2 ) : 4 x y z Thay đáp án, ta thấy đáp án D nằm trêm ( P1 ) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 TÀI LIỆU... Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Có IA IB nên A, B thuộc mặt cầu (... 2 x y 1 z Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 Câu TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Trong không