tai lieu chu de hai duong thang vuong goc

CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian     Góc hai vectơ a b khác định nghĩa góc      AOB với OA  a ; OB  b    Nếu a b ta quy ước góc chúng nhận giá trị tùy ý     Tích vơ hướng hai vectơ a b số, ký hiệu a.b      xác định a.b  a b cos a; b từ suy cosin góc hai      a.b vectơ a b cos a; b    a.b          Đặc biệt a  b  cos a; b   a.b     Tính chất tích vơ hướng:    Cho vectơ a ; b ; c số thực k Khi ta có:        i) a.b  b.a ii) a b  c  a.b  a.c       iii) k a b  k a.b  a kb         2 iv) a  a 2) Góc hai đường thẳng khơng gian  Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng a , b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a , b song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a b không thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a b qua điểm song song với a b  Cách xác định góc hai đường thẳng: Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại     Nếu u vectơ phương đường thẳng a v vectơ phương đường thẳng b u; v     góc đường thẳng a b  0    90 180   90    180 Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0 Trang Góc hai đường thẳng góc có số đo 0    180  Phương pháp tính góc hai đường thẳng: Để tính góc hai đường thẳng không gian ta cần nhớ công thức sau:  – Định lý hàm số cosin tam giác ABC : cos BAC Tương tự ta có: cos  ABC  AB  AC  BC 2 AB AC BA2  BC  AC CA2  CB  AB cos  ACB  2.BA.BC 2.CA.CB      AB  AC  BC  Chú ý công thức đặc biệt: AB AC  AB AC cos BAC   – Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào công thức     AB.CD   AB.CD cos AB; CD     cos  AB; CD     AB CD AB CD   Từ suy góc hai đường thẳng AB CD 3) Hai đường thẳng vng góc  Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 90 Ký hiệu: a  b b  a  a //b  Mối quan hệ quan hệ song song vng góc:   c  b c  a II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA   ABC  SA  a Gọi M , N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải: Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM  CE     a  Khi AE //CM   AN ; CM   AN ; AE   Mặt khác SC  SA2  AC  2a  độ dài đường trung tuyến AN AN  a SC  a AE  CM  2 Do ABC nên CM  AM  AMCE hình chữ nhật Khi CE  AE mà CE  SA  CE   SAE   CE  SE SEC vuông E có đường trung tuyến EN   Ta có: cos NAE SC  a AN  AE  NE 3    cos   AN AE 4 Trang         Cách 2: Ta có: AN  AS  AC ; CM  AM  AC  AB  AC 2           1 a 3a Khi AN CM  AS  AC  AB  AC   AB AC  AC  a cos 60   2 2    Lại có AN    SC a  a; CM   cos = 2 3a a a  Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ dàng nhiều! Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  AB  a; AC  a BC  a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải: Cách 1: Gọi M , N , P trung điểm SA, SB AC  MP //SC Khi    SC ; AB    MP; MN   MN //AB Ta có MN  AB a SC a  ; MP   2 2 Mặt khác SAC vuông S  SP  BP  AC a  2 BA2  BC AC a   a  BP  2 Suy PN  PS  PB SB a   a  NP  4 MN  MP  NP   120        NMP SC ; AB   60 2.MN MP             Cách 2: Ta có: AB  SB  SA  AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  Khi cos NMP    1 a2 SB  SC  AC    SA2  SC  AB     2 a 2 Suy cos  SC ; AB      SC ; AB   60 a.a Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  x1 , CD  x2 ; AC  y1 , BD  y2 , BC  z1 , AD  z2 Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải:          Ta có BC.DA  BC DC  CA  CB.CD  CB.CA   Trang 1 CB  CD  BD    CB  CA2  AB    AB  CD  BD  CA2   2   BC.DA x12  x22  y12  y22 Khi cos  BC ; DA    BC.DA z1 z2     BC ; AD    Đặc biệt: Nếu AB  CD  x; AC  BD  y BC  AD  z ta đặt     AB; CD  ta có:      AC ; BD  cos = x2  y z2 ; cos = y2  z2 x2 ; cos = z  x2 y2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 2a , SA   ABCD  SB  a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Lời giải:  Cách 1: Do SA   ABCD  Ta có: SA  SB  AB  a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN //BE //MI Ta có: AM  a; AI  AE a  2 Mặt khác: SM  SA2  AM  2a ; SI  5a 2 5a   SM  MI  SI  10  cos  SM ; DN  Do cos SMI 2.SM MI           Cách 2: Ta có: SM DN  SM SN  SD  SM SN  SM SD MI  AI  AM     1 SM  SN  MN    SM  SD  MD   2 Mặt khác: SN  SA2  AN  SA2  AB  BN  6a , MN    Do SM DN  2a  cos  SM ; DN   2a SM DN  AC  a , SD  5a , MD  5a 2a 10  a 2.a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a; AD  a , SA   ABCD  SA  2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Trang Lời giải:  a) Do BC //AD   SD; BC    SD; AD   SDA   AD  SAD vuông A  cos SDA SD AD AD  SA2  b) Gọi M , K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK //SB , mặt khác MC //AI Suy  SB; AI    MK ; CM  Ta có: MK  SB  SA2  AB a 3a  ; MC  MB  BC  ; 2 KC  KA2  AC  2a KM  MC  KC 1   cos  SB; AI   2.KM MC 5          Cách 2: Ta có: SB AI  SB SI  SA  SB.SI  SB.SA  Khi cos KMC    1 SB  SI  BI    SB  SA2  AB   2 Do SB  5a ; SI  SA2  AD  DI  25a 3a ; AI  AD  DI   IB   SB AI a2   a Suy SB AI   cos  SB; AI     SB AI a 3a 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a ,  ABC  60 Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30 Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC , với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy  ABCD  Lời giải: a) Do AB  BC  a,  ABC  60  ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB , tam giác SAB S nên SH  AB  SAB    ABCD  Mặt khác   SH   ABC   AB   SAB    ABCD  ABC nên CH  a   ,  SC ;  ABC    SCH  30 Ta có: SH  HC tan 30  a Trang   120  HD  AH  AD  AH AD cos120  a ABC  60  BAD Do  Suy SA  SH  HA2  a , SD  SH  HD  a 2 2   DS  DA  SA  Mặt khác AD //BC   BC; SD    AD; SD , cos SDA 2.DS DA BC ; SD   Do cos          b) Ta có SC.DH  SC SH  SD  SC.SH  SC.SD    1 3a SH  SC  HC    SC  SD  CD     2   SC.DH 3a Mặt khác SC  SH  HC  a  cos  SC ; DH     SC.DH 14 a a  DH / / BI  Cách 2: Gọi I trung điểm CD   a  DH  BI    MI / / SC a  2 Gọi M trung điểm SD   SC a Lại có BD  a 3; SB  SH  HB   MI   Do BM  2 BD  BS SD   MI  IB  MB  17   a  cos MIB 2.IM IB 14 4 DH ; SC   Suy cos 17 14 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải: a) Ta có: AC  AB  BC  a    60 Do SA   ABCD    SC;  ABC    SCA Khi SA  AC tan 60  a Do AD / / BC   BC ; SD    AD; SD  Trang ADS  Mặt khác cos   2a 6a  a 2 AD  SD AD SA2  AD 10  cos  BC ; SD   b) Gọi E trung điểm AD  AE  DE  BC  a  ABCE hình vuông cạnh a Do CE  AD  ACD vuông C a          1 Lại có: AI SD  SI  SA SD  SI SD  SA.SD   SI  SD  DI    SA2  SD  AD  2 Ta có: CD  CE  ED  a  ID    Trong AI  AC  CI  5a 17 a  SI  SA2  AI  2   3a 3a Do AI SD  3a  cos  AI ; SD     AI SD a 10 a 10  MI / / SD a 10 SC  Cách 2: Gọi M trung điểm SC   SD a 10 , AI  , AM   a   MI   2  Khi cos MIA IA2  IM  AM  2.IA.IM Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu điểm A xuống mặt đáy  ABC  trùng với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính tan góc tạo BC  AC b) Cosin góc tạo CC AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC Ta có: BC / / B C    B C ; AC    BC ; AC    ACH  AAH  60 Mặt khác AH   ABC    AA;  ABC     AH  a 3a  AH  AH tan 60  2 Xét tam giác vng AHC ta có tan  ACH  AH  HC Vậy tan  B C ; AC   b) Do CC  / / AA   CC ; AB    AA; AB  Trang Ta có: AA  AH  HA2  a AB  AH  HB  Vậy cos  CC ; AB   a 10 AA2  AB  AB  cos  AAB   2 AA AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  BCD  Biết tam a , AC  a 2, CD  a Gọi E trung điểm AC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AB DE giác BCD vuông C AB  A 45 B 60 C 30 D 90 Lời giải Gọi H trung điểm BC EH / / AB  EH   BCD   EH  HD Suy  AB; DE    EH ; DE  Ta có: HE  AB a a  , BC  AC  AB   DH  DC  CH   tan DEH 3a DH   60   DEH EH   60 Chọn B Vậy  AB; DE    EH ; DE   DEH Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  BCD  a , AC  a 2, CD  a Gọi E trung điểm AC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AB CE Biết tam giác BCD vuông C AB  A 60 B 45 C 30 D 90 Lời giải Gọi H trung điểm BD  EH / / AB  EH   BCD  Vậy EH  CH , ta có BC  AC  AB  a 2 Trang Suy BD  BC  CD  Lại có EH  a BD a  CH   2 AB a   CH  EHC vuông cân H   45 Chọn B Do  AB; CE    EH ; CE   CEH Ví dụ 11 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , C D Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 60 B 90 C 30 D 45 Lời giải Dễ thấy MN đường trung bình tam giác ABC nên MN / / AC   MN ; AP    AC ; AP  Lại có AC  a 2, CP  CC 2  C P  a AP  AP  AA2  AD2  DP  AA2   Do cos CAP 3a AP  AC  CP 2  AP AC   45    CAP MN ; CP  Chọn D Ví dụ 12 Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Gọi I , J trung điểm SA, BC Tính số đo góc hợp IJ SB A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Gọi M trung điểm AB MI , MJ đường trung bình tam giác ASB ABC Ta có: MI  MJ  a Mặt khác JA  JS  a  tam giác JSA cân J  JI  SA a  MI  MJ  IJ nên tam giác MIJ vuông cân M   IJ ; SB    IJ ; IM   45 Chọn A Khi IJ  SJ  SI  Ví dụ 13 Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD Trang A 90 B 60 C 45 D 75 Lời giải Gọi I trung điểm SA MICN hình bình hành nên MN / /CI  BD  AC Mặt khác  (với O tâm hình vng ABCD )  BD  SO Suy BD   SAC   BD  CI  BD  MN Vậy  MN ; BD   90 Chọn A Ví dụ 14 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  A 30 B 90 C 45 D 60 Lời giải Gọi E điểm thuộc AB cho BA  BE Ta có ABEB hình bình hành nên AB / / BE Lại có AE  2a, BC   AE  EAC  vuông C  Khi C E  AE  AC 2  a 3, BE  AB  a BC   BB2  C B2  a  BEC  tam giác   60 Chọn D Do  AB; BC     BE ; BC    EBC Ví dụ 15 Cho tứ diện ABCD có AB  6, CD  , góc AB CD 60 điểm M BC cho BM  2MC Mặt phẳng  P qua M song song với AB CD cắt AC , AD, BD N , P, Q Diện tích MNPQ A 2 B C D Lời giải Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có  MN  MN CM   AB CB AB 2 Tương tự MQ / /CD  MQ BM 2    MQ  CD  CD BC 3 Lại có MN / / AB , MQ / / CD   MN ; MQ    AB; CD   60 Khi S MNPQ  S MNQ  MN MQ sin  MN ; MQ   2.2.sin 60  Chọn C Trang 10 Ví dụ 16 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB  4, CD  M điểm thuộc cạnh BC cho MC  BM Mặt phẳng  P  qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện  P  với tứ diện A B C 17 D 16 Lời giải Mặt phẳng  P  qua M song song với AB CD cắt AC , AD, BD N , P , Q Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có  MN  MN CM   AB CB AB  3 Tương tự MQ / / CD  MQ BM 1    MQ  CD  CD BC 3 Lại có MN / / AB , MQ / / CD   MN ; MQ    AB; CD   90 Khi S MNPQ  S MNQ  MN MQ sin  MN ; MQ  16 2.sin 90  Chọn D 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Câu Trong khơng gian cho đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau đúng? A Nếu a / /b c  a c  b B Nếu góc a c góc b c a / /b C Nếu a b vng góc với c a / /b D Nếu a b nằm mặt phẳng   / /c góc a c góc b c Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng  P  , a   P  Mệnh đề sau sai? Trang 11 A Nếu b   P  b / / a B Nếu b   P  b  a C Nếu b / / a b   P  D Nếu b  a b / /  P  Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB, DM A B C 3 D Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D Góc hai đường thẳng BA, CD A 90 B 60 C 30 D 45 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB  a, O trung điểm AC SO  b Gọi    đường thẳng qua C ,    chứa mặt phẳng  ABCD  khoảng cách từ O đến    a 14 Giá trị lượng giác cos  SA  ,    A 2a 4b  2a B a 2b  4a C 2a 2b  4a D a 4b  2a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (số đo góc làm trịn đến hàng đơn vị) A 39 B 42 C 51 D 48 Câu Cho hình chóp S ABCD có SA  AB  a Góc SA CD A 60 B 30 C 90 D 45 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC.DEF có cạnh a , chiều cao 2a Tính cosin góc tạo hai đường thẳng AC , BF A 10 B C 5 D 10 Câu 10 Cho hình lập phương ABCD ABC D (tham khảo hình vẽ) Góc hai đường thẳng AC BD A 30 B 90 C 60 Trang 12 D 45 Câu 11 Cho hình lập phương ABCD ABC D (tham khảo hình vẽ) Góc hai đường thẳng AC AD A 45 B 30 C 60 D 90 Câu 12 Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AD, C D  Cosin góc hai đường thẳng MN , CP A C 10 10 B 15 D 10 Câu 13 Cho hình hộp ABCD ABC D Giả sử tam giác ABC ADC  có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC AD góc sau đây? A  ABC  C  B DA  D C BB  D BDB Câu 14 Cho hình lập phương ABCD ABC D Chọn khẳng định sai? A Góc AC BD 90 B Góc AA BD 60 C Góc AD BC 90 D Góc BD AC 90   Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45 B 90 C 60 D 120   Câu 16 Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB EG ? A 90 B 60 C 45 D 120 Câu 17 Cho hình lập phương ABCD ABC D Góc AC DA A 45 B 90 C 60 D 120   BAD   60 Hãy xác định góc cặp vectơ Câu 18 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC   AB CD ? A 60 B 45 C 120 D 90   CSA  , BAC   BAD   60 Hãy xác Câu 19 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  ASB  BSC   định góc cặp vectơ AB SC ? A 120 B 45 C 60 D 90 Trang 13 Câu 20 Cho hình chóp S ABC có SA  SB CA  CB Tính số đo góc hai đường thẳng chéo SC AB A 30 B 45 C 60 D 90   SAB  Tính số đo góc hai đường thẳng Câu 21 Cho hình chóp S ABC có AB  AC SAC chéo SA BC A 30 B 45 C 60 D 90   BAD   60 , CAD   90 Gọi I J Câu 22 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC   trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ ? A 120 B 90 C 45 D 45 Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  A 45 B 30 C 90 D 60 Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a Cạnh bên SA   ABCD  , SA  a Góc hai đường thẳng SB, CD A 90 B 60 C 30 D 45 Câu 25 Cho hình chóp S ABC có SA  9a, AB  6a Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho SM  A MC Cosin góc hai đường thẳng SB, AM ? 48 B C 19 D 14 48 Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD , E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE , BC Tính góc đường thẳng MN BD A 60 B 90 C 45 D 75 Câu 27 Cho hình lập phương ABCD ABC D Góc hai đường thẳng BA BD A 45 B 90 C 30 D 60 Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh 2, cạnh SA  vuông góc với đáy Gọi M trung điểm CD Tính cos với  góc tạo hai đường thẳng SB AM A B  C D 5 Trang 14 Câu 29 Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M trung điểm DD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cosin góc hai đường thẳng BC C M A 2 B C D 10 Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , SA nằm đường vng góc với mặt phẳng  ABCD  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A AD  SC B SA  BD C SO  BD D SC  BD Câu 31 Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính số đo góc  hai đường thẳng BC  BD A   60 B   90 C   30 D   45 Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AB  CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc IE JF A 30 B 45 C 90 D 60 Câu 33 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  BCD  Biết tam giác BCD vuông C AB  a , AC  a 2, CD  a Gọi E trung điểm AC (tham khảo hình vẽ bên) Góc AB DE A 45 B 60 C 30 D 90 Câu 34 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AB OM A 90 B 30 C 45 D 60 Câu 35 Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm CD Cosin góc hai đường thẳng AC BM A B 3 C D Trang 15 Câu 36 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D (tham khảo hình vẽ bên) có AD  a, BD  2a Góc hai đường thẳng AC  BD A 60 B 120 C 90 D 30 Câu 37 Cho tứ diện ABCD có AD  14, BC  Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD Gọi  góc hai đường thẳng BC MN Biết MN  , tính sin  A B C D 2 Câu 38 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  A 30 B 90 C 45 D 60 Câu 39 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng  P  song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Câu 40 Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC  có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , CB, BC  C A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Câu 41 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB  CD  M điểm thuộc cạnh BC cho MC  xBM   x  1 Mặt phẳng  P  song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác bao nhiêu? A B 11 C 10 D Trang 16 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-C 7-C 8-A 9-A 10-B 11-B 12-C 13-B 14-B 15-B 16-C 17-C 18-D 19-D 20-D 21-D 22-B 23-C 24-D 25-D 26-B 27-D 28-A 29-B 30-A 31-A 32-C 33-B 34-D 35-C 36-C 37-B 38-D 39-C 40-C 41-A Câu 1: Trong không gian đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Chọn D Câu 2: Nếu a / /b c  a c  b Chọn A Câu 3: Khẳng định sai B Chọn B Câu 4: Gọi N trung điểm AC MN / / AB MN  a AB  2 (tính chất đường trung bình) Khi  AB; DM    NM ; DM  Lại có DM  DN  2 a   MD  MN  DN    cos DMN 2.MD.MN Vậy cos AB; DM   Chọn B Câu 5: Do CD / / AB nên  BA; CD    BA; AB    ABA  45 Chọn D Câu 6: Gọi K điểm thuộc CD cho AK / /  Dựng OE  AK OE  a 14 Mặt khác SO  AK  AE   SOE   Ta có  SA;     SA; AK   SAE  Xét tam giác vng SAK ta có cos SAK AE SA  a   a 14  Trong AE  OA  OE            2 Trang 17  AE  a a2  , SA  OA2  SO   b  cos SAK a a  b2 = 2a 2a  4b Chọn C  DA  AB Câu 7: Đặt AB  2a ,   DA   SAB   DA  SA   45  SA  AD  2a Do  SD;  SAB    DSA Gọi K trung điểm AB  DK / / BI Do  BI ; SD    DK ; SD  Mặt khác SD  2a 2, SK  DK  a  Suy cos SDK DS  DK  SK 10  2.DS DK   50, 77 Chọn C  SDK Câu 8: Ta có AB / / CD nên  SA; CD    SA; AB  Mặt khác S ABCD chóp nên SA  SB tam giác SAB   60 nên SAB   60 Chọn A Vậy  SA; CD    SA; AB   SAB Câu 9: Ta có AC / / DF   AC; BF    DF ; BF  Mặt khác BD  BF  4a  a  a 5, DF  a  Do cos DFB FD  FB  BD  0 2.FD.FB 10 Vậy cos  AC ; BF   Chọn A 10  AC  BD Câu 10: Ta có   AC   BDD   AC  BD  AC  BB Vậy góc hai đường thẳng AC BD 90 Chọn B Câu 11: Đặt AB  a , ta có AC / / AC    AC ; AD    AC ; AD   C   60 Mặt khác AD  DC   AC   a  ADC  tam giác nên DA  C   60 Chọn B Vậy  AC ; AD    AC ; AD   DA Câu 12: Đặt AD  2a , gọi Q trung điểm BC  PQ / / BD / / MN  MN ; CP    PQ; CP  Ta có PQ  BD 2a  a 2 Trang 18 CQ  CP   2a   Do cos CPQ  a2  a PQ  PC  CQ  2.PQ.PC 10 Vậy cos  MN ; CP   Chọn C 10 Câu 13: Ta có AC / / AC  ( ABCD hình bình hành)   C  nhọn nên  C  Mà DA AC ; AD    AC ; AD   DA Chọn B  C  90 Khẳng định B sai Chọn B Câu 14: Ta có  AA; BD    BB; BD   BB   Câu 15: Vì DH  AE ( ADHE hình vng)         90 ( ABFE hình vng) Nên AB; DH  AB; AE  BAE     Chọn B   Câu 16: Vì EG  AC ( AEGC hình vng)         45 ( ABCD hình vng) Nên AB; EG  AB; AC  BAC     Chọn C Câu 17: Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Khi đó, tam giác ABC    CA  60 tam giác AB  BC  CA  a  B Lại có DA / /CB nên  AC ; DA    AC ; CB    ACB  60 Chọn C          Câu 18: Ta có AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC            AB AD cos AB; AD  AB AC cos AB; AC        AB AD cos 60  AB AC cos 60       Mà AC  AD  AB.CD   AB; CD  90 Chọn D   Trang 19          Câu 19: Ta có SC AB  SC SB  SA  SC.SB  SC SA            SC SB cos SC; SB  SC SA cos SC ; SA       SC.SA.cos   SC.SB.cos BSC ASC    Mà SA  SB  SC BSC ASC   SC AB    Do SC ; AB  90 Chọn D            Câu 20: Xét SC AB  CS CB  CA  CS CA  CS CB     CS CB.cos SCB   CS CA.cos SCA  CS CA  SC  CA2  SA2 SC  CB  SB  CS CB 2.SC.CA 2.SC.CB  SA  SB SC  CA2  SA2 SC  CB  SB )   (do  2 CA  CB Vậy SC  AB Chọn D          Câu 21: Xét SA.BC  SA SC  SB  SA.SC  SA.SB           SA SC cos SA; SC  SA SB cos SAB    (1)  SA.SC.cos  ASC  SA.SB.cos SAB  SA chung  Ta có  AB  AC  SAB  SAC (c – g – c)    SAB  SAC  SC  SB Suy  (2) ASC   ASB     Từ (1) (2) suy SA.BC  Vậy SA  BC Chọn D Câu 22: Xét tam giác ICD có J trung điểm    CD  IJ  IC  ID    AB  AC Tam giác ABC có   ABC  CI  AB   60  BAC Tương tự ta có ABD nên DI  AB          Ta có IJ AB  IC  ID AB  IC AB  ID AB  2   Trang 20      IJ  AB  AB; IJ  90 Chọn B   Câu 23: Do ABCD hình vng cạnh a  AC  a  AC  2a  SA2  SC  SAC vuông S   Ta có MN đường trung bình DSA  NM  SA     Khi NM SC  SA.SC   MN  SC   MN ; SC   90 Chọn C  Câu 24: Vì AB / / CD nên  SB; CD    SB; AB   SBA Ta có SA   ABCD   SA  AB mà SA  AB  a   45   SAB vuông cân A  SBA   45 Chọn D Vậy  SB; CD   SBA Câu 25: Kẻ MN / / SB  N  BC     SB; AM    MN ; AM    AMN Ta có BN SM BC SC    BN   2a; SM   3a BC SC 3 Suy AN  AB  BN  AB.BN cos 60  28a Lại có cos  ASC  SA2  SC  AC  2.SA.SC Suy AM  SA2  SM  2SA.SM cos  ASC  48a Do cos  AMN  AM  MN  AN 56 14   AM MN 12 48 48 Chọn D Câu 26: Gọi I trung điểm SA  I trung điểm ED Suy  MI / / AD  MI đường trung bình EAD    MI  AD Ta có NC / / AD  NC / / MI mà NC  AD  NC  MI Do MNCI hình bình hành  MN / / IC    MN ; BD    IC; BD  Lại có BD   SAC   BD  IC nên  IC ; BD   90 Trang 21 Chọn B Câu 27: Vì BD / / BD nên  BA; BD    BA; BD    ABD Xét ABD có AB  BD  DA (3 đường chéo ba mặt) Suy ABD   ABD  60 Chọn D Câu 28: Gọi I  AM  BD nên IDM  IBA   IM 2   IA  AM  IA 3  Kẻ IN / / SB  N  SD  nên  SB; AM    IN ; AI   AIN Ta có IN  SB  ; 3 17 Và AN  AD  DN  AD.DN cos  ; ADN   Suy cos AIN AI  IN  AN 2  Chọn A AI IN Câu 29: Gọi N trung điểm AD  MN / / AD mà AD / / BC  MN / / BC  MN Do  BC ; C M    MN ; C M   C Tam giác C MN có C M  C N   MN  Suy cos C ; MN  AD  2 C M  MN  C N  2 Chọn B  :    2.C M MN   10  SA  BD Câu 30: Ta có   BD   SAC   BD  SO Chọn A  AC  BD  BD Câu 31: Ta có BD / / BD   BC ; BD    BC ; BD   C Tam giác C BD có BC   DC   BD (3 đường chéo mặt bên)  BD  60 Chọn A Suy C BD tam giác  C 1 Câu 32: Ta có IF / / CD, IF  CD EJ / / CD, EJ  CD 2 Suy IF / / EJ , IF  EJ   IJEF hình bình hành Lại có IJ  1 AB  CD  IJ  IF  IJEF hình thoi  IE  JF Chọn C 2 Trang 22 Câu 33: Gọi F trung điểm BC   EF / / AB  Do  AB; DE    EF ; DE   DEF  BC  CD Ta có   CD   ABC   CD  AC  AB  CD Tam giác DEF vng F , có EF   Suy cos DEF a a ; DE  EF a a   60 Chọn B  :   DEF DE 2 Câu 34: Gọi N trung điểm AB   MN / / AC  Do  AC ; OM    MN ; OM   OMN Tam giác OMN có OM  ON  a AC a ; MN   2   60 Suy OM  ON  MN   OMN  OMN Chọn D Câu 35: Gọi N trung điểm AD   MN / / AC  Do  AC ; BM    MN ; BM   BMN Tam giác BMN có BM  BN   Suy cos BMN a a ; MN  2 BM  MN  BN a a 3  :  2.BM MN Chọn C  AC   BD Câu 36: Ta có   AC    BDDB   AC   BD Chọn C  AC   BB Câu 37: Gọi P trung điểm CD   NP / / BC   Do  MN ; BC    MN ; NP   MNP Tam giác MNP có MN  8, MP  7, NP   Suy cos MNP MN  PN  MP   sin   2.MN PN 2 Chọn B Câu 38: Gọi M điểm đối xứng với A qua B   AB / / BM  Do  AB; BC     BM ; BC    MBC Trang 23 Tam giác BBM vuông B  BM  BB2  BM  a Tam giác BBC  vuông B  BC   BB2  BC 2  a  C   a Và MC   BM  BC 2  BM BC .cos MB   60 Chọn D Suy BMC    MBC  P    ABC   MQ Câu 39:   MQ / / AB  P  / / AB Tương tự ta có NP / / AB  NP / / MQ PQ / / MN / / CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành  AB  CD  Mặt khác  AB / / MQ  PQ  MQ tứ giác MNPQ hình chữ CD / / PQ  nhật Chọn C Câu 40: Đặt cạnh tam giác a Gọi I trung điểm AB CI  AB Mặt khác C I  AB nên AB   AIC   AB  CC  Lại có MQ / /CC  MQ  CC  a  (tính chất đường trung bình), 2 tương tự ta có NP / / CC , NP  a a , PQ  2  MQ / / CC   Suy MNPQ hình thoi, mặt khác  PQ / / AB CC   AB   MQ  PQ suy MNPQ hình vng Chọn C Câu 41: Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có MN CM   x  MN  x AB  x AB CB Tương tự MQ / /CD  MQ BM   1 x CD BC  MQ  1  x  CD  1  x  Lại có MN / / AB , MQ / /CD   MN ; MQ    AB; CD   90 Khi S MNPQ  SMNQ  MN MQ sin  MN ; MQ  Trang 24  36 x 1  x  sin 90  36 x  36 x    x    Do  S MNPQ   Chọn A max Trang 25 ...  Do  AB; DE    EF ; DE   DEF  BC  CD Ta có   CD   ABC   CD  AC  AB  CD Tam giác DEF vng F , có EF   Suy cos DEF a a ; DE  EF a a   60 Chọn B  :   DEF DE 2 Câu 34:... giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Câu 40 Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC  có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M... có: HE  AB a a  , BC  AC  AB   DH  DC  CH   tan DEH 3a DH   60   DEH EH   60 Chọn B Vậy  AB; DE    EH ; DE   DEH Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng