tai lieu chu de ham so lien tuc

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Hàm số liên tục điểm  Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; b  x0   a; b  Hàm số f gọi liên tục điểm x0  nếu: lim f  x   f  x0  x  x0 Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn hàm số f  x   Theo định nghĩa trên, hàm số f  x  xác định khoảng  a; b  liên tục điểm x0   a; b  lim f  x  lim f  x  tồn lim f  x  = lim f  x  = f  x0  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 2) Hàm số liên tục khoảng, đoạn  Hàm số f  x  xác định khoảng  a; b  gọi liên tục khoảng đó, liên tục điểm khoảng  Hàm số f  x  xác định đoạn  a; b gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  (liên tục bên phải a bên trái b ) xa x b Chú ý: - Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng - Tính liên tục hàm số:  Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (giá trị mẫu điểm phải khác 0)  Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng  Các hàm y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x liên tục tập xác định chúng 3) Tính chất hàm số liên tục  Định lí: (Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục) Giả sử hàm số f liên tục đoạn  a; b  Nếu f  a   f  b  với số thực M nằm f  a  f  b  , tồn điểm c   a; b  cho f  c   M  Hệ 1: Nếu hàm f liên tục  a; b  f  a  f  b   tồn điểm c   a; b  cho f  c    Hệ 2: Nếu hàm f liên tục  a; b  f  x   vô nghiệm  a; b  hàm số f có dấu khơng đổi  a; b Trang II PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm Để xét liên tục hàm số y  f  x  điểm x0 ta thực bước :  Bước : Tính f  x0   Bước : Tính lim f  x  (trong nhiều trường hợp để tính lim f  x  ta cần tính lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0 lim f  x  x  x0  Bước : So sánh lim f  x  f  x0  rút kết luận x  x0 Chú ý : hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số điểm : a)  x3 2 x   b) f  x    x  1 x   x3 x   (tại x  ) f  x   x 1 1 x  (tại x  ) Lời giải: 1   1 1  a  Ta có: f  1  lim f  x   lim x 1 x 1 x3  1  f  1  hàm số liên tục x  1 x 1 b  Ta có : f 1  lim f  x   lim x 1 x 1  x32  x  1   lim  x 1 x32  x  1   x3 2 x32    lim x 1  f 1 x32 Vậy hàm số liên tục x  Ví dụ Xét tính liên tục hàm số điểm ra:  x 5   x  5x  x3 x  x    a) f  x    x  x  (tại x  ) b) f  x    x   (tại x  ) 1  x    x  x    Lời giải: a  Ta có: f     x     x  3x  1  x  5x  x3  x  3x   lim  lim   f  2 x2 x2 x2 x  3x   x   x  1  x  1 Mà lim f  x   lim x2 Vậy hàm số liên tục x  Trang b  Ta có: f         2 Lại có lim f  x   lim  x    3   x 5 x 5  Và lim f  x   lim x 5 x 5 x5  lim x   x 5   x  5  2x 1  2x 1    2x 1    lim x 5 2x 1  3 Từ f    lim f  x   hàm số liên tục x  x 5 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số điểm ra: 1  cos x x  a) f  x    (tại x  )  x  x   x 1 x   b) f  x     x  (tại x  )  2 x x   Lời giải: a  Ta có: f     cos   lim f  x   lim x     x  0 Lại có  x 0 nên không tồn giới hạn hàm số x  f  x   lim 1  cos x   xlim  0 x0 Vậy hàm số không liên tục x  b  Ta có: f 1  2.1  2  lim f  x   lim  2 x   2 x 1  x 1  Lại có  x 1 f  x   lim  lim  xlim 1 x 1  x  x 1    x  1    x 1   x 1   x 1  lim x 1  x 1  2 1 Rõ ràng lim f  x   lim f  x   f 1 nên hàm số liên tục x  x 1 x 1 Ví dụ Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: x2 x  a) f  x    (tại x  ) 2mx  x   x3  x  x  x   b) f  x    (tại x  ) x 1 3 x  m x   Lời giải a  Ta có: lim f  x   lim x  x 1 x 1 Lại có lim f  x   lim  2mx  3  x  x 1 x 1 Hàm số liên tục  x    x  Trang b  lim f  x   lim x 1 x 1  x  1  x   x3  x  x   lim  lim  x    x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số liên tục    m  m  Ví dụ Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: m  x  x6 a) f  x     x  x  3 n   x2  x   b) f  x    x  m  x  x  0, x  (tại x  x  ) x  x  (tại x  ) x  Lời giải a  Khi x  0; x  f  x   x  x   x   x   x    x  x  3 x  x  3 x   lim f  x   lim m  m x0 x 0 Hàm f  x  liên tục x   m  lim x 0 x2  2  lim 1     x  x  x   lim f  x   lim n  n x 3 x 3 Hàm f  x  liên tục x   n  lim x 3 b  lim f  x   lim x2 x2 x2  2  lim     x  x  x  x   x  1  lim x   x2  x   lim   x  x2 x2 x2 Hàm f  x  liên tục x   m   Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng, đoạn  Để chứng minh hàm số y  f  x  liên tục khoảng, đoạn ta dùng định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn nhận xét để suy kết luận  Khi nói xét tính liên tục hàm số (mà khơng nói rõ hơn) ta hiểu phải xét tính liên tục tập xác định  Tìm điểm gián đoạn hàm số tức xét xem tập xác định hàm số không liên tục điểm Trang Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng :  x3  x  x  1  f  x   x 1 4 x  1  a)  x  x  x   b) f  x   5 x  2 x  x   Lời giải x3    x  1 x3  x    lim f  x   lim  lim  lim 1   3 x 1 x 1 x  x  x 1 x 1  x  x 1  a Do đó, hàm số liên tục x  1 b  lim  x  x   =2; lim  x  1  x2 x2 Mà f  x   x  nên  lim f  x   lim f  x   lim f  x  x2 x2 x2 Do đó, hàm số cho liên tục x  Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng :  x2   f  x   x   4  a)  x2   b) f  x    x  2  x  2 x  2 x  x  Lời giải a  Hàm số f  x  liên tục với x  2 1  x   x    lim x   2   4 x2   lim   x 2 x  x 2 x 2 x2 lim f  x   lim x 2 f  2   4  lim f  x   f  2   f  x  liên tục x  2  2 x 2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  b  Hàm số f  x  liên tục với x  lim f  x   lim x f x  2    1  x x x2   lim  lim x     2 x x  x x 2  lim f  x   f x     f  x  liên tục x    2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  Ví dụ Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: a)  x2  x   f  x   x  m  x  2 x  2  x2  x  b) f  x   2 mx   x  x  x  Lời giải Trang a  Hàm số f  x  liên tục với x  Do f  x  liên tục   f  x  liên tục x   lim f  x   f   1 x 2 Ta có lim f  x   lim x2 x2  x   x  1  lim x     3; f  m x2  x   lim     x  x2 x2  x  2 Khi 1   m  m  b  Ta có: lim f  x   lim  mx  1  m  1; lim f  x   lim  x  x     2; f 1  x 1 x 1 x 1 x 1 YCBT  lim f  x   lim f  x   f 1  m    m  x 1 x 1 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng : a)  x3  x  x   f  x   x 1 3 x  m  x  x  x2 b) f  x    2mx  x  x  Lời giải a  Hàm số f  x  liên tục với x  Do f  x  liên tục   f  x  liên tục x   lim f  x   f 1 x 1 1 Ta có f 1  3.1  m  m   x  1  x   x3  x  x  lim f  x   lim  lim  lim  x      x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Khi 1   m   m  b  Ta có f 1  2m.1   2m  lim f  x   lim  2mx  3 ; lim f  x   lim x  12  x 1 x 1 x 1 x 1 YCBT  lim f  x   lim f  x   f 1  2m    2m   m  x 1 x 1  Dạng Ứng dụng tính liên tục giải phương trình  Biến đổi phương trình dạng: f  x    Tìm hai số a , b cho f  a  f  b   (Dùng chức nắng TABLE máy tính (Mode 7) tìm cho nhanh)  Chứng minh f  x  liên tục  a; b từ suy f  x   có nghiệm Chú ý : - Nếu f  a  f  b   phương trình có nghiệm thuộc  a; b  Trang - Để chứng minh f  x   có n nghiệm  a; b  , ta chia đoạn  a; b  thành n khoảng nhỏ rời nhau, chứng minh khoảng phương trình có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3  x   b) x   x  Lời giải: a  Dễ thấy hàm f  x   x  x  liên tục R Ta có:   f  2   1  f  2  f  1   tồn số a1   2; 1 : f  a1   1   f  1    f     f   f 1   tồn số a2   0;1 : f  a2       f 1  1   f 1  1  f 1 f     tồn số a3  1;  : f  a3    3   f    Do ba khoảng  2; 1 ,  0;1 1;  đôi khơng giao nên phương trình x3  3x   có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên x3  3x   có nghiệm phân biệt b  Đặt  x  t  x   t  2t  6t   Xét hàm số f  t   2t  6t  liên tục R  f  2  f  1  3.5   Ta có:  f   f 1   3   tồn số t1 , t2 t3 thuộc khoảng đôi không giao   f 1 f    3.5   2; 1 ,  0;1 1;  cho f  t1   f  t2   f  t3   phương trình bậc nên f  t   có nghiệm phân biệt Ứng với giá trị t1 , t2 t3 ta tìm giá trị x thỏa mãn x   t hiển nhiên giá trị khác nên PT ban đầu có nghiệm phân biệt Ví dụ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x5  3x   b) x  x  x  x   Lời giải: a  Xét f  x   x5  3x  lim f  x     tồn số x1  cho f  x1   x  lim f  x     tồn số x2  cho f  x2   x  Trang Từ f  x1  f  x2    tồn số x0   x2 ; x1  : f  x0   nên phương trình x5  3x   ln có nghiệm b  Xét f  x   x  x  x  x  liên tục R Ta có: f  1  3  lim f  x     tồn số a  cho f  a   x   x  x   nên tồn số x0   0; a  thỏa mãn f  x0   nên phương trình x  x  x  x   có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) 1  m   x  1  x  x   b) cos x  m cos x    c) m cos x   2sin x  Lời giải: m  a  Xét  Phương trình có dạng x  x   nên PT có nghiệm  m  1 m  Với  giả sử f  x   1  m   x  1  x  x  m  f  x  liên tục R nên f  x  liên tục  1;0 Ta có f  1  m   0; f    1   f  1 f    Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số m b  Đặt f  x   cos x  m cos x  f  x  liên tục R   Ta có f     0; 4  3 f       3   f   f    4   0  Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số m   c  Đặt f  x   m cos x   2sin x   f  x  liên tục R         3  Ta có f       0; f        f   f    4  4 4   Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số m  1 Ví dụ Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm x   0;  với a   3 2a  6b  19c  Lời giải: Đặt f  x   ax  bx  c  f  x  liên tục R Trang x    Nếu c  f  x   có nghiệm  x   c 1 a b   Nếu c  , ta có f    c; f      c   2a  6b  18c    18 18  3 c2 1  f   f      Do f  x   có nghiệm 18  3  1  0;   3 a  Ta có: f     cos   lim f  x   lim x     x  0 Lại có  x 0 nên khơng tồn giới hạn hàm số x  f x  lim  cos x      xlim  0 x  0 Vậy hàm số không liên tục x  b  Ta có: f 1  2.1  2  lim f  x   lim  2 x   2 x 1  x 1  Lại có  x 1 f  x   lim  lim  xlim  x 1  x  x 1  1   x  1    x 1   x 1   x 1  lim x 1  x 1  2 1 Rõ ràng lim f  x   lim f  x   f 1 nên hàm số liên tục x  x 1 x 1 Ví dụ Cho phương trình sau x  x   , x5  16 x  20  , x  x   Số phương trình có nghiệm ? A B C D Lời giải: Hàm số f  x   x  x3  liên tục  nên liên tục  0;  Mà f   f     f  x   có nghiệm thuộc khoảng  0;  Hàm số g  x   x  16 x  20 liên tục  nên liên tục  3;5 Mà f  3 f     f  x   có nghiệm thuộc khoảng  3;5  Hàm số h  x   x  x  liên tục  nên liên tục  0;  Mà f   f     f  x   có nghiệm thuộc khoảng  0;  Như ba phương trình cho có nghiệm Chọn D Ví dụ Phương trình x5  x3  x   có số nghiệm ? A B C D Lời giải: Hàm số f  x   x  x  x  liên tục  Trang  2  3 Ta kiểm tra f  2  f     0; f    f    0; f   f  3  2 3  Từ khoảng  2;   , 2  nghiệm 1    0; 2 1 f   f 1 ; f 1 f  3