Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Mặt phẳng Mặt phẳng Kí hiệu mp , mp , mp P Cách biểu diễn là hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng A thuộc mặt phẳng , kí hiệu A Không thuộc kí hi.
Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG • Chương QUAN HỆ SONG SONG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt phẳng Mặt phẳng: Kí hiệu mp , mp , mp P … Cách biểu diễn: hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng: A thuộc mặt phẳng , kí hiệu A Khơng thuộc kí hiệu A A Biểu diễn hình khơng gian Quy tắc biểu diễn: Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng Hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song Nét thấy nét liền Nét khuất nét đứt Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Trang Từ tính chất suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Cách xác định mặt phẳng không gian Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A B C P Qua đường thẳng điểm nằm đường thẳng A a P Qua hai đường thẳng cắt b O a P Hình chóp tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1 A2 A3 An điểm S nằm mặt phẳng đa giác Nối S với đỉnh đa giác ta hình chóp S A1 A2 A3 An Đa giác A1 A2 A3 An gọi đáy; S đỉnh; SA1 , SA2 , SA3 … gọi cạnh bên Có hình chóp tam giác, tứ giác,… hình chóp có đáy tam giác, tứ giác Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên Hình tứ diện Hình tứ diện hình tạo điểm A , B , C , D không đồng phẳng Hình tứ diện có mặt, mặt tam giác Tứ diện hình chóp tam giác Tứ diện tứ diện có cạnh Trang S A6 A1 A5 A2 A4 A3 PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc hai mặt phẳng Nối hai điểm chung giao tuyến cần tìm Về dạng điểm chung thứ thường dễ tìm Điểm chung cịn lại bạn phải tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba chúng không song song Giao điểm hai đường thẳng điểm chung thứ hai Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến đường thẳng chung hai mặt phẳng, có nghĩa giao tuyến đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt phẳng Dạng tốn tìm giao tuyến, thường giao tuyến câu hỏi đầu hay sử dụng để tìm giao điểm để làm tập câu sau Ta xét cụ thể toán sau: Bài tập tự luận Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD có AB cắt CD E , AC cắt BD F a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng ( SAB) SCD) , ( SAC ) ( SBD) b) Tìm giao tuyến ( SEF) với mặt phẳng ( SAD), ( SBC ) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O M , N , P trung điểm BC , CD,SO Tìm giao tuyến ( MNP) với mặt phẳng SAB , SAD , SBC SCD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AD, BC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng ( IBC ),( JAD) b) M điểm cạnh AB , N điểm cạnh AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( IBC ), ( DMN ) Câu Cho tứ diện ABCD M điểm bên ABD , N điểm bên ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng a) AMN BCD b) DMN ABC Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SB, SD Lấy điểm P cạnh SC cho PC PS Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng a) ( SAD) ( SBD) b) ( MNP) ( SBD) c) ( MNP) ( SAC ) d) ( MNP) ( SAB) Trang e) ( SAD) ( MNP) f) MNP) ( ABCD) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành I , J , K trung điểm BC , CD,SA Tìm giao tuyến a) (IJK ) ( SAB) b) (IJK) ( SAD) c) (IJK ) ( SCB) d) (IJK ) ( SDB) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD laf hình thang có đáy lớn AD Gọi I trung điểm SA , J điểm nằm AD cho JD AD , K SB : SK BK Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) (IJK ) ( ABCD) b) (IJK ) ( SBD) c) (IJK ) ( SCB) Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a) SAC SBD b) SAC MBD c) MBC SAD d) SAB SCD Câu Cho bốn điểm A, B, C , D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC , BD lấy điểm M , N , P cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến BCD MNP Câu 10 Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a) AMN BCD b) DMN ABC Câu 11 Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD , M điểm đoạn AO a) Tìm giao tuyến mặt phẳng MCD với mặt phẳng ABC , ABD b) Gọi I , J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ không song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng IJM ACD DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) , có hai cách làm sau: Cách 1: Những đơn giản, có sẵn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d đường thẳng a thuộc mặt phẳng ( ) Giao điểm hai đường thẳng khơng song song d a giao điểm d mặt phẳng ( ) Trang Cách 2: Tìm mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d , cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng ( ) Giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) giao điểm đường thẳng d giao tuyến a vừa tìm Bài tập tự luận Câu Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M , N cho MN khiing song song với CD Gọi O điểm bên BCD a) Tìm giao tuyến OMN BCD b) Tìm giao điểm BC BD với mặt phẳng OMN Câu Cho hình chóp S ABCD M điểm cạnh SC a) Tìm giao điểm AM SBD b) Gọi N điểm cạnh BC Tìm giao điểm SD AMN Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AC BC K điểm cạnh BD không trùng với trung điểm BD Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng MNK Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AC AD O điểm bên BCD Tìm giao điểm của: a) MN ABO b) AO BMN Câu Cho hình chóp S.ABCD , có đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I , J , K ba điểm SA, AB, BC a) Tìm giao điểm IK SBD b) Tìm giao điểm mặt phẳng IJK với SD SC Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD có AD BC khơng song song với Lấy I thuộc SA cho SA 3IA , J thuộc SC M trung điểm SB a) Tìm giao tuyến SAD SBC b) Tìm giao điểm E AB IJM c) Tìm giao điểm F BC IJM d) Tìm giao điểm N SD IJM e) Gọi H giao điểm MN BD Chứng minh H , E , F thẳng hàng DẠNG TÌM THIẾT DIỆN I Phương pháp tìm thiết diện S M Q N P B A C D Thiết diện hình ( H ) hình ( Q ) phần chung giữa2 hình Thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) phần chung mặt phẳng (α ) hình chóp (H ) Trang Đặc điểm - Thiết diện đa giác kín - Các cạnh thiết diện nằm mặt hình chóp - Cạnh thiết diện hình thành từ đoạn giao tuyến mặt phẳng cắt với mặt hình chóp - Trong giới hạn hình chóp Thiết diện cắt khơng cắt tất mặt hình chóp Phương pháp tìm thiết diện - Xác định điểm chung có sắn - Từ điểm chung có sắn ta xác định giao tuyến mặt phẳng với mặt chưa điểm chung - Từ giao tuyến ta xác định đoạn giao tuyến cách tìm giao điểm giao tuyến với cạnh mặt phẳng - Từ giao tuyến tìm ta tiến hành tìm giao tuyến đoạn giao tuyến cịn lại hình kín Bài tập tự luận Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy hình bình hành tâm O Gọi M , N , I ba điểm AD, CD, SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng MNI Câu Cho hình chóp S ABC , M điểm cạnh SC , N P trung điểm AB AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng Cho hình chóp S ABCD Trong tam giác SBC , lấy điểm M Trong tam giác SCD , lấy điểm N Câu a) Tìm giao điểm MN SAC b) Tìm giao điểm SC với AMN Câu c) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng Cho tứ diện ABCD Gọi H , K trung điểm cạnh AC , BC Trong mặt phẳng CDB lấy điểm M cho hai đường thẳng KM CD cắt Hãy tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng HKM Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh SB, SD, OC a) Tìm giao tuyến MNP với SAC b) Tìm giao điểm SA với MNP Câu c) Tìm thiết diện MNP với hình chóp Cho chóp S ABCD , M thuộc SC; N , P trung điểm AB, AD a) Tìm giao điểm CD MNP b) Tìm giao điểm SD MNP c) Tìm giao tuyến SBC MNP d) Tìm thiết diện chóp MNP Câu Cho tứ diện ABCD , cạnh a Kéo dài BC đoạn CE a Kéo dài BD đoạn DF a Gọi M trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng MEF b) Tính diện tích thiết diện Trang Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SAD a) Tìm giao điểm I MG với ABCD , chứng tỏ I thuộc mặt phẳng CMG b) Chứng tỏ (CMG) qua trung điểm SA , tìm thiết diện hình chóp với CMG c) Tìm thiết diện hình chóp với AMG Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang ABCD, AB đáy lớn I , J trung điểm SA, SB; M thuộc SD a) Tìm giao tuyến SAD SBC b) Tìm giao điểm K IM SBC c) Tìm giao điểm N SC IJM d) Tìm thiết diện hình chóp với IJM Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang ABCD , AB đáy lớn Gọi I , J , K trung điểm AD, BC , SB a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (IJK) (SCD) b) Tìm giao điểm M SD (IJK) c) Tìm giao điểm N SA (IJK) d) Tìm thiết diện hình chóp với (IJK) Thiết diện hình gì? DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng Bài tập tự luận Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB CD Mặt phẳng qua MN Câu cắt AD, BC P Q Biết MP cắt NQ I Chứng minh ba điểm I , B, D thẳng hàng Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D , E F cho DE cắt AB I , EF cắt BC J , FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng Cho tứ diện S.ABC có D , E trung điểm AC , BC G trọng tâm tam giác Câu ABC Mặt phẳng qua AC cắt SE , SB M ,N Một mặt phẳng qua BC cắt SD, SA tương ứng P Q a) Gọi I AM DN , J BP EQ Chứng minh S ,I ,J ,G thẳng hàng b) Giả sử K AN DM , L BQ EP Chứng minh S ,K ,L thẳng hàng Câu Cho tứ giác ABCD S ABCD Gọi M , N hai điểm BC SD a Tìm giao điểm I BN SAC b Tìm giao điểm J MN SAC c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Câu Cho mặt phẳng P điểm A, B, C khơng thẳng hàng ngồi P Giả sử đường thẳng BC , CA, AB cắt P điểm D, E , F Chứng minh D, E , F thẳng hàng Trang Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi I , J hai điểm cố định SA, SC với SI IA SJ JC Một mặt phẳng P quay quanh IJ cắt SB M , SD N Câu a Chứng minh IJ , MN , SO đồng quy ( O AC BD ) Suy cách dựng điểm N biết M b AD cắt BC E , IN cắt JM F Chứng minh S , E, F thẳng hàng Cho hình chóp S ABC Trên SA, SB, SC lấy điểm M , N , P Gọi E , F , K giao điểm MN với AB , NP với BC , MP với AC Chứng minh E, F , K thẳng hàng Câu Trong mặt phẳng P cho tứ giác lồi ABCD điểm S nằm mặt phẳng P Giả sử C ', D ' điểm SC , SD cho đường thẳng AD ' BC ' cắt M Giả sử A ', B ' hai điểm SA, SB cho DA ' CB ' cắt N Chứng minh M , N , S thẳng hàng Câu Cho hình bình hành ABCD , S điểm không thuộc ABCD Gọi M , N trung điểm AB SC a Tìm giao điểm I AN SBD b Tìm giao điểm J MN SBD c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Câu 10 Cho hình chóp SABC Gọi L, M , N điểm cạnh SA, SB, AC cho LM không song song với AB , LN không song song với SC a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng LMN ABC b Tìm giao điểm I BC LMN J SC LMN c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Câu 11 Cho hình chóp S ABCD , M điểm cạnh BC , N điểm cạnh SD a) Tìm giao điểm I BN SAC giao điểm J MN SAC b) DM cắt AC K Chứng minh S , K , J thẳng hàng c) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng BCN DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Muốn chúng minh đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba Bài tập tự luận Câu Câu Câu Trang Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Một mặt phẳng cắt cạnh bên SA, SB, SC , SD tưng ứng điểm M , N , P, Q Chứng minh đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui Chóp S ABC M SA cho MA MS P SB để PS PB Q trung điểm SC Nối MP AB H , MQ AC K Chứng minh PQ, BC , HK đồng quy Chóp S ABCD AC BD H Mặt phẳng P chứa CD cắt SA, SB M , N Chứng minh CM , DN , SH đồng quy DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG β a d I b α Để tìm tập hợp giao điểm I hai đường thẳng thay đổi a , b ta chọn hai mặt phẳng cố định I a β cắt chứa a , b , I a b I b I d Vậy điểm I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định ta thực theo bước sau - Chọn điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng - Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng δ , d qua điểm cố định J Bài tập tự luận Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Một mặt phẳng P quay quanh AB cắt cạnh SC , SD điểm tương ứng E , F a) Tìm tập hợp giao điểm I AF BE b) Tìm tập hợp giao điểm J AE BF Câu AM AN AB AC Một mặt phẳng P thay đổi chứa MN , cắt cạnh CD BD E F Cho tứ diện ABDC Hai điểm M , N nằm hai cạnh AB AC cho a) Chứng minh EF ln qua điểm cố định b) Tìm tập hợp giao điểm I ME NF c) Tìm tập hợp giao điểm J MF NE Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang ABCD với AB / / CD AB CD Gọi I trung điểm SC Mặt phẳng P quay quanh AI cắt cạnh SB, SD M , N a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) IM kéo dài cắt BC R, IN kéo dài cắt CD Q Chứng minh RQ qua điểm cố định c) Tìm tập hợp giao điểm IM AN Trang ... CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Muốn chúng minh đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba Bài tập tự luận Câu Câu Câu Trang... GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) , có hai cách làm sau: Cách 1: Những đơn giản, có sẵn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d đường thẳng a thuộc... Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A B C P Qua đường thẳng điểm nằm đường thẳng A a P Qua hai đường thẳng cắt b O a P Hình chóp tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1 A2 A3 An điểm S nằm mặt phẳng