bai giang duong thang song song voi mat phang

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI GIẢNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng + Nắm phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng  Kĩ + Thành thạo kỹ chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng   Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng không gian Đường thẳng d song song với mặt phẳng   chúng khơng có điểm chung Đường thẳng d cắt mặt phẳng   chúng có điểm chung Đường thẳng d chứa mặt phẳng   đường thẳng d mặt phẳng   có hai điểm chung trở lên Tính chất a) Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng   d song song với   Khi d song song với đường thẳng d  nằm   b) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   Nếu mặt phẳng    chứa a cắt   theo giao tuyến b b song song với a TOANMATH.com Trang   c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng d) Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường song song với đường thẳng SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình Chứng minh đường thẳng d khơng nằm mặt bình hành Chứng minh AB //  SCD  phẳng   song song với đường thẳng d  nằm Hướng dẫn giải mặt phẳng   đường thẳng d song song với mặt phẳng   Ta có AB // CD mà CD   SCD   AB //  SCD  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M trung điểm CD, E trung điểm AM F trung điểm BM a) Chứng minh EF song song với mặt phẳng  ABC   ABD  b) Lấy điểm N cạnh AC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  NEF  Thiết diện hình gì? Hướng dẫn giải a) Ta có EF đường trung bình tam giác ABM suy EF // AB Do AB   ABC  nên EF //  ABC  AB   ABD  nên EF //  ABD  b) Kéo dài NE cắt AD P TOANMATH.com Trang   Do EF //  ABD  nên kẻ Px // AB cắt BD Q Kẻ QF cắt BC R Khi hình thang NPQR thiết diện mặt phẳng  NEF  với tứ diện ABCD Ví dụ Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm ABD M điểm cạnh BC cho BM  MC Chứng minh đường thẳng MG song song với mặt phẳng  ACD  Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AD Ta có G trọng tâm ABD BG  BI Mặt khác, M  BC BM  MC  Từ suy BM  BC BG BM  BI BC Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy GM // CI Mà CI   ACD  nên GM //  ACD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, I trung điểm cạnh SC Chứng minh đường thẳng OI song song với mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  SAD  Hướng dẫn giải Ta có IO đường trung bình tam giác SAC suy IO // SA Do SA   SAB  SA   SAD  từ suy IO //  SAB  IO //  SAD  Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, BD a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng  ACD  b) E điểm nằm miền tam giác ACD Tìm giao điểm đường thẳng BE mặt phẳng  AMN  Hướng dẫn giải a) Vì M, N trung điểm BC, BD nên MN // CD TOANMATH.com Trang   CD   ACD  Ta có  Do MN //  ACD   MN   ACD  b) Trong  ACD  gọi F  AE  CD Ta có BE   ABF  Xét  ABF   AMN  , có A   ABF    AMN  Trong  BCD  có I   BF  MN  I   ABF    AMN  Suy AI   ABF    AMN  Trong  ABF  gọi H   BE  AI Suy H   BE   AMN  Ví dụ Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh IJ //  BCD  Hướng dẫn giải Gọi M, N trung điểm BC BD Khi AI AJ   AM AN Suy IJ // MN Mà MN   BCD   IJ //  BCD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Chứng minh: MN //  SBC  MN //  SAD  b) Gọi P trung điểm SA Chứng SB, SC song song với  MNP  c) Gọi K, L trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh KL //  SAC  Hướng dẫn giải a) Do M, N trung điểm AB CD nên MN đường trung bình hình bình hành ABCD nên MN // AD // BC Từ suy MN //  SAD  MN //  SBC  b) Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có PM đường trung bình tam giác SAB suy PM // SB nên SB //  MNP  Do MN đường trung bình hình bình hành ABCD suy TOANMATH.com Trang   O  MN Xét tam giác SAC có P, O trung điểm SA AC nên PO đường trung bình tam giác SAC suy PO // SC Từ suy SC //  MNP  PO   MNP  c) Gọi I trung điểm BC Do K trọng tâm tam giác ABC  IK  IA Tương tự L trọng tâm tam giác SBC  Từ ta có IL  IS IK IL   KL // SA nên KL //  SAC  IA IS Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn khẳng định khẳng định sau A Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Nếu a //  P  tồn  P  đường thẳng b để b // a  a //  P  C Nếu  a // b  b   P  D Nếu a //  P  đường thẳng b cắt mặt phẳng  P  hai đường thẳng a b cắt Câu 2: Cho mặt phẳng   đường thẳng d    Khẳng định sau sai? A Nếu d //     tồn đường thẳng  cho  // d B Nếu d //   b    b // d C Nếu d      A d     d d  cắt chéo D Nếu d // c; c    d //   Câu 3: Cho mệnh đề: a // b, b   P   a //  P  a //  P  , a   Q  với   Q   Q    P   b  b // a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu a, b hai đường thẳng chéo có vơ số mặt phẳng chứa a song song với b Số mệnh đề là: A B C D Câu 4: Cho hai đường thằng a b chéo Có mặt phẳng chứa a song song với b? TOANMATH.com Trang   A B C D Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N theo thứ tự trọng tâm SAB; SCD Khi MN song song với mặt phẳng A  SAC  B  SBD  C  SAB  D  ABCD  Câu 6: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm ABD M điểm cạnh BC, cho BM  MC Đường thẳng MG song song với A  ABD  B  ABC  C  ACD  D  BCD  Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD E, F trung điểm AB AD Chọn khẳng định khẳng định sau A IJ //  SAD  B IJ //  ABD  C IJ //  SAB  D IJ //  SDB  Câu 8: Đường thẳng a //  P  A a // b b //  P  B a   P   a C a   P   b D a // b, b   P  a   P  Câu 9: Cho tứ diện ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, AC Xét vị trí tương đối MN mp  BCD  Khẳng định đúng? A MN song song với  BCD  B MN cắt  BCD  C MN chứa  BCD  D Không xác định vị trí tương đối Câu 10: Cho tứ diện ABCD, gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác BCD ACD Mệnh đề sau sai? A G1G2 //  ABD  B Ba đường thẳng BG1 , AG2 CD đồng quy C G1G2 //  ABC  D G1G2  AB Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang Gọi P, Q hai điểm nằm cạnh SA SB cho SP SQ   Khẳng định sau đúng? SA SB A PQ cắt  ABCD  B PQ   ABCD  C PQ //  ABCD  D PQ CD chéo Câu 12: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng, có tâm O O Chọn khẳng định khẳng định sau A OO //  ABEF  B OO //  ADF  C OO //  BDF  D OO //  ABCD  TOANMATH.com Trang   Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình Sử dụng định lí: hành ABCD, O tâm hình bình hành ABCD M Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng trung điểm SB Tìm thiết diện mặt phẳng Nếu mặt phẳng chứa d cắt theo giao tuyến   song song với d với hình chóp S.ABCD   qua M; song song với SD CD Hướng dẫn giải Ta có M    M   SAB  Mặt khác CD //   suy     SAB   Mx Mx // CD Mx  SA   N  Ta lại có MO đường trung bình tam giác SBD nên MO // SD  O    Suy     ABCD   Oy, Oy // CD Oy cắt AD BC P, Q Vậy MNPQ thiết diện mặt phẳng   với hình chóp S.ABCD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD Trên cạnh BC, CD, AD lấy điểm M, Dựng thiết diện tạo N, P trung điểm chúng Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng  MNP  Hướng dẫn giải Ta có MN đường trung bình tam  MNP  với tứ diện ABCD ta tìm giao điểm  MNP  với tất cạnh tứ diện giác BCD nên MN // BD TOANMATH.com Trang   Do P  AD nên  MNP    ABD   Px cho Px // BD Px  AB  Q Khi thiết diện mặt phẳng  MNP  với tứ diện ABCD tứ giác MNPQ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng  AMN  c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng  AMN  Hướng dẫn giải a) Ta có S điểm chung thứ hai mặt phẳng  SAD   SBC  Kéo dài BC cắt AD I Khi I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng  SAD   SBC  Suy SI giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  b) Trong mặt phẳng  SBC  kéo dài MN cắt SI E Gọi F giao điểm AE SD Ta có F  SD F  AE mà AE   AMN  nên F  SD   AMN  c) Ta có MN // BC nên BC //  AMN  Thiết diện  AMN  với hình chóp S.ABCD tứ giác AMNF Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi H K trung điểm cạnh CB CD, M điểm cạnh SA Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MHK  Hướng dẫn giải Ta có HK đường trung bình tam giác BCD nên HK // BD TOANMATH.com Trang 10   Gọi E  AH  BD; nối SE cắt MH F Do HK // BD nên giao tuyến  MHK  với mặt phẳng  SBD  đường thẳng qua F song song với BD cắt SB, SD N, I Suy thiết diện  MHK  với hình chóp S.ABCD ngũ giác MNHKI Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABC Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng  IJK  Hướng dẫn giải Gọi M N trung điểm BC CD Do K, J trọng tâm tam giác ABC ACD nên AK AJ   AM AN Áp dụng định lý Ta-lét suy KJ // MN Suy  KIJ    BCD   Ix , Ix // MN Giả sử Ix cắt BC, CD P Q Vậy thiết diện mặt phẳng  KIJ  với tứ diện ABCD tứ giác KPQJ   30 M Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, tam giác BCD vng C góc BDC điểm thay đổi cạnh BD; AB  BD  a; đặt BM  x Mặt phẳng   qua M song song với AB, CD a) Dựng thiết diện tứ diện với   b) Tính diện tích S thiết diện c) Xác định vị trí M BD để S lớn Hướng dẫn giải a) Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AD N TOANMATH.com Trang 11   Qua M, N dựng đường thẳng song song với CD cắt BC, AC Q, P Tứ giác MNPQ thiết diện tạo mặt phẳng   với tứ diện ABCD b) Theo cách dựng ta có NP // MQ Mặt khác AB //  MNPQ  mà AB PQ nằm mặt phẳng  ABC  nên AB // PQ Suy PQ // MN hay tứ giác MNPQ hình bình hành Ta lại có CD  AB  MN  NP Vậy MNPQ hình chữ nhật   a.cos30  a Xét tam giác BCD, có CD  BD.cos BDC Do MQ // CD suy Ta có BM MQ BM x a x   MQ  CD   BD CD BD a 2 DM MN DM   MN  AB  DM  a  x DB AB DB Vậy diện tích thiết diện MNPQ S  MN MQ   a  x  x c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a  x x Ta có a  a  x  x  Suy S   a  x  x   a  x  x  a4 a a2 a2  Dấu “=” xảy a  x  x  x  hay M trung điểm BD Vậy diện tích thiết diện lớn M trung điểm BD Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc đoạn AC Mặt phẳng   qua M song song với AB AD Thiết diện   với tứ diện ABCD hình gì? A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình thang D Hình ngũ giác Câu 2: Cho tứ diện ABCD, điểm G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng   qua G, song song với AB CD   cắt trung tuyến AM tam giác ACD K Chọn khẳng định A   cắt tứ diện ABCD theo thiết diện hình tam giác B AK  AM C AK  AM TOANMATH.com Trang 12   D Giao tuyến    CBD  cắt CD Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng  P  qua BD song song với SA Khi mặt phẳng  P  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện A hình thang B hình chữ nhật C hình bình hành D tam giác Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M trung điểm AB, mặt phẳng   qua M song song với SB AD, thiết diện hình chóp cắt   hình gì? A Hình bình hành B Hình thang C Tứ giác D Ngũ giác Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng  IBC  A tam giác IBC B hình thang IJBC (J trung điểm SD) C hình thang IGBC (G trung điểm SB) D tứ giác IBCD Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M điểm thuộc đoạn SB (M không trùng với S B) Mặt phẳng  ADM  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện A hình bình hành B tam giác C hình chữ nhật D hình thang ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1-B 2-B 11-C 12-B 3-A 4-B 5-D 6-C 7-B 8-D 9-A 10-D Câu Mệnh đề B sai b d chéo Câu Nếu a, b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b nên mệnh đề sai Câu Nếu a, b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b TOANMATH.com Trang 13   Câu Gọi E F trung điểm AB CD Do M; N trọng tâm tam giác SAB, SCD nên S, M, E thẳng hàng; S, N, F thẳng hàng Xét SEF có SM SN nên theo định lý Ta-lét ta có   SE SF MN // EF Mà EF   ABCD  nên MN //  ABCD  Câu Gọi P trung điểm AD Ta có BG BM   nên GM // PC mà PC   ACD  BP BC Vậy GM //  ACD  Câu Vì I; J trọng tâm tam giác SAD SAB nên SI SJ    IJ // EF SE SF Do EF   ABD  nên IJ //  ABD  Câu Câu A sai a nằm  P  Câu B đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng khơng có điểm chung Câu C sai a  P  khơng có điểm chung Câu MN // BC   BCD   MN //  BCD  TOANMATH.com Trang 14   Câu 10 Gọi M trung điểm CD Xét ABM ta có G G // AB MG1 MG2      D sai MB MA G1G2  AB  Vì G1G2 // AB  G1G2 //  ABD   A Vì G1G2 // AB  G1G2 //  ABC   C Ba đường BG1 , AG2 , CD đồng quy M  B Câu 11  PQ // AB   AB   ABCD   PQ //  ABCD    PQ   ABCD  Câu 12 Có O trung điểm BD; O trung điểm BF nên OO // DF Vì DF   ADF  nên OO //  ADF  Dạng Dựng thiết diện song song với đường thẳng 1-A 2-B 3-D 4-B 5-B 6-D Câu    ABC  có M chung,   song song với AB, AB   ABC       ABC   Mx , Mx // AB gọi Mx  BC   N     ACD  có M chung,   song song với AD, AD   ACD       ACD   My, My // AD My  CD  P Ta có     ABC   MN ;     ACD   MP;     BCD   NP Thiết diện   với tứ diện ABCD tam giác MNP TOANMATH.com Trang 15   Câu   qua G, song song với CD      BCD   HI (giao tuyến qua G song song CD, H  BC , I  CD ) Tương tự ta     ABD   IJ cho IJ // AB     ACD   JN cho JN // CD     ABC   HN Vậy    HNJI  Vì G trọng tâm tam giác BCD mà IG // CD nên Mặt khác IJ song song AB nên BG BI   BM BC BI AJ   BC AD Lại có JK song song DM (vì K  AM , M  CD ) nên Vậy AK  AK AJ   AM AD AM Câu Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD  I trung điểm AC BD  P  // SA   P    SAC   OI   BD   P  Khi OI // SA I trung điểm SC  P    SBC   BI  P    SCD   ID Vậy thiết diện tam giác BDI Câu   song song với SB nên   cắt  SAB  theo giao tuyến MN với N trung điểm SA   song song với AD nên   cắt  ABCD   SAD  theo giao tuyến MQ NP với P, Q trung điểm SD MQ // AD Ta thiết diện hình thang MNPQ TOANMATH.com Trang 16   Câu BC //  SAD  nên giao tuyến  IBC   SAD  IJ (J trung điểm SD) Khi thiết diện hình thang IJCB Câu Ta có M điểm thuộc đoạn SB với M khác S B  M   ADM    SBC    AD   ADM  Suy   BC   SBC    AD // BC   ADM    SBC   Mx cho Mx // BC // AD Gọi  N   Mx  SC  ADM  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác AMND Vì MN // AD MN với AD không nên tứ giác AMND hình thang TOANMATH.com Trang 17 ...   d song song với   Khi d song song với đường thẳng d  nằm   b) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   Nếu mặt phẳng    chứa a cắt   theo giao tuyến b b song song với... TOANMATH.com Trang   c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng d) Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường song song...  b // a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu a, b hai đường thẳng chéo có vơ số mặt phẳng chứa a song song với b Số mệnh đề là: A B C