THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ DÃY SỐ I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: n u n Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , , un u n viết tắt un , gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số 2) Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định tập M {1, 2,3, , m} với m * gọi dãy số hữu hạn 3) Dãy số tăng dãy số giảm +) Dãy số un gọi tăng un1 un , n * +) Dãy số un gọi giảm un1 un , n * 4) Dãy số bị chặn +) Dãy số un gọi bị chặn tồn số M cho un M , n * +) Dãy số un gọi bị chặn tồn số m cho un m, n * +) Dãy số un gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn hai số M, m cho m un M , n * Các dấu " =" nêu không thiết phải xảy II PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Xác định dãy số Ví dụ Viết số hạng dãy số Dự đốn cơng thức un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp? u1 un 1 un 2n 1; n a) u1 1 un 1 un 3; n b) Lời giải: u1 u1 1; u2 u1 4; u3 u2 9; u4 u3 16; u5 u4 25 un 1 un 2n a) Từ ta nhận thấy un n ; n , Trang Ta chứng minh * quy nạp +) Với n ta có u1 , * +) Giả sử * với n k , tức uk k , k +) Ta cần chứng minh * với n k , tức uk 1 k 1 ; k Thật uk 1 uk 2k k 2k (k 1) * Vậy un n ; n u1 1 u1 1; u2 u1 2; u3 u2 5; u4 u3 8; u5 u4 11 un 1 un b) Từ ta nhận thấy un 3n 4, * Ta chứng minh * quy nạp +) Với n ta có u1 1 , * với n +) Giả sử * với n k , tức uk 3k +) Ta cần chứng minh * với n k , tức uk 1 k 1 Thật uk 1 uk 3k 3k 3(k 1) * Vậy un 3n u1 Viết số hạng dãy số un 1 un ; n Ví dụ Cho dãy số Dự đốn cơng thức un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp? Lời giải: u1 2 un 1 un u1 9; u2 u1 10; u3 u2 11 Từ giả thiết ta có: u4 u32 12; u5 u42 13 Ta nhận thấy un n , * Ta chứng minh * quy nạp +) Với n ta có u1 , * với n +) Giả sử * với n k , tức uk k 8 +) Ta cần chứng minh * với n k , tức uk 1 k 1 k 9 Thật uk 1 uk2 k k * Vậy un n Trang Ví dụ Cho dãy số un u1 xác định công thức un 1 un un 1; n a) Tính u2 ; u3 ; u4 b) Chứng minh un3 un , n * Lời giải: a) Ta có: u1 5 u2 u12 u1 2; u3 u22 u2 0; u4 u32 u3 2 2 2 un 1 un un b) Ta chứng minh un 3 un , * n * quy nạp +) Với n ta có u4 u1 , theo phần a +) Giả sử * với n k , tức uk 3 uk +) Ta cần chứng minh * với n k , tức cần chứng minh uk uk 1 Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có uk uk2 5 uk 3 uk2 uk uk 1 * 2 Vậy un3 un , n * Dạng Xét tính đơn điệu dãy số Phương pháp giải: • Dãy số (un) gọi tăng un un l ; n N * • Dãy số (un) gọi giảm un un l ; n N * Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số ■ Phương pháp 1: Xét hiệu H un 1 un +) Nếu H > dãy số cho dãy tăng +) Nếu H < dãy số cho dãy giảm ■ Phương pháp 2: Nếu un ta lập tỉ số T un 1 un +) Nếu T un 1 un dãy số cho dãy tăng +) Nếu T un 1 un dãy số cho dãy giảm Trang Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: b) un a) un 2n n 2n Lời giải: a) Ta có: un 2n 3; un1 2( n 1) 2n un 1 un (2n 5) (2n 3) Suy un 1 un dãy số cho dãy tăng b) Ta có: un Giả sử: Vậy n 2n ; un 1 n 1 un 1 n 2n n 1 n 2n 1 un n1 n n n un 1 n 1 n 1 1 n 4n 3n vô lý un n n un1 un 1 un dãy số cho dãy số giảm un Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un n n 1 b) un n 1 n n Lời giải: a) Ta có: un n n 1 n 1 ; un1 2 n 1 ( n 1) n 2n 2 (n 1) n 1 n n 2n n 1 n un1 un n 2n n n 1 n 2n n n n n3 2n n n n 0n un dãy số giảm n2 1 n2 2n n2 1 n2 2n 2 b) un n 1 n n n 1 n2 un1 1 n n 1 n n 1 n2 n n n (n 1) n 1 1 n n n n n( n 1) Khi ta có: un1 un Giả sử: un1 un n n ( n 1) n n n ( n 1) n n ( n 2) (n 1)3 n3 2n n3 3n 3n n 3n vô lý Vậy un1 un un dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 2 n b) un n 1 n 1 Lời giải: Trang a) un 1 1 un 1 un1 un 2 2 un 1 un n n 1 n n 1 n 1 n Vậy dãy số un dãy số giảm b) un n 1 1 n 1 n 1 Khi đó: un1 2 un1 un un 1 un 1 n2 n n n 1 n Vậy dãy số un dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 2n 5n b) un 2n Lời giải: a) un 2n 2 un 1 5n 5n 5 5n 2 Khi đó: un1 un 5 2 1 un 1 un 5n 5 n 5n 5n Vậy un dãy số giảm b) un 2n un 1 n 1 Khi un1 un n 1 2n 5 4n un 1 un un dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 2n n2 b) un n 1 n Lời giải: a) un 2n 3 2 un1 2 n 1 n 1 n 1 Với n N * n 1 n n 1 1 3 2 2 un 1 un n 1 n 1 n 1 un dãy số tăng b) un n 1 n Do n * nên n n 1 un1 n 1 n n n n n un1 1 un n n 1 n 1 n Trang un1 un un dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 3n 2n n 1 a) un 3n 2n 6 3n un1 3n n 1 n 1 n 1 n 1 1 n b) un Lời giải: Khi đó: un1 un 3n 6 3n 3 n2 n 1 ( n 1)(n 2) n 6 ( n 1)(n 2) 1 3 un 1 un ( n 1)(n 2) ( n 1)(n 2) n N Với un dãy số tăng b) Ta có: un n 1 1 n n n n 1 1 n 1 1 Khi n tăng dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số cho dãy số giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số un với un 3n 2n1 Lời giải: Ta có: un1 n 1 n 1 n 1 u 3 n 1 n n n2 un Do un 0, n * un1 un , n * un tăng Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số un với un n 2n Lời giải: un 1 n 1 n 2n n 1 Ta có: un1 n1 n1 1 un n n n Với n * n u 1 n 1 1 n un Mà un 0, n * un1 un , n * u n giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số un 3n với un n Lời giải: Trang 3n 1 un 1 3n 1 n un 1 1 n Ta có: un1 n 3 1 2 ( n 1) un ( n 1) un 1 n n 1 Khi đó: un 1 mà n * n 1 1 n un1 n n 1 un 1 1 1 n mà n * n un1 n n 1 un1 un n un1 un n Hơn un 0, n * nên Do u1 u2 u2 u3 un un 1 un khơng tăng khơng giảm Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số un với un n n Lời giải: Ta có: un1 Lại có: n n un1 un n n n n 1 n 1 n 2n n 4n n n 0, n * n n n , n * un 1 un 0, n * un giảm Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số un , với un na n 1 a) dãy số tăng b) dãy số giảm Lời giải: Ta có: un na 2a 2a a2 a un 1 un 1 un n 1 n 1 n2 n 1 n a) Để un dãy số tăng un1 un a2 a n 1 n b) Để un dãy số giảm un1 un Ví dụ 12 Cho dãy số ( un ) với un a2 0a2 n 1 n n a2 ( a tham số thực) Hỏi có giá trị nguyên a n 1 để dãy số un tăng A C B D Lời giải: Ta có un a 1 a 1 u n 1 n 1 n2 2 Trang 1 u n 1 u n a a 1 (n 1)(n 2) n n 1 Mà un tăng nên un 1 un a 1 a 1 a (n 1)(n 2) Hơn a a Chọn B Ví dụ 13 Cho dãy số un , , wn Với un n , , wn 3n n Hỏi có dãy số n 1 dãy số tăng ? A B C D Lời giải: Ta có un 1 ( n 1) un 1 un 2n 0, n * un tăng 1 1 1 1 0, n * giảm n2 n 1 n n(n 1) wn 1 3n 1 (n 1) 3.3n n wn 1 wn 2.3n Với n * n wn 1 wn 0, n * wn tăng Chọn A Dạng Xét tính bị chặn dãy số Phương pháp giải: • Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho un M ; n N * • Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho un m; n N * • Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M m cho m un M ; n N * Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: n2 a) un 2n b) un 7n 5n Lời giải: 5 a) Viết lại un dạng: un 2 n n 2 2n 3 n2 Trang n u0 Với n u1 2 un 2 n 2n un Xét: un 1 ( n 1) 2n un 2(n 1) n Nhận thấy un un1 n 2n 2n 3 n 1 2n 4n 1 un 4n 3n 4n3 6n 4n 4n 4n3 n 2n 4n n 6n n 4n 10n n * Do đó: un1 un u2 Vậy 2 un un bị chặn 24 (5n 7) 7n 5 24 5 7 b) Viết lại un dạng un n un 5n 5n 5(5n 7) Do đó, un un bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un b) un 2n n n 1 Lời giải: n u0 a) Với n u1 1 un 1 n 2n 0, u n Xét un1 2n n n 1 un 2(n 1) Do đó, suy ra: un un 1 u2 1 Vậy 1 un un bị chặn 5 b) Ta dễ dàng thấy: un bị chặn Vì n( n 1) un Vậy ta un bị chặn , bị chặn Trang Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un b) un 2n n 1 n2 Lời giải: a) Với n u0 1n N * : 2n nên un đó: un 1 n un 1 2n Xét n n 1 un 2(n 1) Do đó, suy un un 1 u2 u1 Vậy 1 un un bị chặn b) Với n u0 1 n N * : n n nên un un 1 n Và n , n 1 n2 1 , 1 un un bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un 2n n2 b) un 2n n n2 n Lời giải: 2n a) Vì n N un n Mặt khác, un n2 n 1 2 Vậy un un bị chặn n 1 2n 2n n b) Vì n N un n n n ( n 1) 2n 2n n n 7 Mặt khác, un 2 2 n n4 n n4 n n4 Vậy un un bị chặn Ví dụ Cho dãy số un , với un 3n ( 1) n 4n (1) n 1 a) Tính số hạng dầu tiên dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số b) Tính u2n u2 n 1 Chứng minh un 3n 4n Trang 10 b) Chứng minh ( un ) bị chặn Lời giải: a) Ta có un n (1)n u1 0; u2 ; u3 ; u4 ; u5 2n 11 b) Ta có (1)n {1;1} n (1)n un nên dãy bị chặn Quan sát thấy dãy không tăng không giảm Hơn un n ( 1)n 2n n ( 1) n n ( 1) n 1 2n 2n 2n n ( 1) n n 1 1 1 n n n Xét hai trường hợp ( 1) {0;2} n2 n ( 1) n 1 1 1 2n 2n Do dãy bị chặn Kết luận dãy số ban đầu bị chặn BÀI TẬP TỰ LUYỆN n Năm số hạng dãy số số n 1 Câu Cho dãy số un , biết un đây? 5 A ; ; ; ; B ; ; ; ; C ; ; ; ; 6 Câu Cho dãy số un , biết un D ; ; ; ; n Ba số hạng dãy số số 1 n đây? A 1 ; ; B 1 ; ; 26 C 1 ; ; 16 D ; ; un 1 Câu Cho dãy số un , biết với n Ba số hạng dãy số un1 un số đây? A 1; 2;5 B 1; 4;7 Câu Cho dãy số un , biết un A u5 B u5 C 4; 7;10 D 1;3;7 2n Tìm số hạng u5 n2 17 12 C u5 D u5 71 39 Câu Cho dãy số un , biết un ( 1) n 2n Mệnh đề sau sai? A u1 2 B u2 C u3 6 D u4 8 Trang 17 Câu Cho dãy số un , biết un ( 1) n A u3 2n Tìm số hạng u3 n B u3 D u3 C u3 2 u1 Câu Cho dãy số un , biết Tìm số hạng u4 un 1 (un 1) A u4 C u4 B u4 D u4 14 27 D u5 63 16 u1 Câu Cho dãy số un , biết Mệnh đề sau sai un un 1 A u2 B u3 Câu Cho dãy số un , biết un A 15 C u4 31 n 1 Số số hạng thứ dãy số? 2n 15 B C D Câu 10 Cho dãy số un , biết un n Tìm số hạng un 1 A un 1 2n.2 C un 1 n 1 B un 1 2n D un 1 2n Câu 11 Cho dãy số un , biết un 3n Tìm số hạng u2 n 1 A u2 n 1 32.3n B u2 n 1 3n.3n1 D u2 n 1 n 1 C u2 n 1 32 n Câu 12 Cho dãy số un , biết un 5n 1 Tìm số hạng un 1 A un 1 5n 1 n 1 Câu 13 Cho dãy số un , biết un n 1 n 1 A un 1 n 1 C un 1 5.5n 1 B un 1 5n 2 n 1 D un 1 5.5n 1 n 3 n 1 B un 1 n 1 Tìm số hạng un1 2 n 1 n C un 1 n2 n 3 n D un 1 n2 n 5 Câu 14 Dãy số có số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ; có số hạng tổng quát công thức đây? A un n 1 n B un n n 1 C un n 1 n D un n2 n n 1 Câu 15 Dãy số có số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1 có số hạng tổng qt cơng thức đây? A un B un 1 C un 1 n D un 1 n 1 Câu 16 Dãy số có số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6; Số hạng tổng quát dãy số công thức đây? Trang 18 A un 2n B un n C un 2( n 1) D un 2n u1 Câu 17 Cho dãy số un , biết Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un1 2un A un n n 1 B un 2n C un 2n 1 D un u1 Câu 18 Cho dãy số un , biết Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un1 un A un 2( n 1) B un 2( n 1) C un 2n D un 2n u Câu 19 Cho dãy số un , xác định Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1 un 2n đây? A un (n 1) B un n C C un (n 1) D un (n 1)2 u1 Câu 20 Cho dãy số un , xác định Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1 un n đây? A un n(n 1)(2n 1) B un n(n 1)(2n 2) C un n(n 1)(2n 1) D un n(n 1)(2n 2) u1 2 Câu 21 Cho dãy số un , xác định Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1 2 u n đây? A un n n B un n 1 n C un n 1 n D un n n 1 u1 Câu 22 Cho dãy số un , xác định Số hạng tổng quát un dãy số số hạng 2n un 1 un ( 1) đây? A un n B un n C C un (1)2 n D un n Câu 23 : Cho dãy số un có số hạng tổng quát un 2.3n với n * Công thức truy hồi dãy số u A un 6un 1 , n u B un 3un1 , n u C un 3un1 , n u D un 6un 1 , n Trang 19 a1 Câu 24 Cho dãy số an , xác định Mệnh đề sau sai? a a , n a n A a1 a2 a3 a4 a5 C an 1 an 93 16 2n B a10 512 D an 2n Câu 25 Cho dãy số sau Dãy số dãy số tăng? 1 1 B 1; ; ; ; 16 A 1;1;1;1;1;1; 1 1 D 1; ; ; ; ; 16 C 1;3;5;7;9; Câu 26 Trong dãy số ( un ) cho số hạng quát un sau, dãy số dãy số tăng? A un 2n B un n C un n5 3n D un 2n n 1 Câu 27 Trong dãy số un cho số hạng quát un sau, dãy số dãy số tăng? A un 3n B un n C un 2n D un ( 2)n Câu 28 Trong dãy số un cho số hạng quát un sau, dãy số dãy số giảm? A un 2n B un 3n n 1 D un n C un n2 Câu 29 Trong dãy số un cho số hạng quát un sau, dãy số dãy số giảm? B un A un sin x n2 n C C un n n D un (1) n n 1 Câu 30 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số un dãy tăng n B Dãy số un ( 1) n 2n dãy giảm C Dãy số un n 1 dãy giảm n 1 D Dãy số un 2n cos dãy tăng n Câu 31 Mệnh đề sau sai? A Dãy số un 1 n dãy giảm n B Dãy số un 2n dãy tăng n 1 C Dãy số un dãy giảm n Câu 32 Cho dãy số un , biết A D Dãy số un n sin n dãy tăng 3n Dãy số un bị chặn số đây? 3n B C D Câu 33 Trong dãy số un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số bị chặn trên? Trang 20 A un n2 B un 2n C un n D un n Câu 34 Cho dãy số un , biết un cos n sin n Dãy số un bị chặn số đây? A B C D Không bị chặn Câu 35 Cho dãy số un , biết un sin n cos n Dãy số un bị chặn số đây? B 1 A C D Không bị chặn Câu 36 Cho dãy số un , biết un cos n sin n Dãy số un bị chặn chặn số m M đây? A m 2; M B m ; M C m 1; M 1 D m ; M 2 Câu 37 Cho dãy số un , biết un ( 1) n 52 n 5 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số un bị chặn không bi chặn B Dãy số un bị chặn không bị chặn C Dãy số un bị chặn D Dãy số un không bị chặn Câu 38 Cho dãy số un , với un 1 , n 1; 2;3 Mệnh đề sau đúng? 1.4 2.5 n(n 3) A Dãy số un bị chặn không bi chặn B Dãy số un bị chặn không bị chặn C Dãy số un bị chặn D Dãy số un không bị chặn Câu 39 Cho dãy số un , với un 1 , n 2;3; 4; Mệnh đề sau đúng? 22 32 n A Dãy số un bị chặn không bi chặn B Dãy số un bị chặn không bị chặn C Dãy số un bị chặn D Dãy số un không bị chặn Câu 40 Trong dãy số ( un ) sau đây, dãy số dãy số bị chặn? A un n B un n n C un 2n D un n n 1 Câu 41 Trong dãy số ( un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số bị chặn? A un 2n B un 3n C un n D un n2 u1 Câu 42 Cho dãy số ( un ), xác định Mệnh đề sau đúng? * un 1 un , n A un B un C un D un Trang 21 Câu 43 Cho dãy số un , với un sin n 1 A Số hạng thứ n dãy un 1 sin Khằng định sau đúng? n 1 C Dãy số un dãy số tăng B Dãy số un dãy số bị chặn D Dãy số un không tăng không giảm Câu 44 Cho dãy số un , với un ( 1) n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số un dãy số tăng B Dãy số un dãy số giảm C Dãy số un dãy số bị chặn D Dãy số un dãy số không bị chặn Câu 45 Cho dãy số ( un ) với un ( 5) n Khằng định sau đúng? A u4 625 B u3 125 D u8 58 C u6 15625 u Câu 46 Cho dãy số (n 1), tính số hạng thứ 33 dãy un 1 un n A 278788 B 278786 C 278787 D 278785 Câu 47 Cho dãy số un thỏa mãn u1 un1 un với n Tim u2018 A u2018 cos 2017 B u2018 cos 2019 C u2018 cos Câu 48 Cho dãy số un có số hạng tổng quát un sin 22018 D u2018 n với n * Đặt S n u1 u2 un Tìm khẳng định khằng định sau A S 2020 B S 2019 C S 2017 Câu 49 Cho dãy số un thỏa mãn u1 2018 un1 un un un2 D S 2018 với n Giá trị nhỏ n để 2018 A 4072326 B 4072324 C 4072325 D 4072327 Câu 50 Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm A un n2 B un 2n 2n n 1 C un n3 D un C un n D un n3 Câu 51 Trong dãy số sau, dãy số bị chặn A un 2n n 1 B un 2n sin n Câu 52 Trong dãy số un sau đây, chọn dãy số bị chặn A un n B un 2n C un n n D un n n 1 Trang 22 Câu 53 Trong số hạng tổng quát sau, đâu số hạng tổng quát dãy số giảm? A un 2n n B un n3 D un 2n C un n Câu 54 Dãy số sau giảm? A un n5 , n * 4n B un C un 2n3 3, n * 3n , n * 2n D un cos(2n 1), n * Câu 55 Cho dãy số un với un A Số hạng thứ dãy số (1)n1 Khẳng định sau sai? n 1 10 B Dãy số un bị chặn C Dãy số un dãy số giảm D Số hạng thứ 10 dãy số 1 11 Câu 56 Trong dãy số ( un ) sau, dãy số dãy đơn điệu? A un (1)2 n1 3n 1 n n 1 B un C un 3n n3 D un n n u1 Câu 57 Cho dãy số un xác định Tìm số tự nhiên n nhỏ để un 1024 un 1 2un 2, n A 10 B 12 C 11 D 13 Câu 58 Cho dãy số ( un ) với un 3n Khi đó, số hạng u2 n 1 A 3n 3n1 B 32 n1 C 32 n D 32 3n Câu 59 Cho dãy số un (1) n Chọn khẳng định khẳng định sau đây? A Bị chặn B Dãy số tăng C Dãy số giảm D Khơng bị chặn Câu 60 Cho dãy số có cơng thức tổng qt un n số hạng thứ n A un 23 B un 6n C un 3 6.2n D un 8.2n u 1, u2 Câu 61 Cho dãy số un thỏa mãn Số hạng tổng quát un 1 2un un 1 3( n N , n 2) dãy số có dạng un A an bn c (n , n 3) Khi a b c B 16 C D Câu 62 Trong dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un đây, dãy số dãy bị chặn? A un n B un Câu 63 Cho dãy số un với un n 2n C un 3n D un n n n2 , n Tìm khẳng định sai 3n Trang 23 A u3 10 B u10 31 C u21 19 64 D u50 47 150 Câu 64 Cho dãy số un xác định u1 3, un1 un n, n * Tìm số hạng thứ 2019 A 2037168 B 2037171 C 2037176 D 2035158 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-A 4-C 5-D 6-C 7-A 8-A 9-D 10-A 11-B 12-B 13-A 14-C 15-C 16-D 17-C 18-B 19-A 20-C 21-C 22-D 23-B 24-B 25-C 26-D 27-C 28-A 29-C 30-D 31-C 32-B 33-C 34-C 35-C 36-A 37-D 38-C 39-C 40-D 41-A 42-D 43-B 44-C 45-A 46-D 47-B 48-A 49-A 50-D 51-A 52-D 53-A 54-B 55-C 56-C 57-C 58-A 59-A 60-D 61-A 62-B 63-D 64-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: số hạng dãy số u1 1 2 2 3 4 , u2 , u3 , u4 u5 2 1 Chọn A Câu 2: Ba số hạng dãy u1 1 2 3 , u2 u3 1 1 26 Chọn B Câu 3: Ba số hạng dãy u1 1, u2 u1 2, u3 u2 Chọn A Câu 4: Ta có u5 2.52 49 Chọn C 52 28 Câu 5: Ta có: u1 (1)1.2(1) 2, u2 (1) 2.2 4, u3 (1)3 2.3 6 u4 (1) 2.4 Mệnh đề sai D Chọn D Câu 6: Ta có u3 (1)3 2.3 2 Chọn C Câu 7: Ta có u2 1 u1 1 1, u3 u2 1 u4 u3 1 Chọn A 3 3 Câu 8: Ta có u2 u1 u 15 u 31 63 , u3 , u4 u5 Chọn A 2 2 16 Câu 9: Giải un n 1 15n 15 16n n Chọn D 2n 15 Câu 10: Ta có un 1 n 1 2.2n Chọn A Câu 11: Ta có u2 n 1 32 n 1 3n.3n 1 Chọn B Trang 24 Câu 12: Ta có un 1 5n 11 5n Chọn B n 1 Câu 13: Ta có un 1 n 1 Câu 14: Dễ thấy 2( n 1) n 1 n 1 2n Chọn A 11 1 1 n 1 , , Do un Chọn C 2 3 n Câu 15: Ta có u1 1 (1)1 , u2 ( 1) suy un (1) n Chọn C Câu 16: Ta có: u1 2 2(1 2), u2 2(2 2), u3 2(3 2) Do un 2(n 2) 2n Chọn D u1 Câu 17: un cấp số nhân có un u1 q n 2.2n 2n 1 Chọn C u n 1 q n Câu 18: un cấp số cộng với u1 , công sai d 2 Do un u1 (n 1)d (n 1) ( 2) 2n Chọn B 2 u1 u u 2.1 Câu 19: Ta có: u3 u2 2.2 un un 1 2(n 1) Cộng vế theo vế ta un (1 (n 1)) (n 1) 1 n 1 (n 1) n n(n 1) n n 2n ( n 1) Chọn A Câu 20: Ta có u1 1; u2 u1 12 ; u3 u2 22 ; u4 u3 32 ;un un 1 ( n 1) Cộng vế với vế, ta un 12 22 32 ( n 1) Câu 21: Ta có u2 2 Và u3 2 n ( n 1) (2n 1) Chọn C 1 1 2 u1 2 1 31 2 u2 3 3 2 Công thức tổng quát dãy số un n 1 Chọn C n Câu 22: Kiểm tra u1 ta loại đáp án A, B C Chọn D Câu 23: Ta có un 2.3n u1 2.31 Trang 25 u 2.3n n 1 un 2.3n Lại có un 3un 1 Chọn B n 1 n un 1 3n un 1 2.3 3 Câu 24: Ta có a1 3; a2 Do a10 10 1 u1 u u u u u ; a3 12 ; a4 13 , un n11 n 1 2 2 2 3 Chọn B 512 Câu 25: Chọn C Câu 26: Ta có un 2n 2 u n 1 un Chọn D n 1 n 1 n 1 n Câu 27: Ta có un 2n un 1 un 2n 1 2n 2n Chọn C Câu 28: Xét đáp án A Vì 2n dãy dương tăng nên dãy giảm nên A 2n u 3n Xét đáp án B un u1 u2 nên B sai n 1 u2 Xét đáp án C un n un 1 un ( n 1) n 2n nên C sai Xét đáp án D un n un 1 un n n nên D sai n3 n2 Chọn A Câu 29: 1 Xét đáp án A un sin n un 1 un cos n sin dương âm phụ thuộc n 2 nên đáp án A sai Xét đáp án B un n2 1 1 n2 n n un 1 un nên dãy cho tăng n n n 1 n n(n 1) nên B sai Xét đáp án C un n n n n 1 , dãy n n dãy tăng nên suy un giảm nên C Xét đáp án D un (1) n 2n 1 dãy thay dấu nên không tăng không giảm Chọn C Câu 30: Xét đáp án A: un 1 un 1 un loại A n n 1 n Trang 26 Xét đáp án B: un (1)n n 1 dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B Xét đáp án C: un n 1 1 u n 1 u n loại C n 1 n 1 n 1 n Xét đáp án D: un 2n cos 1 un 1 un cos nên Chọn D cos n n 1 n2 Câu 31: Xét đáp án A: un 1 n n un 1 un n n 1 n n nên dãy un dãy n 1 n giảm Xét đáp án B: un 2n un 1 un 2(2n 1) nên un dãy tăng n n n un 1 n n n 1 Xét đáp án C: un 0 nên un dãy tăng un n 1 n n n Xét đáp án D: un n sin n un 1 un 1 sin (n 1) sin n nên un dãy tăng Chọn C Câu 32: Ta có un 3n 1 1 Mặt khác u2 nên suy dãy un bị 3n 3n 2 chặn số Chọn B Câu 33: Ta có un với n nên bị chặn Chọn C n Câu 34: Ta có un sin n cos n sin n Chọn C 4 Câu 35: Ta có un sin n cos n sin n Chọn C 4 Câu 36: Ta có un sin n cos n 2sin n 2 un Chọn A 6 Câu 37: TH1 Nếu n chẵn un 52 n 1 tăng lên vô hạn ( ) nên không bị chặn TH2 Nếu n lẻ un 52 n 1 giảm xuống vô hạn ( ) nên không bị chặn Vậy dãy số cho không bị chặn Chọn D Câu 38: : Ta có un un bị chặn Mặt khác 1 1 ( k ) nên suy ra: k ( k 3) k (k 1) k k un 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 n n 1 n 1 Trang 27 Nên dãy un bị chặn trên, dãy un bị chặn Chọn C Câu 39: Ta có un un bị chặn Mặt khác 1 1 k ( k 1) k k k un k , k nên suy ra: * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 n n 1 n 1 Nên dãy un bị chặn trên, dãy un bị chặn Chọn C Câu 40: Ta có un n 1 Chọn D n 1 n 1 Câu 41: Ta có un 1 Chọn A 2n u1 u u1 Câu 42: Ta có un un un 1 un 1 un un 1 un Lại có u1 3; uk uk 1 uk 1 Vậy un Chọn D Câu 43: Ta có un sin Lại có un sin n 1 Và un 1 un sin n 1 un 1 sin (n 1) sin n2 A sai 1 un B n2 sin 0 C, D sai Chọn B n 1 n n 1 Câu 44: Ta có un (1) n dãy thay dấu nên không tăng, không giảm A, B sai Tập giá trị dãy un (1) n {1;1} 1 un Chọn C Câu 45: u4 (5) 625, u3 (5)3 125, u6 (5)6 15625 u8 (5)8 58 Chọn A u1 u u 13 Câu 46: Ta có: u3 u2 23 u33 u32 32 Cộng vế theo vế ta u1 u2 u33 u1 u2 u32 13 23 323 32 CASIO u33 13 23 323 X 278785 chọn D Câu 47: Đặt u1 2 2cos 2cos 2 Trang 28 Suy u2 u1 1 cos 2.2cos 2cos 2cos 4 8 Tương tự ta có: u3 cos suy u2018 cos 22019 Chọn B Câu 48: Với n 2k un sin k 3 Với n 4k un sin k 2 1 Với n 4k un sin k 2 2 Do S 0, S8 0 S 2020 0, S 2019 0, S2017 1, S 2018 Chọn A 1 u2 u2 1 1 un2 1 u2 Câu 49: Ta có Do u32 u n 1 un un 1 u2 u2 n 1 n Cộng vế với vế ta Giải un 1 1 n 1 n 1 un u1 un 20182 1 1 2018 n 2018 n 4072325 2018 un 2018 20182 Do nmin 4072326 Chọn A Câu 50: un Do 2n 2( n 1) 3 2 un 1 n 1 n 1 n 1 n 3 2n dãy số giảm Chọn D un 1 un nên un n n 1 n 1 Câu 51: un 2n 2(n 1) 1 2 2 n 1 n 1 n 1 Mặt khác un Do 2n un nên dãy số un dãy số bị chặn Chọn A n 1 Câu 52: un Suy 2n 1 2 2 n 1 n 1 11 n n 11 1 1 1 1, mặt khác 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 n un nên dãy số un dãy số bị chặn Chọn D n 1 Trang 29 Câu 53: un Do 2n 1 2 n n 1 2n nên un 1 un un dãy số giảm Chọn A n 1 n n 21 (4n 1) n5 21 1 Câu 54: un 4n 4n 4(4n 1) Khi n tăng 21 n5 tăng nên un dãy số tăng 4n 4(4n 1) 3n Xét dãy số un 2n Khi n tăng Câu 55: u9 Mặt khác (2n 3) 2 3 2n 2(2n 3) 3n giảm nên un dãy số giảm Chọn B 2n 2(2n 3) (1)8 (1)9 1 , u10 10 10 11 1 (1) n 1 1 nên un dãy số bị chặn n 1 n 1 n 1 Dãy số un dãy số không tăng không giảm Chọn C Câu 56: Ta có: un (1) n 1.3n (1) n (1).3n 3n dãy số giảm Xét un Suy 1 1 1 , ta có un un 1 n n 1 n n n(n 1) (n 1)(n 2) u n 1 n nên un dãy số giảm un n2 u1 Xét dãy số un 3n n u2 Dãy un 3n n3 dãy đơn điệu Chọn C u 3 Câu 57: Ta có: un 1 2un un 1 un v u Đặt un thi 1 v1 q n 1 2.2n 1 v v n n 1 Do un 2.2n 1 1024 n 1026 n 10 Vậy nmin 11 Chọn C Câu 58: Ta có u2 n 1 32 n 1 3n.3n 1 Chọn A 1 Câu 59: Ta có un ( 1)n 1 n 2k n 2k Suy un nên un dãy số bị chặn Chọn A Trang 30 Câu 60: Ta có un 2n un n n.23 8.2n Chọn D Câu 61: Ta có un 1 2un un 1 un 1 un un un 1 v Đặt un 1 un ta có: v1 (n 1)d 3( n 1) 3n vn 1 d u1 u u 3.1 u Suy u3 u2 3.2 un 1 un 3n un un 1 3(n 1) Cộng vế theo vế ta un 3(1 n 1) 2.(n 1) un n.( n 1) 3n2 3n 4n 3n n 2n 2 Do a 3, b 7, c a b c Chọn A 1 (2 n 1) n 1 1 Câu 62: un 2n 2n 2(2n 1) Mặt khác Do 1 1 2(2n 1) 2.(2.1 1) 1 n dãy số bị chặn Chọn B un nên un 2n Câu 63: u3 3 10 21 19 50 48 , u10 , u21 u50 3.3 10 3.10 31 3.21 64 50.3 151 Khẳng định sai D Chọn D u1 3 u u Câu 64: Theo giả thiết toán, ta có: u3 u2 Cộng vế theo vế ta u2019 u2018 2018 u2019 3 2019 3 2019.2018 2037168 Chọn A Trang 31
Ngày đăng: 13/10/2022, 21:24
Xem thêm: