Chuyên đề toán 10 bài 3 (kết nối tri thức) phương pháp quy nạp toán học

Chuyên đề 2 Phương pháp quy nạp toán học Nhị thức newton Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học Trang 26, 27, 28 HĐ1 trang 26 Chuyên đề Toán 10 Hãy quan sát các đẳng thức sau 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 +[.]

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học Nhị thức newton Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Trang 26, 27, 28 HĐ1 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Hãy quan sát đẳng thức sau: = 12 + = = 22 + + = = 32 + + + = 16 = 42 + + + + = 25 = 52 Có nhận xét số vế trái vế phải đẳng thức trên? Từ dự đốn cơng thức tính tổng n số lẻ + + + + (2n –1) Lời giải: Ta thấy vế trái đẳng thức tổng 1, 2, 3, 4, 5, số lẻ Cịn vế phải bình phương 1, 2, 3, 4, 5, Vậy ta dự đoán + + + + (2n –1) = n2 HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41 a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) chứng tỏ kết nhận số nguyên tố b) Hãy đưa dự đoán cho p(n) trường hợp tổng quát Lời giải: a) p(1) = 41, p(2) = 43, p(3) = 47, p(4) = 53, p(5) = 61 Do p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) số nguyên tố b) Từ việc p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) số ngun tố ta đưa dự đốn p(n) số nguyên tố với n > Tuy nhiên, khẳng định khẳng định sai Mặc dù khẳng định với n = 1, 2, , 40, lại sai n= 41 Thật vậy, với n= 41 ta có p(41) = 412 hợp số (vì chia hết cho 41) Luyện tập trang 27 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có     n  n  n  1 Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có = 12 Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có:     k  k  k  1 Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh:     k   k  1   k  1  k  1  1 Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:     k   k  1  k  k  1   k  1   k  1 k    k  1  k  1  1  Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Luyện tập trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + + abn –2 + bn – 1) Lời giải: Bước Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b Vậy khẳng định với n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: ak – bk = (a – b)(ak – + ak – 2b + + abk –2 + bk – 1) Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: ak + – bk + = (a – b)[a(k + 1) – + a(k + 1) – 2b + + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1] Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: ak + – b k + = a ak – b b k = a ak – a bk + a b k – b b k = a (ak – bk) + bk (a – b) = a (a – b)(ak – + ak – 2b + + abk –2 + bk – 1) + bk (a – b) = (a – b) a (ak – + ak – 2b + + abk –2 + bk – 1) + (a – b) bk = (a – b)(a ak – + a ak – 2b + + a abk – + a bk – 1) + (a – b) bk = (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + + a2bk – + a bk – 1) + (a – b) bk = (a – b)[a(k + 1) – + a(k + 1) – 2b + + a2b(k + 1) – + ab(k + 1) –2] + (a – b) b(k + 1) – = (a – b)[a(k + 1) – + a(k + 1) – 2b + + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1] Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Trang 30 Vận dụng trang 30 Chuyên đề Toán 10: Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng thường tính theo thể thức lãi kép theo định kì Theo thề thức này, đến kì hạn người gửi khơng rút lãi tiền lãi tính vào vốn kì Giả sử người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi kì a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1, T2, T3 mà người nhận sau kì thứ 1, sau kì thứ sau kì thứ b) Dự đốn cơng thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tn mà người thu sau n kì Hãy chứng minh cơng thức nhận quy nạp Lời giải: a) – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1 mà người nhận sau kì thứ là: T1 = A + Ar = A(1 + r) – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T2 mà người nhận sau kì thứ là: T2 = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2 – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T3 mà người nhận sau kì thứ là: T3 = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3 b) Từ câu a) ta dự đốn Tn = A(1 + r)n Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có T1 = A(1 + r) = A(1 + r)1 Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: Tk = A(1 + r)k Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: Tk + = A(1 + r)k + Thật vậy, Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tk + mà người nhận sau kì thứ (k + 1) là: Tk + = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Vậy Tn = A(1 + r)n với số tự nhiên n ≥ Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên n ≥ a) + + + + 2n = n(n + 1); b) 12 + 22 + 32 + + n2 = n  n  1 2n  1 Lời giải: a) Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có 2.1 = 1(1 + 1) Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: + + + + 2k = k(k + 1) Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: + + + + 2k + 2(k+1) = (k + 1)[(k + 1) + 1] Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: + + + + 2k + 2(k+1) = k(k + 1) + 2(k+1) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 1] Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ b) Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có 12 = 11  1 2.1  1 Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: 12 + 22 + 32 + + k2 = k  k  1 2k  1 Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: 12 + 22 + 32 + + k2 + (k + 1)2 =  k  1  k  1  1 2  k  1  1 Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: 12 + 22 + 32 + + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)2 +   k  1 k  k  1 2k  1  k  k  1 2k  1  k 1 6  k  1  k  2k  1    k 1  2k  7k    k 1  k   2k  3  k 1  k  1  1   k  1  1  Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.2 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Mỗi khẳng định sau đủng hay sai? Nếu em nghĩ đủng, chứng minh Nếu em nghĩ sai, đưa phản ví dụ a) p(n) = n2 – n + 11 số nguyên tố với số tự nhiên n; b) n2 > n với số tự nhiên n ≥ Lời giải: a) Khẳng định sai với n = 11 ta có p(11) = 112 số nguyên tố b) Khẳng định Ta chứng minh quy nạp: Bước Với n = ta có 22 = > Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k ( k ≥ 2), tức ta có: k2 > k Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: (k + 1)2 > k + Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (k + 1)2 = k2 + 2k + > k + 2k + > k + Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.3 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh n3 – n + chia hết cho với số tự nhiên n ≥ Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có 13 – + = ⁝ Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: k3 – k + ⁝ Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: (k + 1)3 – (k + 1) + ⁝ Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (k + 1)3 – (k + 1) + = (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1) + = (k3 – k + 3) + (3k2 + 3k) Vì (k3 – k + 3) (3k2 + 3k) chia hết (k3 – k + 3) + (3k2 + 3k) ⁝ hay (k + 1)3 – (k + 1) + ⁝ Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.4 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh n2 – n + 41 số lẻ với số nguyên dương n Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có 12 – + 41 = 41 số lẻ Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: k2 – k + 41 số lẻ Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: (k + 1)2 – (k + 1) + 41 số lẻ Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (k + 1)2 – (k + 1) + 41 = (k2 + 2k + 1) – (k + 1) + 41 = k2 + k + 41 = (k2 – k + 41) + 2k Vì k2 – k + 41 số lẻ 2k số chẵn nên (k2 – k + 41) + 2k số lẻ hay (k + 1)2 – (k + 1) + 41 số lẻ Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.5 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh x > –1 (1 + x)n ≥ 1+ nx với số tự nhiên n Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có (1 + x)1 = + x = + 1.x Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: (1 + x)k ≥ 1+ kx Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: (1 + x)k + ≥ 1+ (k + 1)x Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (1 + x)k + = (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1+ kx) = + x + kx + kx2 > + x + kx = 1+ (k + 1)x Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Cho tổng Sn = 1    1.2 2.3 n  n  1 a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đốn cơng thức tính tồng Sn chứng minh quy nạp Lời giải: a) S1 = 1 1 1     , S3 =   , S2 = 11  1 1.2 2.3 3.4 1.2 2.3 b) Từ câu a) ta dự đoán Sn = n n 1 Ta chứng minh quy nạp theo n Bước Với n = ta có S1 = 1  11 Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k, tức ta có: Sk = k k 1 Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: Sk + = k 1  k  1  Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: Sk + = 1 1     1.2 2.3 k  k  1  k  1  k  1  1 = Sk +  k  1  k  1  1  k  k   k  1  k  1  1  k  k  2  k   k   k  1 k    k  1 k    k  1 k  2k  k 1 k 1      k  1 k    k  1 k   k   k  1  Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh số đường chéo đa giác n cạnh (n ≥ 4) n  n  3 Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n với n ≥ Bước Với n = ta có đa giác tứ giác   3 Số đường chéo tứ giác = Như khẳng định cho trường hợp n = Bước Giả sử khẳng định với n = k (k ≥ 4), tức ta có: Số đường chéo đa giác k cạnh (k ≥ 4) k  k  3 Ta chứng minh khẳng định đủng với n = k + 1, nghĩa ta chứng minh: Số đường chéo đa giác (k + 1) cạnh (k ≥ 4)  k  1  k  1  3 Thật vậy, xét đa giác (k + 1) cạnh A1A2 AkAk + 1, nối hai đỉnh A1 Ak ta đa giác k cạnh A1A2 Ak Theo giả thiết quy nạp đa giác k cạnh có chéo k  k  3 đường Các đường chéo lại đa giác (k + 1) cạnh k  k  3 đường chéo đoạn nối Ak + với đỉnh từ A2 đến Ak – đoạn A1Ak (màu đỏ) Tổng cộng có (k – 1) đường Vậy tổng số đường chéo đa giác (k + 1) cạnh là: k  k  3 + (k – 1) = k  k  3   k  1 k  k   k  1 k    k  1  k  1  3    2 Vậy khẳng định với số tự nhiên n ≥ Bài 2.8 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Ta “lập luận” quy nạp toán học đề rằng: “Mọi mèo có màu” Ta gọi P(n) với n nguyên dương mệnh đề sau: “Mọi mèo đàn gồm n có màu” Bước Với n = mệnh đề P(1) “Mọi mèo đàn gồm có màu” Hiền nhiên mệnh đề đúng! Bước Giả sử P(k) với số nguyên dương k Xét đàn mèo gồm k + Gọi chúng M1, M2, , Mk + Bỏ mèo Mk + khỏi đàn, ta nhận đàn mèo gồm k M1, M2, , Mk Theo giả thiết quy nạp, mèo có màu Bây giờ, thay bỏ mèo Mk + ta bỏ mèo để có đàn mèo gồm k M2, M3, , Mk + Vẫn theo giả thiết quy nạp mèo M2, M3, , Mk + có màu Cuối cùng, đưa mèo M1 trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu Theo lập luận trên: mèo M1, M2, , Mk có màu mèo M2, M3, , Mk + có màu Từ suy tất mèo M1, M2, , Mk + có màu Vậy, theo ngun lí quy nạp P(n) với số nguyên dương n Nói riêng, gọi N số mèo Trái Đất thi việc P(N) cho thấy tất mèo (trên Trái Đất) có màu! Tất nhiên ta có thề tìm mèo khác màu nhau! Theo em “lập luận” sai chỗ nào? Lời giải: Lập luận sai Bước k = Với k = 2, tức đàn mèo có M1, M2 Khi việc tách đàn mèo thành hai đàn mèo nhỏ, đàn mèo dẫn đến việc hai tập hợp {M1, M2, , Mk} (lúc {M1}) {M2, M3, , Mk + 1} (lúc {M2}) khơng có phần tử giao Do khơng thể suy tất mèo M1, M2, , Mk + có màu  ... 1 )3 – (k + 1) + ⁝ Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (k + 1 )3 – (k + 1) + = (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1) + = (k3 – k + 3) + (3k2 + 3k) Vì (k3 – k + 3) (3k2 + 3k) chia hết (k3 – k + 3) ... số tự nhiên n ≥ Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh số đường chéo đa giác n cạnh (n ≥ 4) n  n  3? ?? Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo n với... số tự nhiên n ≥ Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên n ≥ a) + + + + 2n = n(n + 1); b) 12 + 22 + 32 + + n2 = n 