Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Mặt phẳng Mặt phẳng Kí hiệu mp , mp , mp P Cách biểu diễn là hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng A thuộc mặt phẳng , kí hiệu A Không thuộc kí hi.
Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG • Chương QUAN HỆ SONG SONG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt phẳng Mặt phẳng: Kí hiệu mp , mp , mp P … Cách biểu diễn: hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng: A thuộc mặt phẳng , kí hiệu A Khơng thuộc kí hiệu A A Biểu diễn hình khơng gian Quy tắc biểu diễn: Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng Hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song Nét thấy nét liền Nét khuất nét đứt Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Trang Từ tính chất suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Cách xác định mặt phẳng không gian Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A B C P Qua đường thẳng điểm nằm đường thẳng A a P Qua hai đường thẳng cắt b O a P Hình chóp tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1 A2 A3 An điểm S nằm mặt phẳng đa giác Nối S với đỉnh đa giác ta hình chóp S A1 A2 A3 An Đa giác A1 A2 A3 An gọi đáy; S đỉnh; SA1 , SA2 , SA3 … gọi cạnh bên Có hình chóp tam giác, tứ giác,… hình chóp có đáy tam giác, tứ giác Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên Hình tứ diện Hình tứ diện hình tạo điểm A , B , C , D không đồng phẳng Hình tứ diện có mặt, mặt tam giác Tứ diện hình chóp tam giác Tứ diện tứ diện có cạnh Trang S A6 A1 A5 A2 A4 A3 PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc hai mặt phẳng Nối hai điểm chung giao tuyến cần tìm Về dạng điểm chung thứ thường dễ tìm Điểm chung cịn lại bạn phải tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba chúng không song song Giao điểm hai đường thẳng điểm chung thứ hai Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến đường thẳng chung hai mặt phẳng, có nghĩa giao tuyến đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt phẳng Dạng tốn tìm giao tuyến, thường giao tuyến câu hỏi đầu hay sử dụng để tìm giao điểm để làm tập câu sau Ta xét cụ thể toán sau: Bài tập tự luận Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD có AB cắt CD E , AC cắt BD F a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng ( SAB) SCD) , ( SAC ) ( SBD) b) Tìm giao tuyến ( SEF) với mặt phẳng ( SAD), ( SBC ) Lời giải E AB SE ( SAB) a) ( SAB) ( SCD) SE E AC SE ( SCD) Trang F AC SF ( SAC ) ( SAC ) ( SBD) SF F BD SF ( SBD) EF AD G a) Gọi EF BC H G EF SG (SEF) ( SEF) (SAD) SG G AD SG (SAD) H EF SH (SEF) ( SEF) (SBC) SH H AD SH (SBC) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O M , N , P trung điểm BC , CD,SO Tìm giao tuyến ( MNP) với mặt phẳng SAB , SAD , SBC SCD Lời giải Gọi E NO AB; F NP SE , MN AB G G AB G ( SAB) GF ( SAB) F SE ( SAB ) F ( SAB) G MN G ( MNP) GF ( MNP) Vậy GF ( SAB) ( MNP) F NP F ( MNP) Gọi H GF SB MH ( MNP) ( SBC ) Làm tương tự với mặt lại Câu Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AD, BC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng ( IBC ), ( JAD) b) M điểm cạnh AB , N điểm cạnh AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( IBC ), ( DMN ) Lời giải A M I F N E D B J C a) Ta có: I AD I ( JAD) IJ ( JAD) I BC I ( JBC ) IJ ( JBC ) Vậy ( IBC ) ( JAD) IJ E DN IC b) Ta có: EF=(IBC) (DMN) F DM IB Trang Câu Cho tứ diện ABCD M điểm bên ABD , N điểm bên ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng a) AMN BCD b) DMN ABC Lời giải A H G N M D B F E C a) Gọi E AM BD; F AN CD E AM E AMN Có EF AMN (1) F AN F AMN E BD E BCD Có EF BCD (2) F CD F BCD Từ (1) (2) suy EF BCD AMN b) Tương tự câu a) có DMN ABC GH với G DM AB ; H DN AC Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SB, SD Lấy điểm P cạnh SC cho PC PS Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng a) ( SAD) ( SBD) b) ( MNP) ( SBD) c) ( MNP) ( SAC ) d) ( MNP) ( SAB) e) ( SAD) ( MNP) f) MNP) ( ABCD) Lời giải a) Trong mặt phẳng ( ABCD) gọi O giao điểm AC , BD Do S , O thuộc mặt phẳng ( SAC ), ( SBD) SO ( SAC ) ( SBD) b) MN ( SBD) ( MNP) c) Trong ( SBD) gọi K MN SO Đường thẳng PK cắt SA E ta có: PE ( SAC ) ( MNP) d) E, M điểm chung mặt phẳng ( SAB), ( MNP) Trang ME ( SAB) ( MNP) e) Tương tự NE ( SAD) ( MNP) f) Trong mặt phẳng ( SAC ) gọi J EP AC , mặt phẳng ( SAB) gọi I EM AB Do I , J điểm chung mặ phẳng ( MNP),( ABCD) IJ ( MNP) ( ABCD) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành I , J , K trung điểm BC , CD,SA Tìm giao tuyến a) (IJK ) ( SAB) b) (IJK) ( SAD) c) (IJK ) ( SCB) d) (IJK ) ( SDB) Lời giải a) Trong mp ( ABCD) gọi E AB IJ, F AD IJ Khi điểm K , E điểm chung mp (IJK ), ( SAB) nên KE ( SAB ) (IJK ) b) Tương tự KF ( SAD) (IJK ) c) ) Trong mp ( SAB) gọi Q KE SB Khi điểm Q, I điểm chung mp (IJK ), ( SCB) nên QI ( SCB) (IJK ) d) ) Trong mp ( SAD) gọi P SD KF Khi điểm P, Q điểm chung mp (IJK ), ( SBD) nên PQ ( SBD) (IJK ) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD laf hình thang có đáy lớn AD Gọi I trung điểm SA , J điểm nằm AD cho JD AD , K SB : SK BK Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) (IJK ) ( ABCD) b) (IJK ) ( SBD) c) (IJK ) ( SCB) Lời giải S I K J D A P B F C E a) Trong mp ( SAB) gọi E KI AB Khi điểm J , E điểm chung mp (IJK ),( ABCD) nên JE ( ABCD) (IJK ) b) Trong mp ( ABCD) gọi E BD IE Khi điểm K , P điểm chung mp (IJK ), ( SBD) nên KP ( SBD) (IJK ) c) Gọi F BC JE Khi điểm K , F điểm chung mp (IJK ), ( SBD) nên KF ( SBC ) (IJK ) Trang Câu Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a) SAC SBD b) SAC MBD c) MBC SAD d) SAB SCD Lời giải S M A D F O C B E a) Gọi O AC BD O AC SAC O BD SBD Lại có S SAC SBD O SAC SBD SO SAC SBD b) O AC BD O AC SAC O BD MBD O SAC MBD Và M SAC MBD OM SAC MBD F BC MBC c) Trong ABCD gọi F BC AD F MBC SAD F AD SAD Và M MBC SAD FM MBC SAD d) Trong ABCD gọi E AB CD , ta có SE SAB SCD Câu Cho bốn điểm A, B, C , D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC , BD lấy điểm M , N , P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến BCD MNP Lời giải A M P D B N C E P BD mà BD BCD P BCD P BCD P điểm chung BCD MNP Trong mp ABC , gọi E MN BC Trang E BC mà BC BCD E BCD E MN mà MN MNP E MNP E điểm chung BCD MNP Vậy PE giao tuyến BCD MNP Câu 10 Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a) AMN BCD b) DMN ABC Lời giải A P M N Q B D E F C a) Tìm giao tuyến AMN BCD Trong ABD , gọi E AM BD E AM mà AM AMN E AMN E BD mà BD BCD E BCD E điểm chung AMN BCD Trong ACD , gọi F AN CD F AN mà AN AMN F AMN F CD mà CD BCD F BCD F điểm chung AMN BCD Vậy EF giao tuyến AMN BCD b) Tìm giao tuyến DMN ABC Trong ABD , gọi P DM AB P DM mà DM DMN P DMN P AB mà AB ABC P ABC P điểm chung DMN ABC Trong ACD , gọi Q DN AC Q DN mà DN DMN Q DMN Trang Q AC mà AC ABC Q ABC ABC Q điểm chung DMN Vậy PQ giao tuyến DMN ABC Câu 11 Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD , M điểm đoạn AO a) Tìm giao tuyến mặt phẳng MCD với mặt phẳng ABC , ABD b) Gọi I , J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ không song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng IJM ACD Lời giải A R G M P D Q J B O K I E N C F a) Trong BCD gọi N DO BC , ADN gọi P DM CDM P CDM ABC P DM AN P AN ABC Lại có C CDM ABC PC CDM ABC Tương tự, BCD gọi Q CO BD , ACQ gọi R CM AQ R CM CDM R CDM ABD R AQ ABD D điểm chung thứ hai MCD ABD nên DR CDM ABD b) Trong BCD gọi E BO CD, F IJ CD , K BE IJ ; ABE gọi G KM AE Ta có: F IJ IJM F IJM ACD , F CD ACD G KM IJM G IJM ACD G AE ACD Vậy FG IJM ACD DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) , có hai cách làm sau: Trang Cách 1: Những đơn giản, có sẵn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d đường thẳng a thuộc mặt phẳng ( ) Giao điểm hai đường thẳng khơng song song d a giao điểm d mặt phẳng ( ) Cách 2: Tìm mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d , cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng ( ) Giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) giao điểm đường thẳng d giao tuyến a vừa tìm Bài tập tự luận Câu Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M , N cho MN khiing song song với CD Gọi O điểm bên BCD a) Tìm giao tuyến OMN BCD b) Tìm giao điểm BC BD với mặt phẳng OMN Lời giải a) Theo hình vẽ ta có - Trong mp ACD : kẻ MN giao với CD I - Trong mp BCD : kẻ IO giao BC BD E F - Từ giao tuyến OMN BCD đường EF b) Theo a) giao BC BD với OMN E F Câu Cho hình chóp S ABCD M điểm cạnh SC a) Tìm giao điểm AM SBD b) Gọi N điểm cạnh BC Tìm giao điểm SD AMN Lời giải Trang 10 a) Gọi NP CD K CD MNP K b) Gọi MK SD Q Q SD MNP c) Gọi PN BC I E SB MJ , giao tuyến SBC ) MNP MJ Câu d) Thiết diện ngũ giác MENPQ Cho tứ diện ABCD , cạnh a Kéo dài BC đoạn CE a Kéo dài BD đoạn DF a Gọi M trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng MEF b) Tính diện tích thiết diện Lời giải a) Theo hình vẽ ta có: Trong mp ABC : ME giao AC I Trong mp ABD : MF giao AD J Từ thiết diện tứ diện với mp MEF tam giác MIJ 2a AI AC b) Theo cách dựng I J trọng tâm tam giác ABE ABF AJ AD 2a 3 2a Tam giác AIJ IJ Do AI AJ nên AMI AMJ MI MJ Trang 17 Trong AMI : MI MA2 IA2 2MA.IAcosA SMIJ Câu 2a a 13 a 13 a 2 a 6 3 Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SAD a) Tìm giao điểm I MG với ABCD , chứng tỏ I thuộc mặt phẳng CMG b) Chứng tỏ (CMG) qua trung điểm SA , tìm thiết diện hình chóp với CMG c) Tìm thiết diện hình chóp với AMG Lời giải a) Gọi J trung điểm AD Khi I MG BJ suy G trọng tâm tam giác SBI nên J trung điểm BI Khi MG, BJ , CD đồng quy điểm I Do I thuộc mặt phẳng CMG b) Ta có CMG CIM Dựng DG cắt SA E Mặt khác G trọng tâm SAD E trung điểm SA Như tứ giác CMED thiết diện (CMG) với khối chóp c) Gọi O BJ AC , K SO MI , H AG SD Dựng AK cắt SC F tứ giác AMFH thiết diện khối chóp với mặt phẳng AMG Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang ABCD, AB đáy lớn I , J trung điểm SA, SB; M thuộc SD a) Tìm giao tuyến SAD SBC b) Tìm giao điểm K IM SBC c) Tìm giao điểm N SC IJM d) Tìm thiết diện hình chóp với IJM Lời giải Trang 18 a) Gọi E AD BC SE giao tuyến SAD SBC b) Trong (SAE) dựng IM cắt SE K Khi K IM SBC c) Gọi O AC BD Trong (SBD) gọi F SO MJ (SAC) dựng IF cắt SC N Khi N SC IJM d) Do thiết diện IJM khối chóp tứ giác IMNJ Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang ABCD , AB đáy lớn Gọi I , J , K trung điểm AD, BC , SB a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (IJK) (SCD) b) Tìm giao điểm M SD (IJK) c) Tìm giao điểm N SA (IJK) d) Tìm thiết diện hình chóp với (IJK) Thiết diện hình gì? Lời giải a) Ta có: AB / / CD , S SAB SCD giao tuyến (SAB) (SCD) đường thẳng qua S song song với AB KJ / / SC b) Ta có SCD / / IJK (SCD) không giao với (IJK) IJ / / CD / / AB c) Dựng KN / / AB suy N trung điểm SA Khi ta có: NK / / IJ N SA IJK d) Thiết diện hình chóp với IJK tứ giác IJKN Trang 19 DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng Bài tập tự luận Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB CD Mặt phẳng qua MN cắt AD, BC P Q Biết MP cắt NQ I Chứng minh ba điểm I , B, D thẳng hàng Lời giải A M P D B I N Q C Ta có ABD BCD BD I MP ABD I thuộc giao tuyến ABD BCD Lại có I NQ BCD I BD I , B, D thẳng hàng Câu Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D , E F cho DE cắt AB I , EF cắt BC J , FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng Lời giải S D F A C E K B I J Ta có I DE AB, DE DEF I DEF ; AB ABC I ABC 1 Tương tự: J EF DEF J EF BC 2 J BC ABC K DF DEF K DF AC 3 K AC ABC Từ (1),(2) (3) ta có I , J , K điểm chung hai mặt phẳng ABC DEF nên chúng thẳng hàng Trang 20 ... ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) , có hai cách làm sau: Trang Cách 1: Những đơn giản, có sẵn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d đường thẳng a... Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A B C P Qua đường thẳng điểm nằm đường thẳng A a P Qua hai đường thẳng cắt b O a P Hình chóp tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1 A2 A3 An điểm S nằm mặt phẳng... Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất