Chủ đề 1 GIỚI hạn dãy số

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Dạng Dãy số có giới hạn Ví dụ Chứng minh dãy sau có giới hạn a) un  b) un  n  1 n    1  n 1 sin 2n 2n  Lời giải: 1 n2 a) lim un  lim  lim  lim    3.0  2.0 n  3n   n  1 n   1  n n Vậy lim un  b)   1 n 1 sin 2n 2n   1  lim n 1 sin 2n 2n  Suy  1 lim n 1 2n   1   lim n 1 sin 2n 2n   lim 2n   lim n3 2 n3  0 20  (Nguyên lý kẹp) sin 2n 2n     lim un  Vậy lim un  Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau a) un  n 2 b) un  5n cos 3n  6n 2n  2.7n Lời giải: n 1    lim   n   Vậy lim un  a) lim un  lim n 2  2.0 1    5 b) lim un  lim 5n cos 3n  6n 6n 5n cos 3n  lim  lim  A  B 2n  2.7 n 2n  2.7 n 2n  2.7 n n 6   n      lim Có A  lim n n n  2.7 02 2   2 7 n 5   n n n n cos 3n 5 cos 3n 7    lim  lim  lim  0 Có  n n n n n n n n n  2.7  2.7  2.7  2.7 02 2   2 7 Trang 5n cos 3n 5n cos 3n  lim n  (Nguyên lý kẹp) Suy lim n   B   2.7 n  2.7n Vậy lim un  A  B    Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau a) un  4n   2n b) un  n   n  Lời giải: a) lim un  lim   4n2   2n  lim  4n  1  4n2 4n   2n  lim 4n   2n n  lim   Vậy lim un  40 2 4 2 n  n 4  n 2  b) lim un  lim  lim 1 2  1 2 n n  n  lim     n2   n2   n2   lim n2   n2  2.0  Vậy lim un   4.0   2.0 Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau n  2n  n a) un  n n  2n  n  n b) un  n Lời giải:  n  2n   n  2n  n   lim   1  lim       2.0     n n n     a) lim un  lim Vậy lim un  n  2n    n  n   n  2n  n  n  lim  lim b) lim un  lim n n n  2n  n  n n    lim n  2n  n  n 2 n  lim 1  1 n n   n n  2n  n  n   Vậy lim un   2.0   Dạng Khử dạng vô định  /  Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim 3n  4n  2n  3n  b) lim n3  5n3  n  c) lim  n  1 2n  1  3n   n  3 Lời giải: Trang 3   3n  4n  n n   a) lim  lim 2n  3n  2  n n 1 b) lim n3 n 4  lim  5n  n  5  n n 1         n  1 2n  1  lim  n  n   1.2  c) lim   3.1   3n   n  3   1   n  n   Ví dụ Tính giới hạn sau n2  n  n2  a) lim n 1 8n3  n  2n  b) lim 3n  n n   2n  c) lim 3n2  n  Lời giải: 1 n2  n  n2  1  1 2 n  n  n 1 n n    n a) lim  lim  lim 1 n 1 1 1 n n b) lim 8n  n  2n   lim 3n  3 8 1 2 2 n n  2  3 3 n n n   2n     2 n n   2n  n n    n2 c) lim  lim  lim 1 3n  n  3n  n  3  2 n n n Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim n  2n  1 3n    6n  1 b) lim  2n  1 n    n n3  n Lời giải:  2   3   n  2n  1 3n   n  n  2.3  lim    a) lim 3 36 1  6n  1  6   n  b) lim  2n  1 n    n n3  n 1     1    n n  n  n  lim   1 n Ví dụ Tính giới hạn sau Trang a) lim 4n  n  3n n2  b) lim 9n  n  3n  n2  Lời giải:  3 4n  n  3n n n a) lim  lim  3 n 1 1 n 2    2 9n  n  3n  n n n n  b) lim  lim 2 n 2 1 n Ví dụ Tính giới hạn sau 3n b) lim  n  1  2n  n   n  a) lim  n  1  n    3n3    n  3  n 2n  Lời giải   1 1 1        n  1  2n2  n   n2  n  n n n a) lim  lim  2    n  1  n    3n 1 1 3    n   n2   1.2  1 1.1       1    3n    n  3  n  n  n  n  b) lim  lim  2n3  1 n 2 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim  4n  4n b) lim 2n  5.3n 3n  c) lim 3n  4n 3n  4n Lời giải 1  4n 1 4n a) lim  lim   1 n 1 1 4n n 2   5 n n  5.3 b) lim n  lim    5 1 1 n n 3   1 n n 4  lim  n  1 c) lim n n 4 3   1 4 Ví dụ Tính giới hạn sau Trang a) lim 3n  4n  5n 3n  4n  5n b) lim 3n  4n 1 3n   4n c) lim 3n  6n  4n 1 3n  6n 1 Lời giải a) Nhận xét q   lim q n  n n 3  4      1  1 n n n 4 5 5  lim   n   n   1 Do đó, lim n n n  5  1 3  4      1 5  5 n 3   4 n n 1 4 04  lim   n   4 b) lim n  n 4 9.0  3    4 n 3n  6n  4n 1 c) lim 3n  6n 1 n 1 2   1 4       4.0   lim   n 06 1   6 2 Ví dụ Tính giới hạn sau 2n  2n 1 a) lim n  4.3n 4.3n  n 1 b) lim 2.5n  n 2n   4.6n 1  c) lim n 1 n 1  1 Lời giải n 2   n n 1 2 3.0  lim  n    a) lim n n  4.3 04 2   4 3 n 4.3n  n 1 b) lim 2.5n  n 3    4.0  7  lim  n   2.0  5 2  1 7 n n 1 1       4.0   2.0 n2 n 1  4.6  3     lim   n  c) lim n 1 n 1 n  1 1 1 3.0         2 6 Ví dụ Cho un   n  1 3n    2n n2   6n   4n  ; n  Biết lim un  a , với a, b  b * a phân số tối b giản Tính P  a  2b A P  17 B P  26 C P  25 D P  18 Lời giải: Trang Ta có lim un  n  1 3n    lim  2n n2   6n   4n   lim  3n  2n 2  n  2 n2   6n   4n   1        n 1     1 3.1 k h n n  n n n  n  lim   lim    lim  0;lim  2.2 n n         n  2   4 n n  n n n  n   Mà lim un  a a      P  32  2.4  17 Chọn A b b  Ví dụ 10 Cho un   2n  1 n   n  1  3n  1 9n  ; n  Biết lim un  a , với a, b  b * a phân số tối b giản Tính P  a  2b A P  B P  1 C P  D P  Lời giải: Ta có lim un  lim  2n  1 n   n  1  3n  1 9n   lim 2n3   n  1  3n  1 lim n4 9n  1 1 n4 n n   lim k  0;lim h   lim lim  lim 9 9n  n2 n2 1  1  9       n n  n  2 Mà lim un  a a      P  23   1 Chọn B b b  Ví dụ 11 Cho un  4n  3.22 n  2.3n 1 a ; n  Biết lim un  , với a, b  n2 n b 5.4  * a phân số tối giản b Giá trị P  a  3b thuộc khoảng đây? A  9; 7  B  7; 5  C  12; 9  D  5; 2  Lời giải: 4n  3.22 n  2.3n 1 Ta có lim un  lim  lim 5.4n   2n 2 4n  3.4n  3n 4.4n  3n 3  lim n  2n 4n  2n 16 16 n 3    n n 64 a 64 a  64 4 3 1  lim  4:  lim    lim    Mà lim un    n 16 b 5 1 4 2 b    16   Vậy P  a  3b  64  3.52  11  12; 9  Chọn C Trang 6 Ví dụ 12 Cho un   3 2n  3n 1  2n n ; n  Biết lim un  4.9  5.2n 1 Khẳng định đúng? B 5a  b  A 2a  b  a , với a, b  b C a  b  25 * a phân số tối giản b D a  2b  Lời giải: Ta có lim un  lim  3 2n  3n 1  2n 6.3n  3.3n  2n 3.3n  2n  lim  lim n 4.3n  10.2n 4.3  10.2n n 4.9  5.2n 1 n 2 3.3n  2n 3  n n a  3 a 3 2   lim  lim mà lim    suy lim un     Chọn D n n n 4.3  10.2 b 3 2 b  4  10   3n 3 Ví dụ 13 Cho un  A  n  1 n  n  1 ab2 a Biết lim un  (với a, b  ; tối giản) Tính P  b a  b2 b a 2n   n3  1 B C D Lời giải: Ta có lim un  lim  n  1 n  n  1  lim 2n   n3  1  n  1  n  n  1 n2  n  2n   n3  1  1       n  1 n  n   1 n  n n2   lim  lim   a  1, b   P  Chọn B   2n   n3  1  1   n  n  Ví dụ 14 Cho un  2n   1  3n  1 n3  5n3   n  1 Biết lim un  a b (với a, b  ; a tối giản) Tính b P  a  b2 B  A C 11 D 41 Lời giải: Ta có lim un  2n  lim  1  3n  1 n3  5n3   n  1  1       1 n  n n  lim    1  1   n  n Do suy a  6, b   P  a  b  Chọn A Trang Ví dụ 15 Cho un  n  22 n 1  3n 1 a a Biết lim un  (với a, b  ; tối giản) Tính P  a  b n 1 n 1 b b 5 A B 13 C D Lời giải: n Ta có lim un  lim n  22 n 1  3n 1 n 1  5n 1 n 14 3 1    3  27 7   lim n 15 7   57 Do suy a  1, b   P  a  b  Chọn C 11n 1  32 n 1  2n a a Ví dụ 16 Cho un  Biết lim un  (với a, b  ; tối giản) Tính P  a  b n n 1 b b 11  A 10 B 12 C 11 D 22 Lời giải: n n 9 2 11       n 1 n 1 n 11    11   11   11  lim Ta có lim un  lim n n n 1 11  1  1    11  Do suy a  11, b   P  a  b  10 Chọn A 2n  3 3n  1 4n3   Ví dụ 17 Cho un   4n  1 9n3  Biết lim un  a với a, b  b * a phân số tối giản Đặt b S  a  4b , mệnh đề đúng? A 54  S  60 B 60  S  64 C S  54 D S  64 Lời giải: Ta có lim un  lim 2n.3n 4n3  4n  9n   S  65 Chọn D 2n  3 4n  1 n3   Biết Ví dụ 18 Cho un   2n  1 9n3  lim un  a với a, b  b * a phân số tối giản Đặt b S  a  b , mệnh đề đúng? A S  B  S  14 C 14  S  20 D S  20 Lời giải: Ta có lim un  lim 2n.4n n3  2n  9n   S  13 Chọn B 2.6n 2  4n a Biết lim un  với a, b  n 1 n 1 b 3.6  mệnh đề đúng? Ví dụ 19 Cho un  * a phân số tối giản Đặt S  a  b, b Trang A 310  S  320 B 320  S  330 C 330  S  340 D 340  S  350 Lời giải: n 4 2.62    2    2.6   S  325 Chọn B Ta có lim un  lim n 3.6 324 5 3.6    6 5.6n 1  2n a Biết lim un  với a, b  n n2 b 4.6  mệnh đề đúng? Ví dụ 20 Cho un  A 10  S  20 B 20  S  30 * a phân số tối giản Đặt S  a  b, b C 30  S  40 D 40  S  50 Lời giải: n 2 5.6       5.6  15  S  17 Chọn A Ta có lim un  n 3    6 Dạng Khử dạng vơ định    Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim   n3  3n  n b) lim   n3   n  Lời giải a) lim   n3  3n  n3 n3  3n  n  lim n  3n   n  n n3  3n 2   lim 3  3 1      n  n   2 3 3  Khi n   thì: lim   lim    lim 1          n n n n   Do đó, lim b) lim  lim    n    lim  n3  3n  n  3 n3   n3   n3 n 3  3  n  n n3  3   n3   n  lim n  n   lim n2  n2  n  n2   lim  n 3  3  n  n n3   lim n  n2      Khi n   thì: lim   n  3  n2  n n3    ;lim n  n       lim 3  n3  3  n2  n n3   lim n n 2  Do đó, lim   n3   n   Trang Ví dụ Tính giới hạn sau   a) lim n   n  n n2  n  n b) lim 4n  3n  2n Lời giải  a) lim n   n  n   n  1  lim  n2  n n   n2  n  lim n 1 n   n  n  1 1  lim 1 n 1  1 n n    Do đó, lim n   n  n  2 n n n n nn 4n  3n  2n n b) lim  lim  lim  2 4n  3n  4n 3 4n  3n  2n n n n 1 1 n Do đó, lim n2  n  n 4n2  3n  2n  4 2 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim   4n  n  2n  8n3 b) lim 2n  n  n n2  n  n Lời giải a) lim  lim  lim    4n  n  2n  8n3  lim 4n  n  4n 4n  n  2n n 4n  n  2n   lim     n    lim 4n  n  2n  lim  2n  8n3  2n  n  8n  8n  2n  8n 3   n  n n  8n 2n  lim     2n 2    8n3   4n  2n 8n3   1  4n  1   1      lim   1     1    4n   4n        lim        n    Khi n   thì: lim      n    3  3  lim   4n  1    4n  1   2           Trang 10 Câu 32: Ta có: n     n n  n  1       2 2 1 n 1     n n    n  Chọn D 2  lim Do lim  lim n 1  n  1 4 n n  n  1 n 1  n 1  1  Câu 33: lim       lim  lim  lim     Chọn C n  n 2n n n  2n   2n  n n  n  1       2n  1   lim  lim Câu 34: lim   2 3n  3n  3n    n  Chọn B  lim 3 n 1 Câu 35: Ta có: 1   k  k  1 k k   1  1    1  Do lim       lim 1        lim 1     1.2 2.3 n  n  1  n n 1   2  n 1   Chọn B Câu 36: Ta có 1 k 2k 1 1       k  k  2 k  k  2  k k     1 1 1 1  Do lim      lim          1.3 3.5 2 3 2n  2n    2n  1 2n  1   1   lim 1    Chọn A  2n   Câu 37: Ta có 1 k 3 k 1 1       k  k  3 k  k  3  k k     1 1 1 1  Do lim      lim          1.4 2.5 n  n  3  3 n n3  1 1 1  11  lim 1        Chọn A  n  n n   18 Câu 38: Dựa vào phương pháp quy nạp ta chứng minh 12  22   n2  n  n  1 2n  1 Trang 30    n  lim n  n  1 Do lim 2 Câu 39: Ta có: un 1  n  n  1 2n  1 6n  n  1  2n  3n  n n  Chọn D  lim  lim    n  1 1    n  2  un 1   un    lim un 1   un     un Giả sử lim un  a  lim un 1  a  a   a    a  2a    a  Chọn D Câu 40: Ta có un 1  un 1   un 1    un  1 2 v1  n 1 n 1  1 1 Đặt  un  suy   v   u  v   n n n     1 v  v   2 n  n   n 1  Do lim un  lim    1  Chọn A    1 9  9n  n  n n  Chọn B Câu 41: lim  lim 4n  4 n 2    n  2n  1     2  n  2n  n n  1 n Câu 42: lim  lim  lim   Chọn C 3n  3n  3 n n2 2n  3 2 2n  n  lim n  Chọn D  lim Câu 43: lim 2n  2n  5 2 n n n 1  Câu 44: lim  lim n 1  n 1 n 1    n  Chọn B n n  lim n n n 1 1 1  1 n n n2 n2  1 1 n  n 1 n    0sin   n  lim  lim Câu 45: lim 2 n n2 n n2 1  n n n 1 Do S  a  b3  Chọn B 100 10 100 n4 Câu 46: lim  lim  lim  Chọn C 1 n  n2  n4  n2  1  n n Trang 31 2n  n n2 1 1  n n  n  1  2n    lim 2n   lim n  n2  Câu 47: lim  n  1  n  1 2 n4  n2   1 2  1      n n n   lim   Chọn C 1 1  n n an3  5n  a  3 3 an3  5n  n n  a  a n  lim  lim Câu 48: lim 3 3n  n  3n  n  3  n n n Do b  a a0 ,b   P   27 Chọn D a 27 2  200 Câu 49: lim 200  3n5  2n  lim n5      lim 3n5   Chọn D n   n Câu 50: lim   n   n   lim n    n  1 n   n 1  Chọn A n   n 1  lim Câu 51: lim  n  n 1 n n  1 n n  n   n  lim  lim  lim  2 1 n  n 1  n n  n 1  n 1  1 n n  1  Chọn A Câu 52: lim   n   3n   lim 2  lim Câu 53: lim   lim 1   n2   3n  2    lim n2 1   2 n n n n n  2n  n  2n  lim 2  1 n n Câu 54: lim n2    3n2   2n2  n   3n    Chọn C n  2n  n  2n n  2n  n  2n  lim 4n n  2n  n  2n  Chọn B  n  a n  n   a  n  n    lim n2  a 2n  n2   a  n  n  n2  a 2n  n2   a  n  n  0 Trang 32 n2   a  a  n   lim   n2  a 2n  n2   a  n  n  Vậy không tồn giá trị a Chọn A Câu 55: lim  lim   2n  n   2n  3n   lim 2 2n  2n  n   2n  3n  2 2n2  n    2n  3n   2n2  n   2n2  3n  2  lim n  1 2   2  n n n n 2 2 Chọn B  Câu 56: lim   n  2n   2n  n  lim 2 n  2n    2n  n  n  2n   2n  n  lim n  n  n  2n   2n  n 1  n n  lim   Chọn C 2    2 n n3 n n n 1  Câu 57: lim    n2  8n  n  n2  8n  n  a   lim   a2    n  8n  n        8 n 8  lim   a    lim   a    4  a   a   2    n  8n  n   1 1  n   Kết hợp a  Câu 58: lim  có giá trị a Chọn B   n  2n   n  lim n  2n   n  lim n  2n   n 2n  n  2n   n n  lim  1 Chọn A 1  1 n n 2  Câu 59: lim un  lim  lim Câu 60: lim   n2  an   n   lim an  n  an   n     lim 1 3 n2  an   n  n a   1 n n n  a  1  a  2 Chọn C n3    n3   n   n   lim a n2  an    n  1 n  1  n3  n3    n3   2 Trang 33 1  lim Câu 61: lim n  3  1  n  n   3  3 n n  n  2  Chọn C n  n3  n3 n  n3  n  lim n2  lim n  n3   n n  n3  n 2  lim  n n  n3  n n n  n6 3  lim n  n3 1 n3 1  1 1   1  n n   Chọn A Câu 62: lim   n  n   n  2n n  n 2 2n  lim n Câu 63: lim  n   2n  2 1   n  2n n  n 2  2 1      n  n  2 Chọn B  1  1 n n Câu 64: lim  n  2  lim n    n  1 n   n    lim n  lim n  n 1  n 1 n 1  n 1   lim  lim n  2n  n n3  2n  n  lim   Chọn D 11 n 1 n n   n   lim n  lim n  n 1  n n 1  n  1   Chọn B 11 1  n n2   n2  n2   n2   lim  lim    Chọn D Câu 65: lim n    n2   n2   n2  1 9n  n  n  9   9n  n  n  n n n   Chọn A n Câu 66: lim  lim  lim 2 3n  3 3 n n Câu 67: lim   n3   n3 n3   n  lim n  1  n  1.n  n 3  lim n  1  n  1.n  n 3  Chọn B Trang 34 n 1    25 n2 n 25  25.5 25 Câu 68: lim n  lim n  lim  n   Chọn A n n  2.5  2.5 3   2 5 n Câu 69: lim 3    10 n n  10.5  lim  lim   n  10 Chọn B n n 2.2  2    5 3n  2.5n 1 2n 1  5n n n n 3 1 1         n n 1 n n  4.2  3  8.2  2    Chọn A  lim  lim   Câu 70: lim n n n n n 3.2  3.2  1    2 n 1 1   n 1 3  lim   Chọn B Câu 71: lim n n n n  2.3  2 1   2  3  3 Câu 72: Ta có L  lim  5 5.2n  n  2n 1   5 n 1 3  lim 2n  n2  n n     3   2 2     2.2n   5  5 n  lim n  lim  lim  lim n n n 1 n     5.2  5  1 1       n n  5  5   n   a  1 a   2 2  c   b   a  b  c  30 Chọn B b c      3      1 n n n  3 4 4  lim n n  lim   n   n  Chọn D n 3   4.4    3         4 n Câu 73: lim  n  3n  22 n 3 n  3n  22 n  Câu 74: lim 3n   n lim 3n       n  n   lim  3n  1           Chọn D     1 lim 1               n n   2 Câu 75: lim  34.2n 1  5.3n   lim 162.2n  5.3n   lim3n 162    5   Chọn C 3   Trang 35 n n 1  n 1 n  n  10   3n  10 2n 2 2  Câu 76: lim  lim  lim   Chọn A 3n  n  n n 3  n n n Câu 77: lim  a 4n  2n 1 4n  2n 1  lim 3n  4n  a 3n  4n  a 1    2    lim n 4a 1024 3 a   4 a a a  có 2008 số nguyên a Chọn B    45    a  10 mà   a  2018 2 1  n  2n  1n  n  2n n  Chọn C Câu 78: lim   n   lim  lim  3n  1  3n   3 n  3n   1n cos 3n  3n Câu 79: lim   lim  Chọn B   lim   n  n    1 n an  1 n  lim  a   a Câu 80: lim    lim  3  n 2n 1 n a  a số nguyên  a  số phương Theo ra, ta có a  a  1;6;13 giá trị cần tìm Chọn B Mặt khác a   0; 20   n 1 Câu 81: lim 2.3  n   lim  n    2 n n n Lại có lim 3n  ; n n n n  2   lim n  n C n n  n  1 n  Do lim 2.3n  n    Chọn D Câu 82: Ta có S  u1   u1   2q u1  u2  u3  1 q  u1   2q u1   2q    2 1  q   q   Do  8 Chọn A 9 9 2 u1  u1.q  u1.q  u1 1  q  q   u1   2q u1  Câu 83: Với u1  9; q  u 27  S    Chọn A 1 q 1 Trang 36 Câu 84: Với u1  1; q  u 1   S    2 Chọn C 1 q 1 Câu 85: Với u1  1; q  u  S    Chọn A 1 q 1 1 Câu 86: Với u1  1; q    S  3  Chọn D  1 1     3 1 1 1  1 1  Câu 87: Ta có S       n         n   2   27  Với T1  1 1 1     n  tổng CSN lùi vô hạn với: u1  ; q  2 1 1 1 Và T2      n  tổng CSN lùi vô hạn với: u1  ; q  27 3 Vậy S  T1  T2   1  1 : 1    : 1    Chọn D  2  3 1  a  a   a n b 1 b 1 Câu 88: Ta có lim  lim  a  lim  Chọn B n 1  b  b   b a 1 a 1 1 b Câu 89: Ta có S tổng CSN lùi vơ hạn với u1  1; q  cos x Suy S  u1 1   Chọn C  q  cos x sin x Câu 90: Ta có S tổng CSN lùi vô hạn với u1  1; q   sin x Suy S  u1  Chọn C  q  sin x Câu 91: Ta có       tan   Do S tổng CSN lùi vơ hạn với u1  1; q   tan  Suy S  u1 cos      q  tan  sin   cos  Câu 92: x  0,511111  0,5  cos  Chọn B   sin     4  1    100 10 10 n 1 1   23 10 n   0,5     x   a  b  23  45  68 Chọn B 10 45 1 10 Trang 37   1   35 25 35 10  Câu 93: x  0,3535      10 10 10 1 10 Khi n    x  n 35 35 a  35    ab  3465 Chọn B 10  99 b  99 100 n   1   231 231 231 231 231 10  Câu 94: x  5, 231231          5 10 10 10 10 10  1 10 100  1742 a  1742   a  b  1409 Chọn A 333 b  333   1   23 23 23 10  Câu 95: x  0,172323  0,17     0,17   10 10 10 1 10  n b  853 17 23 853     a  b  4097  212 Chọn D 100 9900 4950 a  4950  2n  n n  n  1       2n  1   lim  lim Câu 96: lim   2 3n  3n  3n    n  Chọn C  lim 3 n 1 2 2n  n   1 Chọn D Câu 97: lim  lim 2n  2  2 n Câu 98: lim q n    q  1 lim q n   q  1 nên khẳng định sai B Chọn B Câu 99: lim   n2  3n   n  lim n  3n   n n2  3n   n  lim 3n  n  3n   n 3 n  lim    Chọn B 11 1  1 n n 3  Trang 38 3n  n 3 3n  n n   n Câu 100: lim  lim5  lim 2  3n   3 6 6 n n a  Suy   a  b  11 Chọn B b  n   Câu 101: lim       lim n  n n Câu 102: lim un  Chọn B Câu 103: lim   n  n  1 n 1 1   lim  lim     Chọn D n 2n  2n  n  2n  n   lim 2  lim 1 n  1 n n  n  2n  n  n  2n  n   lim 2n  n  2n  n   Chọn C 11 1   u1  u1  u Câu 104: Ta có:  n cấp số nhân với  n u  n  u  un 1  un n 1 n   n  n 3n u 1 1   n      n  3  3 n 1 1    3  u1    q   n  v1   v  v     v1   Do  , ta có v3  v2   v  v  n 1 n n    vn  1   3n 1  1 1   1 1  1 Cộng vế theo vế ta       n 1      3 3  3 1 n 1 1      Chọn B Do n  3 Trang 39 4n   n  2 4n   n  Câu 105: lim  lim 4n   n   lim 2n  2n  1  n n2  lim  1   4  n n n2  4 Câu 106: lim Do 9n  3n 1 5n  n  a  3    n   4n  n    4n   n   2n    Chọn B 2.2 3n 1 1 n 1  lim  lim  a n 9a 5 a   9 9 9n  3n 1 1   a   3a  2187  a  n na 9 2187 2187 Kết hợp a  a   0; 2019  suy có 2012 giá trị a Chọn C  1  1   n n 1 q   1       1     Câu 107: Ta có: S n  u1 1 q  1      1     n   1  Khi lim Sn  lim 1       n    Chọn B  Câu 108: Ta có: un  u1   n  1 d    n  1  3n  Khi L  lim n n 1  lim  lim  Chọn A un 3n  3 n n  1 1    n  qn   1  u4 2  u1   u1 1      Câu 109: Ta có: q    suy S  u1 1 q      1  u3 1     Do lim Sn  u1  12  u1  18 Chọn B Câu 110: Ta có: 1 k 4k 1 1       k  k  4 k  k  4  k k     1 11 1 1  Do lim        lim        5.9 9.13  9 13 4n  4n    4n  1 4n  5   11   lim     Chọn D  4n   20 Trang 40 Câu 111: Ta có: un   2un 1  un    un   un 1    un 1  un   v    Đặt 1  un   un 1    v1   n  1 d    n  1  5n  vn 1   u1   u2  u1  5.1  u1   Khi  , ta có: u3  u2  5.2  un 1  un  5n    un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế ta un   1    n  1   n  1   n  n  1 5n  11n  10  3n   2 un 5n  11n  10  lim  Chọn B n  n n  2n 2 Do lim u  Câu 112: Dễ thấy u n cấp số nhân với  cấp số nhân với  q  u  n n 1  1   n u1  1 q 3 1  S n  u1     1  n   1 q 1 4  q   3 1 Suy lim Sn  lim 1  n   Chọn B 4  Câu 113: Nếu lim un  lim un  Chọn A Câu 114: Ta có: un 1  5un  20  un 1    un   v1  10 Đặt un      v1q n 1  10.5n 1  2.5n v  v n  n 1 Suy un  2.5n   I  lim5  Chọn D Câu 115: Ta có un 1  2un   un 1    un   v1  Đặt  un  suy    cấp số nhân với vn 1  2vn v1     6.2n1  3.2n  q  u 3.2  2n  Chọn C Suy un  3.2n  nên I  lim n n  lim n  lim 1 1 1 n n 3 Trang 41 Câu 116: u1   Cách 1: Dễ thấy u n dãy số khơng đổi un  với n u2      Do lim un  lim  Cách 2: Giả sử lim un 1  lim un  a  ta có: a 0 lim un 1  lim  un  a   a  a  a    a  Chọn A 2.4n  1 1  n 1 n 2.4   2 1 4  lim  lim   3 2 Câu 117: lim n n n 1 2.4   2.4   n 1 1 4n n n Do a  3, b  2  T  19 Chọn A Câu 118: Ta có: un 1  un2  3un   un 1    un  1 un   Suy ra: 1 1 1       un 1   un  1 un   un  un  un  un  un 1  Do  1 1 1 1        u1  u2  u2  u2  un  un 1  u1  un 1      Vậy lim  lim     lim 1    u1  un 1    un 1   Dễ thấy lim un 1  nên lim  Chọn C u1   u2  u1  2.1   Câu 119: Ta có u3  u2  2.2    un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế ta un   1     n 1   n 1   n  n  1  2n  2  n  n  2n  n  n Khi 1 1     un n  n n  n  1 n n  Ta có: 1 1 1 1           1 u1 u2 un 2 n n 1 n 1 1 1   Suy lim       lim 1    Chọn D n  u u u n    n   Trang 42 2a   2an  6n  n n  2a   a  Câu 120: Ta có lim  lim n n 1 n Do M  a  a  16   14 Chọn D n 1 1    1  1  Câu 121: Ta có S       n        1  n   1 2   Khi n    S  Chọn C 1 1   32 32 32 32 32 10 Câu 122: Ta có P      n    10 10 10 10 10  102 Khi n    P  n 32 32  Vậy m  32, n  99  H  99  32.3  Chọn B 10  99 10 Câu 123: Tam giác cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp Với tam giác đề cho, độ dài cạnh tam giác sau 3   S   r  3 độ dài cạnh tam giác trước nên diện tích đường tròn ngoại tiếp giảm lần  1  Khi S  S1  S2   Sn   3 1    n    16  n 1 1   1    3 1    n   3   2  2  1 1   2 Khi n    S  3 Câu 124: Ta có un1  1 1  4 Chọn B 2 2 un  a  un21  un2  a   un21  3a    un2  3a  3 v1   3a  Đặt  u  3a   cấp số nhân với v1   3a, q  vn 1  n 2 Ta có:  u  3a  1  3a    3 n n 1  2  u  1  3a     3 n n 1  3a Trang 43  1  2  n  Do u  u   u  2n  1  3a            3na  2n        2 2 n n 2 1    1  3a     3na  2n 1 Do lim  u12  u22   un2  2n   lim  1  3a   3na  2n   b  a  2  Suy b  1    3  ab  2 Chọn A 3  3n  n n   a   T  a  b  11 Chọn D Câu 125: lim  lim  2  3n    b  23   n   u  Câu 126: u n cấp số cộng có   un  u1   n  1 d    n  1  3n  d  Ta có: 1 1 1  1 1          unun 1 un  un  3  un un    un un 1   1 1 1 1  11  11 Suy ra: S                  u1 u2 u2 u3 un un 1   un 1    n  1    11 Do lim Sn  lim     Chọn A   n  1   Trang 44 ... vô hạn công bội 10 10 10 10 1 1     10  10 10 10 1? ?? 10 1 ? ?1  Suy 0, 7777777777777  7.0 ,11 111 111 111         10 10 10  b) 1 1 nên    tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội 10 ... cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 10 10 10 10 1 1 10 2  suy 0, 313 1 31  31? ??      31  31       10 2 10 4 10 6 99 99  10 10 10   99 10 Trang 13 c) Ta có 1 1    tổng cấp số nhân... vô hạn công bội nên 10 10 10 10 1 1 10 3  suy     10 3 10 5 10 7  990 10 3 ,15 25252  31 1   31 52 312 1  52         10  10 10 10  10 990 990 Ví dụ Tìm số hạng đầu công bội cấp số