TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Dạng 2 2 Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức Câu 1 (THPT Yên Định Thanh Hóa[.]
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu Điện thoại: 0946798489 Dạng 2.2 Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương x 1 t trình y t ba điểm A 6;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; Gọi M a; b; c điểm thuộc d cho biểu z t thức P MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất, a b c A 3 B C Lời giải D Vì M d nên giả sử M 1 t;2 t; t Ta có: MA2 3t 14t 29; MB2 3t 4t 2; MC 3t 10t 21 P MA2 2MB 3MC 18t 36t 96 18 t 1 78 78 Do P MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ t 1 , đó: M 2;1;1 a b c Câu (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 2;3 , B 1;0;5 đường thẳng d : x 1 y z Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d để MA2 MB đạt giá trị 2 nhỏ A M 1; 2;3 B M 2; 0;5 C M 3; 2;7 D M 3; 0; Lời giải Gọi I trung điểm AB , ta có I 2; 1; Khi đó: MA2 MB MA MB MI IA MI IB 2MI IA IB 2MI IA IB 2MI IA2 IB MI Do MA MB đạt giá trị nhỏ MI có độ dài ngắn nhất, điều xảy M hình chiếu vng góc I đường thẳng d Phương trình mặt phẳng P qua I vng góc với đường thẳng d x y 1 y hay P : x y z 12 x 1 t Phương trình tham số đường thẳng d là: y 2t z 2t Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm x; y; z hệ phương trình: x 1 t x y 2t y Vậy M 2; 0;5 z t z x y z 12 t Câu (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y 1 z hai điểm A 1; 2; 5 , B 1;0; Biết điểm M thuộc cho biểu thức MA MB 1 đạt giá trị lớn Tmax Khi đó, Tmax bao nhiêu? : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ B Tmax A Tmax 57 C Tmax D Tmax Lời giải Do M thuộc nên M t;1 t ; t Khi MA 3t 6t 27 1 t 24 , MB 3t Do MA MB 1 t 24 3t Xét hai véc tơ u 1 t ; 24 v 3t ; Ta có u v u v nên Tmax Dấu xảy u 1 t ; 24 v 3t ; ngược hướng hay t Câu x y 1 z hai điểm 4 thuộc d thỏa mãn MA MB nhỏ Tìm x0 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A 2; 0;3 , B 2; 2; 3 Biết điểm M x0 ; y0 ; z0 A x0 B x0 C x0 D x0 Lời giải Gọi I trung điểm AB Khi ta có AB AB MA MB MA MB 2MA MB MI MI AB AB 4MI MI AB MI MI AB 4 2 2 2 AB AB 2MI 3MI AB MI AB 4 10 2 Do đó, MA4 MB đạt GTNN MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên d Điểm I 2; 1;0 Lấy M t; 1 2t ;3t d IM t; 2t ;3t IM ud IM ud t 4t 9t t Suy M I Vậy x0 Câu (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 3;2;1 , C 5;3;7 Gọi M a; b; c điểm thỏa mãn MA MB MB MC đạt giá trị nhỏ Tính P abc A P B P C P Lời giải Gọi I trung điểm AB , suy I 1;1;1 ; AB 4; 2;0 D P Phương trình mặt phẳng trung trực AB : : 2x y Vì 2.3 1.2 3 2.5 1.3 3 50 nên B , C nằm phía so với , suy A , C nằm hai phía so với Điểm M thỏa mãn MA MB M Khi MB MC MA MC AC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 MB MC nhỏ AC M AC x 1 2t Phương trình đường thẳng AC : y t , tọa độ điểm M nghiệm hệ phương z 2t Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3 , B 0;1;1 , C 1;0; 2 mặt phẳng P : x y z Gọi M điểm thuộc mặt phẳng (P) cho giá trị biểu thức T MA2 2MB 3MC nhỏ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng Q :2x y 2z ? A B 121 54 C 24 D 91 54 Lời giải Chọn D Gọi I a; b; c điểm thỏa mãn IA IB 3IC Ta có IA 1 a; b;3 c , IB a;1 b;1 c , IC 1 a; b; c a 1 a 2a 3a 6a IA IB 3IC 2 b 2b 3b 6b b 3 c 2c 3c 6c c 2 1 I ; ; 3 6 Ta chứng minh T 6MI IA2 IB 3IC Do T đạt GTNN MI đạt GTNN M hình chiếu vng góc I mặt phẳng (P) x t 2 1 19 19 Ta có MI : y t , M MI M t ; t ; t , M P 3t t 3 6 18 z t 7 22 3 11 91 18 M ; ; d M ; Q 54 18 18 Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 10; 5;8 , B 2;1; 1 , C 2;3; mặt phẳng P : x y z Xét M điểm thay đổi P cho MA2 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ Tính MA2 2MB 3MC A 54 B 282 C 256 D 328 Lời giải Gọi I x; y; z điểm thỏa mãn IA IB 3IC Ta có IA 10 x; 5 y;8 z , IB x;1 y; 1 z , IC x;3 y; z Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 10 x x x x Khi đó, 5 y 1 y y y I 0;1;1 z z 1 z z Với điểm M thay đổi P , ta có MA2 2MB 3MC MI IA MI IB MI IC 6MI IA2 2IB2 3IC 2MI IA 2IB 3IC 6MI IA2 IB 3IC (Vì IA IB 3IC ) Ta lại có IA2 IB 3IC 185 2.8 3.9 228 Do đó, MA2 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc I P Khi đó, MI d I , P Vậy giá trị nhỏ MA2 2MB 3MC 6MI 228 6.9 228 282 Giá trị nhỏ MA2 2MB 3MC đạt M hình chiếu vng góc I P Lưu ý thêm cách tìm điểm M sau: x t Gọi đường thẳng qua I vng góc với P Phương trình : y 2t z 2t Ta có M P Xét phương trình t 1 2t 1 2t 9t t M 1;3; 1 P : x y z ba điểm A 3;1;1 , B 7;3;9 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng C 2; 2; M a; b; c P cho Điểm MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ Tính 2a 10b c Câu 46 Lời giải + Gọi I x; y; z điểm thỏa mãn IA 2IB 3IC IA x;1 y ;1 z Ta có IB x ;3 y ;9 z IC x ;2 y ;2 z A 62 B 27 C D 23 x 23 x 13 23 13 25 + IA IB 3IC 13 y y I ; ; 6 25 z 25 z Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 43 Điện thoại: 0946798489 MA 2MB 3MC 6MI IA IB 3IC 6MI 6MI TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên mặt phẳng P + Gọi đường thẳng d qua I vng góc P 23 13 25 Ta có d qua I ; ; nhận n p 1;1;1 làm véc tơ phương 6 23 x t 13 Suy phương trình d : y t 25 z t 13 25 23 M d M t; t ; t 6 M P 23 13 25 43 13 2 16 M ; ; t t t 3 t 6 18 9 9 13 a 2 62 Do b 2a 10b c 9 16 c (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 8;1;1) , B (2;1;3) C (6; 4; 0) Một điểm M di động không gian cho MA.MC MA.MB 34 Câu Cho biết MA MB đạt giá trị lớn điểm M trùng với điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Tính tích số x0 y0 z0 A 16 B 18 C 14 Lời giải D 12 Gọi M (a; b; c) Ta có MA.MC MA.MB 34 MA MC MB 34 MA.BC 34 Mặt khác MA ( 8 a;1 b;1 c) , BC (4;3; 3) Suy 4(8 a) 3(1 b) 3(1 c) 34 4a 3b 3c 66 Vậy M (P) có phương trình 4x 3y 3z 66 Ký hiệu f ( M ) f ( x; y; z ) 4 x y z 66 , với M ( x; y; z ) Ta có f ( A) f ( B ) (4( 8) 3.1 3.1 66)(( 4.2 3.1 3.3 66) ( 34).(68) 2312 Suy điểm A( 8;1;1) điểm B (2;1;3) nằm phía so với mặt phẳng ( P) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Khi MA MB AB (tính chất cạnh tam giác) suy MA MB đạt giá trị lớn M , A, B thẳng hàng M nằm đoạn thẳng AB hay M giao điểm đường thẳng AB với ( P) Đường thẳng AB có véc tơ phương AB (10;0; 2) qua điểm B (2;1;3) nên có phương trình x 5t y 1 z t Suy 4(2 5t ) 3.1 3(3 t ) 66 17t 68 t 4 Vậy M (18;1; 1) hay x0 y0 z0 18 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 2;1; 3, B 1; 1;2, C 3; 6; 0, D 2; 2; Điểm M x ; y; z thuộc mặt phẳng P : x y z cho S MA2 MB MC MD đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P x y2 z A P B P C P Lời giải D P 2 Với điểm I ta có S 2NA2 NB NC NI IA NI IB NI IC 4NI 2NI 2IA IB IC 2IA2 IB IC Chọn điểm I cho 2IA IB IC 2IA IB IC 4IA AB AC Suy tọa độ điểm I I 0;1;2 Khi S 4NI 2IA2 IB IC , S nhỏ N hình chiếu I lên mặt phẳng P x t Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng P y t z t Tọa độ điểm N t;1 t ;2 t P t t t t 1 N 1;2;1 Câu 11 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 4; 2;6 , B 2;4;2 , M : x y 3z cho MA.MB nhỏ Tọa độ M 29 58 A ; ; 13 13 13 B 4;3;1 C 1;3;4 37 56 68 D ; ; 3 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Gọi I trung điểm AB I 3;1; 4 Gọi H hình chiếu I xuống mặt phẳng Ta có MA.MB MI IA MI IB MI MI IA IB IA2 MI IA2 Do IA không đổi nên MA.MB nhỏ MI nhỏ MI IH M H Gọi đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng Khi nhận x t n 1; 2; 3 làm vectơ phương Do có phương trình y 2t z 3t H H t;1 2t;4 3t H t 1 2t 3 3t t H 4;3;1 Vậy M 4;3;1 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;0;2), B(3;1; 1) mặt phẳng ( P) : x y z Gọi M (a; b; c) ( P) cho 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ Tính S 9a 3b 6c A B C D Lời giải Gọi I (m; n; p) điểm thỏa mãn: 3IA 2IB Ta có IA (1 m; n;2 p); IB (3 m;1 n; 1 p) 3(1 m) 2(3 m) m 3 3IA 2IB 3(n) 2(1 n) n 2 I (3; 2;8) 3(2 p) 2(1 p) p Ta có 3MA 2MB 3(MI IA) 2(MI IB) MI MI Khi đó, 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất, M ( P) MI nhỏ nhất, M ( P) M hình chiếu vng góc I ( P) Gọi đường thẳng qua I vng góc với ( P) Khi nhận vectơ pháp tuyến ( P ) x 3 t n (1;1;1) làm vecto phương : y 2 t z t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ t 11 a x 3 t x 11 y 2 t b S 9a 3b 6c Tọa độ M nghiệm hệ z t y 22 x y z c 22 z Câu 13 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4;0 , C 2; 1;0 mặt phẳng : 3x y z 12 Gọi M a; b; c thuộc cho MA2 MB 3MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng S a b c A B C 2 Lời giải Chọn A Gọi điểm I x; y; z thỏa mãn IA IB 3IC IA 1 x; y;5 z IA 1 x; y;5 z Mà IB x; y; z IB x; y; z IC x ; y ; z 3IC 3x; 3 y; 3z IA IB 3IC 10 x;5 y;5 z x Do đó: IA IB 3IC y I 2;1;1 z Mặt khác: MA2 MB 3MC MI IA MI IB D MI IC 2 5MI 2.MI IA IB 3IC IA IB 3IC Vì I , A, B, C cố định nên IA2 IB 3IC khơng đổi Do đó: MA2 MB 3MC nhỏ MI nhỏ MI nhỏ M hình chiếu I mặt phẳng Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng là: x y 1 z 1 3 2 Gọi M d Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x 3 x y x y 1 z 1 7 x z 3 2 y M ; ;0 2 3 x y z 12 3 x y z 12 z Vậy a , b , c S a b c 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu 14 (Dề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;0), B(1; 1;3), C (1; 1; 1) mặt phẳng ( P) : 3x y z 15 Xét M (a; b; c) thuộc mặt phẳng ( P) cho 2MA2 MB MC nhỏ Giá trị a b c C D 1 Lời giải I IA IC IB 2( OA OI ) ( OC OI ) ( OB OI ) Gọi điểm thỏa mãn: 2OA OC OB OI I 1; 2; 2 Ta có MA2 MA MI IA MI IA MI IA MB MB MI IB MI IB MI IB MC MC MI IC MI IC MI IC Suy MA2 MB MC MI IA2 IC IB MI IA IC IB A B Suy 2MA2 MB MC 2MI IA2 IC IB Do I cố định nên 2IA2 IC IB không đổi Vậy 2MA2 MB MC nhỏ MI nhỏ MI nhỏ M hình chiếu I (P) x 3t Đường thẳng qua I 1; 2; 2 vng góc với P là: y 3t z 2 2t x 3t x y 3t y 1 Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ M 4; 1;0 z 2 2t z 3 x y z 15 t Suy a b c Câu 15 (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 5; 0; 1 , C 3;1; mặt phẳng Q : 3x y z Gọi M a; b; c điểm thuộc Q thỏa mãn MA2 MB 2MC nhỏ Tính tổng a b 5c A 11 B C 15 Lời giải D 14 Gọi E điểm thỏa mãn EA EB 2EC E 3;0;1 Ta có: S MA2 MB 2MC MA MB 2MC ME EA ME EB ME EC 4ME EA2 EB EC Vì EA2 EB EC không đổi nên S nhỏ ME nhỏ M hình chiếu vng góc E lên Q x 3t Phương trình đường thẳng ME : y t z 1 t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 3t x y t y 1 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: z 1 t z 3 x y z t 1 M 0; 1; a , b 1 , c a b 5c 5.2 Câu 16 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;1;1 , B 0;1;2 , C 2;1;4 mặt phẳng P : x y z Tìm điểm N P cho S NA2 NB NC đạt giá trị nhỏ 4 A N ; 2; B N 2;0;1 3 3 C N ; ; 4 Lời giải D N 1; 2;1 Với điểm I ta có S NA2 NB NC NI IA NI IB NI IC NI NI IA IB IC IA2 IB IC Chọn điểm I cho IA IB IC IA IB IC IA AB AC Suy tọa độ điểm I là: I 0;1;2 Khi S NI IA2 IB IC , S nhỏ N hình chiếu I lên mặt phẳng P x t Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng P là: y t z t Tọa độ điểm N t;1 t;2 t P t t t t 1 N 1;2;1 Câu 17 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y z 1 hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ; M điểm thay đổi S Gọi m, n giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 2MA2 MB Xác định m n A 64 B 68 C 60 Lời giải D 48 Xét điểm I cho: 2IA IB Giả sử I x; y; z , ta có: IA x;3 y;1 z , IB x;1 y;3 z 2 x x Do đó: IA IB 2 y y I 5;5; 1 2 1 z z Do đó: P 2MA2 MB MI IA MI IB MI IA MI IA MI IB MI IB MI IA IB 2MI IA IB MI IA2 IB MI IA IB Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I 2; 1; 2 bán kính R 35 Gọi K 8; 3;8 trung điểm MN , ta có K nằm mặt cầu S Ta có IK 6; 2;10 MN 4;22;2 ; IK MN , suy ta IK MN MN Ta có AM AN AM AN AK AK 504 Suy AM AN lớn AM AN AK đạt giá trị lớn x 6t Vì IK MN , suy AM AN A thuộc đường thẳng IK : y 1 2t , t z 2 10t x 6t y 1 2t Tọa độ giao điểm A đường thẳng IK với mặt cầu S z 2 10t x 2 y 1 z 2 35 A1 5; 2;3 , A2 1; 0; 7 Suy t A1 K 35 , A2 K 315 Vậy điểm A cần tìm A 1; 0; 7 AI 3; 1;5 ; phương trình tiếp diện A : 3x y 5z 38 ;3; đường thẳng qua A Câu 28 (Sở Nam Định 2022) Trong không gian Oxyz cho điểm A tạo với trục Ox góc 600 , cắt mặt phẳng Oyz điểm M Khi OM nhỏ tìm tung độ điểm M A B Lời giải C D Chọn C Vì M Oyz nên gọi M 0; b; c Theo giả thiết ta có véc tơ phương AM ; b 3; c Vì đường thẳng qua A tạo với trục Ox góc 600 nên AM i cos ; Ox AM i 2 b 3 c 2 hay b 3 c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Từ suy ra, điểm M nằm mặt phẳng Oyz có quỹ tích đường trịn C có tâm I 0;3; , R Ta có OM nhỏ M A OA OI R OI OA OI OI 12 Suy A 0; ; 5 Vậy tung độ M Câu 29 (Sở Vĩnh Phúc 2022) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; , B 2; 2;1 mặt phẳng P : x y z Gọi M điểm thay đổi P cho AMB 90 Khi khoảng cách MB lớn nhất, phương trình đường thẳng MB x 2 t x 2 t x 2t A y 2 B y 2 2t C y 2 t z 2t z 2t z 2t Lời giải Chọn A x 2 t D y 2 t z Ta có: 2 2 B P MB AH MB AHM MB MH Gọi H hình chiếu A P MB AM MB BH Dấu xảy M H , lúc M hình chiếu A P Đường thẳng MA qua A 1; 2; nhận VTPT mp P : nP 2; 2; 1 làm VTCP có x 2t phương trình tham số: y 2t z 3 t Vì M MA M 1 2t ; 2t ; t Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 29t 87 29 29t 29 Suy T 29t 116t 125 29 t 3 29 t 2 29 29 t 3 29 v t ; u v 5; Xét u t 2; , 29 29 29 ... m ? ?9 m4 m 4 2 n 25 m 2023 ? ?9 m 4 ? ?9 m 2023 25 25 m 2023 m 2023 0m 25 60 89 Vậy giá trị nhỏ f m 205 97 đạt m 60 89 Câu 25 (THPT... IB MI IA2 IB MI IA IB Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 MI IA2 IB