Đang tải... (xem toàn văn)
Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định duy nhất một mặt phẳng. Mặt phẳng đó được kí hiệu là mặt phẳng (ABC) hay mp(ABC) hay ngắn gọn là (ABC).Nếu có nhiều điểm thuộc một mặt phẳng thì ta nói rằng các điểm đó đồng phẳng,còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A-LÝ THUYẾT Một số tính chất thừa nhận tính chất tính chất Như vậy, ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng Mặt phẳng kí hiệu mặt phẳng (ABC) hay mp(ABC) hay ngắn gọn (ABC) tính chất Nếu có nhiều điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng, cịn khơng có mặt phẳng chứa điểm ta nói chúng khơng đồng phẳng Như vậy, tính chất thừa nhận phát biểu sau: Tồn bốn điểm khơng đồng phẳng tính chất Giả sử (P) (Q) hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung A Theo tính chất thừa nhận (P) (Q) có đường thẳng chung a qua điểm A Đường thẳng a gọi giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), nói hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến a, kí hiệu a = (P) (Q) tính chất định lý Chứng minh Giả sử A B hai điểm phân biệt mặt phẳng (P), đường thẳng qua A B Theo tính chất thừa nhận 5, mặt phẳng (P) có đường thẳng qua A B Theo tính chất thừa nhận trùng với , nằm mp(P) Nếu đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) ta cịn nói a nằm (P), (P) qua a, (P) chứa a kí hiệu a (P), (P) a VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN Điều kiện xác định mặt phẳng CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Cách 1: Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm A,B,C khơng thẳng hàng mặt phẳng, kí hiệu(ABC) Cách 2: mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng d điểm A không thuộc d, kí hiệu(A,d) Cách 3: mặt phẳng xác định qua hai đường thẳng cắt a,b, kí hiệu(a,b) Cách 4: mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng song song a,b , kí hiệu (a,b) B: CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG PP: Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung BÀI 1: Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ( ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) HD: a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (), gọi O = AC BD O AC mà AC (SAC) O (SAC) O BD mà BD (SBD) O (SBD) O điểm chung (SAC) (SBD) S C A J k O B VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 D I GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong () , AB không song song với CD Gọi I = AB CD I AB mà AB (SAB) I (SAB) I CD mà CD (SCD) I (SCD) I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) c Tương tự câu a, b BÀI Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP A HD: P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) P ( MNP) P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN BC E MN mà MN ( MNP) E M P N C ( MNP) E E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) BÀI Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K S Tìm giao tuyến cặp mp sau : a mp ( I,a) mp (SAC ) I L b mp ( I,a) mp (SAB ) c mp ( I,a) mp (SBC ) B HD D B K O C J A a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC ) I( I,a) I điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a AC O AC mà AC (SAC ) O (SAC ) O ( I,a) O điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) mp (SBC ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Trong mp (SAC) , gọi L = IO SC L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L điểm chung hai mp ( I,a) (SBC ) Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC ) BÀI Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD HD: A a Chứng minh AB CD chéo : Giả sử AB CD không chéo M Do có mp () chứa AB CD N A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB CD chéo D B b Điểm I thuộc mp : I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) C I BD mà BD (BCD ) I (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) CI I BÀI Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xđ giao tuyến cặp mp sau a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) c mp (A’,a) (SBC) S HD: a Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAB) A’ SA mà SA ( SAB) A’ ( SAB) A’ ( A’,a) A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a AB E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( A’,a) E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) b Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC) A’ SA mà SA ( SAC) A’ ( SAC) A’ ( A’,a) A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC Gọi F = a AC F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E ( A’,a) F điểm chung ( A’,a) (SAC ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 A' N A M C F B E a P GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB A’E M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M A’E mà A’E ( A’,a) M ( A’,a) M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC A’F N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N A’F mà A’F ( A’,a) N ( A’,a) N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) BÀI Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) A HD: a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM BD P M E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) E điểm chung mp ( AMN) (BCD ) N Q B Trong (ACD ) , gọi F = AN CD D E F AN mà AN ( AMN) F ( AMN) F CD mà CD ( BCD) F ( BCD) F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) F Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) (BCD ) C b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM AB P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN AC Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG DANG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: PP: B1 Xác định (Q) chứa đường thẳng d B2 Xác định giao tuyến (P) (Q) d’ B3 giao điểm đường thẳng d d’ điểm cần tìm BÀI TẬP BÀI 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm AB, J điểm AD cho AJ = đường thẳng IJ với mp(BCD) HD: Từ giả thiết IJ BD không song song AD Tìm giao điểm A I K IJ Gọi K IJ BD K BD (BCD) J B K D Kết luận: K IJ (BCD) C BÀI Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN khơng song song với AB a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () HD: S a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP MN M E SP mà SP (SPC) E (SPC) E E MN Vậy : E = MN (SPC ) N Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN C A ( SAB) (SPC ) = SP Trong (SAB), gọi E = MN SP P E MN B D E SP mà SP (SPC) Vậy : E = MN (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB MN D AB mà AB () D () D MN Vậy: D = MN () Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN ( SAB) () = AB VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN AB D AB mà AB () D () D MN Vậy : D = MN () BÀI Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C S Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) N HD: Chọn mp phụ (SBD) SD Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM ) Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM ) Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC BD Trong (SAC ) , gọi K = AM SO K SO mà SO (SBD) K ( SBD) M K D A O C B K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) K điểm chung ( SBD) (ABM ) ( SBD) (ABM ) = BK Trong (SBD) , gọi N = SD BK N BK mà BK (AMB) N (ABM) N SD Vậy : N = SD (ABM) BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) HD: a) Ta có BM (SBD) Xét mp( SAC) (SBD) có S điểm chung thức nhất.(1) S Gọi O AC BD O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2) SO (SAC ) ( SBD) I J Gọi P=BM SO ; Kết luận: P=BM (SAC) P M b) Ta có IM (SAD) H A B F Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD BC E điểm chung thứ hai SE = (SAD) ( SBC) O D C E Gọi F= IM SE F =IM (SBC) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN c) Ta có SC (SBC) CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Xét mp( IJM) (SBC) Ta có JF = (IJM) (SBC) Gọi H = JF SC H=SC (IJM) BÀI 5: Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút ) S a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) I N Chọn mp phụ (SAC) AN Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC BD A ( SAC) (SBD) = SP Trong (SAC), gọi I = AN SP P I AN M I SP mà SP (SBD) I (SBD) Q Vậy : I = AN (SBD) B b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC BD ( SAC) (SBD) = SQ Trong (SMC), gọi J = MN SQ J MN J SQ mà SQ (SBD) J (SBD) Vậy: J = MN (SBD) BÀI D C Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK) Trong (SAC) ,có IK khơng song song với AC Gọi E’ = AC IK ( ABC ) ( IHK) = HE’ Trong (ABC ), gọi E = BC HE’ E BC mà BC ( ABC) E ( ABC) E HE’ mà HE’ ( IHK) E ( IHK) Vậy: E = BC ( IHK) BÀI Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , E điểm SB F điểm AC ( DE AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 S K I A C E' H B E K S D GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Giải a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB DE M AB mà AB (ABC) M (ABC) M DE mà DE (DEF) M (DEF) M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC) (DEF) = FM hình Trong (ABC), gọi N = FM BC N BC S N FM mà FM (DEF) N (DEF) Vậy: N = BC (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) D Chọn mp phụ (SBC) SC C F Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF) K Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF) A N N BC mà BC (SBC) N (SBC) E N FM mà FM (DEF) N (DEF) N điểm chung ( SBC ) (DEF) B Ta có (SBC) (DEF) = EN Trong (SBC), gọi K = EN SC M K SC K EN mà EN (DEF) K (DEF) hình Vậy: K = SC (DEF) BÀI Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SBD) SO Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP) N SB mà SB (SBD) N (SBD) N điểm chung ( SBD ) (MNP) P MP mà MN (MNP) P (MNP) P SD mà SD (SBD) P (SBD) P điểm chung ( SBD ) (MNP) Trong (SBD), gọi I = SO NP I SO I NP mà NP (MNP) I (MNP) Vậy: I = SO (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP) M SA mà SA (SAC) M (SAC) M điểm chung ( SAC ) (MNP) I MI mà MI (MNP) I (MNP) I SO mà SO (SAC) I (SAC) I điểm chung ( SAC ) (MNP) ( SAC) (SBD) = MI Trong (SAC), gọi Q = SC MI Q SC Q MI mà MI (MNP) Q (MNP) Vậy: Q = SC (MNP) BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD (MNK ) : Chọn mp phụ (BCD) SC Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK) Ta có N (MNK) N BC mà BC (BCD) N (BCD) N điểm chung (BCD ) (MNK) K (MNK) K BD mà BD (BCD) K (BCD) K điểm chung (BCD ) (MNK) (BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), gọi I = CD NK I CD I NK mà NK (MNK) I (MNK) Vậy: I = CD (MNK) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Chọn mp phụ (ACD) AD Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK) Ta có: M (MNK) M AC mà AC (ACD) M (ACD) M điểm chung (ACD ) (MNK) I NK mà NK (MNK) I (MNK) I CD mà CD (ACD) I (ACD) I điểm chung (ACD ) (MNK) (ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), gọi J = AD MI J AD J MI mà MI (MNK) J (MNK) Vậy: J = AD (MNK) BÀI 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN (ABO ) A b AO (BMN ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 10 M GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHĂNG A: LÝ THUYẾT I Định nghĩa: Đường thẳng mặt phẳng a gọi song song với a/ /(P) a(P) chúng khơng có điểm chung (P) II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a d d (P) d/ /a d / /(P) a (P) a/ /(P) d/ /a a (Q) (P) (Q) d a (P) (Q) a d (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng (P) (Q) d d/ /a (P) / /a (Q) / /a d a Q P B BÀI TẬP PP: d d / / a d / /( ) a Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ ACC’ Chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) HD: Ta có: I trọng tâm tam giác ABC nên AI (1) AM A I C M B G AG G trọng tâm tam giác ACC’ nên (2) AN Từ (1) (2) suy AI AG AM AN N A' C' K M' B' Theo định lý talet đảo IG // MN ( BB ' C ' C ) Kết luận: IG // (BB’C’C) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 26 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN Bài 2: CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng a) Gọi O , O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với hai mp(ADF) mp(BCE) b) Gọi M, N hai điểm hai cạnh AE BD cho AM 1 AE , BN BD Chứng minh 3 MN song song với mp(CDFE) HD: a) CM OO’// (ADF) OO’//(BCE) Ta có: OO’ đường trung bình tam giác BDF tam giác ACE OO’//DF OO’ // CE Mà DF ( ADF ) , CE ( BCE ) Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE) F b) CM MN // (CDFE) E O' *) Tìm giao tuyến hai mp( AMN) (CDFE) M A B O Ta có: E điểm chung thứ hai mp.(1) D N J I C Gọi I giao điểm AN CD I điểm chung thứ hai hai mp (2) Từ (1) (2) suy đường thẳng EI = (AMN) (CDFE) *) CM MN // (CDFE) Ta có: AM AE (*) Xét tam giác ABC có: BN BD BO BO trung tuyến 3 N trọng tâm tam giác ABC Gọi J giao điểm AI BC J trung điểm AI AN AJ AI (**) 3 Từ (*) (**) MN // CE Mà CE ( BCFE ) Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm) BÀI : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 27 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ABC SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải S a Chứng minh MN // (SBC): MN ( SBC ) Ta có : MN // BC MN //( SBC ) Q BC (SBC ) P MN (SAD) A Tương tự : MN // AD MN //( SAD) D AD (SAD) N b Chứng minh SB // (MNP): M SB ( MNP ) B C Ta có : SB // MP SB //( MNP) MP ( MNP) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD S Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q PQ = (MNP) (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD Q P trung điểm SA Q trung điểm SD P Xét SCD , Ta có : QN // SC D N G2 C SC (MNP ) Ta có : SC // NQ SC //( MNP ) NQ ( MNP) I G1 c Chứng minh G1G2 // (SAB) : A B M IG1 IG2 Xét SAI , ta có : IA IS G1G // SA G 1G ( SAB) Do : G 1G // SA G 1G //( SAB) SA ( SAB) BÀI Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA a Tìm giao tuyến () với (SAB) (SAC) b Xác định thiết diện hình chóp với () c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 28 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Giải a Tìm giao tuyến () với (SAB): M ( ) (SAB) Ta có : // SA SA (SAB) () (SAB) = MP với MP // SA Tìm giao tuyến () với (SAC): Gọi R = MN AC R ( ) (SAC ) Ta có : // SA SA ( SAC ) () (SAC) = RQ với RQ // SA Thiết diện tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang: (1) MP // QN Ta có : MPQN hình thang (2) MN // PQ SA // MP Xét (1) ,ta có MP//QN SA // QN Do : QN ( SCD) b SA // QN SA //( SCD ) ( vơ lí ) BC (ABCD) (SBC) Xét (2) ,ta có MN (ABCD) PQ (SBC) Ngược lại, MN//BCthì PQ ( SBC ) MN // PQ MB ( ) BC ( SBC ) Vậy để thiết diện hình thang MN // BC MN // BC BÀI : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC () mặt phẳng chứa AM song song với BD a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD b Gọi I giao điểm ME CB , J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa ( ) // BD tốn Ta có : BD (SBD) BD // EF EF ( ) (SBD) Do điểm E ,F ,A ,M thuộc mặt phẳng () Trong () , gọi K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) K AM mà AM (SAC) K (SAC) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 29 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG K (SAC) (SBD) Do (SAC) (SBD) = SO K SO Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : mà ME ( ) I ( ) I ME Ta có : mà BC ( ABCD) I ( ABCD ) I BC I () (ABCD) A ( ) ( ABCD) Tương tự , J ( ) ( ABCD) I , J , A điểm chung () (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng BÀI Cho hình vuông cạnh a , tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Giải a Tứ giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) Gọi I trung điểm SC Xét IBC IDC Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD Mà OI // SA SA BD (*) ( ) // BD Ta có : BD ( ABO) MQ // BD (1) ( ) ( ABO) MQ ( ) // BD Tương tự : BD (SBO) NP // BD (2 ) ( ) (SBO) NP Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD (3) Mặt khác : Tương tự : ( ) // SA SA ( SAO) ( ) (SAO) MN ( ) // SA SA ( SAB) ( ) (SAB) PQ VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 MN // SA PQ // SA (4) (5) 30 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : S MNPQ MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ˆ 45 Ta có : Qˆ 45 ˆ M 90 Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN // SA AQM cân M MN OM AS OA S MNPQ MQ.MN x.(a x ) MQ = AM = x a x OM MN AS a a x OA a 2 x (a x ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x a x x a x ) x ( a x ) ( ) a² a² a² a² S MNPQ S MNPQmã 4 a a x Đẳng thức xảy x a x 2 M trung điểm AO Vậy : x a S MNPQ đạt giá trị lớn BÀI Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J trung điểm AB CD Giả sử AB CD , mặt phẳng () qua M nằm đoạn IJ song song với AB CD a Tìm giao tuyến () với ( ICD ) (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = IJ Giải a Tìm giao tuyến () với mặt phẳng ( ICD ): ( ) // CD Ta có : CD ( ICD) M ( ) ( ICD ) giao tuyến đt qua M song song VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 31 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG với CD cắt IC L ID N ( ) // AB Tương tự : AB ( JAB) M ( ) ( JAB) giao tuyến đt qua M song song với AB cắt JA P JB Q b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (): ( ) // AB Ta có : AB ( ABC ) L ( ) ( ABC ) EF // AB (1) ( ) // AB Tương tự : AB ( ABD) N ( ) ( ABD) HG // AB (2) Từ (1) (2) , suy EF // HG // AB (3) ( ) // CD Ta có : CD ( ACD) P ( ) ( ACD ) FG // CD (4) ( ) // CD Tương tự : CD ( BCD ) Q ( ) ( BCD ) EH // CD (5) Từ (4) (5) , suy FG // EH // CD (6) Từ (3) (6) , suy EFGH hình bình hành Mà AB CD (*) Từ (3) , (6) (*), suy EFGH hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = IJ : Ta có : S EFGH EF FG PQ.LN Tính LN : Xét tam giác ICD : LN IN Ta có : LN // CD (7) CD ID Xét tam giác IJD : IN IM Ta có : MN // JD (8) ID IJ LN IM CD b Từ (7) (8), suy LN CD IJ 3 PQ JM 2 Tương tự : PQ AB a AB JI 3 2ab Vậy : S EFGH VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 32 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG BÀI 4: MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG A-LÝ THUYẾT I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung P (P)/ /(Q) (P) (Q) Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với a,b (P) (P) / /(Q) a b I a/ /(Q),b/ /(Q) ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng P a b I Q a (P) / /(Q) a/ /(Q) a (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a/ / b (R) (Q) b a P b Q B BÀI TẬP PP: Chứng minh () // () : Sử dụng cách sau : a – a ( ), b ( ) a b M a //( ), b //( ) M b ( ) //( ) hình a ( ), b ( ) a b M – c ( ), d ( ) c d N a // c, b // d a M ( ) //( ) b N c d hình ( ) //( ) – ( ) //( ) ( ) //( ) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 33 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trọng tâm tam giác ABC , ACD ABD Chứng minh hai mp(MNP) mp(BCD) song song HD : Gọi I, J, K trung điểm A đoạn thẳng BC, CD BD Ta có: AM AN MN // IJ AI AJ P N M Mà IJ (BCD) MN// (BCD) (1) D B K Tương tự MP // (BCD) (2) I J Mà MN, MP (MNP) (3) C Từ (1), (2), (3) (MNP) // (BCD) Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Qua M, N dựng đường thẳng song song với AB cắt AD AF M’và N’ a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF) b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N) HD a) Ta có AF // BE mp( BCE) F E AD // BC mp (BCE) Mà AF, AD mp(ADF) N N' Kết luận mp( ADF) // mp(BCE) B A b) Ta có MM’ // AB, mà AB // EF M' M MM’ // EF mp(DEF) (1) D C AM ' AM Mặt khác MM’ // CD (*) AD AC NN’ // AB AN ' BN (**) AF BF Mà AM = BN, AC = BF Từ (*), (**) (***) AM BN (***) AC BF AM ' AN ' M’N’ // DE mp(DEF) (2) AD AF Mà MM’, M’N’ mp(MM’N’N) (3) Từ (1) , (2), (3) (DEF) //(MM’N’N) (đpcm) VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 34 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG BÀI Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải a Chứng minh : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC SDB : OM // SC Ta có : (OMN ) //( SBC ) ON // SB b Chứng minh : PQ // (SBC) OP // AD Ta có : OP // MN AD // MN M, N, P, O đồng phẳng PQ (MNO) PQ ( MNO ) Mà PQ //( SBC ) ( MNO) // (SBC) Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : MR // AB Ta có : MR // DC (1) AB // DC Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2) MR // DC OR // SD Từ (1) (2) , ta MR ( MOR ) OR ( MOR) ( MOR ) //( SCD ) DC ( SCD) SD ( SCD) BÀI Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I , J , K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Giải a (ADF)//(BCE): AD // BC Ta có : AD ( BCE ) AD //( BCE ) (1) BC ( BCE ) AF // BE Tương tự : AF ( BCE ) AF //( BCE ) (2) BE ( BCE ) Từ (1) (2) , ta : AD //( BCE ) ( ADF ) //( BCE ) AF //( BCE ) AD ( ADF ) AF ( ADF ) Vậy : ( ADF ) //( BCE ) b (DIK)//(JBE) : VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 35 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG DI // JB Ta có : ( DIK ) //( JBE ) IK // BE Vậy : (DIK)//(JBE) BÀI Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N Chứng minh : a MN // DE b M N //( DEF ) c ( MNM N1 ) //( DEF ) Giải a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét NIB NEF IB NB Ta có : EF NF IN I trung điểm AB (1) NE Tương tự : Xét MAI MCD MA MI Ta có : MC MD IM I trung điểm AB (2) MD IM IN Từ (1) (2) , suy MN // DE MD NE Vậy : MN // DE b M N //( DEF ) : AN1 IN Ta có : (3) NN // AI N F NE AM IM Tương tự : MM // AI (4) M D MD AN1 AM 1 Từ (3) (4) , suy M N // DF N1 F M D M N // DF DF ( DEF ) Vậy : M N //( DEF ) c ( MNM N1 ) //( DEF ) : Ta : M N //( DEF ) MN // DE Ta có : (MNN M ) //( DEF ) M N // DF Vậy : ( MNM N ) //( DEF ) BÀI Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , CD N, P, Q VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 36 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện hình ? b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB c Cho SAD = 1v SA = a Tính diện tích thiết diện theo a x Tính x để diện tích = 3a Giải a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp: ( ) // SD Ta có : ( ) //( SAD) ( ) // SA ( ) // AD Với ( ) // SD ( ) // SD Có SD (SAD) ( ) (SAD) PQ Với ( ) // SA ( ) // SA Có SA ( SAB) ( ) (SAB) MN Với ( ) // AD Có Vì ( ) // AD AD ( ABCD) ( ) ( ABCD) MQ BC // MQ BC ( ) PQ // SD MN // SA MQ // AD (1) ( ) // BC ( ) // BC Có PN // BC (2) BC (SBC ) ( ) (SBC ) PN Từ (1) (2) , suy : MQ // PN MNPQ hình thang Vậy : MNPQ hình thang b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB.: AB // DC Ta có : AB ( SAB), DC ( SCD) Sx // AB // CD S ( SAB) ( SCD) mà PQ ( SCD) I PQ Mà I ( SAB) ( SDC ) mà MN (SAB) I MN M A Giới hạn quĩ tích : Khi IS M B I S0 c Tính diện tích thiếtdiện theo a x : Ta có : S MNPQ S IMQ S INP S SAD S INP I Sx Tính : S SAD SAD vuông cân A Do : S SAD a 2 Ta có: VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 37 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Tính : S INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS tam giác SAB NI SN Ta có : NI // S0 B (1) S B SB PN SN (2) PN // BC BC SB AM SN MN // SA (3) AB SB NI PN AM Từ (1) , (2) (3) , ta NI PN AM x S B BC AB INP vng cân N Do : S INP x 2 1 S MNPQ a x ( a x ) 2 3.a 2 3.a Để S MNPQ (a x ) 8 3.a x2 a2 a x2 a x BÀI Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AB , BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) Giải Xét tam giác MFC : MI MJ Ta có : MF MC IJ // FC (1) Xét hình bình hành MNEF : MI NK Ta có : MF NE IK // FE (2) IJ // FC Từ (1) (2) , ta ( IJK ) //(CEF ) IK // FE Vậy : ( IJK ) //(CEF ) BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 38 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG Giải a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) Gọi M , N , L trung điểm cạnh BC , CD BD AG1 AG2 AG3 Ta có : AM AN AL G1G2 // MN ; G G3 // NL ; G3 G1 // LM G1G // MN G2 G3 // NL MN ( BCD) , NL ( BCD ) (G1G2 G3 ) //( BCD ) Vậy : (G1G2 G3 ) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) : Ta có : BC //(G1G2 G3 ) BC ( BCD ) G (G G G ) ( ABC ) gt qua G1 // BC cắt AB AC E F Tương tự : (G1G2 G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1G2 G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC AG1 AF Ta có : G1 F // MC (1) AM AC EF AF (2) EF // BC BC AC AG1 EF Từ (1) (2), ta AM BC EF BC Tương tự : FG CD GE BD 2 2 EF FG GE BC CD GE ( BC CD GE ) 3 3 Diện tích thiết diện : S EFG ( EF FG GE ).( EF FG GE ).(EF GE FG ).(FG GE EF ) 4 = ( BC CD DB ).( BC CD DB).( BC DB CD ).(CD DB BC ) = S BCD Vậy : S EFG S BCD BÀI Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định Giải Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’ VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 39 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHƯƠNG HÌNH 11 QUAN HỆ SONG SONG AM // BM ' T a có : ABM’M hình bình hành AM BM ' MM’//AB (1) BM’N cân B Kẻ Bt phân giác góc x’By M’N Bt (2) Trong (x’By) , kẻ Bz Bt (3) Từ (2) (3) , ta Bz // M’N (4) MM ' // AB Từ (1) (4) , ( MNM ' ) //( ABz ) M ' N // Bz MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt cạnh AD BC N M a Cho trước điểm M, trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M trung điểm BC b Gọi K giao MN IJ Chứng minh : KM = KN Giải a Hãy trình bày cách dựng điểm N : Điểm N phải nằm giao tuyến (MIJ) (ACD) , giao tuyến qua J Ta có : J (MIJ ) ( ACD) Gọi E MI AC mà MI ( MIJ ) E MI E (MIJ ) ( ACD ) mà AC ( ACD) E AC EJ ( MIJ ) ( ACD ) Gọi N EJ AD Trường hợp M trung điểm BC: Nếu M trung điểm BC IM // AC (IMJ ) // AC (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC b Chứng minh : KM = KN Do I , J trung điểm AB ,CD dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song Áp dụng định lí Talet khơng gian MK BI Ta : 1 MK KN KN IA Vậy : MK KN VĂN LANG- HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 40 ... MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY PP Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta c/minh giao điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng lại (đường thẳng lại giao tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng đó) BÀI TẬP: Bài. .. DAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG PP: Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung BÀI 1: Trong mặt phẳng ( ) cho tứ... ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: PP: B1 Xác định (Q) chứa đường thẳng d B2 Xác định giao tuyến (P) (Q) d’ B3 giao điểm đường thẳng d d’ điểm cần tìm BÀI TẬP BÀI 1: Cho tứ diện ABCD