Bài 1 đại CƯƠNG về PHƯƠNG TRÌNH nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm phương trình nghiệm phương trình + Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương phép biến đổi tương đương phương trình + Nắm vững khái niệm phương trình hệ  Kĩ + Biết cách tìm điều kiện xác định (tập xác định) phương trình + Nhận biết số cho trước có nghiệm phương trình hay khơng + Nhận biết hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ + Vận dụng phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ để giải số phương trình đơn giản I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình ẩn Phương trình ẩn số x mệnh đề chứa biến dạng Một phương trình có nghiệm f  x  g  x vơ nghiệm 1 f  x  ; g  x  biểu thức biến số x Ta gọi f  x  vế trái, g  x  vế phải phương trình Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình điều kiện biến x để biểu thức hai vế có nghĩa Nếu số x0 thỏa mãn ĐKXĐ f  x0   g  x0  mệnh đề ta nói x0 nghiệm phương trình 1 Phương trình tương đương Hai phương trình f1  x   g1  x  1 f2  x   g2  x   2 gọi tương đương, kí hiệu f1  x   g1  x   f  x   g  x  1   có tập nghiệm Trang Định lí Chú ý: Nếu h  x  không xác định a  Nếu hai phương trình h  x  biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ h  x   giá trị khơng nghiệm phương trình f  x   g  x  phương trình biến đổi bên cho phương trình tương đương f  x  h  x  g  x  h  x  f  x  g  x b  Nếu h  x  thỏa mãn ĐKXĐ khác với x f  x  h  x   g  x  h  x   f  x   g  x  f  x g  x   f  x  g  x h  x h  x Phương trình hệ Phương trình f  x   g  x  phương trình hệ phương Hai phương trình tương đương hai trình f1  x   g1  x  , kí hiệu f1  x   g1  x   f  x   g  x  phương trình hệ ngược lại không Nếu tập nghiệm phương trình thứ tập tập nghiệm phương trình thứ hai II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định phương trình Phương pháp giải Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều Ví dụ: kiện để giá trị f  x  ; g  x  xác định Tìm tập xác định D phương trình: x  x  2019 2 x điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) Điều kiện để biểu thức    Hướng dẫn giải f  x  xác định f  x   Điều kiện xác định phương trình 2 x   x  xác định f  x   f  x f  x Vậy D   \ 2 xác định f  x   Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định phương trình x   x 4 Hướng dẫn giải x  Điều kiện xác định phương trình x    x     x  2 Trang Vậy tập xác định phương trình D   \ 2 Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình   x  x  Hướng dẫn giải 3  x  x  Điều kiện xác định phương trình     x  x   x  Ví dụ Tìm tập xác định phương trình  2x  x 1 x  3x  Hướng dẫn giải Điều kiện xác định phương trình  x   x  4  x      2  x  3x    x  1  x     x  1  x  x    x  x    x    x   x  2  Vậy tập xác định phương trình D   ; 2 \ 2;1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập xác định phương trình A Tập tất giá trị ẩn để phương trình có nghĩa B Tập tất giá trị ẩn để phương trình có nghiệm C Điều kiện ẩn để phương trình có nghĩa D Điều kiện ẩn để phương trình có nghiệm Câu 2: Tập xác định phương trình x  A  \ 4 B  4;   Câu 3: Tập xác định phương trình A D   \ 1 A  2;   2x 5  x 1 x 1 C D   \ 1 D D     x2 x2 x 4 C  2;   D  2x  5x    x x  3x  1 2 C  \  ;3;  2 3 B 3;   Câu 6: Tập xác định phương trình D  B  \ 2; 2 Câu 5: Tập xác định phương trình A  3;   C  4;   B D   \ 1 Câu 4: Tập xác định phương trình 5  12  x4 x4 1 3 D  \  ;3;  2 2 4x  5x 9x 1   x  x  x  x  x  x  12 Trang A  4;   B  \ 2;3; 4 Câu 7: Tập xác định phương trình D  \ 4 C  x   x  1  B  ;   2  C 1;   Câu 8: Tập xác định phương trình x    x  A  3;   4  A  ;   3  2 4 B  ;  3 3 Câu 9: Tập xác định phương trình 2 4 C  \  ;  3 3 Câu 10: Tập xác định phương trình A  3;   C 1;    x  x 1 C 1;   x2  B  7;   A  2;    7 A D   2;  \ 3  2 D  x  x  2 x2 7x   x x  4x   2x  7 C D   2;   2  7 D D   2;  \ 3  2 15  x   x  1 x   15  ;   \ 1 B    A  6;   D  2;7  C  x  7  B D   \ 1;3;  2  Câu 14: Tập xác định phương trình x2  0 7x  2x  x2 x 1 B x  x  Câu 13: Tập xác định phương trình D  3;   \ 1 C  2;7  Câu 12: Điều kiện xác định phương trình A x  x  D 3;   B  3;   \ 1 Câu 11: Tập xác định phương trình 2 4 D  ;  3 3 x   x   x  B  2;   A  3;   D 3;    15  ;   \ 6 D    C  6;   Câu 15: Cho phương trình  x  x  m   x  Tìm tất giá trị tham số m để tập xác định phương trình có dạng  a; b  A m  1 B m  1 C m  1 D m  1 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-A 3-D 4-B 5-C 11-C 12-D 13-D 14-C 15-A 6-B 7-B 8-D 9-D 10-D Trang Câu 6: Chọn B  x2  5x   x    Điều kiện:  x  x     x  Vậy D   \ 2;3; 4  x  x  12  x    Câu 9: Chọn D x 1  x    Điều kiện phương trình  x     x   x  x   x    Câu 10: Chọn D  x2 1   x  1 Điều kiện phương trình    x  3 x   Câu 12: Chọn D x 1    1  x  Điều kiện 5  x    x    x   Câu 13: Chọn D  x  x      2  x  Điều kiện  x  x     x  3, x    7  x    x   x   Câu 14: Chọn C 15  x  15  x    Điều kiện  x     x  1  x  x   x     Câu 15: Chọn A 1  x  x  Điều kiện   x  m   x  m  Để tập xác định đoạn m    m  1 Dạng Xác định hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ Phương pháp giải Để xác định hai phương trình tương đương hay Ví dụ: Cho hai phương trình: hai phương trình hệ ta làm sau: x  x 1 1 x  x     x 1 Trang Bước Tìm tập nghiệm phương trình - Giải phương trình 1 : Điều kiện: x    x  1 1  x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm 1 S1  2 -  x  1 x   2   Bước Tập nghiệm phương trình chứa nghiệm phương trình cịn lại phương trình hệ Các phương trình có tập nghiệm tương đương Giải phương trình   : Vậy tập nghiệm   S  1; 2 Do S  S1 Vậy phương trình   phương trình hệ phương trình 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Khi giải phương trình Bước 1   x  3 x 2  x  3 x    x 2 1 , học sinh tiến hành theo bước sau:  x  4   2   x  3 0 Bước   x    x   x  Bước   x  Bước Vậy phương tình có tập nghiệm T  3; 4 Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải Sai bước Ta có phương trình 1 có nghiệm x  , nhiên phương trình bước 2, có hai nghiệm x  x  nên phép biến đổi tương đương sai Chọn A Ví dụ Phương trình sau khơng tương đương với phương trình x   1? x Trang A  x   18 B x   x   C x x   D x  x  1 Hướng dẫn giải Giải phương trình x  1 x Điều kiện: x  x   x   x  x  x   x Vì x  x   0, x   nên phương trình vơ nghiệm Dễ thấy đáp án C có hai nghiệm x  0; x  Suy phương trình x x   không tương đương với phương trình x   x Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cách viết sau sai? A x  x  1   x  0; x  B x  x  1  có hai nghiệm x  x  x  C x  x  1    x  x  D x  x  1    x  Câu 2: Cho phương trình  x  1  x  1 x  1  Phương trình sau tương đương với phương trình cho? A x   B x   D  x  1 x  1  C x   Câu 3: Phương trình x  x tương đương với phương trình A x x   x x  B x  x   x  x  C x  x   x  x  D x  Câu 4: Cho hai phương trình x  x     x   1 1  3x  x 3 x 3 x  x  2 3 x2  2 Khẳng định sau đúng? A Phương trình 1   hai phương trình tương đương B Phương trình   hệ phương trình 1 C Phương trình 1 hệ phương trình   D Cả A, B, C sai Câu 5: Khi giải phương trình x   x  1 , học sinh tiến hành theo bước sau Bước Bình phương hai vế phương trình 1 ta x  x   x  12 x  Bước Khai triển rút gọn   ta x  x    2  3 Trang x  Bước  3   x   Bước Vậy phương trình có nghiệm x  x  Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước Câu 6: Khi giải phương trình Bước 1   x  5 x 3 C Sai bước  x  5 x    x 3 1 , D Sai bước học sinh tiến hành theo bước sau  x  4   2   x  5 0 Bước   x    x   x  Bước   x  Bước Vậy phương trình có tập nghiệm T  5; 4 Cách giải sai bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Câu 7: Cho phương trình x  x  1 Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ phương trình 1 ? A x  x  1 x C  x  x   B x3  x  D x  x   Câu 8: Phép biến đổi sau đúng? A x  x   x  x  x  x  B C x  x   x  x   x  x D x   x  x   x2 x3 2 x    x  x  x  x  1 x x  Câu 9: Giá trị tham số m để cặp phương trình x   m  x  x    m x   tương đương A m  C m  1; m  1 B m  1 D m  Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để cặp phương trình mx   m  1 x  m    m   x  3x  m2  15  tương đương B m  5; m  A m  5 C m  D m  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-D 3-B 4-C 5-D 6-B 7-D 8-A 9-D 10-C Trang Câu 4: Chọn C x    1   x   x  3    x  x      có điều kiện: x  ,    x  x     x     x   x  3    x  Kết hợp với điều kiện: phương trình   có nghiệm x  Vậy 1 phương trình hệ   Câu 5: Chọn D Vì phương trình   phương trình hệ phương trình 1 nên sau bước 3, ta cần kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn phương trình 1 hay khơng Do lời giải sai bước Câu 6: Chọn B Sai bước biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiện Câu 7: Chọn D x  Ta có 1   x   Lại có x  khơng nghiệm phương trình x  x   nên x  x   khơng phương trình hệ phương trình 1 Câu 9: Chọn D Phương trình x   m  x  x    m x   tương đương phương trình m  x  x    m x   * có nghiệm x  2 Thay x  2 vào * ta tìm m  1; m  1 Thay m  1 ta có   x  x    x   có hai nghiệm x  0; x  Câu 10: Chọn C Với m  0, hai phương trình không tương đương x  Với m  0, ta có phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  x  m  m  Để hai phương trình tương đương   phải có hai nghiệm  2 m  có nghiệm x  nên m    m  15     m  5 Thay giá trị m  m  5 vào   có m  , hai phương trình có tập nghiệm Trang Dạng 3: Giải phương trình đơn giản Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến Ví dụ: Giải phương trình x  x    x  đổi để đưa phương trình tương đương với Hướng dẫn giải phương trình cho Một số phép biến đổi x  x  2  x2  thường sử dụng:   x2  2x  x2  Cộng (trừ) hai vế phương trình mà  2 x  4 khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho    Nhân (chia) hai vế với biểu thức khác  x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2 khơng khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình (hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị sau nghiệm phương trình x  x    x  3? A x  B x  C x  D x  Hướng dẫn giải x   x  Điều kiện:    x3 3  x  x  Thử x  vào phương trình, ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  Chọn C Ví dụ Giải phương trình x  x  x  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Trang 10 Ta có x  x  x   x  1 (khơng thỏa mãn) Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình x   x  x    Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Ta có x  x   x   x   x  3x        x    x2    x  3x     x  2 Kết hợp với điều kiện x  , ta x  nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x 1  x2  x  2  Hướng dẫn giải x   x  Điều kiện xác định:    x  x   x   x   x 1  Với điều kiện phương trình tương đương với    x  1  x  x    x  Đối chiếu với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình S  1; 2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình x   x có nghiệm? A B C D Vô số C D Vơ số Câu 2: Phương trình x   x có nghiệm? A B Câu 3: Phương trình x    x có nghiệm? A B C Câu 4: Giá trị sau x nghiệm phương trình A x  5 B x  Câu 5: Tập nghiệm phương trình A T  0 B T   Câu 6: Cho phương trình D Vơ số x   2 x  ? C x  D x  x  x  x  x C T  0; 2 D T  2  x  10 x  25  Kết luận sau đúng? A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có vơ số nghiệm C Mọi x nghiệm D Phương trình có nghiệm Trang 11 Câu 7: Tập nghiệm phương trình A T  0 x   x x C T  1 B T   Câu 8: Tập nghiệm phương trình x   x  x    B S  1 C S  2 A S   D T  1 D S  1; 2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-D 3-D 4-A 5-C 6-D 7-B 8-C Câu 4: Chọn A   x  x     Điều kiện  2 x   x   Ta có 5  x  5 5 2 x   2 x   x    x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  (thỏa mãn) 5 Câu 5: Chọn C  x  x  x  Điều kiện xác định phương trình   x  x    x  2  2 x  x  Thay x  x  vào phương trình thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình T  0; 2 Câu 6: Chọn D Ta có  x  10 x  25     x     x  Phương trình có nghiệm Câu 7: Chọn B x   Điều kiện  x  Vậy hệ phương trình vơ nghiệm x   Vậy tập nghiệm T   Câu 8: Chọn C Điều kiện: x  Trang 12 x   x  x   x  3x       x   x  3x   Kết hợp với điều kiện ta S  2 Trang 13 ... x Phương trình hệ Phương trình f  x   g  x  phương trình hệ phương Hai phương trình tương đương hai trình f1  x   g1  x  , kí hiệu f1  x   g1  x   f  x   g  x  phương trình. .. xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình (hai... hai phương trình x  x     x   ? ?1? ?? 1  3x  x 3 x 3 x  x  2 3 x2  2 Khẳng định sau đúng? A Phương trình ? ?1? ??   hai phương trình tương đương B Phương trình   hệ phương trình ? ?1? ??