tai lieu chu de duong thang vuong goc voi mat phang

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng a) Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng  P  d vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng  P  b) Định lý: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng  P  đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  c) Các tính chất  Tính chất 1: Có mặt phẳng  P  qua điểm O cho trước vuông góc với đường thẳng a cho trước  Tính chất 2: Có đường thẳng Δ qua điểm O cho trước vng góc với mặt phẳng  P  cho trước  Tính chất 3: a) Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất viết gọn là: a // b     P  b  P   a a   P    b   P   a // b a  b   Tính chất 4: a) Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng cịn lại b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất viết gọn là:  P  //  Q     a  Q  a   P  Trang a   P    b   P    P  //  Q    P    Q   Tính chất 5: a) Cho đường thẳng a mặt phẳng  P  song song với Đường thẳng vng góc với  P  song song với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng chúng song song với Tính chất viết gọn là: a //  P     a b b   P  a   P    a  b  a //  P   P b   d) Định lý ba đường vng góc Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng  P  đường thẳng b nằm mặt phẳng  P  Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a a  P  2) Góc đường thẳng mặt phẳng Trang a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  P  ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng  P  90 (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng  P  góc a hình chiếu a  P  gọi góc đường thẳng a mặt phẳng  P  (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt 90 b) Phương pháp xác định tính góc: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a a mặt phẳng  P  ta làm sau: Tìm giao điểm M  a   P  Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a  A  M  xác định hình chiếu vng góc H A mặt phẳng  P  Khi đó, a đường thẳng qua hai điểm A M Ta có:    a;  P     AMH  HM cos   AM  AH  Xét tam giác vng AMH ta có:  tan   (trong d  A;  P   khoảng cách từ điểm MH   AH d  A;  P    sin    AM AM A đến mặt phẳng  P  ) II PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  ta chứng minh:  d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm  P   d song song với đường thẳng a mà a vng góc với  P  Ví dụ Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung đáy BC Điểm I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC   ADI  b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH   BCD  Lời giải: Trang a) Do tam giác ABC BCD hai tam giác cân nên A  AI  BC D ta có:  (trong tam giác cân đường trung tuyến  DI  BC đồng thời đường cao) Do BC   AID  b) Do AH đường cao tam giác ADI nên AH  DI Mặt khác BC   AID   BC  AH Do AH   BCD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA   ABCD  Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a) Chứng minh BC   SAB  , CD   SAD  b) Chứng minh AM   SBC  , AN   SCD  c) Chứng minh SC   AMN  MN // BD d) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng  AMN  Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Lời giải: a) Do SA   ABCD   SA  BC Mặt khác ABCD hình vng nên BC  AB  BC  AB Khi   BC   SAB   BC  SA Tương tự chứng minh ta có: CD   SAD  b) Do BC   SAB   BC  AM Mặt khác AM  SB  AM   SBC  Tương tự ta có: AN   SCD   AM   SBC   AM  SC c) Do    SC   AMN   AN  SC  AN   SCD  Hai tam giác vng SAB SAD có đường cao tương ứng AM AN nên CM  DN Mặt khác tam giác SBD cân đỉnh S nên MN // BD d) Do ABCD hình vuông nên AC  BD , mặt khác SA  BD  BD   SAC  Do MN // BD  MN   SAC   MN  AK Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đơi vng góc a) Chứng minh hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng  BCD  trùng với trực tâm tam giác BCD Trang b) Chứng minh 1 1    2 AH AB AC AD c) Chứng minh tam giác BCD có góc nhọn Lời giải: a) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng  BCD  AH   BCD   AD  AB Ta có:   AD   ABC   AD  BC  AD  AC Mặt khác AH  BC  BC   ADH   BC  DH Tương tự chứng minh ta có: BH  CD Do H trực tâm tam giác BCD b) Gọi E  DH  BC , BC   ADH   BC  AE Xét ABC vng A có đường cao AE ta có: Lại có: 1   2 AE AB AC 1 1 1      (đpcm) 2 2 AH AD AE AB AC AD  BC  x  y   c) Đặt AB  x; AC  y AD  z Ta có:  BD  x  z  2 CD  y  z Khi cos B  BC  BD  CD x2   90    CBD 2.BC.BD BC.BD   90  BDC Tương tự chứng minh ta có   tam giác BCD có góc nhọn   90  BCD Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC SBC tam giác nhọn Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC   BHK  c) HK   SBC  Lời giải: a) Giả sử AH  BC M  BC  AM Ta có:   BC   SAM   BC  SM  BC  SA Mặt khác SK  BC  S , K , M thẳng hàng AH, SK, BC đồng quy điểm M b) Do H trực tâm tam giác ABC nên BH  AC Trang Mặt khác BH  SA  BH   SAC   BH  SC Lại có: BK  SC  SC   BHK  c) Do SC   BHK   SC  HK , mặt khác BC   SAM   BC  HK Do HK   SBC  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA  SC , SB  SD a) Chứng minh SO   ABCD  b) Gọi I, K trung điểm BA BC Chứng minh IK   SBD  IK  SD Lời giải: a) Do SA  AC  SAC cân S có trung tuyến SO đồng thời đường cao suy SO  AC Tương tự ta có: SO  BD  SO   ABCD  b) Do ABCD hình thoi nên AC  BD Mặt khác SO   ABCD   AC  SO Do AC   SBD  IK đường trung bình tam giác BAC nên IK // AC mà AC   SBD   IK   SBD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh tam giác SIJ, suy tam giác SIJ vuông b) Chứng minh SI   SCD  ; SJ   SAB  c) Gọi H hình chiếu S lên IJ, chứng minh SH   ABCD  Lời giải: a) Ta có: SAB cạnh a nên SI  a Tứ giác IBCJ hình chữ nhật nên IJ  BC  a SCD tam giác vuông cân đỉnh S  SJ  CD a  2 Do SJ  SI  IJ  a  SIJ vuông S b) Do SCD cân S nên SJ  CD Do AB // CD  SJ  AB Mặt khác SJ  SI  SJ   SAB  Chứng minh tương tự ta có: SI   SCD  Trang c) Do SI   SCD   SI  CD Mặt khác CD  IJ  CD   SIJ   CD  SH Do SH  IJ  SH   ABCD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, điểm I H trung điểm AB BC Trên đoạn CI SA lấy hai điểm M, N cho MC  MI , NA  NS Biết SH   ABC  , chứng minh MN   ABC  Lời giải: Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI MC  MI  M trọng tâm tam giác ABC  M  AH  CI Ta có: NA MA    MN // SH NS MH Mặt khác SH   ABC   MN   ABC   Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng Phương pháp giải:  Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng    chứa đường thẳng b cho việc chứng minh a     dễ thực  Sử dụng định lý ba đường vng góc Ví dụ Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đôi Lời giải: Gọi M trung điểm AB Tứ diện ABCD nên ABD ABC tam giác suy  DM  AB   AB   MCD  CM  AB Do AB  CD Chứng minh tương tự ta có BC  AD, AC  BD Ví dụ Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  đáy ABCD hình thang Trang vng A D với AD  CD  AB a) Gọi I trung điểm đoạn AB, chứng minh CI  AB DI  SC b) Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông Lời giải: a) Đặt AB  2a  AD  CD  a Do AB  2CD  AI  AD  CD  CI  a Khi AICD hình vuông cạnh a Do CI  AB  AC  DI Mặt khác   DI   SAC   DI  SC  DI  SA b) Do SA   ABCD   SAD, SAB vuông S Mặt khác CD  AD  CD   SAD   CD  SD  CD  SA nên SCD vng D Xét ACD có trung tuyến CI  AB  ACD vuông C  BC  AC Mặt khác BC  SA  BC   SAC   BC  SC  SCB vng C Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên CC  vng góc với đáy CC   a a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI  BC  b) Gọi M trung điểm BB Chứng minh BC   AM c) Gọi K điểm đoạn AB cho BK  a J trung điểm BC  Chứng minh rằng: AM  MK AM  KJ Lời giải: a) Do ABC tam giác I trung điểm BC nên AI  BC Mặt khác AI  CC   AI   BCC B   AI  BC  b) Dễ thấy BCC B hình vng nên BC  BC  Mặt khác MI đường trung bình tam giác BBC nên MI // BC suy MI  BC  Lại có: AI  BC   BC    AIM   BC   AM   c) Ta có: tan KMB KB AB  ; tan  AMB  2 MB BM   cot     Suy tan KMB AMB  KMB AMB  90 Do  AMK  90  AM  MK Trang  AM  BC  Mặt khác   AM  MJ  MJ // BC  Suy AM   MKJ   AM  KJ  Dạng 3: Xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Loại 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy  ABC  Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy  ABC  Như HA hình chiếu vng góc SA  ABC   Vậy  SA;  ABC     SA; HA   SAH Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB  a; BC  a Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy góc 60 M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng  ABC  b) Tính cosin góc SM mặt phẳng  ABC  Lời giải:   60 a) Do SA   ABC    SB;  ABC    SBA   a tan 60  a Do SA  AB tan SBA  Ta có: AC  AB  BC  2a;  SC ;  ABC    SCA  Khi đó: cos SCA AC  SC AC SA2  AC  2a 3a  4a    b) Do SA   ABC    SM ;  ABC    SMA a 3 a Ta có: AM  AB  BM  a     2   Khi cos   AM  SM 2 AM SA2  AM  133 19 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB  2a; AD  a Tam giác  SAB  thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng  ABCD  b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng  ABCD  Lời giải: a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH  AB Trang  SAB    ABCD  Mặt khác   SH   ABCD   AB   SAB    ABCD  Tam giác SAB cạnh 2a nên SH  a HC  HB  BC  a    60 Do SH   ABCD    SB;  ABCD    SBH  SC ;  ABCD    SCH   tan SCH SH  HC 2 a a b) Ta có: HI  HB  BI  a     2   tan SIH   SH  a : a  15 Mặt khác  SI ;  ABCD    SIH SI Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD  2a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy  ABCD  b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng  ABCD  Lời giải: a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO  a  AD  ACD vuông C   45 Do SA   ABCD    SB;  ABCD    SBA Do SA  AB tan 45  a  AC  AD  CD  a  cos  SC ;  ABC    cos SCA  AC  SC AC SA  AC 2  a a  3a   cos  SD;  ABCD    cos SDA  AD SA  AD 2  b) Ta có: AI  a 13 a AC  CI  3a     2 2   SA  Do tan  SI ;  ABCD    tan SIA AI 13 Loại 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng  SHA  với  SHA    ABH  Dựng BK  AH , có BK  SH  BK   SHA  Trang 10  AB  AB Do BD  AC  (1), lại có   AB   ABC    AB  BC  Suy AB  AC  (2), từ (1) (2) suy AC    ABD  Chọn A Câu 21: Ta có: OA, OB, OC đơi vng góc với nên OA  OB OA  OC  OA   OBC   OA  BC Mặt khác H hình chiếu O mặt phẳng  ABC  nên OH   ABC   OH  BC , gọi E  AH  BC Do BC   OAE   AE  BC , tương tự ta có BH  AC suy H trực tâm tam giác ABC Mặt khác  1 1 1   ,   2 2 OH OA OE OE OB OC 1 1    2 OH OA OB OC Các khẳng định A, B, C Khẳng định sai D Chọn D Câu 22: Dễ thấy IJ đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC , tương tự KI // SA suy  IJK  //  SAC  (1)  BD  AC Mặt khác   BD   SAC  (2)  BD  SA Do BD  SC Từ (1) (2) suy BD   IJK  Khẳng định sai B Chọn B CB  BA Câu 23: Ta có   CB   ABD  CB  BD  Do  CD,  ABD    CDB  Tương tự ta có  AC ,  BCD     ACB,  AD,  ABC    DAB  AC ,  ABD    CAB  Do khẳng định B Chọn B CB  AB Câu 24: Ta có   CB   SAB   CB  SB CB  SA Tam giác SBC vng B nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SBC trung điểm cạnh huyền SC Trang 39 Do SA   ABC  , OH   ABC   OH // SA  H trung điểm cạnh AC nên H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC vng B Chọn C Câu 25: Do H hình chiếu vng góc S  ABC  nên tam giác SHA, SHB, SHC tam giác vng Ta có SHA  SHB  SHC (cạnh huyền, cạnh góc vng) Do HA  HB  HC Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chọn C Câu 26: Do I hình chiếu vng góc S  ABC  nên tam giác SHA, SHB, SHC tam giác vuông Ta có SIA  SIB  SIC (cạnh huyền, cạnh góc vng) Do IA  IB  IC Vậy I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Đặt SA  SB  SC  a, SAC nên AC  a , SAB vuông S nên AB  a  a Lại có BC  SB  SC  SB.SC cos BSC Suy AB  AC  BC  3a  ABC vuông A nên I trung điểm cạnh huyền BC Chọn D Câu 27: Do AA  AB  AD nên hình chiếu vng góc H A lên mặt phẳng  ABCD  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD  AB  AD Lại có  nên tam giác ABD   60  BAD Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD trọng tâm tam giác ABD Chọn B Câu 28: Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh S mặt đáy  ABC  Gọi E, F, G hình chiếu vng góc H cạnh AB, BC CA   SFH   SGH  Khi theo giả thiết tốn ta có SEH Các tam giác vng SHE  SHF  SHG nên HE  HF  HG  H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chọn A Trang 40  SA  CD Câu 29: Ta có   CD   SAD   CD  AM  AD  CD Mà AM  SD   AM   SCD  Chọn D   Câu 30: Ta có AC hình chiếu SC  ABCD   SC ;  ABCD    SC ; AC   SCA   45 Chọn C Tam giác SAC vng S, có SA  AC  a  SCA   Câu 31: AC hình chiếu SC  ABCD   SC ;  ABCD    SC ; AC   SCA  Tam giác SAC vng S, có tan SCA SA a   30 Chọn A  :a   SCA AC 3 Câu 32:  Vì OI đường trung bình tam giác SAC  OI // SA mà SA   ABCD   OI   ABCD   SA  BD  Ta có   BD   SAC   BD  SC  AC  BD  Vì BD qua trung điểm O AC Suy  SAC  mặt phẳng trung trực BD  SB  SD  SC Chọn A Câu 33: Ta có AA1  AB  AD; C1 A1  C1 B  C1 D Suy A, C1 cách ba đỉnh tam giác A1 BD Do AC1 trục đường tròn ngoại tiếp A1 BD Vậy AC1   A1 BD  Chọn B  AB  BC Câu 34: Ta có   AB   BCD   AB  CD Tam giác BCD vuông C BC  CD Do BD  BC  CD  b2  c Lại có AD  AB  BD  a  b  c Vậy AD  a  b  c Chọn A Trang 41  AB  BC Câu 35: Ta có   AB   BCD   AB  BD  AB  CD  DC  BC Mặt khác   DC   ABC   DC  AC  DC  AB Gọi O trung điểm AD, ABD vuông B nên OA  OB  OD Tương tự ta có ACD vuông C nên OA  OC  OD Vậy O cách bốn đỉnh A, B, C, D tứ diện ABCD Chọn C  SAB    ABCD   Câu 36:  SAD    ABCD   SA   ABCD    SA   SAB    SAD   Khi  SC ;  ABCD    SCA Mặt khác AC  AB  AD  a  Suy tan SCA SA    60    SC ;  ABCD    SCA AC Chọn C Câu 37: AC  a  OA  a 2  Do SA   ABCD    SO;  ABCD    SOA  Mặt khác tan SOA SA 2a   2 Chọn A OA a 2 Câu 38: Gọi I trung điểm AB  OI // AD  SA  AD Mà   AD   SAB   OI   SAB   AB  AD   Do SO ;  SAB    SO; SI   ISO Tam giác SAI vuông A  SI  SA2  AI  a   OI  Chọn B Tam giác SOI vuông I  tan ISO SI Trang 42 Câu 39: Gọi H trung điểm BC SH  BC Mặt khác  SBC    ABC   SH   ABC  Ta có SH  SB BC  a 3, AH   a (tính chất đường trung bình 2 tam giác vng)  Khi tan SAH SH   60   SAH AH   60 Chọn C Do  SA;  ABC    SAH Câu 40: Gọi H trung điểm BC SH  BC Mặt khác  SBC    ABC   SH   ABC   Do  SD;  ABCD    SDH Ta có: SH   cot SDH AB a a  , HD  AD  AH  2 SH a a 15  :  DH 2 Suy cot   15 Chọn B Câu 41: Gọi O tâm hình vng ABCD SO   ABCD  Ta có: AC  2  OA   SO  SA2  OA2     Khi đó:  SA;  ABCD    SAO Ta có: tan   SO 14 Chọn D   OA 2 Câu 42: Gọi H trọng tâm tam giác BCD Khi AH   BCD  Gọi M trung điểm CD đặt AB  a ta có: BM  a a , BH  BM  3  ABH   Do  AB;  BCD     Suy cos   BH Chọn A  AB Trang 43 Câu 43: Ta có SA   ABCD   B  BC  SA  BC   SAB   C   BC  AB  BD  AC Lại có   BD   SAC   D  BD  SA Khẳng định sai A Chọn A Câu 44: Tam giác SAC cân S có đường trung tuyến SO nên SO  AC Tương tự ta có SO  BD Vậy SO   ABCD  Chọn B Câu 45: Nếu a //   b    b  a Chọn C Câu 46: ABC nên đường trung tuyến CM đồng thời đường cao suy CM  AB Mặt khác CM  SA  CM   SAB  Do khẳng định A, C, D Khẳng định sai B Chọn B   Chọn C Câu 47: Do SA   ABCD    SC ;  ABCD    SCA  BD  AC Câu 48:   BD   SAC   BD  SC  BD  SA Chọn C Trang 44  Câu 49: Do SA   ABCD  suy  SC ;  ABCD    SCA Mặt khác AC  AB  AD  a  Suy tan SCA SA    60    SC ;  ABCD    SCA AC Chọn B Câu 50: SA   ABCD   SA  BD nên A  BC  SA  BC   SAB   BC  SB nên D   BC  AB Tương tự CD   SAD   CD  SD nên B Khẳng định sai C Chọn C  SA  CD Câu 51: Ta có   CD   SAD   CD  SD  AD  CD Gọi H hình chiếu D  SBC   DH   SBC    Suy SD ;  SBC    SD; SH   DSH Kẻ AI  SB  I  SB  mà BC   SAB   AI   SBC  Mà AD //  SBC   DH  AI  DH // AI  Tam giác SAB vuông A  AI  SA AB SA2  AB  Tam giác SDH vuông H  sin DSH Vậy cos    sin   DH  SD  a 2 AI SA  AD 2  14 sin  Chọn A  tan    cos    Câu 52: Ta có AC hình chiếu SC  ABCD   SC ;  ABCD    SC ; AC   SCA  Tam giác SAC vng S, có tan SCA SA a   Chọn D AC a 2 Trang 45 Câu 53: Gọi H trung điểm BC SH  BC Mặt khác  SBC    ABC   SH   ABC  SH  d  B;  SAD   AB a  ,sin   2 BD Trong BD  a 2, d  B;  SAD    2d  H ;  SAD   Dựng HE  SA  d  H ;  SAD    HE  SH HA SH  AH a a Chọn C   sin    4 a Câu 54: Ta có SA   ABCD   Khi  SB;  ABCD    SBA  Mặt khác cos SBA AB   60   SBA SB Chọn C Câu 55: Gọi I trung điểm BC Ta có: ABC , DBC tam giác cân nên AI  BC DI  BC Do BC   ADI   BC  AD Chọn C Câu 56: Gọi H hình chiếu M BD Và O tâm hình vng ABCD  SO // MH   Do BM ;  ABCD    BM ; BH   MBH Ta có SO // MH  Lại có MH DM a    MH  SO SD HD a 2a   OH  OD  BD   BH  DO 3 3   MH  Tam giác BMH vuông B  tan MBH BH Chọn B Trang 46 Câu 57: Kẻ AH  SB mà BC   SAB   AH   SBC  AB  Suy SA ;  SBC    SA; SH    ASH  sin  ASH  SB a Lại có AB  AC  BC  a   sin  ASH    ASH  30 Chọn B 2a Câu 58: SA   ABC  nên SA  AB, SA  AC suy tam giác SAB, SAC tam giác vng  BC  SA Lại có:   BC   SAB  BC  SB suy tam giác SBC  BC  AB vuông Chọn B Câu 59: Do SA   ABCD   Khi  SC ;  ABCD    SCA Mặt khác AC  AB  AD  a  Suy tan SCA SA   30    SC ;  ABCD    SCA AC Chọn A Câu 60: Gọi O giao điểm AC BD  SO   ABCD  Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt BD H  MH   ABCD  Ta có MB   ABCD    B MH   ABCD     MB;  ABCD     MB; HB   MBH Ta có AC  AB  BC  a  OA  Ta có SO  SA2  OA2  Ta có BH  AC a  2 a SO a  MH   2 3 3a BD  a  4 a MH   Ta có tan MBH    tan  MB;  ABCD    Chọn D BH 3a 3 Trang 47 Câu 61: Gọi H trọng tâm tam giác BCD Khi AH   BCD  Gọi M trung điểm CD đặt AB  a ta có: BM  a a , BH  BM  3 Do  AB;  BCD     ABH   Suy cos   BH Chọn A  AB Câu 62: Gọi I trung điểm AC  Trong mặt phẳng  BMIB  gọi E  MN  BI Ta có sin  MN ;  BAC     Mặt khác d  M ;  BAC    ME , BM  a EM MI 2    ME  MN  BM  BN  a NE BN 3 d  M ;  BAC     d  B;  BAC     d  M ;  BAC      BI BB BB2  BI a 21 21  sin  MN ;  BAC      cos   Chọn D 14 Câu 63: IC  IB  BC  3, SI  AB   Do SI   ABCD    SC ;  ABCD    SIC  Lại có: tan SIC SI   30   SCI IC Chọn A Câu 64: Do SA   ABCD   Khi  SC ;  ABCD    SCA Mặt khác AC  AB  AD  a  Suy tan SCA SA    45    SC;  ABCD    SCA AC Chọn A Câu 65: Ta có BO  AC , BO  SA Trang 48  Suy BO   SAC    SB;  SAC    BSO a a Lại có ABC cân B có  ABC  60 nên tam giác ABC nên BO  , OA  2  SO  SA2  AO   Do tan BSO 3a OB   30 Chọn B   BSO SO Câu 66: Chóp A.BCD có tất cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác BCD Khi AH   BCD  Gọi M trung điểm CD đặt AB  a ta có: BM  a a , BH  BM  3 Do  AB;  BCD     ABH   Suy cos   BH Chọn C   cot   AB Câu 67: Gọi M trung điểm CD, kẻ AH  SM  H  SM  Ta có  ADC  60  ACD  AM  CD  CD   SAM  Do CD  AH   AH   SCD   SH hình chiếu SA  ;  SCD    SA; SH    ASH   ASM  SCD   SA a AM Tam giác SAM vuông A có tan  ASM    SA a  Vậy tan SA ;  SCD   tan  ASH  Chọn A  SA  AB Câu 68: Ta có   AB   SAD   SA hình chiếu SB  AD  AB   SAD    SB ;  SAD    SB; SA    ASB AB Tam giác SAB vuông A   tan  ASB   SA Suy cos  ASB  1  tan  ASB  Chọn D Câu 69: Ta có AH hình chiếu AA  ABC  Trang 49  AA;  ABC    AA; AH    AAH  60 AH  tan  AAH   AH  tan 60 AH  a AH Lại có CH hình chiếu AA  ABC   AC ;  ABC    AC ; CH    ACH  60 AH   tan  ACH   a : a 1  ACH  Chọn A HC  SA  BD Câu 70: Ta có   BD   SAC   AC  BD Kẻ AH  SO  H  SO  mà BD  AH  AH   SBD  Suy SH hình chiếu SA  SBD    SA ;  SBD    SA; SH    ASH   ASO Tam giác ABC cân có  ABC  60  ABC   AO   AB  BC  AC  2a  AO  a  tan ASO SA  Vậy SA ;  SBD    ASO  30 Chọn C Câu 71: Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  , ta có SHC  SHA  HC  HA  H thuộc trung trực AC Gọi I trung điểm AC CAB vng cân C (do BA  BC , BA2  BC  AC ) Do CI trung trực AC   SBI  Ta có:  SB;  ABC    SBH Mặt khác SB  a 2; BI   cos SBI AC a a  ; SI  SA2  AI  2 BS  BI  SI 2   45 Chọn B   SBI BS BI Câu 72: Gọi H hình chiếu vng góc M  ABCD  Gọi N trung điểm AC MN // AC Suy MN   SBD  nên sin   cos  MN ; EM  Lại có MN  AC a SB a  , EN   2 2 Trang 50 ME  MH  HE , MH  SO a  HE  CH  CE  2CH CE cos 45   ME  a 10 2 a   MN  ME  NE   tan   Chọn C  sin   cos NME 2 MN ME Câu 73: Gọi Q   MNP   AD Ta có: AB // MN, PQ   ABD    MNP   PQ // AB // MN Thiết diện hình thang cân MNPQ có MN  3a, PQ  2a Lại có MQ  NP  BN  BP  BN BP cos 60  a 13 a 51  MN  PQ  Chiều cao hình thang cân h  MQ     2   Diện tích thiết diện: S  MN  PQ 5a 51 Chọn D h Câu 74: Do SA   ABCD   Khi  SC ;  ABCD    SCA Mặt khác AC  AB  AD  3a , SA  SB  AB  4a  SC  SA2  AC  a 34  Suy sin SCA SA 34  Chọn D SC 17 Câu 75: Gọi K trung điểm CD  MK  AC Ta có   MK   SAC   MK  SA BD a Suy sin   cos  MK ; MN , MK   , 2 KN  SC  SA2  AC a  2 Gọi H trung điểm AD NH  AD NM  NH  MN  a 2 2   MK  MN  KN  10  tan   Chọn A  sin   cos NMK MK MN Câu 76: Gọi H trọng tâm tam giác ABC SH   ABC  Trang 51  AB  SC Ta có:   AB  SC , dựng AC1  SC  AB  CH Khi cos  ASC  SC   ABC1  , để C1 nằm S C  ASC góc nhọn suy SA2  SC  AC 2b  a  0 SA.SC SA.SC  a  b Chọn C Câu 77: Gọi H trung điểm AB  SH  AB Suy SH   ABCD  (vì  SAB    ABCD  ) Kẻ HM  AB  M  CD   HM    Do thiết diện tam giác SHM vng H Ta có SH  a ; HM  BC  2a a a2 Vậy S SHM  Chọn B .2a  2 Câu 78: Kẻ AH  SC  H  SC  nên AH   P  Kẻ AK  SB  K  SB  mà BC   SAB   BC  AK Suy AK   SBC   AK  SC nên AK   P  Do thiết diện cần tìm tam giác AKH vng K Ta có AC  AB  BC  2a  SAC cân  AH  Tam giác SAB vuông A  AK  Suy HK  AH  AK   S AHK  SA AB SA2  AB  SC a 2 2a 5 a 30 1 2a a 30 a AK HK   Chọn D 2 5 Câu 79: Kẻ AI  SM  I  SM  nên AI   P  Ta có SM   P  mà SM  BC  BC //  P  Qua I kẻ đường thẳng d // BC , cắt SB, SC H, K Do thiết diện cần tìm tam giác AHK cân A Ta có SA  AM  a  I trung điểm SM  AI  Lại có HK // BC  SM a  2 HK SI BC    HK  a BC SM 2 Trang 52 Suy S AHK  1 a a2 AI HK  a  Chọn C 2 Câu 80: Dựng MN  AB  N  CD   N trung điểm CD Dựng MQ // SA  Q  SB   MQ  AB Q trung điểm SB Dựng QP // MN  P  SC  thiết diện hình thang MNPQ vng M Q Ta có: MN  MQ  AD  BC BC  7, QP   3, 2 SA MN  PQ   S MNPQ  MQ  15 Chọn C 2 Câu 81: Dựng MI // SO  I  SA  , qua M dựng đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC P Q  MI  AA Ta có:   AA   PQI   PQ  AA Qua I dựng đường thẳng song song với BC cắt cạnh SB, SC F, E Thiết diện hình thang PQEF Lại có: OA  PQ AM x 2x    PQ  BC AA a 3 a a 33 , SO  SA2  OA2  3 IM AM   SO AO a a x x EF SI OM  IM  a  x ,    BC SA OA a a 3 Do EF  x  2a , diện tích thiết diện S     PQ  EF MI  a  x x  2a  2 x  3ax  3a Chọn A      Trang 53 ... AHMD Dễ thấy AH   SBC   AH  MH MH // AD  AHMD hình thang vng Lại có SHM ∽ SBC  SH MH 2 2a    MH  BC  SB BC 3 Diện tích hình thang vuông AHMD S  1 a  2a  5a AH  HM  AD   ... MNP   PQ // AB // MN Thiết diện hình thang cân MNPQ có MN  3a, PQ  2a Lại có MQ  NP  BN  BP  BN BP cos 60  a 13 a 51  MN  PQ  Chiều cao hình thang cân h  MQ     2   Diện tích... , AE  SA AB AD AB  AD 2  2a AE  tan  ASE   SA 5 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc SA