tai lieu chu de gioi han day so

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Dãy số có giới hạn hữu hạn a Giới hạn hữu hạn  lim un   un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở  Dãy số  un  có giới hạn L nếu: lim un  L  lim  un  L   Chú ý: Ta viết gọn: lim un  0, lim un  L b Giới hạn đặc biệt lim lim lim 0 n lim C  C , C   lim q n   q  1 0 n lim q n  q  lim n k  , k  * 0 n lim  0, k  * nk c Định lí giới hạn  Định lí 1: Nếu hai dãy số  un    có giới hạn ta có: +) lim  un    lim un  lim +) lim un lim un (Nếu lim  )  lim +) lim  un   lim un lim +) lim  k.un   k.lim un ,  k    +) lim un  lim un +) lim k un  k lim un (nếu un  ) (căn bậc chẵn) +) lim k 1 un  k 1 lim un (căn bậc lẻ) +) Nếu un  lim  lim un   Định lí 2: (Ngun lí kẹp) Cho ba dãy số  un  ,   ,  wn  L   Nếu un   wn ,   * lim un  lim wn  L   có giới hạn lim  L  Định lí 3: Nếu lim un  a lim   lim un   Định lí 4: Dãy số tăng bị chặn có giới hạn Dãy số giảm bị chặn có giới hạn n  1 Chú ý: e  lim     2, 718281828459 , số vô tỉ  n d Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Một cấp số nhân có cơng bội q với q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn Ta có tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: S  u1  u1q  u1q   u (với q  ) 1 q Dãy số có giới hạn vơ cực a Định nghĩa  lim un    un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở n   lim un    un nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở n   lim un    lim  un    n  n  Chú ý: Ta viết gọn: lim  un    b Định lí  lim un   lim 0 un  Nếu lim un  0,  un  0, n     lim  un c Một vài qui tắc tìm giới hạn Quy tắc 1: Quy tắc 2: Quy tắc 3: Nếu lim un   Nếu lim un   Nếu lim un  L lim  lim   , lim  un  lim  L  0, lim  un    kể từ là: là: số hạng trở thì: lim un  lim  lim  un   lim un Dấu L lim  un      +            +     Dấu L lim un + +  +    +     II PHÂN DẠNG TỐN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng Dãy số có giới hạn Phương pháp giải  Dãy  un  có giới hạn số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim  un   lim un  un  lim un     0, n0  * : n  n0  un    Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết) Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp thức, … Ví dụ Chứng minh dãy sau có giới hạn a) un  b) un  n  1 n    1  n 1 sin 2n 2n  Lời giải: 1 n2 a) lim un  lim  lim  lim   n  3n   n  1 n      3.0  2.0 n n Vậy lim un  b)  n 1 sin 2n 1 sin 2n  1 n3      lim  lim  lim 2n  2n3  2n3  2n3  20 2 n  1 n 1  1  lim n 1 sin 2n  (Nguyên lý kẹp) 2n   1 Suy lim n 1 sin 2n   lim un  Vậy lim un  2n  Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau a) un  n 2 b) un  5n cos 3n  6n 2n  2.7 n Lời giải: n 1   a) lim un  lim n  lim   n   Vậy lim un  2    2.0    5 Trang b) lim un  lim 5n cos 3n  n 6n 5n cos 3n  lim  lim  A  B n  2.7 n 2n  2.7 n 2n  2.7 n n 6   n     Có A  lim n  lim n n  2.7 02 2   2 7 n 5   n n n n cos 3n 5 cos 3n 7 Có  n    lim  lim  lim  0 n n n n n n n n  2.7  2.7  2.7  2.7 02 2   2 7 5n cos 3n 5n cos 3n  lim n  (Nguyên lý kẹp) Suy lim n   B  n  2.7  2.7 n Vậy lim un  A  B    Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau a) un  4n   2n b) un  n   n  Lời giải: a) lim un  lim   4n   2n  lim  4n  1  4n2 n   2n  lim 4n   n n  lim   Vậy lim un  40 2 4 2 n b) lim un  lim   n   n   lim  lim 1  1 2 n n  n  4   n2  2 n2   n2   lim n2   n2  2.0  Vậy lim un   4.0   2.0 Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau a) un  n  2n  n n b) un  n  2n  n  n n Lời giải: a) lim un  lim  n  2n   n  2n  n   lim     lim    1   2.0     n n n     Vậy lim un  b) lim un  lim  n2  2n    n2  n   lim n  2n  n  n  lim n n n  2n  n  n n    n n2  2n  n  n  Trang  lim n  2n  n  n  lim Ví dụ Cho dãy số un  a) Chứng minh n 1  1 n n   2.0    Vậy lim un  n , n  5n un 1  un b) Tìm lim un Lời giải: n 1 n n  un 1 5n 1 5n n  n  1 a) Ta có un  n  un 1  n 1    n 1    n 5 un n 5n 5n 5n Do n    u u 1 1 3    n 1     Vậy n1  5n 5.1 un 5 5 un b) Ta chứng minh lim un  0, n  * * Thật n   Với n  hiển nhiên (*)  Giả sử (*) với n  k tức lim uk  (đây giả thiết quy nạp) k   Ta chứng minh (*) với n  k  k 1  k  k  lim  k 1  k 1   lim  lim  k  k k  k  5  k  5.5 k  5.5k  Quả lim uk 1  lim k  k uk 1 1  lim      k  5 k    5  lim Suy (*) với n  k  Do (*) ln đúng, Vậy lim un  n   Dạng Khử dạng vô định  /  Phương pháp giải:  Dãy  un  có giới hạn số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim  un   lim un  un   Đối với dãy un  a0 n m  a1n m1   am , a0  0, b0  chia tử lẫn mẫu phân thức cho lũy thừa b0 n k  b1n k 1   bk lớn n tử n m mẫu n k , việc đặt thừa số chung cho n m mẫu n k rút gọn, khử dạng vô định Trang 0 m  k  a a Kết quả: lim un   m  k ( dấu   tùy theo dấu ) b0  b0  m  k  Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số chung đưa thức, việc chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn n tử mẫu  Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn,… sử dụng kết biết Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim 3n  4n  2n  3n  b) lim n3  5n3  n  c) lim  n  1 2n  1  3n   n  3 c) lim n n   2n  3n  n  Lời giải: 3   3n  4n  n n   a) lim  lim 2n  3n  2  n n 1 b) lim n3 n 4  lim  5n  n  5  n n 1        n  n      lim  n  n   1.2  c) lim   3.1   3n   n  3   1   n  n   Ví dụ Tính giới hạn sau n2  n  n2  n 1 a) lim b) lim 8n3  n  2n  3n  Lời giải: 1 n2  n  n2  1  1 n  n  n 1 n n    n a) lim  lim  lim 1 n 1 1 1 n n 2 8n  n  n  b) lim  lim 3n  3 8 1 2 2 n n  2  3 3 n Trang n n   2n  1   2 n n   2n  n n    n c) lim  lim  lim 2 1 3n  n  3n  n  3  2 n n n 2 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim n  2n  1 3n    6n  1 b) lim  2n  1 n    n n3  n Lời giải: a) lim b) lim n  2n  1 3n    6n  1  2        2.3 n  n  lim    36 1  6  n   2n  1 n    n n3  n 1      1    n n  n  n  lim   1 n Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim 4n  n  3n n2  b) lim 9n  n  3n  n2  Lời giải:  3 4n  n  3n n n3 a) lim  lim  3 n2  1 n    9n  n  3n  n n3 n n2  b) lim  lim n2  1 n Ví dụ Tính giới hạn sau a)  n  1  2n  n   n2  lim  n  1  n    3n3  3n b) lim    n  3  n2 2n  Lời giải a) lim  n  1  2n  n   n   n  1  n    3n3  3n b) lim    n  3  n 2n  1 1          1.2 n  n n n  lim    1  1.1           n  n        1    n  n  n  lim   1 n Trang Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim  4n  4n b) lim 2n  5.3n 3n  c) lim 3n  4n 3n  4n Lời giải 1 n  4n 1 a) lim  lim   1 n 1  4n n 2   5 2n  5.3n b) lim n  lim    5 1 1 n n 3   1 n n 4 c) lim n  lim  n  1 n 4 3   1 4 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim 3n  4n  5n 3n  4n  5n b) lim 3n  4n 1 3n   4n c) lim 3n  6n  4n 1 3n  n1 c) lim 2n   4.6n 1  3n 1  6n 1  Lời giải a) Nhận xét q   lim q  n n n  3  4      1  1 n n n 4 5 5 Do đó, lim n  lim   n   n   1 n n  5  1  3  4      1 5  5 n 3   4 3n  4n 1 04 b) lim n   lim   n   4 n 4 9.0  3    4 n c) lim 3n  6n  n1 3n  6n 1 n 1 2   1 4       4.0   lim   n 06 1   6 2 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim 2n  2n 1 2n  4.3n b) lim 4.3n  n 1 2.5n  n Lời giải Trang n 2   n n 1 2 3.0 a) lim n  lim  n    n  4.3 04 2   4 3 n b) lim 4.3n  n 1 2.5n  n 3    4.0  7  lim  n   2.0  5 2  1 7 n n 1 1       4.0   2.0 n n 1  4.6  3 6  c) lim n 1 n 1  lim   n  n  1 1 1 3.0         2 6 Ví dụ Cho un   n  1 3n    2n n2   6n   n  ; n  Biết lim un  a a phân số tối , với a, b  * b b giản Tính P  a  2b A P  17 B P  26 C P  25 D P  18 Lời giải: Ta có lim un  n  1 3n    lim  2n n2   n   4n   lim 3n  2n 2  n  2 n2   n   4n  2 1 2       n 1     1 3.1 k h n n  n n n  n  lim   lim    lim  0; lim  n n 2.2 3 3       n  2   4 n n  n n n  n   Mà lim un  a a      P  32  2.4  17 Chọn A b b  Ví dụ 10 Cho un   2n  1 n   n  1  3n  1 9n  ; n  Biết lim un  a a , với a, b  * phân số tối b b giản Tính P  a  2b A P  B P  1 C P  D P  Lời giải: Ta có lim un  lim  2n  1 n   n  1  3n  1 9n   lim 2n3   n  1  3n  1 lim n4 9n  Trang 1 n  n n   lim k  0; lim h   lim lim  lim 9 n2 n2 9n  1  1  9       n n  n  2 Mà lim un  a a      P  23   1 Chọn B b  b  Ví dụ 11 Cho un  4n  3.2 n  2.3n 1 a a phân số tối giản ; n  Biết lim un  , với a, b  * n2 n 5.4  b b Giá trị P  a  3b thuộc khoảng đây? A  9; 7  B  7; 5 C  12; 9  D  5; 2  Lời giải: n  3.22 n  2.3n 1 Ta có lim un  lim  lim 5.4n   2n 2 4n  3.4n  3n 4.4n  3n 3  lim n n n   2n 16 16 n 3    n n a 64  a  64 64 4 3 1  lim  :  lim  lim       Mà lim un   n b 16 4 2 1 b    16   Vậy P  a  3b  64  3.52  11   12; 9  Chọn C Ví dụ 12 Cho un   3 2n  3n 1  n n ; n  Biết lim un  4.9  5.2 n 1 Khẳng định đúng? B 5a  b  A 2a  b  a a , với a, b  * phân số tối giản b b C a  b  25 D a  2b  Lời giải: Ta có lim un  lim  3 2n  3n 1  n n  lim 4.9  5.2n 1 6.3n  3.3n  2n 3.3n  n  lim 4.3n  10.2n 4.3n  10.2 n n 2 3.3n  n 3  n n a  3 a 2 3 mà lim  lim  lim    suy lim un    b  Chọn D n n n 4.3  10.2 b 3  2  10   n 3 Ví dụ 13 Cho un  A  n  1 n  n  1 2n   n3  1 B Biết lim un  a b C (với a, b  ; a ab tối giản) Tính P  b a  b2 D Trang 10 an3  5n  a  3 an  5n  n n3  a  a n Câu 48: lim  lim  lim 3 3n  n  3n  n  3  n n n 3 Do b  3 a a0 ,b   P   27 Chọn D a 27 2  200 Câu 49: lim 200  3n5  2n  lim n5      lim 3n5   Chọn D n   n Câu 50: lim   n   n   lim n    n  1 n   n 1  Chọn A n   n 1  lim Câu 51: lim  n  n 1 n n  1 n n  n   n  lim  lim  lim  2 1 n  n 1  n n  n 1  n 1  1 n n  1  Chọn A Câu 52: lim   n   3n   lim 2  1 2  1 n n Câu 54: lim   n2 2 n  n   3n    Chọn C n  2n  n  2n n  n  n  2n  lim 4n n  2n  n  n  Chọn B  n  a n  n   a  n  n    lim  lim 1   2 n n n n n  2n  n  2n  lim  lim  lim  n   3n2  2   lim Câu 53: lim n    3n   n   a  a  n  n2  a 2n  n2   a  n  n  n2  a 2n  n2   a  n  n  n2  a n  n2   a  n  n  0   Vậy không tồn giá trị a Chọn A Câu 55: lim   2n  n   2n  3n   lim 2 2n  n    2n  3n   2n  n   2n  3n  Trang 39  lim 2n  2  lim 2n  n   2n2  3n  2 n  1   2  n n n n 2 2 Chọn B  Câu 56: lim   n  2n   2n  n  lim n  2n    2n  n  n  2n   n  n  lim n  n  n  2n   2n  n 1  n n2  lim   Chọn C 2    2 n n3 n n n 1  Câu 57: lim    n  8n  n2  n  8n  n  a   lim   a2    n  8n  n        8n 8  lim   a    lim   a    4  a   a  2    n  8n  n   1 1  n   Kết hợp a    có giá trị a Chọn B Câu 58: lim   n  2n   n  lim n  2n   n  lim n  2n   n 2n  n  2n   n n  lim  1 Chọn A 1  1 n n 2  Câu 59: lim un  lim   n  an   n   lim an   lim n  an   n  Câu 60: lim   lim 1  3 Câu 61: lim n  3 n  1  n  n   3  3 n a   1 n n n  a  1  a  2 Chọn C  1  n3  n3    n3   1  lim n  an   n  n3    n3   n   n   lim a n  an    n  1 n  2 2  Chọn C n  n3  n3 n  n3  n  lim n  n3   n n  n3  n 2 Trang 40 n2  lim n n   lim  n n  n3  n n n n  3  lim n  n3 1 n3 1  1 1   1  n n   Chọn A Câu 62: lim   n  2n   n  2n n  n 2 2n  lim n Câu 63: lim  n   n   n3  n n  n 2 1   2 1      n  n  2 Chọn B  1  1 n n Câu 64: lim  n  2  lim n    n  1 n   n    lim n  lim n  n   n 1 n   n 1   lim  lim n3  2n  n3 n3  2n  n  lim   Chọn D 11 n 1 n n   n   lim n  lim n  n 1  n n 1  n  1   Chọn B 11 1  n Câu 65: lim n2   n2   lim n   n2  n   n2   lim    Chọn D n2    n   1 9n  n  n  9   9n  n  n  n n n   Chọn A n Câu 66: lim  lim  lim 2 3n  3 3 n n Câu 67: lim   n3   n3 n3   n  lim  n3  1  n3  1.n  n2  lim  n3  1  n3  1.n  n2  Chọn B n 1    25 n2 n 25  25.5 25 Câu 68: lim n  lim n  lim  n   Chọn A n n  2.5  2.5 3   2 5 Trang 41 n Câu 69: lim 3    10 n n  10.5 5  lim  lim  10 Chọn B n n n 2.2  2    5 3n  2.5n 1 2n 1  5n n n n 3 1 1         n n 1 n n  4.2  3  8.2  2    Chọn A Câu 70: lim  lim  lim   n n n n n 3.2  3.2  1    2 n 1 1   n 1  3 Câu 71: lim n  lim   Chọn B n n n  2.3  2 1   2  3 3 Câu 72: Ta có L  lim  5 5.2n  n  2n 1   5 n 1 3  lim 2n  n2  n n     3   2 2     2.2   5  5 n  lim n  lim  lim  lim n n n 1 n     5.2  5  1 1       n n  5  5   n n   a  1 a   2 2  c   b   a  b  c  30 Chọn B b c   n Câu 73: lim  n  3n  22 n 3 n  3n  22 n  Câu 74: lim 3n   Câu 75: lim  n    3      1 n n n  3 4 4  lim n n  lim   n   n  Chọn D n 3   4.4    3         4 lim 3n   n   n    n   lim  3n  1       lim 1      Chọn D                  n 1 n   2  5.3   lim 162.2  5.3   lim3 162    5   Chọn C 3   n n n n n n 1 n 1 n  n  10   n  3n  10 2    lim   Chọn A Câu 76: lim  lim 3n  n  n2 n2 3  n n Trang 42 n Câu 77: lim  a  4n  2n 1 n  2n 1  lim 3n  4n  a 3n  n  a 1    2    lim n 4a 1024 3 a   4 a a a   45    a  10 mà   có 2008 số nguyên a Chọn B  a  2018 2 1  n  2n  1n  n  2n n  Chọn C Câu 78: lim   n   lim  lim  3n    3n   3 n  3n   1n cos 3n  3n Câu 79: lim   lim  Chọn B   lim   n  n    1 n a an  1 n  lim  a   a Câu 80: lim    lim  3  n 2n 1 n Theo ra, ta có  a số nguyên  a  số phương a Mặt khác a   0; 20    a  1;6;13 giá trị cần tìm Chọn B Câu 81: lim 2.3n  n   lim 3n  Lại có lim 3n  ; n 1    n 2 n n n n n  2   lim n  n C n n  n  1 n  Do lim 2.3n  n    Chọn D Câu 82: Ta có S  u1   u1   2q u1  u2  u3  1 q  u1   2q u1   2q    2 1  q   q   Do  8 Chọn A 9 9 2 u1  u1.q  u1.q  u1 1  q  q   u1   2q u1  Câu 83: Với u1  9; q  Câu 84: Với u1  1; q  u 27  S    Chọn A 1 q 1 u   S    2 Chọn C 1 q 1 Trang 43 Câu 85: Với u1  1; q  u  S    Chọn A 1 q 1 1 Câu 86: Với u1  1; q    S  3  Chọn D  1 1     3 1 1 1  1 1  Câu 87: Ta có S       n         n   2   27  Với T1  1 1 1     n  tổng CSN lùi vô hạn với: u1  ; q  2 1 1 1 Và T2      n  tổng CSN lùi vô hạn với: u1  ; q  27 3 Vậy S  T1  T2   1  1 :     :     Chọn D  2  3 1  a  a   a n b 1 b 1 Câu 88: Ta có lim  lim  a  lim  Chọn B n 1  b  b   b a 1 a 1 1 b Câu 89: Ta có S tổng CSN lùi vô hạn với u1  1; q  cos x Suy S  u1 1   Chọn C  q  cos x sin x Câu 90: Ta có S tổng CSN lùi vô hạn với u1  1; q   sin x Suy S  u1  Chọn C  q  sin x Câu 91: Ta có       tan   Do S tổng CSN lùi vơ hạn với u1  1; q   tan  Suy S  u1 cos      q  tan  sin   cos  Câu 92: x  0, 511111  0,  cos  Chọn B   sin     4  1    100 10 10 n  1 1   23 10 n   0,5     x   a  b  23  45  68 Chọn B 10 45 1 10 Trang 44   1   35 25 35 10  Câu 93: x  0,3535      10 10 10 1 10 Khi n    x  n 35 35 a  35    ab  3465 Chọn B 10  99 b  99 100 n   1   231 231 231 231 231 10  Câu 94: x  5, 231231         5 10 10 10 10 10  1 10 100  1742 a  1742   a  b  1409 Chọn A 333 b  333   1   23 23 23 10  Câu 95: x  0,172323  0,17     0,17   10 10 10 1 10  n b  853 17 23 853     a  b  4097  212 Chọn D 100 9900 4950 a  4950  2n  n       2n  1  n  n  1 Câu 96: lim   lim  lim  2 3n  3n  3n    n  Chọn C  lim 3 n 1 2 2n  n   1 Chọn D Câu 97: lim  lim 2 n  2  2 n Câu 98: lim q n    q  1 lim q n   q  1 nên khẳng định sai B Chọn B Câu 99: lim   n  3n   n  lim n  3n   n n  3n   n  lim 3n  n  3n   n 3 n  lim    Chọn B 11 1  1 n n 3  Trang 45 3n  n 3 3n  n n   n Câu 100: lim  l im5  lim  3n   3 6 6 n n a  Suy   a  b  11 Chọn B b  n  n  1 n  n 1  1  Câu 101: lim       lim  lim  lim     Chọn D n  n 2n n n  2n  Câu 102: lim un  Chọn B Câu 103: lim   n  2n  n   lim 2  lim 1 n  1 n n  n  2n  n  n  2n  n   lim 2n  n  2n  n   Chọn C 11 1   u1  u1  u Câu 104: Ta có:   n cấp số nhân với n u  n  u  un 1  un n 1 n  n  n 3n    un          n 3 3 n 1 1    3  u1    q   n  v1   v  v    v     Do  , ta có v3  v2  v  v   n 1 n n    vn  1   3n 1  1 1   1 1  1 Cộng vế theo vế ta       n 1      3 3  3 1 n 1 1 Do n       Chọn B 3 Trang 46 4n   n  Câu 105: lim 4n   n   lim 4n   n   lim 2n  2n  1  n n2  lim  1   4  n n n2  4 Do 1   4n   n   n    Chọn B 2.2 3n 1 9n 3 1  lim  lim  a n n na a 9 5 a   9 9 n Câu 106: lim n 1  3    n   4n  n  9n  3n 1 1   a   3a  2187  a  n na 9 2187 2187 Kết hợp a   a   0; 2019  suy có 2012 giá trị a Chọn C n  1  1   n n 1 q   1     Câu 107: Ta có: S n  u1   1     1 q  1      1     n   1   Khi lim S n  lim 1      Chọn B     Câu 108: Ta có: un  u1   n  1 d    n  1  3n  Khi L  lim n n 1  lim  lim  Chọn A un 3n  3 n n  1 1    n u4 1  qn   1  2 Câu 109: Ta có: q    suy S  u1  u1   u1 1      u3 1 q  1      1     Do lim S n  u1  12  u1  18 Chọn B Câu 110: Ta có: 1 k  4k  1       k  k  4 k  k  4  k k     1 11 1 1  Do lim      lim          5.9 9.13  9 13 4n  4n    4n  1 4n     11   lim     Chọn D  4n   20 Trang 47 Câu 111: Ta có: un   2un 1  un    un   un 1    un 1  un   v1    Đặt 1  un   un 1    v1   n  1 d    n  1  5n  vn 1   u1   u2  u1  5.1  u1   Khi  , ta có: u3  u2  5.2  un 1  un  5n    un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế ta un   1    n  1   n  1   n  n  1 5n  11n  10  3n   2 un 5n  11n  10  lim  Chọn B n  n n  2n 2 Do lim u  Câu 112: Dễ thấy un cấp số nhân với   cấp số nhân với un q  n 1  1   n u1  1 q 3 1  S n  u1     1  n   1 q 1 4  q   3 1 Suy lim S n  lim   n   Chọn B 4  Câu 113: Nếu lim un  lim un  Chọn A Câu 114: Ta có: un 1  5un  20  un 1    un   v1  10 Đặt un      v1q n 1  10.5n 1  2.5n v  v  n 1 n Suy un  2.5n   I  lim5  Chọn D Câu 115: Ta có un1  2un   un1    un  5 v1  Đặt  un  suy    cấp số nhân với vn1  2vn v1     6.2 n1  3.2n  q   3 n n u 3.2   Chọn C Suy un  3.2 n  nên I  lim n n  lim n  lim 1 1 1 n Trang 48 Câu 116: u1   Cách 1: Dễ thấy un dãy số không đổi un  với n u2      Do lim un  lim  Cách 2: Giả sử lim un 1  lim un  a  ta có: a0 lim un 1  lim  un  a   a  a  a    a  Chọn A 2.4 n  1 1  n 1 n 2.4n   2n 1 4 Câu 117: lim  lim  lim   3 2 n n n 1 2.4   2.4   n 1 1 4n Do a  3, b  2  T  19 Chọn A Câu 118: Ta có: un 1  un2  3un   un 1    un  1 un   Suy ra: 1 1 1       un 1   un  1 un   un  un  un  un  un1  Do  1 1 1 1        u1  u2  u2  u2  un  un1  u1  un 1      Vậy lim  lim     lim 1    u1  un1    un 1   Dễ thấy lim un 1  nên lim  Chọn C u1   u2  u1  2.1   Câu 119: Ta có u3  u2  2.2    un  un1   n  1  Cộng vế theo vế ta un   1     n  1   n  1   n  n  1  2n   n  n  2n  n  n Khi 1 1     un n  n n  n  1 n n  Ta có: 1 1 1 1          1 u1 u un 2 n n 1 n 1 1 1   Suy lim       lim 1    Chọn D n  u un   n 1  u2 Trang 49 2an  6n   lim n3  n Câu 120: Ta có lim  n n3  2a   a  1 n 2a  Do M  a  a  16   14 Chọn D n 1 1    1  1  Câu 121: Ta có S       n        1  n   1 2   Khi n    S  Chọn C 1 1   32 32 32 32 32 10 Câu 122: Ta có P      n    10 10 10 10 10  102 Khi n    P  n 32 32  Vậy m  32, n  99  H  99  32.3  Chọn B 10  99 10 Câu 123: Tam giác cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp Với tam giác đề cho, độ dài cạnh tam giác sau 3   S   r  3 độ dài cạnh tam giác trước nên diện tích đường trịn ngoại tiếp giảm lần  1  Khi S  S1  S   S n   3 1    n   16   n 1 1   1    3     n   3  2  2  1 1   2 Khi n    S  3 1 Câu 124: Ta có un1   4 Chọn B 2 2 un  a  un21  un2  a   un21  3a    un2  3a  3 v1   3a  Đặt  u  3a   cấp số nhân với v1   3a, q  vn 1  n 2 Ta có:  u  3a  1  3a    3 n n 1 2  u  1  3a    3 n n 1  3a Trang 50 n  1   2  Do u  u   u  2n  1  3a            3na  2n        2 2 n n 2 1    1  3a     3na  2n 1 Do lim  u12  u22   un2  2n   lim  1  3a   3na  2n   b  a  2  Suy b  1    3  ab  2 Chọn A 3  3n  n n   a   T  a  b  11 Chọn D Câu 125: lim  lim  2  3n    b  23  n    u  Câu 126: un cấp số cộng có   un  u1   n  1 d    n  1  3n  d  Ta có: 1 1 1  1 1          un un 1 un  un  3  un un    un un1   1 1 1 1  11  11 Suy ra: S                  u1 u2 u2 u3 un un 1   un 1    n  1    11 Do lim S n  lim     Chọn A    n  1   1   u1  u1  u Câu 127: Ta có  n cấp số nhân với  n u  n  u  un 1  un n 1 n  n  n 3n    un          n 3 3 n 1 1   3  u1    q   n n 1 1   v1  n un 1 3 1   3  Đặt    1     S n      n  1 n 3     vn  3n 1 3 Khi n   S n  Chọn A Trang 51 Câu 128: Gọi M trung điểm AC đặt độ dài AB  x Vì B1 , D1 trọng tâm tam giác ABC , ACD  A MD1 MB1   MB MD Suy B1D1 / / BD  B1D1 MD1 BD    B1 D1  BD MB 3 Tương tự, ta A1 B1C1 D1 tứ diện cạnh C1 B D1 x V V   27  V1  V1 Khi V2  B1 D A1 V1 V V V V  2.3 ;V3  3.3 ;V4  3.4   Vn  n 3 3 3 C 1 1   Suy V  V1   Vn  V 1      3n   V S   3 n   1   27 1  27  n  27 Tổng S tổng cấp số nhân với u1  1; q  S    27 26 1 27 Vậy P  lim V 27 1  27  n  n  Câu 129: Ta có: 26  27 V lim 27  n  lim n  Chọn A n  n  26 27 1 k  2k  1       k  k  2 k  k  2  k k     1 1 1 1  Do lim   1.3  3.5    2n  1 2n  1   lim      2n   2n     1   lim     Chọn A  2n   Câu 130: Ta có un   2un 1  un    un   un 1    un 1  un   v1  Đặt 1  un   un 1    v1   n  1 d    n  1  n  vn 1   u1   u2  u1   u1   Khi  , ta có u3  u2   un 1  un  n    un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế ta un   1    n  1   n  1   n  n  1 n2  n  n 1  2 Trang 52 un n2  n  lim  Chọn C n  n n  2n 2 Do lim Trang 53 ... bậc tử mẫu để đặt thừa số chung đưa thức, việc chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn n tử mẫu  Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng Biến... lẫn mẫu phân thức cho lũy thừa b0 n k  b1n k 1   bk lớn n tử n m mẫu n k , việc đặt thừa số chung cho n m mẫu n k rút gọn, khử dạng vô định Trang 0 m  k  a a Kết quả: lim un   m  k...  Phương pháp giải: Trang 12  Đối với dãy un  am n m  am 1n m 1   a0 , am  đặt thừa số chung m cho thừa số lớn n n m Khi đó: lim un   am  lim un   am   Đối với biểu thức chứa