tai lieu chu de phuong trinh luong giac thuong gap

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Loại 1: Phương trình với sin  kx  cos  kx   Dạng phương trình: a sin  kx   b cos  kx   c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a a b 2 b sin  kx   a b 2 a  b , ta cos  kx       a b Do      nên đặt 2 2  a b   a b  a a  b2 c a  b2 b  cos   Khi phương trình trở thành cos  sin x  sin  cos x  a  b2 c a b 2  sin   sin  x     c a  b2 Đây phương trình sơ cấp biết cách giải  Điều kiện có nghiệm: c a b 2   a  b2  c2 2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x cos x  Dạng phương trình: a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x   Cách giải: Thực bước sau - Bước 1: Kiểm tra cos x  có nghiệm phương trình hay khơng - Bước 2: Khi cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu phương trình a tan x  b tan x  c  Đây phương trình bậc hai tan x mà ta biết cách giải  Chú ý: - Với phương trình dạng a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x  d ta làm sau: Phương trình  a sin x  b sin x cos x  c cos x  d.1  a sin x  b sin x cos x  c cos x  d  sin x  cos x    a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos x  - Ngồi cách giải ta áp dụng cơng thức góc nhân đơi cơng thức hạ bậc đưa phương trình xét loại Cụ thể, a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x   a  cos 2x 1  cos 2x  b.sin 2x  c 0 2 3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x cos x  Dạng phương trình: a.sin x  b.sin x.cos x  c.sin x.cos x  d.cos x   Cách giải: Thực bước sau Trang - Bước 1: Kiểm tra cos x  có nghiệm phương trình hay không - Bước 2: Khi cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta thu phương trình a tan x  b.tan x  c tan x  d   Chú ý: Với phương trình đẳng cấp bậc ba khuyết hệ số chẵn (bậc 3-1) cách giải hoàn toàn tương tự a.sin x  b.sin x  c.cos x  d.cos x   a sin x sin x 1 b  c d  cos x cos x cos x cos x  a.tan x  b tan x 1  tan x   c 1  tan x   d  4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x  cos x  Dạng phương trình: a  sin x  cos x   b.sin x.cos x  c     Cách giải: Đặt t  sin x  cos x  sin  x      t  4  Lại có t   2sin x.cos x  sin x.cos x  t2 1 1 t2 sin x.cos x  2  t  Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm t, suy sin  x    x 4  5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x  cot x  Dạng phương trình: a  tan x  cot x   b  tanx  cotx   c   Cách giải: Đặt t  tanx  cotx  sin x cos x   cos x sin x  sin x.cos x sin 2x sin x  cos x cos 2x  sin x.cos x sin 2x Lại có t  tan x  cot x   tan x  cot x  t  Thay vào phương trình ẩn t, tìm t suy x 6) Loại 6: Một số phương trình đối xứng tương tự  Dạng phương trình: a  sin x  cos x   b sin 2x  c   Dạng phương trình: a  sin x  cos x   b cos 2x  c   Dạng phương trình: a  sin x  cos6 x   b sin 2x  c   Dạng phương trình: a  sin x  cos x   b cos 2x  c   Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c.cos 2x  d  II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng 1: Phương trình sin x cos x Trang Ví dụ Giải phương trình sau: a) cos x  sin x  b) sin x  cos x  Lời giải: a) cos x  sin x     cos x  sin x   cos  x    2 3    7    x    k2  x  12  k2    k  Z  x       k2  x    k2   12 b) sin x  cos x  1    cos x  sin x   cos  x    2 4 2    5    x    k2  x  12  k2    k  Z  x       k2  x    k2   12 Ví dụ Giải phương trình sau cos 3x  sin 3x  a) b) sin x  cos x  sin 5x Lời giải: cos 3x  sin 3x   a)   cos 3x  sin 3x   cos  3x    2 6    5 2   3x    k2  x  36  k    k  Z 3x       k2  x     k 2 36   b) sin x  cos x  sin 5x  1   cos x  sin x  sin 5x  sin  x    sin 5x 4 2        x  16  k 5x  x   k2    k  Z  x  3  k  5x    x    2k  24  Ví dụ Giải phương trình sau a)    sin x     cos x    b)   sin 2x  sin   2x     Lời giải: a)    sin x     cos x      sin x  cos x    sin x  cos x         1       cos  x    sin  x       cos  x    sin  x    4 4 4 4     Trang   6  6    cos  x      cos  x    6 12      5    x   k2  x  12  12  k2    k  Z  x     k2  x     5  k2  12 12  Vậy phương trình có nghiệm x  b)    k2 , x    k2 ,  k  Z      sin 2x  sin   2x    sin 2x  cos 2x   cos  2x    3 2       x  k  2x    k2    k  Z  x     k  2x       k2   3  Vậy phương trình có nghiệm x    k , x  k ,  k  Z  Ví dụ Giải phương trình sau a) 3sin 3x  cos 9x   4sin 3x   b) sin x  cos  x    4  Lời giải: a) 3sin 3x  cos 9x   4sin 3x  cos 9x   3sin 3x  4sin x   1    2   9x    k2 x k     54  cos 9x  sin 9x   cos  9x       6  9x       k2  x     k 2   18 Vậy phương trình có nghiệm x   2  2 , x  k ,  k  Z k 54 18  1  b) Ta có sin x  cos  x     sin x   cos x  sin x   4 4   sin x 1  cos x   1  1  2sin x cos x  4  sin x 1  cos x   2sin x cos x   2sin x cos x   sin x  sin x cos x  sin x cos x 1  sin x cos x     sin x  sinxcosx  sinx  cos x  sin x    sin x cos  x    4  sin x   x  k  x  k       cos  x      x      k  x    k   4   Trang Vậy phương trình có nghiệm x  k , x    k ,  k  Z  Ví dụ Giải phương trình sau  a) cos 7x  sin 5x   cos 5x  sin 7x  b) tan x  3cot x  sin x  cos x  Lời giải: a) cos 7x  sin 5x   cos 5x  sin 7x   cos 7x  sin 7x  cos 5x  sin 5x     7x  5x   k2 x    k         12  cos  7x    cos  5x       k  Z         7x  5x   k2 x  k  72 6  Vậy phương trình có nghiệm x       k , x   k ,  k  Z 12 72 b) Điều kiện: sin x, cos x    PT  tan x  3cot x  sin x  cos x    sin x  3cos x  sin x  cos x   sin x  cos x sin x cos x    sin x cos x 3  sin x  cos x  cos x sin x      cos x      sinsinx x cos x        cos  x   sin  x    sin 2x  sin  x    4sin x cos x   3  3     0  cos  x   0 sin x cos x sin x cos x        x    k x   k         cos  x           2x  x   k2   x    k2 (thỏa mãn)     3    sin  x    sin 2x  3    2x    x    k2  x  4  k 2   Vậy phương trình có nghiệm x    4 2 ,  k  Z  k , x    k2 , x  k 3 Ví dụ Giải phương trình sau a) 1  cos 2x   cos x sin x b) sin 2x  sin x  Lời giải: a) Điều kiện: sin x  PT  1  cos 2x   cos x   cos 2x  2sin x cos x  sin 2x  cos 2x  sin x    2x    k2  x  k    6  cos  2x       k  Z  x     k 6   2x       k2   6 Trang  Vậy phương trình có nghiệm x  k , x    k ,  k  Z  b) sin 2x  sin x  1 1  sin 2x  1  2sin x   sin 2x  cos 2x   sin 2x  cos 2x  2 2 1      sin 2x  cos 2x   cos  2x      2x     k  x    k 2 5 2 1    ( Với sin   , cos   ) Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 5 2  k  Z Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x  sin x   2 6  b) cos 7x  sin 7x   0, x   ;    cos x Lời giải: a) ĐKXĐ: cos x  cos x  sin x   cos x   sin x   sin x  sin x   sin x cos x    sin x   sin x   x  k  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm k ,  k  Z   3 5   x   k2 x  k2      12 b) cos 7x  sin 7x    cos  x       3   x     3  k2  x   13  k2  12  5   6   5  Do x   ;   x    Vậy x  nghiệm cần tìm 12    12  Ví dụ Giải phương trình sau b) sin x  cos x  a) sin15x  cos 5x  sin 5x  4 sin x  cos x  Lời giải: a) PT    cos 5x  sin 5x   sin15x  sin   5x   sin  15x  2       5x  15x  k2 x       5x    15x  k2 x    Vậy nghiệm PT là: x   k  60 10  k  15  k  k  , x  ,  k  Z 60 10 15 Trang   b) Đặt t  sin x  cos x  2sin  x    t   2; 2 , t  1 ta có 3  PT  t  t    t  t   4t   t  3t      tm  t 1 t      x    k2  x     + Với t   sin  x       3   x    5  k2 x      k2   k2      + Với t   sin  x     x    k2  x   k2 3  Vậy PT có nghiệm là: x      k2, x   k2  k  Z  Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x  cos x  3 sin x  cos x  b) cos x  2sin x.cos x  cos x  sinx  Lời giải:   a) Đặt t  sin x  cos x  2sin  x    t  1, t   2; 2 ta có: 6   1  13  tm  t    1  13  2  PT  t   t  t 3   sin  x    t 1 6  1  13   2  loai  t     1  13  k2  x    arcsin   k  Z  5 1  13  arcsin  k2 x   sin x  b) ĐK: cos x  sinx   2 sin x  sinx     1 sin x   2 Với điều kiện PT  cos x  sin 2x   cos 2x  sin x   cos x  sin x  sin 2x  cos 2x     2    cos  x    cos  2x    x   k2, x  k 3 6 18   Kết hợp điều kiện: Vậy PT có nghiệm là: x   2 k  k  Z 18 Ví dụ 10 Giải phương trình sau a)  cos x  cos 2x  cos 3x   sin x cos x  cos x    b) cos 2x  sin 2x  sin x  cos x   Lời giải: Trang a) ĐK: cos x  1, cos x  PT   Với ĐK trên: 1  cos 2x    cos x  cos 3x   cos 2x  cos x 3  sin x  cos x  cos x  cos 2x  2 cos x  cos 2x.cos x   sin x    sin x cos 2x  cos x cos x  cos 2x      x  k2     cos x  sin x   sin  x    sin    x    k2  loai  3   Vậy nghiệm PT x  k2  k  Z          b) PT  cos  2x    sin  x       sin  x    sin  x     3 6 6 6             2 sin  x    sin  x      sin  x     x   k2 6 6 6    Vậy x    k2  k  Z  Ví dụ 11 Giải phương trình sau a) sin 8x  cos 6x   sin 6x  cos8x  b) 2sin x  sin 2x  Lời giải:     a) PT  sin 8x  3cox8x  sin 6x  cos 6x  sin  8x    sin  6x   3 6        8x   6x   k2  x   k   8x      6x    k2  x    k   12 Vậy nghiệm PT là: x    k  k , x   12  k  Z   b) PT   sin x  1  sin 2x   sin 2x  cos 2x   sin  2x    6   2x       k2  x   k Vậy nghiệm PT là: x    k  k  Z  Ví dụ 12 Giải phương trình sau a) cos x   sin x cos x b)   cos 2x  sin 2x  sin  2x    2 6  Lời giải: a) Đk: sin 2x  Khi đó: PT  8cos x.sin x.cos x  sin x  cos x Trang  cos x.sin 2x  sin x  cos x   sin 3x  sin x   sin x  cos x 2  3x  x   k2  2    2sin 3x   sin x  cos x  sin 3x  sin  x       3x    x  k2     x   k   tm   x    k  12 Vậy nghiệm PT là: x    k  k , x   ,  k  Z 12         b) PT  cos  2x    2sin  2x    2  cos  2x     cos 6 6 4     5     x   k  2x  12   k2    k  Z  x     k  2x       k2  12  12 Ví dụ 13 Giải phương trình sau a)  sin 2x  sin x   cos 2x  cos x  b) 8sin 2x.cos 2x  sin 2x  cos 2x Lời giải:     a) PT  sin 2x  cos 2x  sin x  cos x   cos  2x    sin  x    3 6       sin  x    x       2    2sin  x    sin  x        6 6    x  sin  x        Vậy PT có nghiệm là: x    k   k2, x    k2    k , x   k2 , x    k2  k  Z  b) PT  sin 2x sin 4x  sin 2x  cos 2x   cos 2x  cos 6x   sin 2x  cos 2x   6x  2x   k2      sin 2x  cos 2x  cos 6x  cos  2x    cos 6x   3   6x  2x    k2   k   x  12    x    k  24 Vậy nghiệm PT là: x   k  k  , x  12 24  k  Z Trang  Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba Ví dụ Giải phương trình sau a) 2sin x  sin x.cos x  3cos x  b) 2sin x  3sin x.cos x  cos x  Lời giải: a) PT   sin x  sin x.cos x    3sin x.cos x  3cos x    2sin x  sin x  cos x   3cos x  sin x  cos x     sin x  cos x  sin x  3cos x     x   k  tanx   sin x  cos x     k  Z 3    tanx   x  arctan  3   k  sin x  3cos x       b) PT   2sin x  2sin x.cos x    sin x.cos x  cos x    sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x     sin x  cos x  2sin x  cos x     x   k  tan x   sin x  cos x     k  Z  tanx   x  arctan    k  sin x  cos x     2 Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x  10 sin x.cos x  21cos x  b) 2sin x  5sin x.cos x  3cos x  Lời giải: a) PT   sin x  3sin x.cos x    sin x.cos x  21cos x    sin x  sin x  3cos x   cos x  sin x  3cos x     sin x  3cos x  sin x  cos x    x  arctan  3  k sin x  3cos x  tan x      k  Z  2sin x  cos x  tan x   x  arctan    k b) PT   2sin x  2sin x.cos x    3sin x.cos x  3cos x    2sin x  sin x  cos x   3cos x  sin x  cos x     sin x  cos x  2sin x  3cos x     x   k  tan x   sin x  cos x     k  Z  tan x   x  arctan    k  sin x  3cos x     2 Ví dụ Giải phương trình sau   a) sin x   sinx.cos x  cos x  b) 3sin x  4sin 2x  cos x  Lời giải: a) PT   sin x  sin x.cos x     sin x.cos x  cos x  Trang 10 B  A 2 C 2 D -1   Câu 29 Từ phương trình  sin x  cos3 x  sin 2x , ta tìm cos  x   có giá trị 4  B  A 2 C Câu 30 Tính tổng nghiệm phương trình 2 D  2  cos 2x  5  sin x  cos x    khoảng  0; 2  A 11 B 4 C 5 D 7   Câu 31 Số nghiệm phương trình cos x  sin 2x   cos   x  khoảng  0; 3  2  A B C D   Câu 32 Số nghiệm phương trình sin 5x  cos 5x  sin 7x khoảng  0;   2 A B C D Câu 33 Khi đặt t  tan x phương trình 2sin x  3sin x.cos x  cos x  trở thành phương trình sau đây? A 2t  3t   B 3t  3t   C 2t  3t   D t  3t   Câu 34 Cho x thỏa mãn 2sin 2x  sin x  cos x   Tính sin 2x A sin 2x   B sin 2x   2 C sin 2x  D sin 2x  2 Câu 35 Hỏi đoạn  0; 2018 , phương trình sin x  cos x  4sin 2x  có nghiệm? A 4037 Câu 36 Cho hàm số y  B 4036 C 2018 D 2019 sin x  cos x  có M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y sin x  cos x  Đẳng thức sau đúng? A M  m  3 B M  m   C M  m  D M  m  Câu 37 Phương trình sin x  sin x.cos x  có nghiệm thuộc đoạn  0; 3 ? A B C Câu 38 Gọi M N giá trị lớn nhỏ biểu thức A  D cos x  2sin x  Giá trị M  N Trang 30 A B C 3 D Câu 39 Gọi x nghiệm dương nhỏ phương trình 3sin x  2sin x.cos x  cos x  Chọn khẳng định đúng?  A x   ; 2     3  B x   ; 2      C x   0;   2  3  D x   ;    Câu 40 Cho x nghiệm phương trình sin x.cos x   sin x  cos x   Khi đó, giá trị P   sin 2x A P  B P  D P   C P    C D 2 Câu 41 Số nghiệm thuộc đoạn phương trình sin 3x  sin 2x  sin x  sin 4x khoảng  0; 2  A B sin x.sin 2x  2sin x.cos x  sin x  cos x Câu 42 Số nghiệm phương trình  cos 2x khoảng sin x  cos x  ;   A B C D Câu 43 Cho phương trình sin x  cos x  2sin 3x Gọi x1 , x nghiệm lớn nghiệm nhỏ phương trình cho đoạn  0; 2018 Tính tổng x1  x A 12109 Câu 44 Cho phương trình B 12111 C 12107  D 12103 cos 4x  cos 2x  sin x  Tính diện tích đa giác có đỉnh điểm cos x  sin x biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác A 2 B 2 C D  5  Câu 45 Cho phương trình 3sin x.cos x  sin x  cos   x  (1) Gọi (H) hình tạo điểm   biểu diễn nghiệm (1) đường tròn lượng giác Tính diện tích hình (H) A 2 2 B 2 C  Câu 46 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn D  1  10; 10  để phương trình     sin  x    cos  x    2m vô nghiệm 3 3   Trang 31 A 21 B 20 C 18 D Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x  sin x   m  1 vô nghiệm A m   ;  1  1;    B m   1; 1 C m   ;    D m   ;    0;    Câu 48 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10; 10 để phương trình  m  1 sin x  m cos x   m có nghiệm A 21 B 20 C 18 D 11 Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình  m  1 sin x  sin 2x  cos 2x  A 4037 có nghiệm B 4036 C 2019 D 2020 Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình tan x  m cot x  có nghiệm A m  16 B m  16 C m  16 D m  16 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-C 3-C 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A 9-B 10-B 11-D 12-B 13-C 14-C 15-D 16-B 17-D 18-B 19-B 20-A 21-D 22-C 23-D 24-C 25-C 26-D 27-C 28-B 29-D 30-B 31-C 32-A 33-D 34-C 35-A 36-A 37-B 38-C 39-C 40-A 41-C 42-B 43-A 44-D 45-C 46-C 47-D 48-C 49-D 50-D     Câu 1: cos 2x  sin 2x   cos  2x     cos  2x    4 4    x  k    2x     k2    x  4  .  Với   ta x  3 nghiệm phương trình Chọn C     Câu 2: sin 2x  cos 2x   2sin  2x     sin  2x    3 3      2x     2x       k2  x  k   x    . 2  k2       Kết hợp x   0;  ta x  nghiệm phương trình khoảng  0;  Chọn A  2  2 Trang 32 Câu 3: cos x  sin 2x   sin x  cos x  sin x  sin 2x       cos 2x  sin 2x   cos  2x     cos  2x    4 4    2x     k2  x    k Giải điều kiện:  x  2     17  k  2   k   k  1; 2 8 Suy phương trình có nghiệm x  7 15 x  khoảng  0; 2  8 Tổng nghiệm phương trình khoảng  0; 2  T  11 Chọn C Câu 4: Phương trình  3sin 3x  4sin 3x  cos 9x       sin 9x  cos 9x   2sin  9x     sin  9x    3       k2   9x    k2  x  18    9x    5  k2  x    k2   54 Do nghiệm dương nhỏ phương trình x   Chọn B 18     Câu 5: Phương trình  2sin  5x    2sin 7x  sin  5x    sin 7x 3 3       5x   7x  k2  x   k   5x      7x  k2  x    k   18      2   Kết hợp x   0;  ta nghiệm x   ; ; ;  Chọn D  2  18 18  Câu 6: sin 9x  cos 7x  sin 7x  cos 9x  sin 9x  cos 9x  sin 7x  cos 7x    9x   7x   k2  x  k      3  2sin  9x    2sin  7x       x  5  .   3     9x     7x   k2 48   3 Nghiệm âm lớn phương trình 5       1 Chọn A 48 48 Câu 7: cos 3x  sin x   cos x  sin 3x   cos 3x  sin 3x  sin x  cos x          sin  3x    2sin  x    sin  3x    sin  x   6 3 6 3     Trang 33 Do b     , d   b  d  Chọn D Câu 8: Dễ thấy sin 2x  cos 2x    x  R  Ta có: y  2sin 2x  cos 2x  y.sin 2x  y.cos 2x  3.y  2sin 2x  cos 2x sin 2x  cos 2x    y   sin 2x    y  1 cos 2x  3y * Phương trình (*) có nghiệm   y     y  1  9y  8y  2y    1  41 1  41 y 8 Kết hợp y  Z  y  0 Vậy hàm số cho có giá trị nguyên y  Chọn A           Câu 9: PT  cos  2x    2sin  x     1  2sin  x     2sin  x    3 6  6         sin  x           4 sin  x    2sin  x       6 6     sin  x    6        x   k  x   k        x    k2   x   k2   6    x    5  k2  x    k2 6   Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình x   Chọn B Câu 10: PT  sin x  3 sin x.cos x  cos x   sin x  cos x   3 sin x.cos x  3cos x   3cos x  cos x   x     sin x  cos x    k 0  k  k  Z   x 2 sin x  cos x   sin x  cos x    k 0  tan x  tan  x   k  k  Z   x 6  tan x  Vậy tập nghiệm phương trình chứa nghiệm Câu 11: Phương trình  sin x      sin x       Chọn B   sin x.cos x  cos x   sin x  cos x     sin x.cos x   sin x   sin x      cos x    Trang 34  sin x   cos x   cos x       sin x   tan x       cos x    sin x     cos x 1  tan x  2   tan x    1   Vậy phương trình cho tương đương với tan x    cos x  1  Chọn D Câu 12: Phương trình  sin x  sin x.cos x  sin x  cos x  sin x.cos x  cos x   cos x   sin x  cos x     Với cos x   sin  x    2   Với sin x  cos x   tan x   1 tan x  tan      Ta có tan  x        tan  x        tan x tan   1 4         Vậy phương trình cho tương đương với sin  x    tan  x       Chọn B 2   4   Câu 13: Ta kiểm đáp án: sin x  sin x   Với x  k    cos x  1 cos x  Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy A  Phương trình  cos x  3sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  3sin x.cos x  cos x   tan x  tan x   Vậy B  Phương trình  cos x  3sin x.cos x  sin x  cos x   cos x  3sin x.cos x  sin x  cot x  3cot x   Vậy C sai Chọn C  Phương trình   cos 2x sin 2x     cos 2x  3sin 2x   Vậy D 2 Câu 14: Phương trình  sin x  4sin x.cos x  cos x   sin x  cos x   4 sin x  sin x.cos x  cos x    2sin x  cos x   2sin x  cos x   tan x    có vị trí biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giá Chọn C Trang 35   x   k  tan x   Câu 15: Phương trình   tan x  tan x      tan x   x  arctan  k    Với x   2; 2   2   k  k  2    k    k  2; 1;0;1 4  Vì x   2; 2   2  arctan  k  2 CASIO k   28,565  k  24,565   k  28;  27;  26;  25 xapxi Vậy có tất nghiệm Chọn D Câu 16: Phương trình  4sin x  3 sin 2x  cos x   sin x  cos x   3 sin 2x  6cos x   cos x   cos x  sin x  cos x     tan x     k    k   x   x   k Chox 0   k   k       k  x    k    k   k     k   x    6 6 So sánh hai nghiệm ta x     nghiệm dương nhỏ Chọn B Câu 17: Chọn D     Câu 18: Phương trình  sin x   sin x.cos x   cos x  sin x  cos x    sin x   sin x.cos x  cos x   tan x  1  tan x   tan x       tan x       x    k   x    k  k      k   k    k max   x    4 Cho    2 k    k   k     k max  1  x    3 So sánh hai nghiệm ta x    nghiệm âm lớn Chọn B     Câu 19: Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Vì sin  x     1; 1  t    2;    4 4   Ta có t   sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  sin x.cos x  t2  Trang 36 Khi đó, phương trình cho trở thành t  t2 1  2t   t  4t      t  5      Với t  , ta sin x  cos x   sin  x     sin  x    sin 4 4       x  k2  x    k2   , k   Chọn B  x    k2    x      k2   4 Câu 20: Đặt t  sin x  cos x  sin 2x  t  Phương trình cho trở thành 2t   t  1    2t  2t   Chọn A   Câu 21: Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Điều kiện   t  4  Ta có t   sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  sin 2x  t  Khi đó, phương trình cho trở thành  t  1  t    5t  t   : vô nghiệm Nhận thấy đáp án A, B, C, D phương trình đáp án D vơ nghiệm Vậy phương trình cho tương đương với phương trình  tan x  Chọn D   Câu 22: Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Điều kiện   t  4  Ta có t   sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  sin 2x  t  Phương trình cho trở thành t   Với t  , ta t  t 1  t  2t      t  3     sin  x     sin  x    4 4       x  k2  x    k2     sin  x    sin    , k   x    k2   4   x      k2   4 k  TH1: Với x  k2   k    k max  1  x  2   TH2: Với x   k 3  k2   k     k max  1  x   Vậy nghiệm âm lớn phương trình x   3 Chọn C   Câu 23: Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Điều kiện   t  4  Ta có t   sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  sin 2x   t 2 Trang 37 t  Phương trình cho trở thành 1  t   16t  16     t   21  Với t   sin x  cos x  (*) Mặt khác  sin x  cos x    sin x  cos x   , kết hợp với (*) suy  sin x  cos x  2   Chọn D    sin x  cos x  1  sin  x     4    Câu 24: Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Điều kiện   t  4  Ta có t   sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  sin x.cos x  Phương trình cho trở thành 6t  1 t 2  t  1 1 t 60   t  13        sin  x    1  sin  x      sin   x   4 4 2   4        Chọn C  cos     x     cos  x    4 2   2    Câu 25: Đặt t  sin x  cos x   t   sin x.cos x   1 t  Phương trình trở thành  t   t  1    t   t2  1 t      t  Chọn C t      Câu 26: Đặt t  sin x  cos x   t   sin x.cos x   1 t  Phương trình trở thành  t   t    t   t2  1 t      sin x  cos x   cos x  sin x  t    sin x  Mặt khác sin x  cos x   sin x   sin x  1    Chọn D sin x  Câu 27: Ta có 1  sin x 1  cos x     sin x  cos x  sin x.cos x   sin x  cos x  sin x.cos x    sin x  cos x   2.sin x.cos x  (*)   Đặt t  sin x  cos x   t   sin x.cos x  t2 1 Trang 38 t  Khi (*) trở thành 2t  t    t  2t      sin x  cos x   t  3    2  Ta có cos  x    cos x.cos  sin x.sin   cos x  sin x   Chọn C 4 4 2  Câu 28: Phương trình   sin x  cos x     sin x  cos x   sin x cos x  cos x sin x sin x  cos x  (*) sin x.cos x sin x.cos x   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   nên t    2;  4  Suy sin x.cos x  1 t2 nên (*) trở thành 2t  t 1 t2    3 3  Do sin  x    1  x     k2  x    k2  x   4 4   3  Vậy cos x  cos      Chọn B   Câu 29: Phương trình    sin x  cos x 1  sin x.cos x   3sin x.cos x (*)   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   nên t    2;  4   t  1   1 t2  1 t2 1 t2 Suy sin x.cos x  nên (*) trở thành:  t 1    t  1    2    t  1       x     k2   x    k2    4  Với t  1 , ta sin  x        4   x        k2  x    k2  4   Vậy cos  x     Chọn D 4  Câu 30: Phương trình   cos 2x    sin x  cos x  sin x  cos x     cos 2x    cos 2x  cos 2x      2 cos 2x  5cos 2x      cos 2x         2x   k2  x   k    5 11    mà x   0;    x   ; ; ;  Chọn B  6 6  2x     k2  x     k   Trang 39 Câu 31: Phương trình  cos x  sin 2x   sin x  sin 2x  cos 2x          sin  2x      sin  2x    1  2x     k2 4 4     25  x    k mà x   0; 3      k  3   k  8 8 Mà k    k  1; 2; 3 nên có tất nghiệm cần tìm Chọn C Câu 32: Phương trình    sin 5x  cos 5x  sin 7x  sin x cos  cos 5x.sin  sin 7x 2 3     7x  5x   k2 x   k      sin  5x    sin 7x    k   3  7x    5x    k2  x    k   18      5   Kết hợp x   0;   x   ; ; ;  Chọn A  2  18 18 18  Câu 33: Phương trình  sin x  3sin x.cos x  cos x  sin x  cos x sin x  sin x   sin x  3sin x.cos x  3cos x       cos x     cos x  cos x  t  tan x  tan x  tan x     t  3t   Chọn D   Câu 34: Đặt t  sin x  cos x  sin  x    0;  4  Suy t   sin x  cos x    2sin x cos x  sin 2x  t  Do đó, phương trình trở thành: 2t   6t    2t  6t    t  2  6 Vậy sin 2x   Chọn C          Câu 35: Đặt t  sin x  cos x  sin  x     0;   4   Suy t   sin x  cos x   t   sin 2x  sin 2x   t 2 t  Do phương trình trở thành: t  1  t     t    L  Với t  , ta sin 2x   x  k   0; 2018  k  0; 4036 Mà k    có tất 4036    4037 nghiệm cần tìm Chọn A Câu 36: Ta có y.sinx  y.cosx  y  sinx  cosx    y  1 sin x   y   cos x   2y Trang 40 Phương trình có nghiệm khi:  y  1   y    1  2y   y2  y    2  y  2 Do M  1; m  2  M  m  12   2   3 Chọn A Câu 37: Phương trình  sin x  sin x.cos x  sin x  cos x  cos x   x  cos x  sin x  cos x     x   tan x   TH1: Với x     k k     k    k mà x   0; 3     k  3    k  2 2   3 5   k  0; 1; 2  x   ; ;  (3 nghiệm) 2 2  TH2: Với x     k mà x   0; 3    k  3    k  3 3   4    k  0; 1; 2  x   ; ;  (3 nghiệm) 3 3  Vậy phương trình cho có nghiệm cần tìm Chọn B Câu 38: Ta có A  cos x   2A.sin x  4A  cos x   2A.sin x  cos x   4A (*) sin x  Phương trình (*) có nghiệm khi:  2A    1  1  4A   3A  2A    A  2 2 2 Do M  ; N   M  N    Chọn C 3 Câu 39: Với cos x   x    k  sin x   cos x  Do phương trình trở thành: 3.12  (vô lý)  x  Với cos x   x    k không nghiệm   k 2 sin x  sin x  Phương trình trở thành:     tan x  tan x     cos x  cos x   3  x 0 x   tan x  1  x    k  4    tan x  x 0  x  arctan  k  x  arctan   3 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình x  arctan Chọn C   Câu 40: t  sin x  cos x  sin  x    t    2;    4  Trang 41 Suy t   sinx  cosx    sin x.cos x  sin x.cos x  Do phương trình trở thành: t2 1 t2 1  2t   t  4t    t      x  k2  x    k2    sin  x       x    k2      x      k2   4  Với x  k2  x  nên P   sin   Với x     k2  x  nên P   sin   Chọn A 2 Câu 41: Phương trình   sin 3x  sin x   sin x  sin 4x sin 2x   4sin 2x.cos x  2sin 2x.cos 2x  sin 2x    sin 2x  cos 2x  cos x  2x  k    sin 2x  cos 2x  cos x  2 k  x   sin  2x     sin    x  (*)      6 2       2x    x  k2 x  Giải (*) ta    2x        x  k2 x     k2  k     k2 Với x   0; 2   phương trình có tất 3+3+1=7 nghiệm Chọn C    Câu 42: Điều kiện: sin x  cos x   sin  x     x    k  k    4  Phương trình trở thành: 2sin x cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  cos 2x  sin x  cos x   sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  cos 2x  sin x  cos x     sin 2x   cos 2x  sin 2x  cos 2x    sin  2x     2 3      2x     k2    2x        k2    2x    2x       k2 x  k  12  3  x  3  k  k2  Dựa vào đường tròn lượng giác  ;    Phương trình có nghiệm Chọn B Câu 43: Phương trình    sin x  cos x  sin 3x  sin  x    sin 3x 2 3  Trang 42   3x  x   k2   3x    x    k2  TH1: Với x      2x    k2    4x  4  k2     x    k k     x    k   1  k mà x  0; 2018   k   2018 6 k  5  12107    x  ; x max    2018  6 k max  2018 TH2: Với x   k 2 mà x   0; 2018    k    4036  3 k    6055    x  ; x max   2018  3 k max  4036 So sánh hai TH, ta x1  12107   12109 ; x   x1  x  Chọn A 6    Câu 44: Điều kiện: sin x  cos x   sin  x     x    k  k    4  Phương trình trở thành: cos 4x  cos 2x  sin x   cos 2x   cos 2x   cos 2x  cos 2x   cos 2x  cos 2x     cos 2x    k    2x   k   x    k       2x  k2  x  k Dựa vào điều kiện đường tròn lượng giác, đa giác cần tìm ABCD   2 2 Với A 1;  , B  ; ;  , C  1;  , D        Ta có SABC  1 2 d  B; AC AC    SABCD  2.SABC  Chọn D 2 2 Câu 45: Phương trình  3sin x.cos x  sin x  sin x  3sin x.cos x  sin x  sin x  sin x  cos x   x  k sin x   sin x  sin x.cos x  2sin x.cos 2x      k x    cos 2x   Với nghiệm x  k ta lấy hai điểm A 1;  B  1;  Với nghiệm x   k ta lấy bốn điểm (dựa vào đường tròn lượng giác):    2 2  2  2 M  ; ; ; ;  , N    , P    , Q      2   2    Dễ thấy đa giác cần tìm AMNBPQ  SAMNBPQ  2.SAMNB Trang 43 Với AMNB hình thang cân  SAMNB  Vậy diện tích đa giác cần tính S  1 d  M; AB  AB  MN   2 1   Chọn C  Câu 46: Phương trình cho vơ nghiệm  12      2m   4m   m  m   Kết hợp   m  10;   2, 2,3 10 m   10; 10 Vậy có 18 giá trị tham số m Chọn C     Câu 47: PT  cos  x     m  1  cos  x    m  4 4   m2   Phương trình vơ nghiệm    m   m  Chọn D m     m  2 Câu 48: Phương trình cho có nghiệm   m  1  m  1  m   m  4m     m  4 m   Kết hợp   m  10;   4, 0,1, 10 suy có 18 giá trị tham số m Chọn C m   10; 10 Câu 49: PT   m  1  cos 2x  sin 2x  cos 2x   m   m cos 2x  cos 2x  2sin 2x  cos 2x    m  1 cos 2x  sin 2x  m  Phương trình cho có nghiệm   m  1  2   m  1  4m   m  2 m   Kết hợp   có 2020 giá trị tham số m Chọn D m   2018; 2018 Câu 50: tan x  m cot x   tanx  m   tan x  tan x  m  tan x Đặt t  tan x  t  R suy t  8t  m  Phương trình có nghiệm    16  m   m  16 Chọn D Trang 44