Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Để chứng minh mệnh đề P(n) với n N* ta thực theo bước sau đây: Kiểm tra mệnh đề với n Giả sử mệnh đề với n k ; đưa biểu thức P k ; ta gọi giả thiết quy nạp Với giả thiết P k đúng, ta chứng minh mệnh đề với n k 2) Để chứng minh mệnh đề P(n) với n ≥ p; (p số số tự nhiên) ta thực sau: Kiểm tra mệnh đề với n p Giả sử mệnh đề với n k ; đưa biểu thức P k ; ta gọi giả thiết quy nạp Với giả thiết P k đúng, ta chứng minh mệnh đề với n k II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau với số tự nhiên n dương: a) n n n 1 b) 12 22 32 n n n 1 2n 1 Lời giải: a) n n n 1 , 1 +) Với n ta có 1.2 1 +) Giả sử 1 với n k , ta có k k k 1 +) Ta chứng minh 1 với n k , tức k k 1 Thật vậy, k k 1 1 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 2 Vậy biểu thức cho với n k b) 12 22 32 n n n 1 2n 1 , 2 +) Với n ta có 12 1.2.3 +) Giả sử với n k , ta có 12 22 32 k k k 1 2k 1 Trang +) Ta chứng minh với n k , tức 12 2 32 k k 1 k 1 k 2k 3 Thật vậy, 12 22 32 k k 1 12 2 32 k k 1 2 k k 1 2k 1 k k 1 2k 1 k 1 k 1 6 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 2k 7k k 1 k 2k 3 6 Vậy biểu thức Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 n n 1 với n dương b) 3n n 4n với số tự nhiên n Lời giải: a) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 n n 1 , 1 +) Với n ta có 1.2 12 1 1 1 +) Giả sử 1 với n k , ta có 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k k 1 +) Ta chứng minh 1 với n k , tức 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k 1 3k k 1 k Thật vậy, 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k 1 3k 1.2 2.5 3.8 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k 1 k 3k k 1 k 1 k k 1 k Vậy biểu thức cho với n k b) 3n n 4n , +) Với n ta có 33 32 4.3 27 26 +) Giả sử với n k , ta có 3k k 4k +) Ta chứng minh 1 với n k tức 3k 1 k 1 k 1 Thật vậy, 3k 1 3k k 4k 3k 12k 15 k 2k 1 k 1 2k 6k k 1 k 1 2k 6k k 1 k 1 2k 6k k 2 Do ta 3k 1 k 1 k 1 Vậy Trang Ví dụ 3: Chứng minh với n * , ta có: a) 2n 2n 1; n 3 b) n 2n Lời giải: a) 2n 1; n 3 1 n +) Với n ta có 23 2.3 1 +) Giả sử 1 với n k , ta có k 2k k +) Ta chứng minh 1 với n k , tức k 1 k 1 2k Thật vậy, k 1 2.2k 2k 1 4k 2k k 3 Vậy biểu thức 1 b) n 2n +) Với n ta có 23 2.1 +) Giả sử với n k , ta có 2k 2k +) Ta chứng minh với n k , tức 2k 3 k 1 2k Thật vậy, k 3 2.2k 2k 4k 10 2k k * Vậy biểu thức Ví dụ 4: Chứng minh với n * , ta có: a) 1 ; n 2 n n b) 2n 1 2n 2n Lời giải: a) 1 1 , 1 2 n n +) Với n ta có 1 2 +) Giả sử 1 với n k , ta có 1 1 2 k k +) Ta chứng minh 1 với n k , tức Thật vậy, 1 1 2 2 k k 1 k 1 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k 1 k k k 1 k 1 2 k 1 k k 1 k 1 Vậy biểu thức cho với n k Vậy biểu thức 1 Trang b) 2n 1 2 2n 2n +) Với n ta có 1 +) Giả sử với n k , ta có 2k 1 2k 2k +) Ta chứng minh với n k , tức k 1 1 1 k 1 2k k 1 Thật vậy, k 1 1 2k k 1 2k k 1 2k 2k 2k k 1 Lại có 2k 1 2k 3 2k 2k k 1 2k 2k 2k Vậy biểu thức Ví dụ 5: Chứng minh với n * , ta có: a) 1 n n b) 1 13 ; n 1 n 1 n 2 n 24 Lời giải: a) 1 n 1 n +) Với n ta có +) Giả sử 1 với n k , ta có 1 k k +) Ta chứng minh 1 với n k , tức Thật vậy, 1 k k k 1 1 1 2 k k k 1 k 1 Lại có: k k 2 1 2 k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 1 Vậy nên biểu thức cho với n k Vậy biểu thức 1 b) 1 13 ; n 1 n 1 n 2 n 24 +) Với n ta có 1 13 24 Trang +) Giả sử với n k , ta có 1 13 ; k 1 k 1 k 2k 24 +) Ta chứng minh với n k tức Thật vậy, 1 13 ; k 1 k 1 k 2k 24 1 13 1 13 k 1 k 2k 24 2k 2k 24 Vậy nên biểu thức cho với n k Vậy biểu thức Ví dụ 6: Chứng minh với n * , ta có: n n 1 a) n 3 b) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 Lời giải: n n 1 a) n 1 3 +) Với n ta có 12.22 1 k k 1 +) Giả sử 1 với n k , ta có k 3 +) Ta chứng minh 1 với n k , tức 13 23 k k 1 k 1 k 2 k k 1 k k 2 Thật k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 4 4 3 3 Vậy biểu thức cho với n k Vậy biểu thức 1 b) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 +) Với n ta có 1.4 1.2 +) Giả sử với n k , ta có 1.4 2.7 k 3k 1 k k 1 +) Ta chứng minh với n k , tức 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k 1 k Thật 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k 1 k k 3k k 1 k biểu thức cho với n k Vậy biểu thức Trang Ví dụ 7: Chứng minh với n * , ta có: a) 1.2 2.3 n n 1 n n 1 n b) 1 n 1.2 2.3 n n 1 n Lời giải: a) 1.2 2.3 n n 1 n n 1 n +) Với n ta có 1.2 1.2.3 1 1 +) Giả sử 1 với n k , ta có: 1.2 2.3 k k 1 k k 1 k +) Ta chứng minh 1 với n k , tức 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k k 3 Thật 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k k k 1 k k 1 k 1 3 k 1 k k 3 biểu thức cho với n k 1 Vậy biểu thức 1 b) 1 n 2 1.2 2.3 n n 1 n +) Với n ta có 1 1.2 +) Giả sử với n k , ta có 1 k 1.2 2.3 k k 1 k +) Ta chứng minh với n k , tức 1 1 k 1 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k Thật 1 1 k 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k k k 2 k 1 k biểu thức cho với k 1 k k 2 n k 1 Vậy biểu thức Trang Ví dụ 8: Chứng minh với n * , ta có: a) 2n 1 2 2 n 4n 1 b) 3n n 3n 1 Lời giải: a) n 1; n , toán Giả sử tốn với n k n k 2k 1 2 2 k 4k 1 Ta chứng minh với n k Thật 12 32 52 k 1 1 k 4k 1 2k 1 k 4k 1 4k 4k 1 4k 12k 11k k 1 4k 8k 3 k 1 k 1 1 3 Theo nguyên lí quy nạp thu đpcm b) Dễ thấy toán với n 1; n Giả sử toán với n k n k 3k k 3k 1 Ta chứng minh với n k Thật k 1 k 3k 1 3k 5k k 1 3 k 1 1 3k 2 Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 9: Chứng minh với n * , ta có: a) n3 11n chia hết cho b) n3 3n chia hết cho c) n3 2n chia hết cho d) 7.2 n 32 n 1 chia hết cho Lời giải: a) Ta có n 11n n n 12n n n 1 n 1 12n 3 Rõ ràng n n 1 n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Cụ thể n 3k n n 1 n 1 3k n 1 n 1 n 3k n n 1 n 1 n.3k n 1 n 3k n n 1 n 1 3n n 1 k 1 Mặt khác ba thừa số n, n 1, n tồn số chẵn, nguyên tố nên tích chia hết cho Do ta có đpcm c) n3 2n n3 n 3n n n 1 n 1 3n Trang Rõ ràng n n 1 n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho n 3k n n 1 n 1 3k n 1 n 1 n 3k n n 1 n 1 n.3k n 1 n 3k n n 1 n 1 3n n 1 k 1 Từ n3 2n n3 n 3n n n 1 n 1 3n d) Bài toán với n 1; n Giả sử toán với n k n k 7.2 k 32 k 1 Tiếp tục chứng minh toán với n k 7.22 n 3n 1 7.22 k 2 32 k 1 4.7.22 k 9.32 k 1 7.2 k 32 k 1 5.32 k 1 Cứ vậy, theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho tổng S n 1 1 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chúng minh dự đoán quy nạp Lời giải: a) S1 ; S ; S3 ; S b) Dự đoán S n n 2n Rõ ràng theo câu a dự đoán với n 1; 2;3; Giả sử toán với n k S n 1 1 n 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 2n Ta chứng minh điều với n k Thật n k Sk 1 1 1 1.3 3.5 5.7 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 k k 3 k k 1 2k 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 2k Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm Ví dụ 11: Cho tổng S n 1 1 1.5 5.9 9.13 4n 3 4n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chúng minh dự đốn quy nạp Lời giải: Trang n a) S1 ; S ; S3 ; S Sn 13 17 4n b) Theo câu a ta có dự đốn với n 1; 2;3; Giả sử toán với n k Với n k S n 1 1 k 1.5 5.9 9.13 4n 3 4n 1 4k Ta chứng minh điều với n k Thật n k Sn 1 1 1.5 5.9 9.13 4k 3 4k 1 4k 1 4k 5 k 4k k k 1 4k 4k 1 4k 5 4k 1 4k 4k Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm Ví dụ 12: Dãy số an cho sau a1 2, an 1 an , với n 1, 2, Chứng minh với n * ta có: an cos 2n 1 Lời giải: Xét toán với n 1; n 2; Giả sử toán với n k ak cos 2k 1 Ta chứng minh toán với n k Thật vậy, với n k ak 1 ak cos k 1 1 cos k 1 cos k cos k Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm Ví dụ 13: Cho S n A S3 1 1 với n * Mệnh đề sau đúng? 1.2 2.3 3.4 n n 1 12 B S C S D S3 Lời giải: Nhìn vào đuôi Sn 1 cho n , ta n n 1 1 2.3 Do với n 2, ta có S Ví dụ 14: Cho S n A S n n 1 n 1 Chọn C 1.2 2.3 1 1 với n * Mệnh đề sau đúng? 1.2 2.3 3.4 n n 1 B S n n n 1 C S n n 1 n2 D S n n2 n3 Lời giải: Trang Cách trắc nghiệm Ta tính S1 , S , S3 Từ ta thấy quy luật tử nhỏ mẫu đơn vị Chọn B n Cách tự luận Ta có S1 , S , S3 dự đoán S n n 1 Với n , ta S1 1 : 1.2 Giả sử mệnh đề n k Ta có k 1 , tức 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 1 k 2k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k 1 1 k 1 Suy mệnh đề với n k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 Ví dụ 15: Cho Pn 1 1 với n n Mệnh đề sau đúng? n A P n 1 n2 B P n 1 2n C P n 1 n D P n 1 2n Lời giải: n P2 22 Vì n nên ta cho n P 1 1 Kiểm tra đáp án có D thỏa Chọn D Ví dụ 16: Với n * , hệ thức sau sai? A n n n 1 B 2n 1 n C 12 22 n n n 1 2n 1 D 2 42 62 2n 2n n 1 2n 1 Lời giải: Bằng cách thử với n 1, n 2, n ta kết luận Chọn D Trang 10 ... nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho tổng S n 1 1 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chúng minh dự đoán quy nạp... Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm Ví dụ 11: Cho tổng S n 1 1 1.5 5.9 9.13 4n 3 4n 1 a) Tính S1 ; S ; S3 ; S b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chúng minh dự đốn quy nạp Lời giải:... 1 4k 12k 11k k 1 4k 8k 3 k 1 k 1 1 3 Theo nguyên lí quy nạp thu đpcm b) Dễ thấy toán với n 1; n Giả sử tốn với n k n k 3k
Ngày đăng: 13/10/2022, 21:27
Xem thêm:
