BÀI 1 đại CƯƠNG về PHƯƠNG TRÌNH

BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH MỤC TIÊU: Kiến thức - Nắm vững khái niệm phương trình nghiệm phương trình - Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương phép biến đổi tương đương phương trình - Nắm vững khái niệm phương trình hệ Kĩ - Biết cách tím điều kiện xác định (tập xác định) phương trình, - Nhận biết số cho trước có nghiệm phương trình hay khơng - Nhận biết hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ - Vận dụng phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ để giải số phương trình đơn giản I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình ẩn Phương trình ẩn số x mệnh đề chứa biến dạng f  x   g  x  (1) f(x); g(x) biểu thức biển số x Ta gọi f  x  vế trái, g  x  vế phải phương trình Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình điều kiện biến x để biểu thức hai vế có nghĩa Nếu số x0 thỏa mãn ĐKXĐ f  x0   g  x0  mệnh đề ta nói x0 nghiệm phương trình (1) Một phương trình có nghiệm vơ nghiệm Phương trình tương đương Hai phương trình f1 ( x)  g1 ( x) f ( x)  g ( x) gọi tương đương, kí hiệu f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x) (1) (2) có tập nghiệm Định lí a) Nếu hai phương trình h  x  biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ phương trình f  x   g  x  f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x)  f ( x)  g ( x) b) Nếu họx) thỏa mãn ĐKXĐ khác với x f ( x).h( x)  g ( x).h( x)  f ( x)  g ( x) f ( x) g ( x)   f ( x)  g ( x) h( x ) h( x ) Chú ý: Nếu h(x) không xác định h  x   giá trị không nghiệm phương trình biến đổi bên cho phương trình tương đương Phương trình hệ Phương trình f  x   g2  x  phương trình hệ phương trình f1 ( x)  g1 ( x), kí hiệu f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x) Nếu tập nghiệm phương trình thứ tập tập nghiệm phương trình thứ hai Hai phương trình tương đương hai phương trình hệ ngưỌC lại không II CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang Dạng Tìm tập xác định phương trình Phương pháp giải Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f  x  , g  x  xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu để bài) Điều kiện để biểu thức +) f ( x) xác định f ( x)  xác định f ( x)  f ( x) +) xác định f  x   f ( x) +) Ví dụ: Tìm tập xác định D phương trình: x  x  2019 2 x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định phương trình  x   x  Vậy D  \{2} Vậy tập xác định phương trình D = IR \{12} Ví dụ mẫu  Ví dụ Tìm tập xác định phương trình x  x 4 Hướng dẫn giải x  Điều kiện xác định phương trình x    x     x  2 Vậy tập xác định phương trình D  \{2} Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình   x  x  Hướng dẫn giải 3  x  x     x  Điều kiện xác định phương trình  x   x    Ví dụ Tìm tập xác định phương trình  2x  x 1 x  3x  Hướng dẫn giải Điều kiện xác định phương trình   x  x2  x2      2 x  3x   ( x  1) x  x   ( x  1) ( x  2)     x  x    x    x   x  2   Vậy tập xác định phương trình D  (; 2] \{2;1} Bài tập tự luyện dạng Câu Tập xác định phương trình A tập tất giá trị ẩn để phương trình có nghĩa B tập tất giá trị ẩn để phương trình có nghiệm Trang C điều kiện ẩn để phương trình có nghĩa D điều kiện ẩn để phương trình có nghiệm 5  12  Câu Tập xác định phương trình 3x  x4 x4 A R \{4} B [4; ) C (4; ) 2x 5  x 1 x 1 C D  \{1} Câu Tập xác định phương trình A D  \{1} B D  D \{1}   x2 x2 x 4 C [2; ) \{2; 2} D D  Câu Tập xác định phương trình A (2; ) B D 2x  5x    x x  3x  1 2 A (3; ) B [3; ) C \  ;3;  D 2 3 4x  5x 9x 1   Câu Tập xác định phương trình x  x  x  x  x  x  12 A (4; ) B \{2;3; 4} C D Câu Tập xác định phương trình Câu Tập xác định phương trình A (3; ) 1 3 \  ;3;  2 2 \{4} 2x 1  4x 1 1  B  ;   2  C [1; ) 3x    3x  2 4 2 4 B  ;  C \  ;  3 3 3 3 D [3; ) Câu Tập xác định phương trình 4  A  ;   3  Câu Tập xác định phương trình x 1  x   x  A (3; ) B [2; ) C [1; )  x  x  x 1 B (3; ) \{1} C [1; ) Câu 10 Tập xác định phương trình A [3; ) Câu 11 Tập xác định phương trình A (2; ) B [7; ) x2  x2   7x C [2 ; 7) B x  x   7 A D  2;  \{3}  2 B D  D [3; ) \{1} D [2;7]  2x  x2 x 1 C  x  x2 7x   x x  4x   2x 7   7 C D   2;  \ 1;3;  2   2 Câu 13 Tập xác định phương trình D [3; ) Câu 12 Điều kiện xác định phương trình A x  x  2 4 D  ;  3 3 D  x  x  2  7 D D  2;  \{3}  2 Trang Câu 14 Tập xác định phương trình  15  x  x 1 x    15  B  ;   \{1}   A [6; )  15  D  ;   \{6}   C (6; ) Câu 15 Cho phương trình 1 x  x  m   2x  Tìm tất giá trị tham số m để tập xác định phương trình có dạng [a;b] A m  1 B m  1 C m  1 D m  1 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-A 2-A 3-D 4-B 5-C 11-C 12-D 13-D 14-C 15-A 6-B 7-B 8-D 9-D 10-D Câu Chọn B  x2  5x   x    Điều kiện:  x  x     x  Vậy D   x  x  12   x    \{2;3; 4} Câu Chọn D x 1  x    Điều kiện phương trình  x     x   x  x   x    Câu 10 Chọn D  x2 1   x  1  Điều kiện phương trình  x   x     Câu 12 Chọn D x 1    1  x  Điều kiện: 5  x    x    x   Câu 13 Chọn  x  x      2  x  Điều kiện:  x  x     x  3, x    7  x    x   x   Câu 14 Chọn C 15  x 15  x     Điều kiện:  x     x  1  x  x   x     Câu 15 Chọn A Trang 1  x  x   Điều kiện:  x  m  x  m   Để tập xác định đoạn m    m  1 Dạng Xác định hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ Phương pháp giải Để xác định hai phương trình tương đương hay hai phương trình hệ ta làm sau: Bước Tìm tập nghiệm phương trình Bước Tập nghiệm phương trình chứa tập nghiệm phương trình cịn lại phương trình hệ Các phương trình có tập nghiệm tương đương Ví dụ: Cho hai phương trình: x x  x   (2)  x 1 x 1 - Giải phương trình (1): Điều kiện: x    x  1 (1)  x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm (1) S1  2 - Giải phương trình (2):  x  1 (2)   x  Vậy tập nghiệm (2) S2  1;2 Do S2  S1 Vậy phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Ví dụ mẫu ( x  3)( x  4) Ví dụ Khi giải phương trình  (1), học sinh tiến hành theo bước sau: x 2 ( x  3) Bước (1)  ( x  4)  (2) x 2  ( x  3) 0 Bước   x    x   x  Bước   x  Bước Vậy phương trình có tập nghiệm T  {3;4} Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải Sai bước Ta có phương trình (1) có nghiệm x = 3, nhiên phương trình bước 2, có hai nghiệm x  x  nên phép biến đổi tương đương sai Chọn A Trang Ví dụ Phương trình sau khơng tương đương với phương trình x  A  6x 1  18 B | 2x 1|  2x   D x2  x  1 C x x   Hướng dẫn giải Giải phương trình x   1? x  x Điều kiện: x  x    x   x  x  x   x Vì x2  x 1  0, x  nên phương trình vơ nghiệm Dễ thấy đáp án C Có hai nghiệm x  0; x  Suy phương trình x x   khơng tương đương với phương trình x  Bài tập tự luyện dạng Câu Cách viết sau sai? A x( x  1)   x  0; x  x  C x( x  1)    x  Câu Cho phương trình  x  1 ( x  1)( x  1)   x B x( x  1)  có hai nghiệm x = x = x  D x( x  1)    x  Phương trình sau tương đương với phương trình cho? A x   B x   C x   D  x 1 x  1  Câu Phương trình x  3x tương đương với phương trình A x2 x   3x x  B x2  x2   3x  x2  1  3x  x 3 x 3 x( x  2)  (2) Câu Cho hai phương trình x( x  2)  3( x  2) (1) x2 Khẳng định sau đúng? A Phương trình (1) (2) hai phương trình tương đương B Phương trình (2) hệ phương trình (1) C Phương trình (1) hệ phương trình (2) D Cả A, B, C sai C x2  x   3x  x  D x  Câu Khi giải phương trình x   x  (1), học sinh tiến hành theo bước sau Bước Bình phương hai vế phương trình (1) ta x  x   x  12 x  (2) Bước Khai triển rút gọn (2) ta 3x  x   (3) x  Bước (3)   x   Bước Vậy phương trình có nghiệm x  x  Cách giải sai từ bước nào? Trang A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước ( x  5)( x  4) Câu Khi giải phương trình  , học sinh tiến hành theo bước sau: x 3 ( x  5) Bước (1)  ( x  4)  (2) x 3  ( x  5) 0 Bước   x    x   x  Bước   x  Bước Vậy phương trình có tập nghiệm T  {5;4} Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Câu Cho phương trình x  x  (1) Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ phương trình (1)? x  A x  B x3  x  C  x  x   D x  x   1 x Câu Phép biến đổi sau đúng? A 5x  x   x2  x2  5x  x  x   x  x   x2 x3 2 x D    x2  x  x( x  1) x x  B C 3x  x 1  x2  x 1  3x  x2 Câu Giá trị tham số m để cập phương trình x   m  x  3x    m2 x   tương đương A m  B m  1 D m  C m  1; m  1 Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để cặp phương trình mx2  2(m 1) x  m   (m  2) x2  3x  m2 15  tương đương A m  5 B m  5; m  HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-D 3-B 4-C 5-D C m  6-B D m  7-D 8-A 9-D 10-C Câu Chọn C x  +) 1  ( x  2)( x  3)    x  x  +)  2 có điều kiện: x  2,    x( x  2)  3( x  2)  ( x  2)( x  3)    x  Kết hợp với điều kiện: phương trình  2 có nghiệm x  Vậy (1) phương trình hệ  2 Câu Chọn D Vì phương trình  2 phương trình hệ phương trình 1 nên sau bước 3, ta cần kiểm tra xem Trang nghiệm có thỏa mãn phương trình 1 hay khơng Do lời giải sai bước Câu Chọn B Sai bước biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiện Câu Chọn D x  Ta có (1)   x   Lại có x  khơng nghiệm phương trình x  x   nên x  x   khơng phương trình hệ phương trình (1) Câu Chọn D Phương trình x   m  x  3x    m2 x   tương đương phương trình m  x  3x    m2 x   * có nghiệm x  2 Thay x  2 vào (*) ta tìm được: m  m  1 Thay m  1 ta có   x  3x    x   có hai nghiệm x  0; x  Câu 10 Chọn C Với m  0, hai phương trình khơng tương đương x  Với m  , ta có phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  x  m  m  Để hai phương trình tương đương (2) phải có hai nghiệm m  (2) có nghiệm x  nên m    m2  15     m  5 Thay giá trị m  m  5 vào (2) có m  , hai phương trình có tập nghiệm Dạng Giải phương trình đơn giản Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho Một số phép biến đổi thường sử dụng: +) Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho +) Nhân (chia) hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho +) Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho +) Bình phương hai vế phương trình (hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ: Giải phương trình x( x  2)  x2  Hướng dẫn giải x( x  2)  x   x2  2x  x2   2 x  4 x2 Trang Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị sau nghiệm phương trình x  x    x  3? A x  B x  C x  D x  Hướng dẫn giải x   x    x  Điều kiện:  x  3  x  Thử x = vào phương trình, ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Chọn C Ví dụ Giải phương trình x  x  x 1 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Ta có x  x  x 1  x  1 (không thỏa mãn) Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình   x  x  3x   Hướng dẫn giải Điều kiện: x   x  x  x   Ta có x  x  3x       x    x  3x   x    x  Kết hợp với điều kiện x  2, ta x = nghiệm phương trình   Vậy phương trình cho có nghiệm x= Ví dụ Giải phương trình   x  x  x   Hướng dẫn giải  x   x0 Điều kiện xác định:    x  x  x       x   x 1  Với điều kiện phương trình tương đương với    x  1  x  x    x  Đối chiếu với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình S  1; 2 Bài tập tự luyện dạng Câu Phương trình x   x có nghiệm? A B C Câu Phương trình x   x có nghiệm? A B C Câu Phương trình x    x có nghiệm? A B C Câu Giá trị sau x nghiệm phương trình D Vơ số D Vơ số D Vô số 2x   2x  ? Trang A x  5 B x  Câu Tập nghiệm phương trình A T  0 C x  D x = x2  2x  2x  x2 B T  Ø D T  2 C T  {0; 2) Câu Cho phương trình  x2  10 x  25  Kết luận sau đúng? A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có vơ số nghiệm C Mọi x nghiệm D Phương trình có nghiệm Câu Tập nghiệm phương trình A T={0} B.T=Ø Câu Tập nghiệm phương trình x   x x C T = {1} D.T={-1} C S={2} D S = {1,2} x   x  3x    A S=0 B S= {1} HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-D 3-D 4-A 5-C 6-D 7-B 8-C Câu Chọn A   x  x     Điều kiện:   2 x    x   Ta có 5  x  5 5 2 x   2 x   x    x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  (thỏa mãn) 5 Câu Chọn C  x2  x  x   x  x   Điều kiện xác định phương trình   x  2  2 x  x  Thay x  x  vào phương trình thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình T  0;2 Câu Chọn D Ta có  x  10 x  25   ( x  5)2   x  Phương trình có nghiệm Câu Chọn B x   Điều kiện:  x  Vậy hệ phương trình vơ nghiệm x   Vậy tập nghiệm T   Câu Chọn C Điều kiện: x  x   x  x   x  3x       x   x  3x   Trang 10 Kết hợp với điều kiện ta S  2 Trang 11 ... hai phương trình x( x  2)  3( x  2) (1) x2 Khẳng định sau đúng? A Phương trình (1) (2) hai phương trình tương đương B Phương trình (2) hệ phương trình (1) C Phương trình (1) hệ phương trình. .. kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho +) Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho +) Bình phương hai vế phương trình (hai...  ? ?1 (1)  x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm (1) S1  2 - Giải phương trình (2):  x  ? ?1 (2)   x  Vậy tập nghiệm (2) S2  ? ?1; 2 Do S2  S1 Vậy phương trình (2) phương trình hệ phương trình