Bài 3 đường thẳng song song với mp p1 đáp án

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng có ít nhất 2 điểm chung với mặt phẳng (đường thẳng nằm trong mặt phẳng) Đường thẳng có 1 điểm chung.

Bài ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG • Chương QUAN HỆ SONG SONG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng - Đường thẳng có điểm chung với mặt phẳng (đường thẳng nằm mặt phẳng) d d d α α α - Đường thẳng có điểm chung với mặt phẳng (đường thẳng cắt mặt phẳng) - Đường thẳng khơng có điểm chung với mặt phẳng (đường thẳng nằm mặt phẳng) Định nghĩa Đường thẳng d gọi song song với mặt phẳng   đường thẳng d khơng có điểm chung với mặt phẳng   d / /    d       d α Định lý Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng   song song với đường thẳng nằm mặt phẳng   d song song với mặt phẳng   d / / d '    d / /   d '     d d' α Hệ - Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng Chú ý: khơng có tích chất sau Hai đường thẳng song song với mặt phẳng chúng song song với Trang a / /      a / /b b / /    Hai mặt phẳng song song với đường thẳng chúng song song với a / /        / /    a / /     DẠNG BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG d //Δ  d     d //     Δ    Bài tập tự luận Câu 1: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình bình hành M , N trung điểm SA, CD Chứng minh MN //  SBC  Lời giải S P M A D B N C *) Trong SAB : Gọi P trung điểm SB Ta có MP đường trung bình  MP //  AB (1) *) Lại có AB //  CD  CN //  AB (2) ( Do N trung điểm CD ) *) Từ (1) (2)  MP //  CN  Tứ giác MNCP hình bình hành  MN // CP   SBC   MN //  SBC  (Điều phải chứng minh) Câu 2: Lăng trụ ABC ABC  M , N trung điểm AC , BC Chứng minh MN //  ABBA  Lời giải Trang M A' C' B' C A O N B *) Trong ABC : Gọi O trung điểm AB ; Khi ON đường trung bình  ON //  AC (1) *) ACCA hình bình hành  AC //  AC   AM //  AC (2) *) ON //  AM  Từ giác AONM hình bình hành  MN // AO   MN //  ABBA   AO   ABBA  Câu 3: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' M , N thuộc hai đoạn A ' B ' DD ' để A ' M  DN Chứng minh song song với mặt phẳng cố định Lời giải Gọi O  A ' B cho MO //BB ' Khi A ' M MO  A ' B ' BB '  MO  DN Mà theo giả thiết A ' M  DN , ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương nên ta có :  nên tứ giác  MO //DN MODN hình bình hành Do MN //DO , DO   A ' DB   MN //  A ' DB  Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' G1 , G2 trọng tâm tam giác A ' B ' C ' ABB ' Chứng minh G1G2 //  BCC ' B ' Lời giải Trang Gọi M trung điểm B ' C ' G1 trọng tâm A ' B ' C ' nên ta có : A ' G1  1 A'M BG2 A ' G2 BG2       2 A' B A' B A'B A ' G1 A ' G2 Từ 1 ,  2 ta có :  G1G2 //BM , BM   BCC ' B '  G1G2 //  BCC ' B '  A' M A' B G2 trọng tâm ABB ' nên Câu 5: Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF không đồng phẳng M  AC , N  BF để AM BN   Chứng minh MN //  CDEF  AC BF Lời giải E F N A B O M D C Dựng O  DM  AB , mà AB / /CD nên theo định lý Talet có AO AM 1    AO  AB , hay O DC MC trung điểm AB Dựng O '  EN  AB , mà AB //EF nên theo định lý Talet có BO BN 1    BO '  AB , hay O ' EF NF 2 trung điểm AB Từ hai điều ta có O  O ' Vậy suy Câu 6: OM ON    MN //DE  MN //  DCEF  MD NE Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' , M  B ' C Vẽ MN //CC ' , N  B ' C ' Vẽ NP / / A ' C ' , P  A ' B ' Vẽ PQ //AA ' , Q  B ' A Chứng minh MQ //  ABC  Lời giải Trang A' C' P N B' M Q A C B Xét hình chóp B ' ACC ' A ' có MN / /CC ' , NP / / A ' C ' , PQ / / AA ' nên dễ dàng thấy ba đường MN , NP, PQ thuộc mặt phẳng  MNPQ  ; dễ thấy mặt phẳng  MNPQ  //( ACC ' A ') (1) Lại thấy MQ   MNPQ   ( B ' AC ) (2) AC   ACC ' A  ( B ' AC ) (3) Từ (1), (2), (3) ta có MQ //AC ( tính chất giao tuyến mặt với hai mặt song song)  MQ //  ABC  Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' M , N trung điểm A ' B ' , DD ' Chứng minh MN //  A ' BD  Lời giải A' I D' M B' C' N A B D C Kẻ điểm I trung điểm A ' D ' , dễ dàng thấy MI //B ' D '//BD IN //A ' D Mà MI , IN cắt ( MIN ) ; BD, A' D cắt ( A ' BD ) Vậy  MIN  //  A ' BD   MN //  A ' BD  Câu 8: Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N trung điểm AB BC ; G , G trọng tâm tam giác SAB SBC a) Chứng minh MN //  SAC  b) Chứng minh GG//  SAC  Lời giải Trang  MN //AC  a) Ta có  AC   SAC   MN //  SAC    MN   SAC  b) Gọi K trung điểm SB suy G , G  thuộc mặt phẳng  KAC  KG  ; KA KG  ; Và G  trọng tâm tam giác SBC nên KC KG KG  Khi , suy GG//AC KA KC GG//AC  Vì GG   SAC   GG//  SAC    AC   SAC  Ta có: G trọng tâm tam giác SAB nên Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng có tâm O O a) Chứng minh OO song song với mặt phẳng  ADF   BCE  Câu 9: b) Gọi M , N hai điểm cạnh AE , BD cho AM  1 AE , BN  BD Chứng minh 3 MN song song với mặt phẳng  CDEF  Lời giải a) Ta có OO đường trung bình tam giác BFD ứng với cạnh DF nên OO//DF , DF   ADF  OO   ADF   OO //  ADF  Tương tự, OO đường trung bình tam giác ACE ứng với cạnh CE nên OO //CE Trang CE   CBE  CE   CBE   OO//  BCE  b) Trong  ABCD  , gọi I  AN  CD AN BN AN    AI BD AI AM AN AM    Lại có  MN //IE Mà I  CD  IE   CDEF  AE AI AE MN   CDEF   MN //  CDEF  Do AB //CD nên Câu 10: Cho hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi M , N lần 1 lượt điểm AE BD cho AM  AE , BN  BD,  x   Tìm x để x MN //  CDFE  Lời giải Gọi I giao điểm BM EF Trong mặt phẳng  ABEF  ta có AB //EI AE cắt BI M nên AM BM   (định lí Ta AE BI – lét đảo)  MN //  CDFE   Ta lại có  MN   BDI   MN //DI   BDI    CDFE   DI BN BM 1  Suy (định lí Ta – lét) Khi   x  BD BI x Vậy x  Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang với AD //BC Gọi G trọng tâm tam giác SAD ; E điểm thuộc đoạn AC cho EC  xEA,  x   Tìm x để GE //  SBC  Lời giải Trang Gọi I trung điểm cạnh AD Trong mặt phẳng  ABCD  giả sử IE BC cắt điểm Q Dễ thấy SQ   IGE    SBC  IE IG IE    (1) IQ IS IQ EI EA EA Mặt khác tam giác EIA đồng dạng với tam giác EQC nên    suy EQ EC xEA x EQ  x.EI IE IE IE (2)     IQ IE  EQ IE  x.IE  x 1   x  Từ (1) (2)  1 x Vậy GE //  SBC   x  Do : GE //  SBC   GE //SQ  Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N điểm thuộc BM NC cạnh SB đoạn AC cho  x  y ,   x, y  1 Tìm hệ thức liên hệ x MS NA y để MN //  SAD  Lời giải Trong mặt phẳng  ABCD  giả sử BN AD cắt điểm K Dễ thấy SK   BMN    SAD  Do : MN //  SAD   MN //SK  BM BN  (1) MS NK Mặt khác tam giác NCB đồng dạng với tam giác NAK  BN CN  (2) NK NA BM NC   x  y MS NA Vậy MN //  SAD   x  y Từ (1) (2)  Câu 13: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD Gọi O , O tâm đường tròn nội tiếp BC tam giác ABC ABD Tính tỉ số k  OO//  BCD  BD Lời giải Trang A O O' C D M N B Trong mặt phẳng  ABC  : Giả sử AO BC cắt điểm M Trong mặt phẳng  ABD  : Giả sử AO  BD cắt điểm N Ta có : MN   AOO    BCD  AO AO  (1) OM ON Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có : AO AB AC AO AB  AC AB  AC      + OM BM CM OM BM  CM BC AO AB AD AO AB  AD AB  AD      + OM BN DN OM BN  DN BD AB  AC AB  AD BC AB  AC    Vậy đẳng thức (1)  BC BD BD AB  AD AB BC Theo giả thiết : AB  AC  AD    BD AB BC  Kết luận : OO//  BCD   k  BD Do : OO //  BCD   OO//MN  DẠNG XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Phương pháp: Để tìm giao tuyến mặt phẳng, ngồi phương pháp “Tìm điểm chung mặt phẳng”, ta sử dụng định lí giao tuyến sau: Bước 1: Chỉ   ,    chứa hai đường thẳng song song a b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng Bước 3: Khi        Mx //a //b Bài tập tự luận Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   SCD  Lời giải Trang Ta có:  AB   SAB   CD   SCD    AB //CD  S   SAB    SCD     SAB    SCD   d S  d //AB //CD Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I , J trung điểm AD BC , G trọng tâm tam giác SAB Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   IJG  Lời giải Ta có: I , J trung điểm AD BC  IJ đường trung bình hình thang ABCD  IJ //AB //CD Gọi d   SAB    IJG  Ta có G điểm chung hai mặt phẳng  SAB   IJG   AB   SAB  ; IJ   IJG  Mặt khác   AB //IJ  Giao tuyến d hai mặt phẳng  SAB   IJG  đường thẳng qua G song song với AB IJ (đường thẳng PQ ) Trang 10 Câu 3: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 G2 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABD tam giác ACD Tìm giao tuyến mặt phẳng  AG1G2  với mặt phẳng  ABC  Lời giải Gọi M N theo thứ tự trung điểm BD CD Trong tam giác ΔAMN , ta có: AG1 AG2    G1G2 //MN AM AN Do MN //BC  G1G2 //BC  A   AG1G2    ABC  Mà:    AG1G2    ABC   Ax //G1G2 //BC G1G2 //BC Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Sx giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBD  M , N trung điểm AB DC Chứng minh MN song song với giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  Lời giải Dễ thấy S điểm chung mặt phẳng  SAD   SBC   AD   SAD   Ta có:  BC   SBC    SAD    SBC   Sx //AD //BC  AD //BC   AD //MN //BC Do   MN //  SAD  MN //  SBC   MN   SAD  ; MN   SBC  Mặt khác Sx   SAD    SBC   MN //Sx Trang 11 Câu 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N tương ứng AB, AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  DBC   DMN  Lời giải A M N D B C MN đường trung bình tam giác ABC nên MN //BC  MN //BC  Ta có  MN   DMN    DMN    BCD   , với  qua D ,  //BC   BC   BCD  Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB , N điểm cạnh BC cho BN  2CN a/ Chứng minh rằng: OM // ( SCD ) b/ Xác định giao tuyến ( SCD ) ( AMN ) Lời giải: K S M A B N I O D C H a/ Chứng minh OM // ( SCD )   BM  BS Ta có   OM //SD Mà SD  ( SCD ) , suy OM //( SCD ) (đpcm)  BO  BD  b/ Gọi H  AN  CD (cùng nằm ( ABCD ) ) Trang 12 Suy H điểm chung thứ ( AMN ) ( SCD ) Ta có I  AN  BD , suy IM  SD  K (cùng nằm ( SBD) ); nên K điểm chung thứ hai ( AMN ) ( SCD ) Do HK giao tuyến hai mặt phẳng ( AMN ) ( SCD ) DẠNG THIẾT DIỆN ĐAI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài tập tự luận Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) đa giác phẳng thu cắt khối chóp mặt phẳng (Các cạnh đa giác thu đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt bên mặt đáy hình chóp) Phương pháp: Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng  P  : Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến  P  với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian) Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp, ta điểm chung  P  với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt Bước 3: Tiếp tục tới giao tuyến khép kín ta thiết diện Chú ý: + Thiết diện khối chóp đa giác bao quanh viền ngồi khối chóp, khơng có đường thẳng đâm xuyên bên khối chóp + Có thể tìm thiết diện phương pháp dựng giao điểm Câu 1: Cho tứ diện ABCD , điểm M thuộc AC Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   qua M song song với AB AD Lời giải A M B D P N C   //AB nên giao tuyến   với  ABC  đường thẳng qua M , song song với AB , cắt BC P   //AD nên giao tuyến   với  ADC  đường thẳng qua M , song song với AD cắt DC N Vậy thiết diện tam giác MNP Câu 2: Cho tứ diện ABCD Giả sử M thuộc đoạn thẳng BC Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   qua M song song với AB CD Lời giải Trang 13 A P Q B N D M C   //AB nên giao tuyến   với  ABC  đường thẳng qua M song song với AB cắt AC Q   //CD nên giao tuyến   với  BCD  đường thẳng qua M song song với CD cắt BD N   //AB nên giao tuyến   với  ABD  đường thẳng qua N song song với AB cắt AD P Ta có MN //PQ //CD, MQ //PN //AB Vậy thiết diện hình bình hành MNPQ Câu 3: Cho tứ diện ABCD , lấy điểm M điểm thuộc miền tam giác BCD Gọi   mặt phẳng qua M song song với AC BD Hãy xác định thiết diện mặt phẳng   với tứ diện ABCD Thiết diện hình ? Lời giải - M điểm chung hai mặt phẳng    BCD  Ta có   //BD nên giao tuyến chúng qua M song song với BD , giao tuyến cắt BC E cắt CD F - E điểm chung hai mặt phẳng    ABC  Ta có   //AC nên giao tuyến chúng qua E song song với AC , giao tuyến cắt AB H - H điểm chung hai mặt phẳng    ABD  Ta có   //BD nên giao tuyến chúng qua H song song với BD , giao tuyến cắt AD G G F hai điểm chung hai mặt phẳng    ACD  Vậy giao tuyến chúng FG Vì mặt phẳng   //AC nên giao tuyến FG //AC Kết luận: Thiết diện cần tìm hình bình hành EFGH EF //BD //HG HE //FG //AC Trang 14 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O , M trung điểm OC Mặt phẳng   qua M song song với SA BD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   Lời giải Ta có:  M      ABCD     //BD   ABCD       ABCD   EF //BD,  M  EF , E  BC , F  CD  Lại có:  M      SAC       SAC   MN //SA,  N  SC     //SA   SAC  Vậy thiết diện cần tìm tam giác NEF Nhận xét: Học sinh tìm thêm thiết diện điểm M di động đoạn AC Câu 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M , cạnh BC lấy điểm N Gọi   mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a) Hãy xác định thiết diện mặt phẳng   với tứ diện ABCD b) Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành Lời giải a) Xác định thiết diện mặt phẳng   với tứ diện ABCD Trang 15   //CD  Ta có CD   ACD    M      ACD       ACD   MP,  MP //CD, P  AC  (1)   //CD  Ta có CD   BCD    N      ACD       BCD   NQ,  NQ //CD, Q  BD  (2) Và     ABD   MQ (3)     ABC   PN (4) Từ (1), (2) ta : MP //NQ Vậy thiết diện hình thang MNPQ b) Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành Ta có: MP //NQ; MP  CD ( MP đường trung bình tam giác ACD )  MP //NQ  MP //NQ  MNPQ hình bình hành     MP  NQ  MP  NQ  CD Do N trung điểm BC Vậy N trung điểm BC MPNQ hình bình hành Câu 6: Cho hình chóp S ABCD M , N hai điểm đoạn AB , CD Mặt phẳng   qua MN song song với SA a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Lời giải a) Trang 16 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng    M      SAB  Ta có :       SAB   MP (với MP//SA, P  SB)   //SA, SA   SAB  Gọi R  MN  AC  MN , AC   ABCD    R      SAC  Ta có:       SAC   RQ (với RQ//SA, Q  SC )   //SA, SA   SAC  Vậy thiết diện hình chóp với mặt phẳng   tứ giác MPQN b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang  MP //QN 1 Ta có MPQN hình thang    MN //PQ    SA//MP Xét (1) ta có   SA//QN  MP //QN  SA//QN Do đó:   SA//  SCD  (vơ lí) QN   SCD   BC   ABCD    SBC  Xét (2) ta có   MN //BC  MN   ABCD  , PQ   SBC   PQ      SBC  Ngược lại, MN //BC   MN //PQ  MB    , BC   SBC  Vậy để thiết diện hình thang MN //BC Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Điểm I giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  P  qua I song song với AB, SC Lời giải S F E A D M I B N C AB //  P   P    ABCD   d1 với d1 qua I d1 //AB Trang 17 Gọi M  d1  BC , N  d1  AD SC //  P   P    SBC   d , với d qua N d //SC Gọi E  d  SB AB //  P   P    SAB   d3 , với d qua E d //AB Gọi F  d  SA Thiết diện hình chóp S ABCD cắt  P  tứ giác AMEF Câu 8: Chóp S ABCD có SA  2a , ABCD hình vng cạnh AB  a , SA  CD , M  AD để AM  x   x  a  Mặt phẳng  P  qua M / / SA, CD Dựng  P  Tìm thiệt diện Tính STD Lời giải *) Dựng  P  +) Qua M dựng MN / /CD +) Qua M dựng MQ / / SA   P    QMN  S P Q A B M D N C *) Tìm thiết diện; Trái, phải, trước, sau, đáy  QMN    Day   MN *) Ta có   QMN   Trai   MQ Q   QMN  , Q  Truoc    QMN   Truoc   QP *) Định lý:   MN / / CD   QMN    Phai   PN *) Thiết diện tứ giác MNPQ *) Tính STD  MN / / CD Ta có   MQ  MN CD  SA 2a  a  x  QM DM  QM   2a  x +) Tính QM : QM / / SA   a SA DA PQ SQ AM a.x +) Tính PQ : PQ / / CD     PQ   x CD SD AD a Trang 18  STD  Câu 9:  MN  PQ  QM   a  x   a  x   a  x 2 Chóp S ABC , SA  BC , SA  3a , ABC đều, AB  a M  AB để AM  x   x  a   P  qua M song song SA, BC Dựng  P  Tìm thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn Lời giải Dựng  P  : - Qua M dựng MN //BC - Qua M dựng MQ //A   P    MNQ  Tìm thiết diện:  MNQ    ABCD   MN - Ta có:   MNQ    SAB   MQ  thiết diện tứ giác MNPQ Tính diện tích thiết diện: SA  BC  MN  MQ  MNPQ hình chữ nhật MN AM ax MN //BC    MN   x BC AB a 3a  a  x  MQ BM MQ / / SA    MQ   3 a  x SA BA a STD  MN MQ  x3  a  x   - x2  ax ,   x  a   STD max  x    b a a   2a  1 S ABCD , SA  CD , SA  2a ABCD hình thang vuông A D AB AD  DC   a , M  AD để AM  x,   x  a   P  qua M song song SA, CD Dựng  P  Tìm thiết diện Tính diện tích thiết diện STD Câu 10: Chóp Lời giải Trang 19  P    QMN   thiết diện tứ giác MNPQ Tính MN : 2a  a  x  IN CI DM - IN / / AB     IN   2a  x AB CA DA a - IM / / CD  IM AM ax   IM   x CD DA a  MN  IM  IN  x  2a  x  2a  x 2a  a  x  MQ MD   MQ   2a  x SA AD a PQ SQ AM ax    QP   x CD SD AD a  PQ  MN  MQ  2a a  x STD    Câu 11: Chóp S ABCD , SA  BD , SA  a , ABCD hình vng cạnh a , tâm O M  AO để  a 2 AM  x   x    P  qua M song song với SA , BD Dựng  P  Tìm thiết diện Tính   STD Lời giải Trang 20 ... / /    Hai mặt phẳng song song với đường thẳng chúng song song với a / /        / /    a / /     DẠNG BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG d //Δ  d... giải Trang 13 A P Q B N D M C   //AB nên giao tuyến   với  ABC  đường thẳng qua M song song với AB cắt AC Q   //CD nên giao tuyến   với  BCD  đường thẳng qua M song song với CD cắt... qua M song song với AB AD Lời giải A M B D P N C   //AB nên giao tuyến   với  ABC  đường thẳng qua M , song song với AB , cắt BC P   //AD nên giao tuyến   với  ADC  đường thẳng