tai lieu chu de cap so cong

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Khi đó, số d gọi cơng sai cấp số cộng 2) Số hạng tổng quát Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định công thức un  u1   n  1 d với n  3) Tính chất số hạng cấp số cộng Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk  uk 1  uk 1 với k  Chú ý: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a  c  2b 4) Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Cho cấp số cộng  un  Đặt Sn  u1  u2  u3   un Khi S n  n  u1  un  Chú ý: Vì un  u1   n  1 d nên công thức viết lại S n  nu1  n  n  1 d Chứng minh: Gọi u1 , u2 , u3 , , un số hạng cấp số cộng Ta có S n  u1  u1  d  u1  2d   u1   n   d  u1   n  1 d       u2 u3 un1 un S n  u1   n  1 d  u1   n   d   u1  2d  u1  d  u1       un un1 u3 u2 S n   2u1   n  1 d    2u1   n  1 d    2u1   n  1 d     2u1   n  1 d  n Do S n  n  2u1   n  1 d   S n   2u1   n  1 d  II PHÂN DẠNG TỐN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Bài tốn liên quan đến tính chất cấp số cộng Ví dụ Tính số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng biết u4  10 a)  u7  19 u3  15 b)  u14  18 Lời giải: Trang u4  10 u1  3d  10 d  a) Ta có    u1  u7  19 u1  6d  19 u3  15 u1  2d  15 d  b) Ta có    u1  21 u14  18 u1  13d  18 Ví dụ Tính số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng biết u1  u3  u5  10 a)  u1  u6  17 u1  u5  u3  10 b)  u1  u6  Lời giải: u1  u3  u5  10 u1   u1  2d   u1  4d  10 u1  2d  10 u  16 a)     u1  u1  5d  17 2u1  5d  17 d  3 u1  u6  17 u1  u5  u3  10 u1  u1  4d   u1  2d   10 u1  2d  10 u1  36 b)      2u1  5d  d  13 u1  u6  u1  u1  5d  Ví dụ Tính số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng biết u7  u15  60 a)  2 u4  u12  1170 u1  u2  u3  27 b)  2 u1  u2  u3  275 Lời giải: u7  u15  60 u1  6d  u1  14d  60 u1  30  10d a)      2 2 u4  u12  1170  u1  3d    u1  11d   1170  30  d    30  d   1170  u1  30  10d  u1  30  10d u1  12; d  4,  d  4,    u  0; d    1800  50d  360d  1170  u1  30  10d   d  u2  u1  u2  u3  27 2u2  u2  27 b)     2 2 2 u1  u2  u3  275  u2  d    u2  d   u2  275 3u2  2d  275  u2   u1  5; d  d     u  u1  13; d  4   d  4 Ví dụ Cho dãy số  un  với un  11  10n a) Viết số hạng đầu dãy b) Chứng minh dãy số  un  cấp số cộng Chỉ rõ u1 d Lời giải: a) số hạng đầu dãy 1, 9,19, 29, 39 Trang b) Xét hiệu un 1  un  11  10  n  1  11  10 n   10 Do un 1  un  , suy dãy số  un  cấp số cộng với u1  1; d  10 Ví dụ 4: a) Viết năm số xen hai số 25 để cấp số cộng có tám số hạng Tính tổng số hạng cấp số b) Viết sáu số hạng xen hai số 30 để cấp số cộng có bảy số hạng Số hạng thứ 50 cấp số bao nhiêu? Lời giải: a) Theo ra, ta có u1  3, u8  24 Từ công thức un  u1   n  1 d Suy d  un  u1 25    Vậy số phải viết thêm 5, 9,13,17, 21 n 1 1 b) Ta có d  un  u1  30   4 Vậy số phải viết thêm 26, 22,18,14,10, n 1 1 Lại có un  u1   n  1 d  u50  30   50  1  4   166 Ví dụ 5: Cho hai cấp số cộng  xn  : 4,7,10,13,16,19,  yn  :1, 6,11,16, 21, 26, Hỏi 100 số hạng cấp số cộng có số hạng chung? Lời giải: Ta có xn    n  1  3n  với  n  100 yk    k  1  5k  với  k  100 Để số số hạng chung, ta phải có 3n   5k   3n   k  1 Suy n chia hết cho 5, tức n  5t k  3t  với t  Z Vì  n  100 nên  t  20 Ứng với 20 giá trị t, ta tìm 20 số hạng chung Chẳng hạn, với t  n  5, k  , x5  y4  16 Ví dụ 6: Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng , , b c c a a b Lời giải: Ba số 1 lập thành cấp số cộng , , b c c a a b 1 1    c a b c a b b c   b a c a  b c    c b a b  c a  Trang   b a    b a  c b  c b   b  a  c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Ví dụ 7: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm Biết cạnh lớn 15 cm, tính số cạnh đa giác Lời giải: Gọi cạnh nhỏ đa giác u1 số cạnh đa giác n Ta có 15  u1   n  1 hay u1  18  3n   n  Tổng cạnh (tức chu vi đa giác) 45 cm, ta có 45  n 15  18  3n  hay 3n  33n  90  Giải phương trình với n  N * ; n  , ta n  Ví dụ 8: Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng, biết u7  27 a)  u15  59 u9  5u2 b)  u13  2u6  u2  u4  u6  7 c)  u8  u7  2u4 u3  u7  8 d)  u2 u7  75 Lời giải: Gọi số hạng công sai cấp số cộng u1 , d Khi đó, số hạng thứ n cấp số cộng có dạng un  u1   n  1 d u7  27 u  6d  27 u  a) Ta có    Vậy d  u1  14d  59 u15  59 u1   d  u1  8d   u1  d  u9  5u2 4u1  3d  u  b) Ta có     d  u13  2u6  u1  12d   u1  5d   u1  2d  5 u1  d  u1  3d   u1  5d   7 u2  u4  u6  7 c) Ta có   u8  u7  2u4 u1  d   u1  6d    u1  3d  u1  d  7 u  5   Vậy số hạng đầu u1  5 công sai d  d  2u1  5d  d) Ta có u3  u7  8  u1  2d   u1  6d   8  4d  8  d  Mặt khác u2 u7  75   u1  d  u1  6d   75   u1   u1  12   75 u  u  u  17  u22  14u1  51    Vậy   d  d  u1  17 Ví dụ 9: Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết  S12  36 a)   S18  45 u5  10 b)   S10  Lời giải: Trang Gọi u1 , d số hạng đầu công sai cấp số cộng n  2u1   n  1 d  Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng cấp số cộng: S n   a) Ta có S12  Và S18  12  2u1  11d   36  2u1  11d  1 18  2u1  17 d   45  2u1  17 d    47  u1   2u1  11d   12 Từ 1 ,   suy   2u1  17 d  d    u1  4d  10 u5  10 u1  4d  10 u  86  b) Ta có     2u1  9d    d  19  S10    2u1  9d  10     Ví dụ 10: Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 155 Lời giải: Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c  a  c  2b * a  b  c  15 a  b  c  15  a) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b abc  105 abc  105  b  a  3b  15 a       a  c  2b  c  10  a  b  b  c  abc  105  c     5a 10  a   105 a  b  c  21 b) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta 2 a  b  c  155 a  b  c  21  a  c  2b  2 a  b  c  155 b  3b  21 a  a       a  c  2b  c  14  a  b  b  c  a  b  c  155  c  2    a  14  a    155 Ví dụ 11: Tìm giá trị x để ba số a  10  x, b  x  3, c   x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải: Vì ba số a,b,c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b Trang x 1 Khi 10  x   x   x  3  x  x  11    11 x    Vậy x  x   11 giá trị cần tìm Ví dụ 12: Tìm số ngun dương n biết Cn1 , Cn2 , 3Cn3 tương ứng với số hạng thứ 1, số hạng thứ 4, số hạng thứ 19 cấp số cộng Lời giải: u4  u1  3d 6u4  6u1  18d Theo ra, ta có    6u4  u19  5u1 u19  u1  18d u19  u1  18d Kết hợp với điều kiện u1  Cn1 ; u4  Cn2 ; u19  3Cn3 , ta n  n   6C  3C  5C     n  n  n  1 n    5n n  9n  18n  3n  n  1   2 n n n Ví dụ 13: Tìm giá trị x dương nhỏ thỏa mãn ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng Lời giải: Theo ra, ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng nên suy sin x  cos x  2sin x    sin x  cos x  sin x.cos  sin cos x  sin x 2 3     x  x   k 2 x   k 2     3  sin  x    sin x    k  Z  3   x    x    k 2  x  2  k 2   Nghiệm dương x nhỏ ứng với k  Vậy x   x  2 Ví dụ 14: Cho ba số a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh a  2bc  c  ab a  8bc   2b  c  Lời giải: Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy a  c  2b Ta có a  2bc  c  2ab   a  c  a  c   2b  c  a    a  c  a  c  2b   Suy a  2bc  c  2ab   a  2bc  c  2ab  điều phải chứng minh Lại có a  8bc   2b  c   a   a  c  c   a  2c   a  4ac  4c  a  4ac  4c 2 Suy a  8bc   2b  c    a  8bc   2b  c   điều phải chứng minh 2 A B C , tan , tan theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh 2 cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có tan Trang Lời giải: Vì ba số tan A B C A C B , tan , tan lập thành cấp số cộng  tan  tan  tan 2 2 2 Sử dụng công thức: sin  a  b   sin a.cos b  sin b.cos a , ta A C A C C A AC sin sin cos  sin cos sin A C   2 2  tan  tan  A C A C A C 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 sin  B  B B sin    cos sin AC  B 2  2 Kết hợp với   suy  2 A C A C B 2 cos cos cos cos cos 2 2  cos B B A C B A   2.sin cos cos  sin  cos  2 2 2  Ví dụ 16: Tìm tham số m để phương trình x3   3m  1 x  2mx  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng? Lời giải: Phương trình x3   3m  1 x  2mx   x  x   3m  1 x  2m   x  Đặt f  x   x   3m  1 x  2m   x   3m  1 x  2m  * Để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt   * có hai nghiệm phân biệt khác  f  x    2m     m  9m  2m    *   3m  1  4.2 m  Khi đó, gọi x1  x2 , x3  x2  x3  hai nghiệm phương trình * Theo hệ thức Viet, ta có x2  x3  3m  x2 x3  2m TH1 Ba số x3 , x1 , x2 lập thành cấp số cộng  x2  x3  x1  x2  x3   m   TH2 Ba số x1 , x3 , x2 lập thành cấp số cộng  x1  x2  x3  x3  x2  6m    x2  2 x3  x2   3m  6m  3m    Khi đó, ta có hệ  x2  x3  3m    x3    2m 3  x x  2m    x2 x3  2m   TH3 Ba số x3 , x2 , x1 lập thành cấp số cộng  x1  x3  x2  x2  x3  Trang 3m    x2  2 x2  x3   6m  6m  3m    Khi đó, ta có hệ phương trình  x2  x3  3m    x3    2m 3  x x  2m    x2 x3  2m   Cả hai trường hợp TH2-TH3 không cho giá trị tham số m Vậy m   giá trị cần tìm Ví dụ 17: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x  10mx  9m  có bốn nhiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải: Đặt t  x  , phương trình x  10mx  9m   t  10mt  9m  * Để phương trình cho có nghiệm phân biệt   * có hai nghiệm dương phân biệt      5m   m   * m  m   t1  t2  10m    m 25 25m  m  m  25m    t t  m   Giả sử t1  t2 , nghiệm phân biệt phương trình  t2 ,  t1 , t1 , t2 Theo ra, ta có  t2  t1  2 t1  t2  t1  t2  9t1 t1  t2  10m t1  9m m   L    Suy hệ phương trình t2  9t1  t2  m  9m  9m    m  1 C  t t  9m t t  9m 12 12 Vậy m  giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Dạng Bài toán liên quan đến tổng n số hạng cấp số cộng Ví dụ 1: Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144 số hạng thứ mười hai 23 Khi cơng sai d cấp số cộng cho bao nhiêu? Lời giải: u1  11d  23 u1  u12  23   Ta có   12  23  u1 d    S12  144   u1  u12   144  2 11 Ví dụ 2: Xét số nguyên dương chia hết cho Tính tổng số 50 số nguyên dương Lời giải: Số nguyên dương chia hết cho có dạng 3n  n  N *  nên chúng lập thành cấp số cộng với u  50 un  3n   Vậy S50   u1  u50   3825 u50  150 Trang Chú ý: Cơng thức tính tổng S  n  n  1 n d  u1  un   nu1  2 Ví dụ 3: a) Cho cấp số cộng  un  có S6  18 S10  110 Tính S 20 b) Cho cấp số cộng  un  có u3  u28  100 Tính tổng 30 số hạng cấp số cộng Lời giải: n  2u1   n  1 d  a) Ta có S n   suy  S6   2u1  5d   18   S10   2u1  9d   110 2u1  5d  u  7 Vậy S 20  10  2u1  19d   10   7   19.4   620   d  2u1  9d  22 b) Ta có u3  u28  u1  2d  u1  27 d  2u1  29d  100 Khi đó, tổng 30 số hạng cấp số cộng S30  15  2u1  29d   1500 Ví dụ 4: Một cơng viên hình tam giác trồng xanh theo hàng có quy luật cấp số cộng sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối có 2014 Hỏi cơng viên có tất hàng trồng? Lời giải: Gọi n số hàng trồng công viên Vì cơng viên trồng theo hàng có quy luật cấp số cộng nên gọi u1 , u2 , , un số hàng Khi u1  9, u10  54 un  2014 u1  u1    Ta có u10  u1  9d  54  d   n   401  n  402 u  u  n  d  2014 9  n   2014       n Ví dụ 5: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với công nhân tuyển dụng Công ty liên doanh D đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn,  PA1 Người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm  PA2 Người lao động nhận triệu đồng cho quý kể tự quý làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quý Nếu bạn người lao động, bạn chọn phương án nào? Lời giải: Kí hiệu X người lao động xét phương án mà cơng ty đưa ra, ta có:  PA1 Năm thứ nhất, X nhận 36 triệu đồng, tức u1  36 Năm thứ hai, X nhận 36+3=39 triệu đồng, tức u2  39 Khi đó, số tiền lương mà X nhận cấp số cộng với u1  36, d  Trang Do đó, tổng số tiền X nhận sau 10 năm S10   2u1  9d   495 triệu đồng  PA2 Quý đầu tiên, X nhận triệu đồng, tức u1  Sang quý thứ hai, X nhận 7+0,5=7,5 triệu đồng, tức u2  7,5 Khi đó, số tiền lương mà X nhận cấp số cộng với u1  7, d  0,5 Do đó, tổng số tiền X nhận sau 10 năm S 40  20  2u1  39d   670 triệu đồng Vậy ta thấy kí hợp đồng theo PA2 số tiền lương nhận cao chắn ta chọn PA2 Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a)   11  16  21   x  970 b)  x  1   x     x      x  28  155 Lời giải: a) Xét dãy số 1, 6,11,16, 21, , x dãy số có số hạng đầu u1  công sai d  nên tổng n số hạng n  2u1   n  1 d  n    n  1  dãy S n    2 Do   11  16  21   x  n  5n    970  5n  3n  1940   n  20 Vậy x  un  u1   n  1 d    20  1  96 giá trị cần tìm b) Xét dãy số x  1, x  4, x  7, , x  28 dãy số có số hạng đầu u1  x  , số hạng cuối un  x  28 d   un  u1   n  1 d  x  28  x    n  1  n  10 Do S n   x  1   x     x      x  28   10  2u1  9d   10u1  45d Vậy 10  x  1  45.3  155  10  x  1  20  x  giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hai cấp số cộng  un    có tổng n số hạng Sn Tn Biết S n 6n  u  Tìm 11 Tn 9n  v11 Lời giải: Gọi u1 , a1 số hạng đầu  un    Và d1 , h1 công sai hai cấp số cộng  un    n  2u1   n  1 d1  n  2a1   n  1 h1  Ta có S n   Tn   2 Say 2u   n  1 d1 6n  S 21 2u1  20d1 127 S n 6n         * Tn 9n  2a1   n  1 h1 n  T21 2a1  20h1 190 Lại có u11 u1  10d1 u 127 , kết hợp với  * , ta 11   v11 a1  10h1 v11 190 Trang 10 A 81 B 82 C 80 D 79 Câu 88 Biết bốn số 5; x;15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x  y A 50 B 70 C 30 D 80 Câu 89 Ba góc tam giác vng tạo thành cấp số cộng Hai góc nhọn tam giác có số đo (độ) là: A 20o 70o B 45o 45o C 200 45o D 30o 60o Câu 90 Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 32 tổng bình phương chúng 336 Tích bốn số A 5760 B 15120 C 1920 D 1680 Câu 91 Một đa giác lồi có 10 cạnh góc lập thành cấp số cộng với cơng sai d  4o Tìm góc nhỏ đa giác A 126o B 26o C 60o D 162o Câu 92 Ba góc A, B, C  A  B  C  tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn gấp đơi góc bé Hiệu số đo độ góc lớn góc nhỏ bằng: A 40o B 45o C 60o D 80o Câu 93 Một đa giác có n cạnh có chu vi 158 cm Biết số đo cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với công sai d  cm cạnh lớn có độ dài 44 cm Đa giác có số cạnh n  A n  B n  C n  D n  Câu 94 Một tam giác vuông có chu vi độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài cạnh tam giác là: A ;1; 2 B  ;1; 3 C ;1; 4 D ;1; 4 Câu 95 Tính tổng tất nghiệm phương trình sin x  4sin x  cos x   đoạn  0;100  A 2499 B 100 C 2475 D 2745 Câu 96 Gọi S tập hợp tất nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  phương trình lượng giác 1  cos x   sin x  cos x   A 310408   B 102827   sin x Tổng tất phần tử S C 312341  Câu 97 Gọi S tập hợp tất nghiệm thuộc khoảng D 104760  0;100  phương trình x x   sin  cos   cos x  Tính tổng phần tử S 2  A 7400  B 7525  C 7375  D 7550  Trang 20 Câu 98 Gọi S tập hợp tất giá trị x   0;100 để ba số sin x, cos x,sin 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tổng tất phần tử tập S A 1008 B 496 C 512 D 1272 Câu 99 Một người muốn chia 1.000.000 đồng cho bốn người con, đứa lớn đứa nhỏ 100.000 đồng Hỏi đứa lớn tiền? A 200.000 đồng B 300.000 đồng C 400.000 đồng D 100.000 đồng Câu 100 Sinh nhật bạn An vào ngày 01 tháng năm An muốn mua quà sinh nhật cho bạn nên định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 sau tiếp tục ngày sau ngày trước 100 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật bạn, An tích lũy tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng năm 2016) A 738.100 đồng B 726.000 đồng C 714.000 đồng D 750.300 đồng Câu 101 Sinh nhật An vào ngày 01 tháng Bạn An muốn mua máy ảnh giá khoảng 600 000 đồng để làm quà sinh nhật cho Bạn định bỏ tiết kiệm 10000 đồng vào ngày tháng năm đó, sau tiếp tục ngày sau, ngày bạn bỏ ống tiết kiệm 5000 đồng Biết năm đó, tháng có 31 ngày, tháng có 28 ngày, tháng có 31 ngày tháng có 30 ngày Gọi a (đồng) số tiền sinh nhật (ngày sinh nhật An khơng bỏ tiền vào ống) ta có A a   610000; 615000  B a   605000; 610000  C a   600000; 605000  D a  595000; 600000  Câu 102 Gọi Sn tổng n số hạng cấp số cộng  an  Biết S6  S9 , tỉ số A B C D a3 a5 Câu 103 Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 S n  S n Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng A u1  3, d  B u1  2, d  C u1  2, d  Câu 104 Cho cấp số cộng  un  Gọi Sn  u1  u2   un Biết giá trị biểu thức A D u1  2, d  Sp Sq  p2 với p  q, p, q  N * Tính q2 u2018 u2019 20182 20192 B 4033 4035 C 4035 4037 D 4037 4039 u1  Câu 105 Cho dãy số  un  xác định  Tìm số nguyên dương n nhỏ * un1  un  n , n  N cho un   2039190 Trang 21 A n  2017 B n  2020 C n  2018 D n  2019 Câu 106 Cho cấp số cộng  un  có số hạng dương, số hạng đầu u1  , tổng 100 số hạng 14950 Tính giá trị tổng S u2 1    u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 A C  B 2018 6052 D 1  1   3 6052  Câu 107 Trong lớp có  2n  3 học sinh gồm An, Bình, Chi 2n học sinh khác Khi xếp tùy ý học sinh vào dãy ghế đánh số từ đến  2n  3 , học sinh ngồi ghế xác suất để số ghế An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành cấp số cộng A 27 B 25 17 Số học sinh lớp 1155 C 45 D 35 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-C 3-B 4-D 5-A 6-A 7-C 8-B 9-C 10-B 11-C 12-C 13-A 14-A 15-C 16-D 17-D 18-C 19-B 20-B 21-A 22-D 23-D 24-A 25-C 26-A 27-B 28-A 29-D 30-D 31-A 32-C 33-D 34-B 35-D 36-C 37-D 38-C 39-B 40-C 41-C 42-B 43-D 44-C 45-A 46-D 47-B 48-B 49-C 50-B 51-B 52-B 53-D 54-D 55-B 56-A 57-A 58-A 59-D 60-B 61-C 62-D 63-D 64-A 65-A 66-D 67-B 68-B 69-B 70-B 71-C 72-A 73-D 74-C 75-A 76-A 77-A 78-A 79-B 80-C 81-A 82-D 83-D 84-C 85-A 86-A 87-C 88-B 89-D 90-D 91-A 92-A 93-D 94-C 95-C 96-A 97-C 98-A 99-C 100-B 101-B 102-C 103-D 104-C 105-B 106-D 107-D 108- 109- 110- Câu 1: Kiểm tra u2  u1  u3  u2  u4  u3  đáp án Chọn A Câu 2: Kiểm tra u2  u1  u3  u2  u4  u3  đáp án Chọn C u u 1 Câu 3: Ta có u1  ; u2   d    Chọn B 2 Câu 4: Ta có u2  u1  d  0; u3  u2  d  ; u5  Chọn D 2 Câu 5: Ta có u1  2; u5  22 cần tìm u2 , u3 , u4 u2  u1  d  u5  u1 22   Lại có u5  u1  4d  d     u3  u1  2d  12 Chọn A 4 u  u  3d  17  Trang 22 u1  3 Câu 6: Theo giả thiết ta cấp số cộng có n  số hạng với  un   23 Khi un   u1   n  1 d  n   un   u1 23   3   13  n  12 Chọn A d Câu 7: Ta có  x  2.6  x  11 Chọn C Câu 8: Theo ra, ta có Cn1  Cn3  2Cn2  n   1  n   n  1 n   n  1 n n  n  3n   n   n  9n  14    n   n   Chọn B n  Câu 9: Theo ra, ta có  m  17  m    2m   m  Chọn C 7  11  x x  x  Câu 10: Theo ra, ta có  Chọn B    x  y  2.11  y  22  x  y  20 Câu 11: Ta có u1  5; u2   d  u2  u1  nên un  u1   n  1 d    n  1  4n  Chọn C Câu 12: Ta có un  u1   n  1 d  3   n  1 Chọn C Câu 13: Ta có u3  u1  2d  15  u1   2   u1  19 Suy un  u1   n  1 d  19   n  1  2   2n  21 Chọn A Câu 14: Chọn A Câu 15: Xét đáp án C Ta có u1   u2  u1   0; u3  u2   1  un cấp số cộng Chọn C Câu 16: Để un cấp số cộng n bậc Chọn D Câu 17: Ta có un  u1   n  1 d  100  5   n  1  n  36 Chọn D u  5 Câu 18: Ta có   un  3n   u15  37; u13  31; u10  22 Chọn C d  u  u  Câu 19: Ta có    d  Chọn B  u8  40 u1  d  40 n  2u1   n  1 d  100  2.4  100  1  5   Câu 20: Ta có S100     24350 Chọn B 2 Câu 21: Ta có S100        1     n  2u1   n  1 d          Chọn A 2 u  d  u  Câu 22: Ta có un  u1   n  1 d  u1  d  n.d   3n    d  d  Vậy S n  n  2u1   n  1 d   n  2.7   n  1 3  3n  11n Chọn D Trang 23 Câu 23: Số nguyên dương chia hết cho có dạng 3n  n  N *  nên chúng lập thành cấp số cộng 50  u1  u50  u1  Do un  3n    S50   3825 Chọn D u50  150 d  2  Câu 24: Ta có  8.7  72  8u1  28  2   u1  16 Chọn A 72  S  u  d  u1  1, d  n2  n  Câu 25: Ta có   561  n   2n  n  561   n  17 n  n  1 d 561  S n  nu1   Vậy un  u17  u1  16d   16.4  65 Chọn C u1  11d  23 u1  u12  23   Câu 26: Ta có  Chọn A  12  23  u1 S  144 u  u  144 d      12 12   11 Câu 27: Ta có 3n  19n 19 n2  n d d   n  n  Sn  nu1  d  n   u1   n 4 2 2  d u1  4      Chọn B u  d   19 d   d   u  d  d Câu 28: Ta có n  4n  S n  n   u1   n     un  2n  Chọn A 2  d  u  d   Câu 29: Ta có 1;3;5; ; 2n  2; 4; 6; ; 2n cấp số cộng có n số hạng Do S  1     2n  1       2n  n n  1  2n  1    2n   n   n  n   n Chọn D 2 Câu 30: Ta có u2  u8  u9  u15  100  4u1  30d  100  2u1  15d  50 Khi S16  16  u1  u16    2u1  15d   8.50  400 Chọn D u4  12 u  3d  12 u  21 Câu 31:    Chọn A d  u14  18 u1  13d  18 u2  2001 u1  d  2001 u  2003 Câu 32:     u1001  u1  1000d  Chọn C d  2 u5  1995 u1  4d  1995 Câu 33: Ta có d  un 1  un    1  Chọn D Câu 34: Trang 24  u10  u30 u1  9d  u1  29d   u1  19d  Xét đáp án A:   loại A u5  u10  u1  4d  u1  9d  2u2  13d u90  u210  2u1  298d   u1  149d  Xét đáp án B:  Chọn B 2u150   u1  159d  u3  u  2d  u  10 Câu 35: Theo ta có:    d  2 u1  6d  2 u7  2 Do u5  u1  4d  Chọn D Câu 36: Số hạng tổng quát dãy un  u1   n  1 d  5   n  1 Giải 5  2n   93  n  50 Chọn C Câu 37: Ta có: u6  u1  5d  d  Câu 38: S 24  u6  u1  Chọn D u1  u24 u  d  u23  d u u 60 24  24  23 24  24  720 Chọn C 2 2 u1  u6  17 2u  5d  17 2u  5d  17 u  Câu 39: Ta có      Chọn B d  u2  u4  14 u1  d  u1  3d  14 2u1  4d  14 Câu 40: Ta có u7  u3  4d  d  u7  u3  Chọn C u1  u7  26 u1  u1  6d  26 u1  3d  13 Câu 41: Ta có      2 2 u2  u6  466  u1  d    u1  5d   466  u1  d    u1  5d   466 u1  13  3d  2 13  2d   13  2d   u1   u1  13  3d d    Chọn C  u  25  466 8d  128   d  4 Câu 42: Ta có u4  u1  3d   3.5  17 Chọn B u  Câu 43:  un  cấp số cộng có   un    n  1  4n  Chọn D d  Câu 44: Ta có u2018  u1  2017 d   2017.2  4036 Chọn C u1  u4  u  u  3d  2u  3d  u  Câu 45: Ta có   1   d  d  d  u3  u2  Tổng 10 số hạng dãy S10  u1  u10 2u  9d 10  10  100 Chọn A 2 u5  u1  4d  d  Câu 46: Ta có   Chọn D u1  8 u10  u1  9d  10 Trang 25 u2  u3  u5  u1  3d  u  u1  d   u1  2d   u1  4d  Câu 47: Ta có     d  2u1  5d  12 u1  u6  12 u1  u1  5d  12 Do un  u1   n  1 d    n  1  2n  Chọn B Câu 48: Dãy 1; 4;6;7;10 cấp số cộng với u1  d  Chọn B Câu 49: Ta có u1  5.1   d  Chọn C Câu 50: Dãy số  un  : un  un 1  2, n  cấp số cộng với d  2 Chọn B Câu 51: Cấp số cộng un  u1   n  1 d có dạng un  an  b Vậy un  2n  3, n  cấp số cộng Chọn B Câu 52: Cấp số cộng un  u1   n  1 d có dạng un  an  b Vậy un  3n  2018 cấp số cộng Chọn B Câu 53: : Cấp số cộng un  u1   n  1 d có dạng un  an  b Vậy un  5n  cấp số cộng Chọn D Câu 54: Cấp số cộng un  u1   n  1 d có dạng un  an  b Vậy un  2n  cấp số cộng Chọn D u1   u1  2d   u1  4d  15 u1  u3  u5  15 u1  2d  15 u  21 Câu 55:     Chọn B d  3  2u1  5d  27 u1  u6  27 u1  u1  5d  27 u1  d  u1  3d  u1  5d  36 3u1  9d  36 u2  u4  u6  36 Câu 56: Ta có    u2u3  54  u1  d  u1  2d   54  u1  d  u1  2d   54 u1  12  3d u1  12  3d d 10     d  Chọn A 12  d 12  d  54   2d  36d  90   Câu 57: T tổng cấp số cộng với u1  15, d  Số hạng tổng quát dãy un  15   n  1 Giải un  15   n  1  7515  n  1501 Do S n  u1  u1501 1501  5651265 Chọn A Câu 58: T  1000  999 1000  999    998  997  998  997      1  1  1000  999  998  997      1000 1000  500500 Chọn A Câu 59: Để  2a; 2a  1; 2a theo thứ tự lập thành cấp số cộng  2a   2a    2a  1 Trang 26  a    4a   a   Chọn D  u1  u4   32 S  32  u1  u4  16 u1  u1  3d  16 Câu 60: Ta có      S12  192 u1  u12  32 u1  u1  11d  32  u1  u12 12  192  2u  3d  16 u    d  2u1  11d  32 Do un  u1   n  1 d    n  1  2n  Chọn B Câu 61: S100  u1  u100 100  50  u1  u100  Chọn C Câu 62: Ta có u22  u32  u42   u3  d   u32   u3  d   3u32  2d  3u32   2 Dấu xảy  u3   un  u3   n  3 d   n  3 Giải  n  3  2018  n  1012 Chọn D Câu 63: un  u1   n  1 d Chọn D un    n  1  5n  Câu 64: Ta có  với 1  m, n  2018  vm    m  1  3m  Giải điều kiện un  vm  5n   3m   5n  3m   n  3m 1 n  3k   1; 2018 Do m tức m  5k , giải điều kiện  1  5k  2018 0  k  672   có 403 giá trị k nên dãy số có 403 số chung Chọn A 1  k  403 un    n  1  3n  Câu 65: Ta có  với 1  m, n  100  vm    m  1  5m  Giải điều kiện un  vm  3n   5m   3n  5m   m  3n 1 m  3k   1;100 Do n tức n  5k , giải điều kiện  1  5k  100 0  k  33   có 20 giá trị k nên dãy số có 20 số chung Chọn A 1  k  20 Câu 66: Số hạng tổng quát dãy số là: un  u1   n  1 d    n  1  7n  Giải n   2018  n  289 Chọn D Trang 27 Câu 67: Số tiền để khoan giếng cấp số cộng với u1  80 (nghìn đồng) cơng sai d  (nghìn đồng) Do số tiền để khoan 50 m giếng T  u1  u50 u  u  49d 50  1 50  10.125 (nghìn đồng) 2 Chọn B Câu 68: Chỉ có khẳng định ii) sai Chọn B u2  u1  d 1 d 1 d   ;   Câu 69: Ta có   u2 u1 u1u2 u3 u2 u u3 u3  u2  d d  d  1 1 Theo ra, ta    1   d  Chọn B   u1  u3  u1  2d u2 u1 u3 u2   u1 u3 Câu 70: Ta có c  a  2b  2  c  a   2  2b    2c    2a    2b  Chọn B Câu 71: Theo ra, ta có 1 a  c  2b     bc ab ca  a  b b  c  a  c   a  c  2b   a  c    ab  ac  b  bc    a  c   2b  a  c    ab  ac  b  bc   a  2ac  c  2ab  2bc  ab  2ac  2b  2bc  a  c  2b Suy a ; b ; c lập thành cấp số cộng Chọn C Câu 72: Ta có a, b, c lập thành cấp số cộng a  c  2b  a  c  2b 2 Xét đáp án A: a  c  2ac  4b   a  c    2b    Chọn A  a  c  2b Câu 73: Ta có S100  24850  Do 5S   100  2u1  99d   24850  d  u u u u u u 5        50 49 u1.u2 u2 u3 u49 u50 u1.u2 u3 u2 u49 u50 1 1 1 1 1 245 49            S Chọn D u1 u2 u2 u3 u49 u50 u1 u50 1  49.5 246 246 v2  v13  2v1  13d Câu 74:   v2  v13  v6  v7 Chọn C v6  v7  2v1  11d Câu 75:  un  cấp số cộng với u1  1, d  Do un  u1   n  1 d    n  1  2n  Khi u5  9, u3  5, u2  3, u6  11 Chọn A u1  4d   u1  2d   u1  d  21 3u1  9d  21 u1  Câu 76: Theo ta có:     d  3 u1  12d  34 3  u1  6d    u1  3d   34 Do u15  u1  14d  40  S15  u1  u15 15  285 Chọn A Trang 28 u1  8d   u1  d  u9  5u2 4u1  3d  u  Câu 77:     ChọnA d  u1  2d  u13  2u6  u1  12d   u1  5d   Câu 78: Cấp số cộng cho có u1  cơng sai d  Do u100  u1  99d  496 Chọn A Câu 79: Để cos x, cos x, cos x ba số hạng liên tiếp cấp số cộng ta có: cos x  cos x  cos x  cos x cos x  cos x  k     cos x   x   k x    cos x  cos x  1      Chọn B  cos x   x     k  x     k 2    Câu 80: S 22  u2  u21 22  11  u1  d  u22  d   11 u1  u22   550 Chọn C u5  u1  4d  15 u  35 Câu 81: Ta có   d  u20  u1  19d  60 Suy S 20  u1  u20 35  u1  19d 20  20  250 Chọn A 2 u1  1 Câu 82: Dãy số  , n  N * cấp số cộng với u1  1 công sai d  Chọn D un 1  un  u1  d  d  Câu 83: Ta có   u1  u1  3d  Do u2019  u1  2018d  4037 Chọn D Câu 84: Ta có u1  2, u2   3.2  5  d  3 Khi S10  u1  u10 2u  9d 10  10  155 Chọn C 2 Câu 85: Ta có un  u1   n  1 d  2017   n  1 Giải điều kiện un   un  3n  2020   n  673,33 Vậy từ số hạng u674 trở số hạng cấp số cộng nhận giá trị dương Chọn A Câu 86: Theo ra, ta có u1  1; u2  2; ; S n  3003  d  n  2u1   n  1 d  n  2.1   n  1 1 Do S n      3003  n  n  6006   n  77 Chọn A 2 Câu 87: Theo ra, ta có u1  1; u  2; Sn  3240  d  n  2u1   n  1 d  n  2.1   n  1 1 Do S n      3240 2 Trang 29  n  n  6480   n  80 Chọn C 5  15  x  x  10  x  10 Câu 88: Theo ra, ta có    Chọn B  x  y  2.15  x  y  30  y  20 Câu 89: Gọi số đo góc tam giác vng a, b, 90o a  b  90o a  b  90o a  30 o Theo ra, ta có    Chọn D   o o o b  60 a  90  2b a  2b  90 Câu 90: Gọi bốn số cần tìm u1 ; u2 ; u3 ; u4 với công sai d 4u1  d  32 u1  u2  u3  u4  32 Theo ra, ta có   2 2 2 u1  u2  u3  u4  336 u1   u1  d    u1  2d    u1  3d   336 16  3d  u1   2u1  3d  16    2 4u1  12u1d  14d  336 4  16.3d   12d 16  3d  14d  336     u1  d    u2  6; u3  10; u4  14   d  4 d       u1  1680 Chọn D  u  14 u2  10; u3  6; u4  16  3d    u1   d  4 Câu 91: Đa giác lồi có 10 cạnh  Đa giác có 10 góc  Tổng góc 10   180o  1440o d  4o o o d   u1  126 Theo ra, ta có   10  2u1  9d   Chọn A o o  1440o   S10  1440 d   C  A Câu 92: Ba góc A,B,C tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng  C  A  B  B  60O  A  40O  A  B  C  180O 3B  180O     Ta có  A  C  B   A  C  B   A  C  120O   B  60O  C  A  40O C  A C  A C  A  O    C  80 Chọn A d  3; u1   n  1 d  44 d    Câu 93: Theo ra, ta có un  44   n  2u   n  1 d     158  S  158   n  d  3; u1  47  3n    n   47  3n    n  1   n  91  3n   316  n  Chọn D    158   Trang 30 Câu 94: Ba cạnh a, b, c  a  b  c  tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng thỏa yêu a  b  c a  b  c a  b  c    cầu a  b  c   3b   b  a  c  2b a  c  2b a  2b  c   c     a   b 1, a   c Ta có a  b  c     c    c  4c    c   b  Chọn C  c   Câu 95: Ta có 2sin x.cos x  sin x  cos x    cos x  sin x  1   sin x  1    sin x    sin x  1   sin x   x  Mà  x  100   Vậy   k 2  k  Z    199  nên k  0;1; 2; ; 49  k 2  100  k    ;  4  49 100.101    x   2475 Chọn C     k 2   50  2  4   98   k 0 k 0  100 Câu 96: Ta có sin x  2sin x.cos x  cos x   sin x  4sin x  sin x  sin x    cos x  sin x     sin x    sin x  cos x        sin x  cos x   sin  x     x    k 2  x   k 2 2 6  Mà  x  2018 nên    k 2  2018    k  321, 01  k  0;1; 2; ;321 Vậy tổng nghiệm cần tính 321       k 2   322  2  4   642  k 0 310408  Chọn A Câu 97: Phương trình trở thành:  sin x  cos x   sin x  cos x        sin x  cos x   sin  x     x    k 2  x   k 2 2 3  Ta có  x  100   Do 49     k 2  100   599 kZ k    k  0;1; 2;3; ; 49 12 12   x     k 2   50  2  4   98  k 0 7375  Chọn C  cos x  Câu 98: Ta có sin x  sin 3x  cos x  4sin x.cos x  cos x   sin x   2 2 Trang 31  TH1 Với cos x   x    k mà x   0;100     k  100    k  31,33 Kết hợp k  Z  k  0;1; 2; ;31 31 31      x     k   32    2   31  512  k 0 k 0   TH2 Với x    k 2 mà x   0;100     k 2  100    k  15,83 12 Kết hợp k  Z  k  0;1; 2; ;15 15 15 728      x     k 2   16  2  4   30   k 0 k 0   TH3 Với x  5 5  k 2 mà x   0;100    k  100    k  15, 49 6 12 Kết hợp k  Z  k  0;1; 2; ;15 15 15 760  5  5   x    k 2   16  2  4   30  6  k 0 k 0  Vậy tổng tất nghiệm phương trình 1008 Chọn A Câu 99: Gọi a (nghìn đồng) số tiền đứa bé nhận Suy số tiền ba người lại a  100; a  200; a  300 Vì tổng số tiền 1.000.000 đồng nên a  a  100  a  200  a  300  1000  a  100 Vậy số tiền mà người lớn nhận 400.000 đồng Chọn C Câu 100: Theo ra, ta có u1  100; d  100 n  120  S120  120  2.100  120  1 100   726000 đồng Chọn B Câu 101: Theo giả thiết, An bỏ ống tiết kiệm từ ngày tháng đến ngày 30 tháng nên tổng số ngày tiết kiệm 120 ngày Ngày thứ An bỏ ống: 10 000 đồng Và 119 ngày sau bỏ ống số tiền 119  5000  600000  5000 đồng Vậy tổng số tiền tiết kiệm a  600000  5000  10000  605000 đồng Chọn B Câu 102: Theo ra, ta có S6  S9   6u1  42d   u1  7 d  Câu 103: Ta có S n  S2 n   2u1  5d   2u1  8d    12u1  30d  18u1  72d 2 u3 u1  2d 7 d  2d    Chọn C u5 u1  4d 7 d  4d 4n  2u1   n  1 d   2n  2u1   2n  1 d  u   4u1   2n   d  2u1   2n  1 d  2u1  d mà u5  u1  4d  18   Chọn D d  Trang 32 p  2u1   p  1 d  2u   p  1 d p p2 p2 Câu 104: Ta có      Sq q 2u1   q  1 d q q  2u1   q  1 d  q Sp  2q.u1   pq  q  d  p.u1   pq  p  d  2u1  q  p    q  p  d  d  2u1 Do u2018 u1  2017d u1  2017.2u1  2017.2  2017.2 4035      Chọn C u2019 u1  2018d u1  2018.2u1  2018.2  2018.2 4037 u1   u2  u1   Câu 105: Ta có u3  u2  23 , cộng vế theo vế ta un   13  23  33    n  1   u  u   n  13 n 1  n Mặt khác ta chứng minh  13  23  33    n  1   1     n  1  n  n  1          Do 2 un   2039190  n  n  1  2039190  n  n  4078380  n  2020 Vậy nmin  2020 Chọn B Câu 106: Ta có: S100  Ta có: un 1  u n  u n un 1 unun 1  u  un   n 1  unun 1 Khi S  u1  u100 100  14950  50  2u1  99d   14950  d  u2   1 1     3 u un1   n un 1  un  un 1  un un un 1  un1  un      1    u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 1 1 1 1          u1 u2 u2 u3 u2017 u2018 1  1   3 u2018   1   1   3 u1  2017d        1    1   Chọn D 6052   3 Câu 107: Số cách xếp học sinh vào ghế  2n  3 ! Nhận xét ba số tự nhiên a,b,c lập thành cấp số cộng a  c  2b nên a  c số chẵn Như a, c phải chẵn lẻ Trang 33 Từ đến 2n  có n  số chẵn n  số lẻ Muốn có cách xếp học sinh thỏa số ghế An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta tiến hành sau:  Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự chẵn lẻ xếp An Chi vào, sau xếp Bình vào ghế Bước có An21  An2 cách  Bước 2: Xếp chỗ cho 2n học sinh lại Bước có  2n  ! Như số cách xếp thỏa theo yêu cầu  An21  An2   2n  ! Ta có phương trình A n 1  An2   2n  !  2n   !  n  n  1   n  1 n   17 17   1155  2n  1   2n   2n  3 1155  n  16  68n  1019 n  1104     n   69 68  Vậy số học sinh lớp 35 Chọn D Trang 34 ... Hỏi 100 số hạng cấp số cộng có số hạng chung? Lời giải: Ta có xn    n  1  3n  với  n  100 yk    k  1  5k  với  k  100 Để số số hạng chung, ta phải có 3n   5k   3n  ... cạnh có chu vi 158 cm Biết số đo cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với công sai d  cm cạnh lớn có độ dài 44 cm Đa giác có số cạnh n  A n  B n  C n  D n  Câu 94 Một tam giác vng có chu vi...   b a    b a  c b  c b   b  a  c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Ví dụ 7: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm Biết cạnh lớn 15 cm,