Hệ phương trình có chứa một phương trình hoặc cả hai phương trình có thể sử dụng hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp bằng phép nâng lũy thừa để có nhân tử chung

Hệ phương trình có chứa một phương trình hoặc cả hai phương trình có thể sử dụng hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp bằng phép nâng lũy thừa để có nhân tử chung Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ ph[.]

 Hệ phương trình có chứa phương trình hai phương trình sử dụng đẳng thức trực tiếp gián tiếp phép nâng lũy thừa để có nhân tử chung Đặc điểm nhận dạng thường gặp hệ biến đổi hai phương trình gặp đẳng thức quen thuộc  x  y    x  y   0   x, y    Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   5x  11 3y   5y  10x  Phân tích : Với hệ này, ta nhận thấy phương trình thứ có hình thức nhẹ nhàng nên ta phương trình cấu trúc phương trình hai khơng cho nghỉ đến phép biến đổi để tìm mối liên quan hai biến Cụ thể ta có phương trình thứ biến đổi thành :  1 x  y  2xy  2x  2y  0 Khơng khó để nhận  1 đẳng thức  x  y  1 Do từ  1 ta có :  x  y  1 0  x  y  0  y x  Như xem toán giải Lời giải : Điều kiện : 5y  10x  0 Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : x  y  2xy  2x  2y  0   x  y  1 0  x  y  0  y x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : 5x  11 3  x  1    x  1  10x   5x  11  Từ   ta có : 5x  3x    5x   3x  , x  5x  11  5x   3x    x  Xét hàm số f  x   5x  11  Ta có :     , x   2 5x  11 5x   Do ta có hàm số f  x  ln đồng biến với x  nên f  x  0 có nghiệm nghiệm Mà f(1) = nên (2) có nghiệm x 1  y 2 f ' x   5x    5x    5x   5x  11 5x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 77 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Đối chiếu điều kiện ta có hệ có nghiệm  x, y   1;2  Bình luận : Bài tốn toán thục đẳng thức cách nhìn nhận biết khơng có khó khăn lúc giải Ví dụ : Giải hệ phương trình  4   xy    6y 3  x   x    x, y          y y  12x      87  15     2        x  x x  x    Phân tích : Với hệ xét, khơng cần phải suy tính điều mà bắt đầu với phương trình thứ hệ Phương trình thứ hệ biến đổi trở thành phương trình :  xy    6y  12 3  0   xy     xy       0 x x x x  xy 2    x 3    xy    0  xy   0   x x  y   x x2  Ở suy nghỉ rút phương trình thứ hai hệ chứa y, xy Và ta xem nút thắt toán giải Giờ ta vào giải toán trực tiếp Lời giải : Điều kiện x 0 Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình :  xy   2 12 3  6y   0   xy     xy       0 x x x x 3    xy    0  xy   0  x x    xy 2  x  y   x x2  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình :     12 20          12     63  15           x    x x  x  x3 x   x     24 36             63  15   1 x  x x x   x  78  12             21 5   1 x  x x x   x    Đặt t  , ta có   trở thành phương trình : x   t   3t  8t  12t  21 5  t  1  1 2  2 Ta biến đổi  1 thành phương trình :   t   t     t   5 t         3 t   3 t    3 t   3 t      2   5     3   0  t     t     t 1   t 1   3t   3t   3t     1     2   5 0  t     t    t     3t 1   t     t    0, t   t 1  t2 1   t2 1  1   x   y   t   x  t  t  0      x   y   t 2  2   x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình   ; 8 2   x, y    1;   ;   Bình luận : Ở cách giải phương trình thứ hai ta khai triển gặp phương trình bậc với nghiệm đẹp ta hồn tồn giải Tuy nhiên, gặp nghiệm “khơng đẹp” khó khăn Cách giải dựa tính tinh tế đại lượng mà ta ý  t, t  hệ số bất định ta cần tách : 3x  8x  12x  21 m   t   n t    Cân hệ số hai vế phương trình ta tìm m 2, n 3 có lời giải 4x  y  2  y  2x    y    x, y    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x  y  x  2x x  y       x y  2x  9x   x    http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 79 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Phân tích : Với hệ này, cấu trúc phức tạp phương trình thứ hai nên chuyển qua phương trình thứ hệ có cấu trúc đơn giản Phương trình thứ hệ biên đổi thành phương trình : 4x  y  2 3y  y  6x  2xy  4x  y   4xy  12x  6y 0   Và nhận thấy đẳng thức cuối mang dáng dấp đẳng thức Thật vậy, ta có : 4x  y2   4xy  12x  6y  2x   y  32  2x y  2x 3  y 3  2x  y   2 Và ta có :  2x  y  3 0  2x  y  0  y 2x  Bài toán giải Lời giải : Điều kiện : y  2x  9x  0 Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 4x  y  2 3y  y  6x  2xy  4x  y   4xy  12x  6y 0     2x  y  3 0  2x  y  0  y 2x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình : x  x  3 x2    2x x  2x       2x  3  2x  9x  x  x  3 x2  1  2x  3x  x2  Đặt t  2x  4x  2x   2x  3x  x2  2x  3x  2x  3x  x2  1  x   x  x  3 x2   2x  4x  2x  2x  3x   x 2 2   x2   , t  t 2x  3x  2 3  2 x    2x  3x     0 x 2 x 2 2x  3x  Lúc ta có:    t  2  t  2t  0  t 1  1 t x2   x 0  y 3  x  3x 0    x   y  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình 80 1  x  x, y    0;3 ;   3;  3  Bình luận : Ở cách giải phương trình   bạn thực phép quy đồng nhân phân phối hết có kết  24  x  y   x  y  32  x  y  16  xy   xy  9xy    x, y    Ví dụ 4: Giải hệ phương trình    x  y    x  1  y    Phân tích : Với hệ ta thấy phương trình thứ có cấu trúc phức tạp, phương trình thứ hai chứa thức nhiều lại phương trình thức nên trước tiên ta nâng lũy thừa phương trình thứ hai để làm giảm thức phương trình thứ hai cộng với việc khử bớt đại lượng y có vế sau tạo thêm đại lượng 3x có thức sau nâng lũy thừa vế trái Cụ thể ta có phương trình thứ hai biến đổi thành phương trình : x  y   x  y   xy  2x  y   x  y  3  x  y  3  0 Phép biến đổi cuối cho ta đẳng thức   xy  3x  0 Tới ta có mối quan hệ hai biến x, y xy 3x  Nếu để vào phương trình thứ hệ ta giải phức tạp khó khăn việc khai triển tính tốn Do ta chọn lựa phương án biến đổi tiếp phương trình thứ hệ để hình thức gọn gàng Ta có phương trình thứ viết lại : 24   1  32 x  y  16      9xy xy  x y  Với phương trình ta khơng khó nhận đại lượng sau xếp lại đẳng thức, : 1   1  32 1  16      16      16       xy xy y  y   x y x  x Do ta biến đổi tiếp phương trình thứ phương trình : 24   1  x  y  16     9xy 0  x y     x y  16    24  xy     x  y  9xy 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 81 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Và tới đây, khơng khó để nhận phương trình cuối biến đổi phương trình thứ hệ tương đương với :   x y  2  4  xy  0  x  y 3xy  16 x  y  xy 9x y     xy     Lúc kết hợp với kết thu phương trình thứ hai ta thực phép đơn giản x  Lời giải : Điều kiện :   y 3     Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành phương trình : x  y   x  y   xy  2x  y   x  y  3  x  y  3  0    xy  3x   xy 3x   xy  3x  0  xy  3x  0    1  y  x  0  Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 24  1  32 x  y  16      9xy xy  x y    24   1  x  y  16     9xy 0  x y    2  x y  16    24  xy   4     x y  x  y  9xy 0     xy  0     xy      x  y 3xy  16 x  y  xy 9x y      Thế (1) vào (2) ta có phương trình :   16  x    3x   9  3x  1  81x  38x  39x  16  32x 3x  0 x    81x  6x  71x  16  32x x     3x  0 x  x  1   x  1 81x  87x  16  32x  0 x   3x      32x   x  1  81x  87x  16   0              x  1  3x   T 82 Nhận xét với x  ta có : 81x  87x  16  32x 0 x   3x  Do từ   ta có x  0  x 1  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y   1;4  Bình luận : Bài tốn phối hợp hai phương trình đẳng thức Nói cách khác kỉ thuật nhân tử chung đẳng thức tốn mà hay bắt gặp nhân tử chung có dạng f  x, y  0 f  x, y   g  x, y  0 f  x, y   g  x, y  0 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2 y   2x  1  y 3 2x     x, y     y  x   15  2x   x   y  x   Phân tích: Khơng q khó để nhận hệ khơng khai thác từ phương trình thứ hai Phương trình thứ buộc lịng cần quan tâm Trước tiên ta chuyển vế dùng phép nâng lũy thừa để giảm bớt thức sau tiến hành tiếp phép biến đổi cần thiết nhận định phép biến đổi cuối ta có Cụ thể ta có phương trình thứ biến đổi thành :     y   2x  1 3 2x   y   y  6x   9  2x  1  y  2x  1  y  24x  4y  12 18x  y   y  2x  1  2x   y  2x  1  y 0   2x   y  0  2x   y  y 2x  Như xem có gỡ nút thắt quan trọng toán Vậy xem toán giải  y   2x  1 0   y 0   Lời giải : Điều kiện :   x    y  x  0 Từ phương trình thứ hệ ta có phương trình sau : y   2x  1 3 2x   y   y  6x   9  2x  1  y  2x  1  y  24x  4y  12 18x  y   y  2x  1  2x   y  2x  1  y 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 83 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình   2x   y  0  2x   y  y 2x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình : x  15  2x   x   x  ( điều kiện x 2 )         2x  2x  15x   16  8x x  x2      2x  2x  11x   4x 2x   x  0  2x  4x     x  1 2x  4x   4x   0   2x   x       4x  2x  4x   x    0  1  2x   x      Với điều kiện x 2 ta ln có : x   4x 2x   x  0  3 x  2 Do từ  1 ta có : 2x  4x  0    2 x   3  y 3  Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm hệ phương trình  23  ;3    x, y     Bình luận: Thơng qua tốn này, chúng tơi muốn lưu ý bạn Vì x 2 nên x    hệ chứa phương trình gây q nhiều khó khăn để tìm mối quan hệ mà hệ lại có phương trình có hình thức nhẹ nhàng chứa dạng phương trình thử tư logic việc nâng lũy thừa để làm giảm thức tìm hiểu sâu vào phép biến đổi có giúp cho Đó việc tư cho tốn, nhiên tùy vào tốn mà ta có cách chọn lựa phương pháp thích hợp Ví dụ : Giải hệ phương trình : 84 6x  x  1  4xy  2  x  1 x  y   y  1    x, y     x y  x2  7x y  3x  112   y  2x  x  16 Phân tích : Về cấu trúc hệ từ phương trình thứ hai hệ có biến đổi khơng thu kết khả quan Do chuyển trọng tâm sang phương trình thứ Ta biến đổi phương trình thứ trở thành phương trình : 6x  6x  4xy   x  x  y  y  2y  0     Ở phương trình nhận thấy có đại lượng  x  1 x  y làm ta liên tưởng tới đẳng thức  a  b  Mặt khác nhận thấy cho y 2x   x  y  x  2x  x  Và với y 2x  ta thấy phương trình nghiệm Như có khả đại lượng   x  1 x  y có xuất phát từ đẳng thức ? Đó :  x  y   x  1  0 Và ta thử tách phương trình thứ theo chiều hướng xem ? Cụ thể ta có : x  y   x  1 x  y   x  1  4x  4x  4xy  y  2y  0 Tới ta để ý thấy : 4x  y   4xy  2y  4x  2x  y  1 Và phương trình thứ biến đổi gọn lại thành phương trình :  x  y   x  1   x  y x    2x  y  1 0     y 2x   x  0   y 2x  Như xem nút thắt toán giải  x  y 0  Lời giải : Điều kiện : 2x  x  16     y 1  Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình x  y   x  1 x  y   x  1  4x  4x  4xy  y  2y  0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 85 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình   x  y   x  1   x  y x    2x  y  1 0     y 2x   x    y 2x  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình : x  2x  1  4x  16 2x  x  16   7x  2x  1  3x  112 2x 2x  5x  16 14x  10x  112   1 2x 2x  x  16 Đặt a  2x  x  16, a  2x  5x  16 a  4x  Ta có nhận xét :  3 2 2 14x  10x  112 7 2x  x  16  3x 7a  3x   Do ta có  1 trở thành phương trình : a  4x 7a  3x   2x a  4x a 7a  3x a 2x   8x  3ax  2ax  7a   0   x  a   8x   5ax  7a 0   x a 8x  5ax  7a    x 0 2x  x  16 x    x 2  y 5 2  2x  x  16 x Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm hệ phương trình  x, y   2;5  Bình luận : Trong lời giải phân tích bạn có thắc mắc vào điều mà chúng tơi lại cho y 2x  Câu trả lời dự đốn đẳng thức Nếu đẳng thức nghiệm xảy dấu phải thỏa phương trình Và điều nên hướng tiếp cận biến đổi để thu đại lượng đẳng thức dựa vào biểu thức lại có đại lượng cho phép biến đổi theo ý tưởng Một ý tưởng khơi thành công, không ý tưởng chắn dẫn tới thất bại Ví dụ 7:  y  3x   12x 2  x   y   Giải hệ phương trình  5x y   2  4x  10x     86      x, y    ... Với hệ ta thấy phương trình thứ có cấu trúc phức tạp, phương trình thứ hai chứa thức nhiều lại phương trình thức nên trước tiên ta nâng lũy thừa phương trình thứ hai để làm giảm thức phương trình. .. x    hệ chứa phương trình gây q nhiều khó khăn để tìm mối quan hệ mà hệ lại có phương trình có hình thức nhẹ nhàng chứa dạng phương trình thử tư logic việc nâng lũy thừa để làm giảm thức tìm... trúc phương trình cho “nhẹ nhàng” việc sử dụng phương pháp đẳng thức lại hiệu cho lời giải dễ hiểu  Hệ phương trình có nhân tử chung kỉ thuật nhân liên hiệp phương trình hệ có đơi lúc phối hợp hai