Bài 3 đường thẳng vuông góc với mp p1 đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳn[.]

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG • Chương QUAN HỆ VNG GĨC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt d phẳng   d  vng góc với đường thẳng a chứa mặt phẳng   a α Kí hiệu d    hay    d II Định lý: Định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt chứa mặt phẳng d b a α Hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác III Các tính chất: Tính chất 1: Có duy nhất một đường thẳng đi qua  B một điểm cho trước và vng góc với một mặt phẳng  cho trước A Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua  α một điểm cho trước và vng góc với một mặt phẳng  d cho trước * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng B Mặt  phẳng  trung  trực  của  đoạn  thẳng  AB   là  mặt  phẳng  đi  qua  trung  điểm  của  đoạn  thẳng  AB   và  M α vng góc với đường thẳng  AB   A Tính chất 3: Một  mặt  phẳng  vng  góc  với  một  đường thẳng  thì  nó cũng vng góc với bất kì đường thẳng nào song  song đường thẳng ấy.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một  mặt phẳng thì song song với nhau Tính chất 4: Một  đường  thẳng  vng  góc  với  một  mặt  phẳng  thì  nó  cũng  vng  góc  với  bất  kì  mặt  phẳng  nào  song  song mặt phẳng ấy.  Hai  mặt  phẳng  phân  biệt  cùng  vng  góc  với  một  đường thẳng thì song song với nhau α a b β α d Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   Tính chất 5: Một  đường thẳng  vng  góc  với  một  mặt  phẳng  thì  nó cũng vng góc với bất kì đường thẳng nào song  song mặt phẳng ấy.  Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (khơng chứa  đường  thẳng  đó)  cùng  vng  góc  với  một  đường  thẳng khác thì chúng song song với nhau IV Phép chiếu vng góc: b α a Phép chiếu vng góc: Cho đường thẳng    và mặt phẳng    vng góc với nhau. Phép  chiếu song song theo phương của    lên mặt phẳng     được gọi là phép chiếu vng góc lên mặt phẳng   Cịn có thể gọi là “Phép chiếu lên mặt phẳng    ” Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng  a   A chứa  trong  mặt  phẳng    và  b   là  đường  thẳng  b B không  chứa  trong      đồng  thời  không  vuông  góc  với    Gọi  b   là hình  chiếu của  b  trên    Khi  đó  a   vng góc với  b   khi và  chỉ  khi  a   vng góc  với  b Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường  A' α d thẳng  d  và mặt phẳng       a A a)  Nếu  đường  thẳng  d   vng  góc  với  mặt  phẳng    φ thì ta nói góc giữa chúng bằng  90   b)  Nếu  đường  thẳng  d   khơng  vng  góc  với  mặt  B' α d' H O phẳng    thì góc giữa chúng bằng góc giữa đường  thẳng  d   và  hình  chiếu  vng  góc  của  đường  thẳng  d  trên mặt phẳng      PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng -Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một  đường  thẳng  song  song  với  một  mặt  phẳng  khi  nó  song  song  với  một  đường  thẳng  bất  kì  thuộc mặt phẳng.  a   P  Viết dạng mệnh đề:  d / /  P      d / /a -Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng   P   và   Q   chứa hai đường thẳng  a, b  song song với nhau thì giao tuyến nếu  có của hai mặt phẳng phải song song với  a  và  b   a   P  ; b   Q  ;  P    Q    Viết dạng mệnh đề:     / /a / /b   a / /b -Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu  đường thẳng  a   song song với mặt  phẳng   P  ; một mặt phẳng   Q    chứa  a , cắt   P    theo  giao tuyến    thì    phải song song với  a   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 a / /  P     / /a   Viết dạng mệnh đề:  a   Q    P    Q    -Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng  d  vng góc với mặt phẳng   P    d khi nó vng góc với mọi đường thẳng  a  nằm trong   P    a   P  Viết dạng mệnh đề:  d   P      d  a a + Hệ 1: Để chứng minh đường thẳng  d  vng góc với   P    b ta chỉ cần chứng minh  d  vng góc với hai đường thẳng cắt  nhau nằm trong   P    (P) + Hệ 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt  d1 ; d  cùng vng góc với   P   thì  d1 / /d   + Hệ 3: Nếu hai mặt phẳng   P1  ;  P2   cùng vng góc với đường thẳng  d  thì   P1  / /  P2    + Hệ 4: Nếu đường thẳng  d  cùng vng góc với một đường thẳng  a  và một mặt phẳng   P    thì khi đó đường thẳng  a  hoặc song song với   P   hoặc nằm trong   P    a / /  P  d  a Viết dạng mệnh đề:      d   P   a   P  + Hệ 5: Nếu đường thẳng  d  có hình chiếu vng góc xuống   P   là  d ; đường thẳng  a  nằm  trong   P   vng góc với  d  khi và chỉ khi  a  vng góc với  d   Câu Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a ,  SA  vng góc với đáy.  a Chứng minh rằng  BD   SAC     b Gọi  M, N  là trung điểm của  SC, SD  Chứng minh  MN   SAD     c Cho SA  a  Tính góc giữa hai đường thẳng  SB  và  CN   Lời giải a Ta có:  SA   ABCD   nên  SA  BD    S BD  AC  (do  ABCD  là hình vng)  Do đó,  BD   SAC    b Vì  M, N   là  trung  điểm  của  SC, SD nên  MN / /CD   CD  SA MN  SA Mà    nên     CD  AD MN  AD N A M B Vậy,  MN   SAD      D C Câu Cho tứ  diện  ABCD   có  DA   ABC  ,  tam giác  ABC   cân  tại  A   với  AB  AC  a; BC  6a   Gọi  M  là trung điểm của  BC , kẻ  AH  MD  với  H  thuộc  MD   a Chứng minh rằng  AH   BCD     b Cho  AD  4a  Tính góc giữa hai đường thẳng  AC  và  DM   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   c Gọi  G1; G  là trọng tâm các tam giác  ABC  và  DBC  Chứng minh rằng  G1G   ABC    Lời giải a.Ta có:  DA   ABC   DA  BC ;  AM  BC  (vì tam giác  ABC  cân tại  A ).  Do đó,  BC   DAM   BC  AH  (do  AH   DAM    Mà  AH  DM  (theo giả thiết)  Do vậy,  AH   BCD    D b Hình  chiếu  vng  góc  của  DM   trên   ABC   là  AM   Do đó,  góc  giữa hai đường thẳng  AC   và  DM   chính là góc giữa hai đường thẳng  AC  và  AM  là góc     CAM 3a Xét  AMC  có  AC  a; CM  :  3a CM    37   sin CAM    CAM AC a c Xét  MAD  ta có:  MG1 MG   G1G / /AD   MA MD Mà  AD   ABC   nên  G1G   ABC    H G2 A C G1 M B     Câu Cho tứ diện  OABC  có  OA, OB, OC  đơi một vng góc. Kẻ  OH   ABC    a Chứng minh rằng tam giác  ABC  có ba góc nhọn.  b Chứng minh  OA  BC; OB  AC; OC  AB    c Chứng minh rằng  H  là trực tâm của tam giác  ABC   1 1 d. Chứng minh rằng       2 OH OA OB OC Lời giải a Ta có:  OA  là đường cao của tam giác vuông  OBC ,  AA   là đường cao của tam giác  ABC     ABC   là hai góc nhọn.   ACB;   là góc nhọn.  Chứng minh tương tự ta có:  BAC OA  OB b   OA   OBC   OA  BC OA  OC Chứng minh tương tự:  OB  AC; OC  AB   BC  OH c   BC   OAH   AH  BC BC  OA Chứng minh tương tự:  BH  AC; CH  AB    Vậy,  H  là trực tâm của tam giác  ABC   d Xét  OAA  có:  1   1    2 OH OA OA2 Xét  OBC  có:  1    2   2 OA OB OC 1 1 Từ (1) và (2) ta có:       2 OH OA OB OC A H O B A' C Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Câu Cho hình chóp  S.ABC  có  SB  vng góc với mặt phẳng   ABC  , tam giác  ABC  vuông tại  A   a Chứng minh rằng tam giác  SAC  vuông.    ; ACS   ; BC  a   b Tính  SA, SB, SC  biết  ACB Lời giải a SB   ABC   SB  AC S Mà  AC  AB  nên  AC   SAB  AC  SA    Vậy, tam giác  SAC  vuông tại  A   b Xét  ABC  có: AC  a.cos ; AB  a.sin  ,  a.cos  Xét  SAC  có:  SA  a.cos .tan ; SC     cos  A C Xét SAB  có:  SB  a cos .tan   sin    B Câu Cho tứ diện  S.ABC  có  SA  vng góc với   ABC và tam giác  ABC  vng tại  B  Chứng minh rằng:  a BC   SAB    b Gọi  AH  là đường cao của tam giác  SAB  Chứng minh rằng  AH   SBC    Lời giải BC  AB a   BC   SAB    BC  SA AH   SAB  b   BC  AH BC   SAB  Mà  AH  SB  nên  AH   SBC     S H C A B Câu Cho  hình  chóp  S.ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  thoi  tâm  O   Gọi  I; J   lần  lượt  là  trung  điểm  của  AB, BC  Biết  SA  SC, SB  SD  Chứng minh rằng:  a SO   ABCD     b IJ   SBD    Lời giải a Vì  SA  SC  nên  SAC  cân tại  S     SO  AC    Vì  SB  SD  nên  SBD  cân tại  S     SO  BD   Vậy,  SO   ABCD    AC  SO b   AC   SBD  AC  BD Vì  I; J   lần  lượt  là  trung  điểm  của  AB, BC   nên  S A B I O J D C IJ//AC  Vậy,  IJ   SBD        Câu Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng tâm  O ,  SA  vng góc với đáy. Gọi  H; I; K   là hình chiếu vng góc của  A  lên các cạnh  SB, SC, SD   a Chứng minh rằng  CD   SAD   và  BD   SAC     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   b Chứng minh rằng  SC   AHK   và điểm  I  cũng thuộc   AHK     c Chứng minh rằng  HK   SAC  , từ đó suy ra  HK  AI   Lời giải CD  SA BD  SA a   CD   SAD  ;   BD   SAC  CD  AD BD  AC CD  AK b   AK   SCD   AK  SC SD  AK S H Tương tự có:  AH  SC  Vậy  SC   AHK    SAC Trong  mặt  phẳng      từ  A   kẻ  đường  thẳng  d   K I vng góc với  SC  thì  d  AI  hay  I   AHK    c Vì  HK / /BD  (ví dụ 3)  Mà  BD   SAC   nên  HK   SAC  B A   Vậy  HK  AI   D C Câu Cho hình chóp  S.ABCD   có đáy  ABCD   là hình  vng cạnh  a ,  mặt bên  SAB   là  tam giác  đều  và  SC  a  Gọi  H, K  lần lượt là trung điểm của các cạnh  AB, AD   a Chứng minh rằng  SH   ABCD     b Chứng minh rằng  AC  SK; CK  SD   Lời giải a a a Xét  SHC  có:  SH     ; SC  a 2; HC  2 Ta  thấy:  SH  HC  SC  SHC   vuông  tại  H  hay  SH  HC  Mà  SH  AB  nên  SH   ABCD    S HK / /BD b.    HK  AC ;   BD  AC SH   ABCD   SH  AC   A H Vậy  AC   SHK   AC  SK   Tương tự có:  CK  SD   D K B C Câu Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a , mặt bên  SAB  là tam giác đều,  SCD   là tam giác vuông cân đỉnh  S  Gọi  I; J  lần lượt là trung điểm của các cạnh  AB, CD   a Tính các cạnh của tam giác  SIJ  và chứng minh rằng  SI   SCD  , SJ   SAB    b Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  S  trên  IJ  Chứng minh  SH  AC    c. Gọi  M  là một điểm thuộc đường thẳng  CD  sao cho  BM  SA  Tính  AM  theo  a   Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 S a a ; IJ  a; SJ  2 Ta thấy  SI  SJ  IJ  nên  SIJ  vuông tại S hay  SI  SJ   SI  AB  SI  CD  Vậy,  SI   SCD     AB / /CD a Ta có: SI  A D M I Tương tự có:  SJ   SAB  J H   AB  SI b   AB   SIJ   AB  SH AB  IJ B C Mà  SH  IJ  nên  SH   ABCD   SH  AC   c Kẻ  Bx  AH  cắt  CD  tại M  BM  AH  BM   SAH   BM  SA     BM  SH BM  cắt  IJ  tại  E , cắt  AD  tại  F   Ta chứng minh được:  BE  EF  FM   a Ta tính được:  MD  DJ  JC    a Vậy,  AM    Câu 10 Cho hình chóp  S.ABCD , có  SA   ABCD   và  SA  a , đáy  ABCD  là hình thang vng đường  cao  AB  BC  a; AD  2a  và  M  là trung điểm  AD   a Chứng minh rằng tam giác  SCD  vuông tại C   b Kẻ  SN  vuông  CD  tại  N  Chứng minh rằng  CD   SAN     Lời giải S a Ta có: SD  SA  AD  a    AC  AB2  BC2  a ;  SC  SA  AC2  a   CD  a    Xét  SCD  có:  SC  CD  SD    Vậy, tam giác  SCD  vuông tại C.  CD  SN b   CD   SAN    CD  SA A D M N B C   Dạng Xác định góc đường thẳng mặt phẳng 1) Khái niệm Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vng góc của nó  xuống mặt phẳng.  2) Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng  d  và mặt phẳng   P  , ta thực hiện theo các bước sau  - Tìm hình chiếu  d   của  d  lên   P    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    d, d - Khi đó,   d ,  P      , và bài tốn quay về tìm góc giữa hai đường thẳng.  Chú ý: Thơng thường đường thẳng  d  cho dạng đoạn thẳng ( MN  chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu  của  MN  ta tìm hình chiếu của từng điểm  M và  N  xuống   P  , tức là tìm các điểm  H , K  sao cho  MH   P  ,  NK   P    Câu Cho hình vng  ABCD  và tam giác đều  SAB  cạnh  a  nằm trong hai mặt phẳng vng góc. Gọi  I  là  trung điểm của  AB   a) Chứng minh  SI   ABCD   và tính góc hợp bởi  SC  và   ABCD    b) Tính khoảng cách từ  B  đến   SAD   Từ đó suy ra góc của  SC  với   SAD    c) Gọi  J  là trung điểm của  CD , chứng minh   SIJ    ABCD    d) Tính góc hợp bởi  SI  với   SCD    Lời giải     a)  SAB  đều,  I  là trung điểm của  AB  SI  AB    SAB    ABCD   Có   SAB    ABCD   SI   ABCD     SI  AB    SC , AC   SCA Có  IC  là hình chiếu của  SC  trên   ABCD    SC ,  ABCD     a a a ;  SI    IC  BI  BC     a  2 2  tan SCA SI  =arctan     SCA IC 5 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11   SC ,  ABCD    arctan   b) Gọi  M  là trung điểm của  SA  BM  SA  BM   SAD   d  B,  SAD    BM  a   Tính góc SC với  SAD  Gọi   BCM    SAD   d  d  qua  M  và song song với  BC   Trong mặt phẳng   BCM  , dựng  CE / / BM  E  d   CE   SCD   SE  là hình chiếu của  SC     SC , SE   ESC trên   SAD    SC ,  SAD     2 a 3 a 5 a Có  CE  BM  ; IC  SI  IC        a       a CE   arcsin     ESC sin ESC   SC a   SC ,  SAD    arcsin    SI   ABCD  c) Có     SIJ    ABCD     SI   SIJ  CD  I J d) Có     SIJ   CD   SIJ    SCD    CD  SI Trong mặt phẳng   SIJ  , dựng  IK  SJ  IK   SCD   SK  là hình chiếu của  SI  trên   SCD        SI ,  SCD     SI , SK    SI , SJ   ISJ  tan ISJ IJ a   arctan      ISJ SI a 3 Vậy    SI ,  SCD    arctan   Câu Cho hình chóp tứ giác đều  S ABCD  có cạnh đáy bằng  a , tâm  O  Gọi  M ,  N  lần lượt là trung điểm  SA  và  BC  Biết góc giữa  MN  và mặt phẳng   ABCD   là  600   a) Tính độ dài  MN   b) Tính cosin của góc giữa  MN  và   SBD    Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   a) Vì  S ABCD  là hình chóp đều nên  SO   ABCD    Gọi  H  là hình chiếu của  M  trên   ABCD   H  là trung điểm của  AO   Áp dụng định lí cosi vào tam giác  CHN , ta có   2 a 5a 3  a   HN  CH  CN  2.CH CN cos45   a      .a  2 4  2 2   600   Có  HN  là hình chiếu của  MN  trên   ABCD   MN ,   ABCD     MN , HN   MNH   a HN a 10 HN    cos MNH  MN   20   cos60 MN cos MNH Vậy  MN  a 10   b) Gọi  E  là trung điểm của  SD , ta có  MN / /CE   MN ,  SBD     EC ,  SBD       EC , EO   CEO Có  CO   SBD   OE  là hình chiếu của  CE  trên   SBD    EC ,  SBD       EO   Trong tam giác vng  CEO  có  cosCEO EC EC  MN  EO  a 10   SB     MH  MH  MN sin MNH   a 10 sin 60  a 30   Xét tam giác vng  HMN  có  sin MNH MN  SO  MH  a 30   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   a)  SB; CM  với  M  là trung điểm  AD   b)  SC ; DN  với  N  là điểm trên  BC  sao cho  BN  NC   c)  SC  và   ABCD    d)  SC  và   SAB    e)  SB  và   SAC    Lời giải S M D A O B N C               a) SB.CM  SA  AB CM  SA.CM  AB.CM  AB.CM  DC.CM   DC.CM cos D CM    DC CM  DC   DC   a CM  AD  MDC  vuông tại  D :  CM  MD  DC   a     DC    2   SAB  vuông tại  A :  SB  SA2  AB  a  a  a      SBCM 35     cos  SB; CM   cos SB; CM   SB.CM 35    35    SB; CM   arccos      35  b) a   a  SC  SA2  AC   2a 10 a DN  DC  CN  a     a   3       DN SC     cos  DN ; SC   cos DN ; SC   DN SC 10    5   BN ; SC   arccos     10   c) SA   ABCD   tại  A   SC   ABCD   C       AC  là hình chiếu của  SC lên   ABCD          SC ;  ABCD     SC ; AC   SCA SA a   60      SCA AC a d) SB   SAB   S    tan SCA Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 CB  SA  CB   SAB       B  là hình chiếu của  C  lên   SAB     CB  AB    SB  là hình chiếu của  SC lên   SAB          SC ;  SAB     SC ; SB   CSB BC a  BSC vuông tại  B :  tan B    SC    SB a 7     SC ;  SAB    arctan      7  BD  AC e)Ta có:    BD   SAC      BD  SA Gọi  O  BD  AC  O  là hình chiếu của  B  lên   SAC     Mà  SB   SAC   S      SO  là hình chiếu của  SB lên   SAC          SB;  SAC     SB; SO   BSO a BO 14  BSO vuông tại  O :  sin B    SO    SB a 14  14    SB;  SAC    arcsin      14  Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a , hình chiếu vng góc của  S  xuống  mặt phẳng   ABCD   là trọng tâm  G  của tam giác  ABD , cho  SG  2a  Tính góc giữa:  a)  SA  và  BD   b)  SC  và   ABCD    c)  AD  và   SAC    d)  SD  và   ABCD    Lời giải   a) Gọi  O  AC  BD  Do  G  là trọng tâm tam giác  ABD  nên  G  thuộc  AC    AC  BD Ta có:    SAC   BD  SA  BD    SG  BD  Vậy  SA ; BD  90     b) Ta có:  AC  BD  a  AO  a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   a AO    CG    SG  Mặt khác,  tan SCG GC 2 a   2a    cos SCG  0   11 2a 2  tan SCG      với  cos     ;  ABCD   SCG Vậy  SC 11  DO  AO   45   c) Ta có:    DO   SAC    AD;  SAC   DAO DO  SG  OG      a2 a2 a     18   SG  2a   cos SDG   0  Mặt khác  tan SDG DC 41 5 a      với  cos     ;  ABCD   SDG Vậy  SD 41 Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang vng tại  A, B , AB  BC  a ,  AD  2a  Cạnh  d) Trong  GOD  có:  GD  OD  GO    SA  vng góc với đáy,  SA  a  Tính góc giữa  a)  SC  và   S AB    b)  SD  và   S AC    c)  AC  và   SAD    Lời giải  BC  AB a) Ta có:    BC   SAB   SB  là hình chiếu của  SC  trên   SAB     BC  SA SC ,  SAB     SC , SB     2 2 2  SB  SA2  AB  3a   SB  SC  BC  3a  4a  a    Mà    cos BSC 2 2 2.SB.SC 2.2a 3a  SC  SA  AB  BC  4a   300    BSC SC ,  SAB    300   Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 b) Trên mặt phẳng   ABCD   kẻ  DE  AC  E  AC    Ta có  EAD  vng cân tai  E  AE  ED  a 2; SD  a     Dễ thấy:  DE   SAC    SD,  SAC    ESD   DE   cos ESD  2  Do đó ta có  sin ESD SD 3   450   c) Kẻ  CF  AD  F  AD   Khi đó dễ thấy  CF   SAD    AC ,  SAD    CAF Câu Cho  hình  chóp  S ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  thang  vng  tại  A ,  B   với  AB  BC  2a ,  AD  3a  Hình chiếu vng góc của  S  lên mặt phẳng   ABCD   là điểm  H  thuộc cạnh  AB  với  AH  BH , biết  SH  a    a. Tính góc giữa  SC  và  HD   b. Tính góc tạo bởi  SD  và   ABCD    c. Tính góc tạo bởi  SC  và   SHD    d. Tính góc tạo bởi  SB  và   SHD    e Tính góc tạo bởi  BC  và   SHD    f. Tính góc tạo bởi  SB  và   SAD    g. Tính góc tạo bởi  SC  và   SAD    Lời giải a. Tính góc giữa  SC  và  HD                2a 4a 62a Ta có:  SC.HD  SH  HB  BC HA  AD  HB.HA  BC AD   2a.3a    3     SC.HD SC.HD 62 6499 Do đó:  cos  SC , HD       SC.HD 6499 SB  BC AD  AH  Vậy  SC , HD  39, 7        b. Tính góc tạo bởi  SD  và   ABCD    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/     Đặt     SD,  ABCD       Ta có  SH   ABCD   HD  là hình chiếu của  SD  lên   ABCD      SD, HD     SDH Xét tam giác vng  AHD  có  HD  AH  AD    9a  16a a 97    SH 3a 3      HD a 97 97 c. Tính góc tạo bởi  SC  và   SHD     tan     Đặt     SC ,  SHD     Gọi  M  là hình chiếu của  C  lên  HD   CM  HD  Khi đó      CM   SHD   SM là hình chiếu của  SC  lên mặt phẳng   SHD     CM  SH        SC , SM     CSM 4a 40a    9 a 67 40a 2 2 Xét tam giác vuông  SHC  có  SC  SH  HC    3a      Ta có  S CHD  S ABCD  S AHD  S BCH    Xét tam giác vng  BHC  có  HC  BC  BH    4a   1 4a CM HD   10a  4a  2      CM  14a   97  sin   CM 42 6499 14a.3      6499 SC a 97 67 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 d. Tính góc tạo bởi  SB  và   SHD      Đặt     SB,  SHD     Gọi  N  là hình chiếu của  B  lên  HD   BN  HD  Khi đó      BN   SHD   SN là hình chiếu của  SB lên mặt phẳng   SHD     BN  SH        SB, SN     BSN Xét tam giác vng  BHN  có   BH AD 2a 3a.3 6a     BH sin  NB  BH sin BHN AHD      HD a 97 97 Xét tam giác vng  SBH  có  SB  SH  HB    3a  a 31 4a     NB 6a 31 3007      SB 97 3a 97 e Tính góc tạo bởi  BC  và   SHD     sin   Kẻ  HD  cắt  BC  tại  I   Kẻ  CK  DH   Mà  CK  SH ( vì  SH  ABCD )  CK   AHD     K  là hình chiếu của  C  lên   AHD         BC ; SHD   BC ; IK  CIK       AD  AB ( gt )  Ta có:    AD //BC      CIK ADH  ( so le trong)  BC  AB ( gt  4a AH  ADH  arctan   Mà:  tan  ADH       CIK AD 3a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   f. Tính góc tạo bởi  SB  và   SAD      Kẻ  BL  SA  (1)   AD  SH Ta có:    AD   SAB   AD  BL  (2)   AD  AB Từ (1) và (2)   BL   SAD     L  là hình chiếu của  B  lên mặt phẳng   SAD        SB; SAD   SB; SL  BSA Suy ra        a 43 a 31 ;  SB  SH  BH    3 2   SA  SB  AB  19 1333   Vậy  cos BSA 2SA.SB 1333   BSA  58, 6   g. Tính góc tạo bởi  SC  và   SAD    Ta có:  SA  SH  AH    Kẻ  CM  AD , dựng  N  sao cho  SAMN  là hình bình hành, mà  AD  SA  nên  AD  MN   OC  AD Kẻ  CO  MN      OC   SAD     OC  MN    O  là hình chiếu của  C  lên   SAD       Suy ra:   SC ; SAD   SC ; SO  CSO      Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...  cùng vng? ?góc? ?với? ?đường? ?thẳng? ? d  thì   P1  / /  P2    + Hệ 4: Nếu? ?đường? ?thẳng? ? d  cùng vng? ?góc? ?với? ?một? ?đường? ?thẳng? ? a  và một mặt phẳng   P    thì khi đó? ?đường? ?thẳng? ? a  hoặc song song? ?với? ?... thì? ?góc? ?giữa chúng bằng? ?góc? ?giữa? ?đường? ? thẳng? ? d   và  hình  chiếu  vng  góc? ? của  đường? ? thẳng? ? d  trên mặt phẳng      PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng -Đường thẳng. .. 5: Một  đường? ?thẳng? ? vng  góc? ? với? ? một  mặt  phẳng  thì  nó cũng vng? ?góc? ?với? ?bất kì? ?đường? ?thẳng? ?nào song  song mặt phẳng ấy.  Nếu một? ?đường? ?thẳng? ?và một mặt phẳng (khơng chứa  đường? ? thẳng? ? đó)