Bài 1 giới hạn dãy số đáp án p1

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa 1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số Định nghĩa 1 Ta nói dãy số  nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé.

Bài GIỚI HẠN DÃY SỐ • Chương GIỚI HẠN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa Định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số - Định nghĩa 1: Ta nói dãy số   un   có giới hạn  khi  n  dần tới dương vơ cực, nếu  un  có thể nhỏ hơn  một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu:  lim un   hay  un   khi  n     n  - Định nghĩa 2: Ta nói dãy số     có giới hạn a  khi  n   , nếu  lim   a     n  Kí hiệu:  lim  a  hay   a  khi  n     n  Định nghĩa giới hạn vơ cực dãy số - Ta nói dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một  số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n     - Dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  lim  un      Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n       II Một số giới hạn đặc biệt định lí giới hạn dãy số   Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim  0; lim k  ( k    ) n  n n  n         lim q n  ( q  1)   n        lim C  C         n  Định lí: a) Nếu  lim un  a ;  lim  b  thì   Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: lim       n  n   lim n k  (k    ) n    n lim q  (q  1) n  Định lí: a) Nếu  lim un   thì  lim      un b) Nếu  lim un  a ;  lim    thì  lim  lim(un  )  a  b  lim(un  )  a  b  lim(un )  a.b      u a  lim n  (b  0) b       b) Nếu  un  0; n  và  lim un  a  thì  a   và  lim un  a   c) Nếu  un  ; n và  lim   thì  lim un      d) Nếu  lim un  a  thì  lim un  a     un  0  c) Nếu  lim un  a  0, lim    (a.vn  0) un     (a.vn  0)  d) Nếu  lim un   ,  lim  a   thì  lim  thì  lim(un )    (a  0)    (a  0) PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Dãy số có giới hạn   Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: Trang Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  U n   có giới hạn   , nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý  cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số  dương đó.  Khi đó ta viết  lim  un    hay  un  hay  lim un    n  Bằng cách sử dụng các kí hiện tốn, định nghĩa trên có thể viết như sau:  lim un      0, n0 : n  n0  un        Nhận xét:   Dãy số  U n   có giới hạn   khi và chỉ khi dãy số  U n   có giới hạn   .  Dãy số khơng đổi  U n   , với  U n   thì dãy số có giới hạn   .(hay  lim  )        Một số dãy số có giới hạn 1 lim     lim     n n   lim      n Định lí:     n k lim      n lim lim  un  Định lí 1: Cho hai dãy số:  un , :   lim un     lim    Định lí 2: Nếu  q   limq n           Bài tập tự luận Câu Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    a un  1 cosn     n4 c    n  2n      1 b.     1 d Lời giải:  1 a un  n cos n     n n   lim un     n4 1n sin  2n  1 b     n n3 1n sin  2n  1 m lim   lim     n n mà    lim c 1      n  2n   2n  3n n mà  lim d  1 1   lim     n n  2n  3 n sin n      n2 n n mà  lim Trang  1 sin n        lim n n n n sin  2n  1 n2 sin n     n2       n Câu Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    2n a u n   0, 99     c.  un    cos  2n  1   b un 2n n cos  n  1    2n  2.sin n d.  un     n 1      5n  1    Lời giải: 2n a un  0,99    0,99 n     n có  0,992   lim  0, 992      b.  un   1   1 n n cos  n  1 2n     n cos  n  1 1  n       n 1 2 n n  1 cos  n  1     1 Có  lim     lim 2n  2 c.  un  cos  2n  1   5n  cos  2n  1  5n 2n    2n n  1       5n    cos  2n  1  1 Có  lim     lim 5n 5 2.sin n d un     n 1 2.sin n 2     n4  n n 2n     2.sin n   lim     n4 n4  Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    Có  lim Câu n    3n u a. Chứng minh rằng:  n 1    với mọi  n    un Cho dãy số   un   với  un  n 2 b. Chứng minh rằng:  un       3 c. Chứng minh dãy số có giới hạn     Lời giải: un 1 n  n n  1 a   là dãy số giảm.   n 1 : n    un 3 3n 3n u n 1  n 1      un 3n n n 2n          3n 3n   c. Theo b. Ta có   b. Có :  un  Trang n un  n 2       3n   n 2 m lim     lim un     3 Câu Chứng minh rằng hai dãy số   un  ,    với  un   cos n n  sin 2n  ;    có giới hạn     n2  n 2n  Lời giải:      2n  n n 1       n  n  1 n Ta có:   un  Do đó,  lim un   và  lim       Câu Chứng minh rằng các dãy số   un   sau đây có giới hạn     5n a un  n    1 a.   un  1  b un  5  n n n 1 n n  cos     n 1    c un  n n n Lời giải: d.  sin n    n n 1 n  5      với mọi  n      3n n  5 Vì      nên  lim     . Do đó  lim un       1 1 b.  un  n 1  n 1  n 1  n 1  n   với mọi  n    2 Vì  lim    từ đó suy ra  lim un     2n n 1 c.   un    với mọi  n     n  n  1 n Sử dụng định lí kẹp ta có lim un     d.Vì  Câu sin n sin n sin n     với mọi  n   và  lim   nên  lim     n n n 1 n n 1 n n n 1 Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là   :  un  nn  n  2  2n   n 2n    Lời giải: un  nn  n  2  2n   2n  n  2n  22 n  n  1 n 2n 2n   n  1 2n 2n  n  1 2n 1       2 2n Câu  Mà  lim     nên  lim un     2 Chứng minh rằng:   a lim   n   n      b.  lim Lời giải: Trang   n   n         n2   n n  n n 1 b.  n   n      n 1  n n Từ đó suy ra  lim     a Câu   n2   n   (*) Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là   :  un  un  15n n  9n  25n  15n    n  n  25n  Lời giải: 32 n  n 3n.5n 1  n 2n         n 1   52 n  n  32 n  n  2 n 1 Mà  lim      đ.p.c.m  2 Dạng Dãy số có giới hạn hữu hạn I Định nghĩa:  Ta nói rằng dãy số   un   có giới hạn là số thực  L , nếu  lim  un  L      Kí hiệu:  lim  un  L    lim un  L   Ii Định lý:  Cho   un   mà  un  c, n :lim un  c    Định lý 1: lim un  L  lim un  L   lim un  L Nếu  un   thì  L   thì  lim un  lim un    Định lý 2: Giả sử  lim un  L  và  lim  M  và  c  là một hằng số. Khi đó:  lim  un    L  M   lim  un    L  M   lim  un   L.M   lim un L    M lim  c.un   c.L   Dạng 2.1 Chứng minh đẳng thức lim un  A định nghĩa Bài tập tự luận  Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng  lim    n3 Lời giải   Ta có:  lim     lim      lim     n n  Vậy  lim    Câu Cho dãy số    với  Câu   n  Chứng minh rằng:  lim              Trang Lời giải n n     2 Ta có  lim     5  lim      5    Câu Câu Theo định nghĩa suy ra điều phải chứng minh  6n  6  Chứng minh rằng  lim n5 Lời giải 28 28 28  6n   Ta có  lim     lim   do (  )  n5 n5 n  n5  Theo định nghĩa suy ra điều phải chứng minh   2n Chứng minh:  lim  2   n2 1 Lời giải Với  a   nhỏ tùy ý, ta chọn  n a   2n 2   2n+2 n  n 1 Suy ra  lim  n 1  2n n 1    lim  , ta có:  a2  2n+2  n+1 n 1  2n n2 1  n 1  n a2   a với  n  n a      2   Dạng 2 Tìm giới hạn dãy số có giới hạn hữu hạn Thơng thường ta sẽ gặp các dạng tốn cơ bản sau  1) Gặp giới hạn của   un  trong đó  un  là một phân thức hữu tỉ dạng  un  P  n  (trong đó  P  n  , Q  n   là hai  Q  n đa thức chứa của  n ).   Phương pháp: Chia tử và mẫu cho  nk  với  n k  là lũy thừa có số mũ lớn nhất của  P  n   và  Q  n   (hoặc là rút  nk  làm nhân  a   k    để tính.  nk 2) Gặp giới hạn của dãy   un   là biểu thức chứa  n  dưới dấu căn.  Phương pháp -Khi  un  phân thức tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và  lim TH1: Đưa  nk  ra ngồi dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của n trong dấu căn) và áp dụng trực tiếp định lí về  giới hạn  TH2: Khi đưa  nk  ra ngồi dấu căn mà giới hạn vẫn vơ định (mẫu tiến đến 0) thì ta phải nhân và chia với  biểu thức liên hợp của biểu thứa chứa căn tiến về 0.  -Khi un khơng phân thức:  un  có dạng  A  B , A  B, A  B  thì ta nhân và chia với lượng liên  hợp đưa về dạng phân thức  Chú ý  a  b  lượng liên hợp là   a  b   a  b  lượng liên hợp là   a  b   a  b  lượng liên hợp là   a  a b  b   a  b  lượng liên hợp là   a  a b  b   3) Gặp giới hạn mà  un  là một phân thức mà tử và mẫu của nó là biểu thức các lũy thừa có dạng  a n , b n  n    trong đó các cơ số  a, b  là các hằng số  Trang Phương pháp: Chia tử và mẫu cho  a n  trong đó  a  là cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu.  Áp dụng  lim q n   q  1  và các quy tắc để tính  4) Giới hạn của dãy xác định bởi một cơng thức truy hồi  Phương pháp  Tìm cơng thức tính  un  theo  n , từ đó tìm  lim un    Hoặc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (bawfng cách chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc  giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.  Chú ý rằng: Nếu  lim un  a  thì  lim un 1  lim un   a   5) Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn  Phương pháp a) Định nghĩa: Cấp số nhân vơ hạn   un   có cơng bội  q  với  q   được gọi là một cấp số nhân lùi vơ hạn.   b) Định lí: Gọi  S  u1  u2   un   là một tổng của cấp số nhân đã cho, ta có  S  n u1   1 q n 6) Giới hạn của dãy số mà  un  có dạng  un   ak  hay  un   ak   k 1 k 1 Phương pháp: Cách 1: Dùng sai phân thu gọn  un , dựa vào đó tìm  lim un   Cách 2: Sử dụng định lí kẹp: Cho ba dãy số   un  ,   ,  w n   thỏa mãn   un  w n  với mọi  n  và  lim  lim wn  L  L     lim un  L   Bài tập tự luận Câu Tìm các giới hạn sau:    a.  lim n 1   n2  b.  lim n  n  1  n  4   c.  lim 3n3  2n    n  5n  d.  lim 2n3   n  3n  4.3n  n 1   2.5n  n d.  lim 4n 1  6n    5n  8n Lời giải 1  n 1 a.  lim  lim n n    n 2 1 n Câu 1  n n    b.  lim  lim  lim 3  n  4  n  4  4 1    n 3  3n3  2n  n n    c.  lim  lim n  5n  2  2 n n 2n3 n d.  lim  lim    n  3n  1  n n Tìm các giới hạn sau:    a.  lim n  n  1 n2  n 3n  4n  5n  3n   b.  lim   n n n  5  3n c.  lim Lời giải Trang Câu 3n 4n  n 1 n 3n  4n  5n a.  lim n  lim n n  1    n  5n  1 5n 5n 1  3n 3n  b.  lim     lim 4  3n 1 3n 3n n  n n 1 4.3  c.  lim     lim n n n 2.5  n  4n 6n n  36 n n 1 n2 6    d.  lim n n  lim n 5 8 1 8n Tìm các giới hạn sau:   sinn  sin10n  cos10n a.  lim     b.  lim   n 1 n  2n Lời giải  sin n 2  sinn    mà  lim   lim a. Ta có:     n n 1 n 1 n sin10n  cos10n 2 sin10n  cos10n   mà  lim   lim b. Ta có:     n n  2n n  2n n Tìm các giới hạn sau:    a.  lim Câu   n2    n n Lời giải n n 1   nn n b.  lim 1 c.  lim n 1 n n 1  lim  lim n    a.  lim nn n 1 n  n2 n  n 3 n 2 n 2 n  lim  lim    b.  lim 1 n n 1 nn n2 3 1  3 n  3n  n n3    c.  lim  lim n  4n  1  n n   Câu Tìm các giới hạn sau:    a.  lim  8n  3n   n2 b.  lim 2n  3n    n2   c.  lim n   n2    Lời giải Trang   n3  3n  n  4n    8n  3n  lim      n n 2  2n  3n  n n   2   b.  lim  lim 2 n  1 1  n 2n 2  lim  1   c.  lim n   n2   lim 1 n 1  n 1 1  1 n n Câu 10 Tìm các giới hạn sau:  a.  lim     a.  lim   c.  lim 2n  2n    3n3  n   n  3n   2  n 1 n n2  n  n b.  lim d.  lim    5.3 4n   n      n2  2n   n   Lời giải 2  2n  2n  n n     lim a.  lim 3 3n  n  3  3 n n  1 1 n 1    n n 1  n 1 1 n n n  n n n b.  lim  lim  lim     lim 1  4n   n   n   n 1  1 n2     n  n n n n   n n 1  2 4       n  3n   2n  9.3n 3  3  lim  lim  c.  lim   n 1 n n 2  2   5.3n  2   5.3n  2 2      3 2 2n  n d.  lim n  2n   n  lim  lim    n  2n   n 1  1 n n Câu 11 Tìm các giới hạn sau:      a.  un  2n  n    n  3n5 b.  un  2n  n  2n  n  Lời giải 2  2n  n  n n     a.  lim un  lim  lim n  3n 3 n4 2  2n  n  n n     lim b.  lim un  lim 1 2n  n  2  n n n 1    n n 7.2  c.  lim un  lim n  lim   n    n 2.3  3    4   c.  un  7.2 n  n   2.3n  4n Trang Câu 12 Tìm các giới hạn sau:  n6  3n3  5.2n  3n   c.  u    n 2n  n5  2n 1  3n 1 Lời giải 1  sin 3n  n3  n sin 3n  n    a. Ta có:  lim un  lim  lim n n 2n  n  2  n n n 2   1 5.2n  3n 5.2 n  3n  lim  n     b. Ta có:  lim un  lim n 1 n 1  lim n n 2.2  3.3 3  2     3 1  6 n  3n  n n     lim c. Ta có:  lim un  lim 2n  n  2 2  n n Câu 13 Tìm giới hạn:      a.  un  lim  d) lim   Lời giải  lim     c) lim b.  un   n  5n  n      lim  3n  9n       a) a) n3  n sin 3n    2n  n     n  5n  n b) 2n   n n  2n  n 5n    5  4  4 2 n  n  5n  2n  lim  2n   n n 1 n   2n   n  lim  lim  lim 2n   n 2n   n  1 n  lim n  5n  n  lim n  5n  n n  b) lim c) lim 3n  9n   lim d) lim       9n  9n  3n  9n  n n 3n  9n  0          2n   n n3  2n  n   2n 1 n3  n  n n3  n  n  lim  lim  lim 2  lim  2n   n n  2n  n    1      n  n  3  Câu 14 Tìm giới hạn:  a)  lim n  n  2n        b) Lời giải Trang 10 lim    n2  2n   n      a)   b) n  n  2n  2n  n lim n  n  2n   lim  lim  lim  1 2   n  n  2n  n  n  2n  1 1  n n       lim   n  2n   n   lim 2  n  2n    n  1 2 4n   lim n  2n   n    n  2n   n  n  lim  2 1 11 1  1 n n n 4   Câu 15 Tìm giới hạn: lim 4n  2n  n  9n  n  2n Lời giải lim 4n  2n  n  9n  n  2n  lim  4n  2n   n  12     9n  n  4n   n  n  2n    4n  2n  n       3     2 n n  n  3.5   lim  lim  1 2 5.3     n  n n  n  n         1  n  n n  Câu 16 Tìm giới hạn:  3n  4n  1    9n  n  n  a)  lim 3n   9n    b)   lim  8n   n  n    Lời giải a)   lim 3n   9n   lim lim    3 8n   9n  1 3n   9n  8n3   4n  n   lim  lim    3n    1  2n 8n3   4n 30   lim 24 n 3   n n  5 b)   n5 2n  4n  n    n  lim  lim 3   8n     2n 8n   4n 2 4  n n 1   3n   9n  8n   n  n n  n   lim  lim 30n  24 1  4   Câu 17 Tìm giới hạn:   0 a) lim  n  2n   n       b) lim  n2 n   Lời giải Trang 11     lim n  2n   n  n  2n   n a) lim   n  lim  lim 1   n  2n   n 1  1 n n n  2n   n b)   lim    n2  n 3  n  2   n  2 n2n   2 n   n  lim  lim   n  2n   n 2n  3   n  2    n  n  n2     n  n  n2  lim  n  n  n2    n  2 0  n  n  n2   Câu 18 Tìm giới hạn:  a) lim  n2   n2  n   n   lim a) lim b) 3n2   n  lim  lim n n c) lim     n2   n2    3n2   n     n Lời giải b) lim n2   n   lim  3n   n  n   n2  2 2n    lim 2 n n3  2n  n  lim n  2n 2  c) lim       3 n2 1  1 2 n n n  2n  n              2  lim  n n3  2n  n 0   2 1      n n     Câu 19 Tìm giới hạn  1  1 a.  lim 1        n   16 n b.  lim 1  0,1  0,12  0,13   1 0,1n      Lời giải 1  n 1 1 1   a.  lim 1       lim    16 n   1 n n b.  lim 1  0,1  0,1  0,1   1 0,1      n    0,1   lim 1   0,1     0,1  10 /11    0,1  1,1   Câu 20 Tìm giới hạn  a.  lim Trang 12   n ’  n2 b.  lim n    2n   3n  n  Lời giải c.  lim    n   n  3n    a.  lim n  n  1   n n 1  lim  lim    2 n 2n 2n 1   n n  n  1 n   2n n    b.  lim  lim  lim 2 3n  n  3n  n  3  n n 1 n  n  1   n n    c.  lim  lim  lim 2 n  3n n  3n 2 n Câu 21 Tìm giới hạn      1 a.  lim         2n  1  2n  1  1.3 3.5 5.7  1 b.  lim      1   n  1 n  n  Lời giải      n  1    1 1 1 1  a.  lim        lim         2 3 2n  2n    2n  1  2n  1  1.3 3.5 5.7 1   lim 1       2n   b.    1  lim      1   n  n  n n         1   n  1 n  n n    lim     2.1 3.2  n  1 n   1 1      lim         lim 1    1  2 n n 1  n 1    Câu 22 Tìm giới hạn  a.  lim n3   n n n n2  b.  lim   3n    3n    c.  lim 3n3  n  n  4n  4n    d.  lim n  n  1  n  4   Lời giải n3  n n3   n n  3 n 1  n n n n  0  n a.  lim  lim  lim 2 n n 1 n n 1 n 1 n n2 3 3n  n  3  b.  lim  lim 3n  3 n Trang 13 c.  lim d.  lim 3 3n  n  n  n  4n  n  n  1  n  4  lim 1   n n n3    4  n n 3 1  n n     lim  4 1    n  u1  5 Câu 23 Cho dãy số   un   được xác định bởi:    Tìm  lim un   un 1  un Lời giải Đặt   un   ta có   1   với mọi n.  1 Do đó  v2  v1 , v3  v2  v1   2 n 1 n 1 1 1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:      v1      2 2 n1 1 Vì  lim     nên từ đó suy ra  lim    2 Vậy  lim un    u1  1 Câu 24 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un1  un  , n  N , n  un Tính  lim   5n  2020 Lời giải Ta có  (un )  là cấp số cộng có  u1  1, d  ,  un  u1  (n  1)d  1  (n  1)3  3n    3 un 3n  n  lim  lim  lim    2020 5n  2020 5n  2020 5 n u1   Câu 25 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1  un  ; n   * Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Đặt  un   n   , thì  v1  u1   2    * 3 Khi đó  un 1  un   1     3   1  ; n   *  nên dãy     là một cấp số nhân với  2 2 1 v1  2; q  , suy ra   2   2 n 1 1    2 n2 1  un     2 n2  lim un  n  u1   Câu 26 Cho dãy số   un  xác định bởi :    n   un  ; n   *   un 1  n  u Tính giới hạn  lim n2   n Trang 14   Lời giải  n   un   nun 1   n   un  n   *   n Đặt   un   1, n   *  thì   v1     và   Ta có  un 1  nun 1   n   un   nvn 1   n    vn1 vn v         n  1 n   n  n  1 n  n  1   n  n  1  un  n  n  1   n2  n    Vậy  lim un n2  n   lim 1 n2 n2   Câu 27 Cho dãy số   un   xác định bởi  u1   và  un 1  un  2n  1, n   *    un  u4 n  u42 n   u42018 n Tính  lim un  u2 n  u22 n   u22018 n   Lời giải Đặt  un   n , n   * thì  v1  u1     2 Khi đó  un1  un  2n   1   n  1   n2  2n   vn1  , n  *   v1   un  n   Do đó  lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n  lim n  4n  42 n    42018 n   n  2n  22 n    22018 n  2019 2019 2019                  2019 22019  1   22   22018 1 u1   Câu 28 Cho dãy số   un   được xác định bởi:   *   Tính  lim  un     u  u  ;  n   n  n n  Lời giải 2018 1 Ta có :  un   un  un 1    un 1  un      u2  u1   u1    2 1 Dãy    2 n 1 1 ,  2 n 2 n 1 1   2 n2      1 , , ,1  là một cấp số nhân có  n  số hạng với số hạng đầu  u1   và cơng bội  q   nên  2 n 1 1   n 1    n 1  2 1  un      Vậy  lim  un    lim         2     1 u1  Câu 29 Cho dãy số   un  xác định bởi :     n 1 un1  2un  3.2 ; n   * un Tính  lim    2n  1 2n 1 Lời giải u u Ta có  un 1  2un  3.2 n 1  nn11  nn  3; n   *   2 Trang 15 un , n   *  thì ta được dãy     thỏa mãn  v1  1; vn1   3; n   * , suy ra dãy     là CSC  2n     n  1  3n   un   3n   n   Đặt   lim  3n   2n  lim  3n      un  lim  2n  1 2n1  2n  1 2n1  2n  1  u1  Câu 30 Cho dãy số   un  xác định bởi :     nu n u  ; n   *  n 1 n  u  u u  Tính  L  lim   22    nn     2 Lời giải 2nun Ta có  un 1    n  1 n   n  3 un 1  2n  n  1 n   un ; n   *   n3 Đặt   n  n  1 n   un  ta được dãy     thỏa mãn  v1  4; 1  2vn ; n   *  nên dãy     là một cấp số  nhân,   4.2n 1  2n 1  Vậy  un  Từ đó  2n 1   n  n  1 n   un 1   1  1           n n  n  1 n   n  n  1  n  1 n    n n    n  n   u u u L  lim   22    nn 2 1   1       lim    n 1 n    u1   Câu 31 Cho dãy số  (un ) xác định bởi  :     un 1   u ; n   * n  Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải 1 1 1 Ta có:  u1  2; u2       ; u3  ; u4  2 n 1 Từ đó dự đốn  un  , n   * (*) n   Chứng minh (*)  bằng phương pháp quy nạp :  Với  n   u1   (đúng ).  Gỉa sử (*) đúng với  n  k ( k  1)  nghĩa là  uk  k 1    k k2   k 1 1 k 2 Thật vậy theo  bài ra và giả thiết quy nap  ta có  uk 1     đúng ,   k 1 k 1 uk k nghĩa là (*)cũng đúng với  n  k    n 1 n 1 Vậy  un  ; n  N * Ta có   lim un  lim   Vậy  lim un    n n   Ta chứng minh (*) đúng khi  n  k  Nghĩa là ta phải chứng mính : uk 1  Trang 16 u1  1; u2   Câu 32 Cho dãy số   un  xác định bởi :     2un un 1 un   u  u ; n   * n n 1  Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Từ công thức xác định dãy   un   suy ra  un  0, n   *    Ta có  un  Khi đó  un  2unun 1 1 1 1      ; n   *  Đặt    thì  v1  1; v2    un  un 1 un 2  un 1 un  un 1 1 1      vn2   vn1    2  vn1  1  ; n   *     un1 un  2 1 1 1  1   v2  v1   1    1; n  *      2 3 2  un  1 1   3  n 1   lim un  n  n 1     3   u1  2019  Câu 33 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1  u  ; n   * n  Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Từ công thức xác định dãy   un   suy ra  un  0, n   *    Giải sử dãy   un   có giới hạn L, giải phương trình  L   ta được nghiệm dương  L    L2 Ta chứng minh  lim un    n Thật vậy ta có  un   u 1 1   n 1  un 1   un   n 1 u1   1009       un1  un 1  2 2 n 1   un   1009     2 n 1 Vì  lim1009     nên  lim un    2 u1  Câu 34 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un1    un ; n   * Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Giải sử dãy   un   có giới hạn L, giải phương trình  L    L  ta được nghiệm   L      Ta chứng minh  lim un    Trang 17 Thật vậy ta có  un     un 1     un 1   un 1     un 1    un 1 1 u   n 1     un   n 1   n 1 2  un   Vì  lim un 1     nên   lim un    n1  u1  Câu 35 Cho dãy số   un  xác định bởi :     u  u  u ; n   * n n  n1 Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Ta chứng minh   un  ; n   * (1)  bằng quy nạp.  Ta có  u1   nên (1) đúng.  2 1 1 1   un2  un          un 1    2   12 Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương  n   Giả sử   un  1 5 5 Ta có   un  ; n  *   un     un 1  un ; n  *   un    6 6 5 Vì  lim   6 n 1 u1   n 1 u1   nên theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra  lim un     u1  2019 Câu 36 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1  un ; n   * Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Từ cơng thức xác định dãy   un   suy ra  un  1, n   *    Ta có  un1   un   1 Vì  lim   3 un  un2  un   un  1 ; n  *   un     3  u1  1 ; n   *   n 1  u1  1   nên theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra  lim  un 1   lim un     u1  Câu 37 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1   un , n   * Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Ta chứng minh quy nạp được 1  un  3; n   *   Trang 18 n 1 un 1    Suy ra  un1  un   un  un   un  un2  un  un  0; n   * ( vì   un  un2  0, un  1;3 ) . Suy ra dãy   un    tăng và bị chặn trên nên có giới hạn. Đặt  lim un  L,   L  3 , giải phương trình  L   L  ta được  L   Vậy  lim un    u1  Câu 38 Cho dãy số   un   được xác định bởi       2un  1 u  ;  n   * n   un   Tính  lim un   Lời giải Từ cơng thức xác định dãy   un   suy ra  un  0, n   *    Ta chứng minh   un  là dãy số bị chặn trên bởi 2 bằng phương quy nạp   Thật vậy ta có  u1    Giả sử  un  thì  u n 1    2u n  1 2u  2 n   u n 1   nên   un  un  un  2, n   *   Ta chứng minh dãy ( un ) tăng .  Thật vậy  un 1  un   2un  1 un   un  un2  un   0, n   *  V×  un     un  Dãy  (un ) là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn.  Đặt  lim un  L      L   , giải phương trình  L   2L  1  ta được nghiệm dương  L    L3 Vậy  lim un    u1  2019  Câu 39 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un3  12un u  , n   * n   3un   Tính giới hạn của dãy   un    Lời giải Ta có  un1    un   Ta có  un 1  un  3un2  Vì   u1    suy ra   un   0, n   *   2un   un2  3un2    Dãy số   un   giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.  L3  12L Đặt  lim un  L,  L   , giải phương trình  L   ta được  L   Vậy  lim un    3L  Câu 40 Cho hình vng cạnh bằng  a  Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh của hình vng trên để được  hình vng nhỏ hơn nằm bên trong hình vng bên ngồi. Quy trình làm như vậy diễn ra tới vơ  hạn. Tính diện tích tất cả hình vng có trong bài tốn.   Lời giải Ta có hình vng ngồi cùng có cạnh là  a  nên diện tích  S1  a  . Hình vng thứ hai chỉ có cạnh là  nên có diện tích là  S2  a   a2  Cứ tiếp tục như vậy ta có:  Trang 19 a2 a2 , hình vng thứ tư có diện tích là  S  …   S1  a  Vì thế dãy số  S1 ; S ; S3 ;  lập thành cấp số nhân lùi vơ hạn   Sn   có    nên tổng diện tích các hình  q   vng có trong bài tốn là  S  S1  S2   a  2a   1 Câu 41 Để trang hồng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tơ màu một miếng bìa hình  vng cạnh bằng 1. Nó tơ màu xám các hình vng nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,…  trong đó cạnh của hình vng kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vng trước đó.Giả sử quy trình tơ  màu của chuột Mickey có thể tiến ra vơ hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột  Mickey phải tơ màu.  Hình vng thứ ba có diện tích  S3     Lời giải 1 Ta có cạnh của hình vng thứ nhất là   nên diện tích  S1     1 Cạnh hình vng thứ hai là   nên diện tích  S2  ,…  16 Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được  S1 ; S ; S3 ;  lập thành cấp số nhân lùi vơ hạn có  S1  1 ,  q   nên ta có  4 1   (đvdt).  1 Câu 42 Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả  sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng   độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước  10 đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm n trên mặt  đất.  Lời giải Ta thấy:  tổng diện tích chuột Mickey cần tơ màu là  S  S1  S2  S3   Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường  S1  63  m    Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là  1 63  (do độ cao lần hai bằng   độ cao ban đầu).   S  S1  2.63  10 10 10 Trang 20 ... Nhận xét:   Dãy? ?số? ? U n   có? ?giới? ?hạn? ?  khi và chỉ khi? ?dãy? ?số? ? U n   có? ?giới? ?hạn? ?  .  Dãy? ?số? ?khơng đổi  U n   , với  U n   thì? ?dãy? ?số? ?có? ?giới? ?hạn? ?  .(hay  lim  )        Một số dãy số có giới hạn. .. ? ?1? ?? 0,1n      Lời giải 1  n ? ?1 1 1   a.  lim ? ?1       lim    16 n   1? ?? n n b.  lim ? ?1  0 ,1  0 ,1  0 ,1   ? ?1? ?? 0 ,1      n    0 ,1? ??   lim ? ?1   0 ,1? ??     0 ,1? ??...  Đặt    thì  v1  1; v2    un  un ? ?1 un 2  un ? ?1 un  un 1? ?? 1? ?? 1      vn2   vn? ?1    2  vn? ?1  ? ?1  ; n   *     un? ?1 un  2 1 1 1? ??  ? ?1   v2  v1   ? ?1    1; n  * 