Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ 1 Môđun của số phức ▪ Số phức z a bi= + được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM[.]
CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức: ▪ Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b2 ▪ Tính chất • z 0, z , z = z = z z = , ( z ' 0) • z − z ' z z ' z + z ' • z' z' • z = a + b2 = zz = OM • z.z ' = z z ' • kz = k z , k Chú ý: z = a2 − b2 + 2abi = (a2 − b2 )2 + 4a2b2 = a + b2 = z = z = z.z Lưu ý: • z1 + z2 z1 + z2 dấu xảy z1 = kz2 ( k 0) • z1 − z2 z1 + z2 dấu xảy z1 = kz2 ( k 0) • z1 + z2 z1 − z2 dấu xảy z1 = kz2 ( k 0) • z1 − z2 z1 − z2 dấu xảy z1 = kz2 ( k 0) • z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 z =z z=z • ( 2 2 ) z 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax + by + c = (1) z − a − bi = z − c − di (2) ( x − a )2 + ( y − b )2 = R2 Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax + by + c = (2) Đường trung trực đoạn AB với ( A ( a, b ) , B ( c, d ) ) Đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi = R ( x − a )2 + ( y − b )2 R2 Hình trịn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi R r ( x − a ) + ( y − b ) R2 2 r z − a − bi R y = ax2 + bx + c ( c 0) x = ay + by + c ( x + a )2 + ( y + c )2 = 1 () 2 b d z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = 2a ( x + a )2 − ( y + c )2 = b2 Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I ( a; b ) , bán kính r , R Parabol (1) Elip ( 2) Elip 2a AB , A ( a1 , b1 ) , B ( a2 , b2 ) Đoạn AB 2a = AB Hypebol d2 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng Trang TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Min Khi ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a; b ) 1 2 z Min = z0 = a + b ✓ z = a + b i 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Tìm z Ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c; d ) ✓ z Min = d ( O, AB ) = a + b2 − c − d 2 ( a − c )2 + ( b − d )2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a − bi = z − c − di z − a + bi = z − c − di ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi −a − bi −c − di = z+ z + b + = z + d + ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn iz − a − bi = iz − c − di z + TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R ( z − z0 = R ) Tìm z Max , z Min Ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R 2 z Max = OI + R = a + b + R = z0 + R ✓ 2 z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng −a − bi R = (Chia hai vế cho i ) Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = R z + i i z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R z − a + bi = R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện −a − bi R R = = ( c + di ) z − a − bi = R z + c + di c + di c + d2 Hay viết gọn z0 z − z1 = R z − z1 R (Chia hai vế cho z0 ) = z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a , ( a c ) Khi ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z Elip: Trang x2 y2 + =1 a2 a2 − c2 z Max = a ✓ 2 z Min = a − c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z1 + z − z2 = 2a Thỏa mãn 2a z1 − z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z − z1 + z − z2 = 2a , ( z1 − z2 2a ) z1 , z2 c, ci ) Tìm Max, Min P = z − z0 z1 − z2 = 2c 2 b = a − c Đặt Nếu z0 − z1 + z2 =0 PMax = a (dạng tắc) PMin = b z1 + z2 a z0 − Nếu z − z = k ( z − z ) z1 + z2 PMax = z0 − + a P = z − z1 + z2 − a Min z +z PMax = z0 − + a z1 + z2 a z0 − Nếu z − z = k ( z − z ) Nếu z0 − z1 = z0 − z2 Câu PMin = z0 − (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z = a + bi z1 + z2 −b ( a, b ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = a + b z + − 3i + z − + i đạt giá trị lớn A P = B P = 10 C P = Lời giải D P = Chọn B Goi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z Theo giả thiết ta có: z − − 3i = ( a − ) + ( b − 3) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z đường trịn tâm I ( 4;3) bán kính R = Trang A ( −1;3) Gọi: Q = z + − 3i + z −1 + i = MA + MB B 1; − ( ) Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường tròn D Ta có: Q2 = MA2 + MB + 2MA.MB ( Q2 MA2 + MB2 + MA2 + MB2 = MA2 + MB2 ) Vì ME trung tuyến MA2 + MB2 AB AB 2 2 − MA + MB = 2ME + MAB ME = AB2 2 Q2 2ME + = 4ME + AB Mặt khác ME DE = EI + ID = + = ( ) Q2 + 20 = 200 MA = MB Q 10 Qmax = 10 M D 4 = 2( xD − 4) xD = EI = 2ID M ( 6;4 ) P = a + b = 10 2 = 2( yD − 3) yD = Cách 2:Đặt z = a + bi Theo giả thiết ta có: ( a − ) + ( b − 5) = 2 a − = sin t Đặt Khi đó: b − = cos t Q = z + − 3i + z −1 + i = = ( ) ( a + 1)2 + (b − 3)2 + ( a −1)2 + (b + 1)2 sin t + + 5cos2 t + ( ) ( sin t + + cos t + ) = 30 + 10 sin t + 30 + (3sin t + 4cos t ) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: ( ) ( ) Q 60 + ( 2sin t + cos t ) 60 + 5 = 200 = 10 Q 10 Qmax = 10 sin t = Dấu xảy cos t = Câu 2 a = P = a + b = 10 b = (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + i Tính P = m + M A P = + 73 B P = + 73 C P = Lời giải Chọn A Trang + 73 D P = 13 + 73 D A H E N Gọi A điểm biểu diễn số phức z , E ( −2;1) , F ( 4;7 ) N (1; −1) Từ AE + AF = z + − i + z − − 7i = EF = nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi H hình chiếu N lên EF , ta có H − ; Suy P = NH + NF = 2 3 Câu + 73 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z −1 = 34, z +1 + mi = z + m + 2i (trong m số thực) cho z1 − z2 lớn Khi giá trị z1 + z2 A B 10 C Lời giải D 130 Chọn C Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Gọi z = x + iy, ( x, y ) Ta có z −1 = 34 M , N thuộc đường tròn ( C ) có tâm I (1;0 ) , bán kính R = 34 Mà z + + mi = z + m + 2i x + yi + + mi = x + yi + m + 2i ( x + 1)2 + ( y + m)2 = ( x + m)2 + ( y + 2)2 ( m − 1) x + ( m − ) y − = Trang Suy M , N thuộc đường thẳng d : ( m − 1) x + ( m − ) y − = Do M , N giao điểm đường thẳng d đường trịn ( C ) Ta có z1 − z2 = MN nên z1 − z2 lớn MN lớn MN đường kính ( C ) Khi z1 + z2 = 2OI = Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: A −2 −1 B C + Lời giải D 5+2 Cách 1: Đặt w = z − i z = w + i Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z − − 2i = ta được: w + i − − 2i = w − − i = ( x − 2) + ( y − 1) i = ( x − 2) + ( y − 1) = 2 Suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn cho số phức w đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) bán kính R = Giả sử OI cắt đường tròn ( C ) hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w = OM Mà OM + MI OI OM + MI OA + AI OM OA Nên w nhỏ OA = OI − IA = − M A Cách 2: Từ z − − 2i = ( a − ) + ( b − ) = với z = a + bi ( a, b 2 ) a − = sin x; b − = cos x a = + sin x, b = + cos x Khi đó: z − i = + sin x + ( + cos x ) i − i = 6− (4 ( + sin x )2 + (1 + cos x )2 + 22 )( sin x + cos x ) = − = ( ) = + ( 4sin x + 2cos x ) −1 = −1 sin x = − 4cos x = 2sin x Nên z − i nhỏ − 4sin x + 2cos x = −2 cos x = − 5 5 Ta z = − + − i 5 Cách 3: Trang Sử dụng bất đẳng thức z1 − z2 z1 + z2 z1 + z2 z − i = ( z − − 2i ) + ( + i ) z − − 2i − + i = − Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2z + i M với z số phức khác thỏa mãn z Tính tỉ số m z M M M M A B C D = = = = m m m m P = Lời giải 2z − i 2z + i 2z + i 2z + i 1 = P 2− P 2+ P Ta có P = z z z z z z 2 Vậy Câu M = m Cho số phức z thoả mãn z − − 3i = Tìm giá trị lớn z + + i A 13 + C 13 + Lời giải B 13 + D 13 + Chọn C Ta có = z − − 3i = ( z − − 3i ) ( z − − 3i ) = ( z − − 3i )( z − + 3i ) = ( z − − 3i )( z − + 3i ) z − + 3i = 1` z + + i − + 2i = 1(*) +Đặt w = z + + i , w − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + + i đường tròn ( I ;1) w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường tròn Do giá trị lớn w đoạn OQ w max = + 32 + 22 = + 13 Câu Xét tất số phức z thỏa mãn z − 3i + = Giá trị nhỏ z + − 24i nằm khoảng nào? A ( 0;1009) B (1009;2018) C ( 2018;4036 ) D ( 4036; + ) Lời giải Ta có = z − 3i + z − 3i − = z − −1 z − z Đặt z0 = − 3i z0 = 5, z02 = − 24i 2 ( Ta có A = z + − 24i = z + zo = z + zo ( ) )( z Mà ( z + zo ) z + zo = z.zo + zo z = − z − zo 2 + zo )= z ( ) + zo + z.zo + zo z − z.zo 2 Trang ( Suy A = z + zo + − z − zo 4 ) − z.z 2 o = z − z + 1201 Hàm số y = 2t − 2t + 1201 đồng biến 4;6 nên A 2.44 − 2.42 + 1201 = 1681 z =4 Dấu xảy z + − i = Do z + − 24i nằm khoảng (1009;2018) Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z + z + z − z = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P = z − − 2i Đặt A = M + m Mệnh đề sau đúng? A A ( ) 34;6 ( ) B A 6; 42 ( ) C A 7; 33 ( ) D A 4;3 Lời giải Giả sử: z = x + yi, ( x, y ) N ( x; y ) : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z + z + z − z = x + y = N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C -2 O x D -2 • P = z − − 2i P = ( x − 2)2 + ( y − 2)2 P = d ( I ; N ) với I ( 2;2) Từ hình ta có: E (1;1) M = Pmax = ID = 42 + 22 = m = Pmin = IE = Vậy, A = M + m = + Câu ( ( −1)2 + ( −1)2 = ) 34;6 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 20 Gọi M , n môđun lớn nhỏ z Tính M − n A M − n = B M − n = C M − n = Lời giải Gọi z = x + yi , ( x, y ) Theo giả thiết, ta có z − + z + = 20 x − + yi + x + + yi = 20 Trang D M − n = 14 ( x − 6)2 + y2 + ( x + 6)2 + y2 = 20 () Gọi M ( x; y ) , F1 ( 6;0 ) F2 ( −6;0) Khi () MF1 + MF2 = 20 F1F2 = 12 nên tập hợp điểm E đường elip ( E ) có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20 Ta có c = ; 2a = 20 a = 10 b2 = a − c = 64 b = x2 y2 + =1 100 64 Suy max z = OA = OA' = 10 z = 10 z = OB = OB' = z = 8i Do đó, phương trình tắc ( E ) Vậy M − n = Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z − + 4i = w = z + − i Khi w có giá trị lớn A + 74 B + 130 C + 130 Lời giải D 16 + 74 Theo bất đẳng thức tam giác ta có w = z + − i = ( z − + 8i ) + ( − 9i ) z − + 8i + − 9i = + 130 Vậy giá trị lớn w + 130 Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z + 4i − A 34 B C D 13 Lời giải Gọi z = x + yi , x, y Khi z = x − yi , M ( x; y ) , M ( x; − y ) Ta đặt w = z ( + 3i ) = ( x + yi )( + 3i ) = ( x − y ) + (3x + y ) i N ( x − y;3x + y ) Khi w = z ( + 3i ) = ( x − y ) − ( 3x + y ) i N ( x − y; −3x − y ) Ta có M M ; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhật yM = yN yM = yN Suy y = 3x + y y = −3x − y Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng: d1 : x + y = d2 : 3x + y = Đặt P = z + 4i − = ( x − 5)2 + ( y + 4)2 Ta có P = MA với A ( 5; −4 ) Trang , d ( A; d2 ) = , 34 Pmin MAmin MA = d ( A; d1 ) MA = d ( A; d2 ) Mà d ( A; d1 ) = Pmin = d ( A; d1 ) = Câu 12 Biết số phức z thỏa mãn iz − = z − − i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: A B 5 C − D − Lời giải Đặt z = x + yi ( x , y ) Khi iz − = z − − i x2 + ( − y − 3) = ( x − 2)2 + ( y −1)2 x + y + = x = −2 y − (1) 2 Lại có z = x + y ( ) Thay (1) vào ( ) ta được: 2 z = x + y = ( −2 y −1) + y = y + y + = 5 y + + 5 5 2 Dấu đẳng thức xảy y + Thay y = − 2 2 =0 y=− 5 vào (1) suy x = − 5 Vậy phần thực số phức z − Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z − − 3i = Số phức z mà z − nhỏ A z = + 5i B z = + i Gọi z = x + yi , x, y C z = + 3i D z = − i Lời giải Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Theo ta có z − − 3i = ( x − 1) + ( y − 3) = 2 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I (1; 3) bán kính R = Khi z − = Trang 10 ( x −1)2 + y = I M với I (1; ) ... − BH = ? ?9 AH 10 10 10 10 10 10 Nên H thuộc đoạn AB z nhỏ OM nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB 21 M H ; 10 10 Lúc S = 7a + b = Câu 23 49 21 + = Chọn A 10 10 (KTNL GV... = 10 b2 = a − c = 64 b = x2 y2 + =1 100 64 Suy max z = OA = OA'' = 10 z = ? ?10 z = OB = OB'' = z = 8i Do đó, phương trình tắc ( E ) Vậy M − n = Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 20 19) ... x − Cách 1: 2 3 9 3 z = x + y = x + −2x − = 5x2 + 6x + = x + + , x 2 20 10 2 Suy z = 3 x = − ; y = − 10 10 Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ − 10 Cách 2: Trên mặt