tai lieu chu de hai mat phang vuong goc

CHỦ ĐỀ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Góc hai mặt phẳng a) Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b) Cách xác định góc hai mặt phẳng: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng  P  ;  Q  Lấy A  mp  Q  , dựng AB  mp  P   B   P   Vẽ BH vng góc với d AH vng góc d Vậy  AHB       90o  góc hai mặt phẳng  P   Q  c) Công thức diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng  P  S  diện tích hình chiếu H  H mặt phẳng  P  S   S cos ,  góc hai mặt phẳng  P   P  Hay hình vẽ ta có S ABC   S ABC cos  Trang 2) Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90o b) Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với c) Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với đường thẳng a nằm  P  , vng góc với giao tuyến  P   Q  vng góc với mặt phẳng  Q   Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với A điểm nằm  P  đường thẳng a qua điểm A vng góc với  Q  nằm  P  Hệ viết gọn là:  P    Q    A  P  a   P  a   Q  A a   Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Hệ viết gọn là:  P    Q   a   a   R  P    R    Q    R  Trang  Hệ 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng  P  có mặt phẳng  Q  vng góc với mặt phẳng  P  3) Một số khối hình đặc biệt  Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có tất cạnh bên vng góc với mặt đáy  Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác  Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành  Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật  Hình lập phương: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng  Hình chóp đều: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên nhau: Dưới hình vẽ hình chóp tam giác đều, tứ giác hình chóp lục giác II PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp giải: Để chứng minh hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với ta chứng minh  Một đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng  Q  ngược lại, đường thẳng nằm mặt phẳng  Q  vng góc với mặt phẳng  P   Góc hai mặt phẳng  P   Q  90o Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B SA   ABC  Trang a) Chứng minh  SBC    SAB  b) Gọi AH AK đường cao tam giác SAB SAC Chứng minh  SBC    AKH  c) Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh  SAD    SAC  Lời giải: a) Do SA   ABC   SA  BC Tam giác ABC vuông B nên AB  BC Do BC   SAB    SBC    SAB  b) Ta có: BC   SAB   BC  AH Mặt khác AH  SC  AH   SBC    AHK    SBC  c) Ta có: AH   SBC   AH  SC Mặt khác AK  SC  SC   AHK  hay SC   AKD  Suy AD  SC mà SA  AD  AD   SAC  Do  SAD    SAC  Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vng góc với mặt phẳng  BCD  Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE DF cắt O Trong mặt phẳng  ACD  vẽ DK vng góc với AC K Gọi H trực tâm tam giác ACD a) Chứng minh mặt phẳng  ADC  vng góc với mặt phẳng  ABE  mặt phẳng  ADC  vng góc với mặt phẳng  DFK  b) Chứng minh OH vng góc với mặt phẳng  ACD  Lời giải:  BE  CD  CD   ABE  a) Ta có:   AB  CD mà CD   ACD    ADC    ABE   DF  BC  DF   ABC   DF  AC Lại có:   DF  AB Mặt khác DK  AC  AC   DKF    ACD    DFK  b) Do CD   ABE   CD  AE  ACD    ABE   Ta có:  ACD    DFK   OH   ACD   OH   ABE    DFK  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a BD  a Biết cạnh Trang SA  a vng góc với mặt phẳng  ABCD  Chứng minh rằng: a)  SAC    SBD  b)  SCD    SBC  Lời giải: a) Do SA   ABCD   SA  BD Mặt khác ABCD hình thoi nên AC  BD Do BD   SAC    SBD    SAC  b) Dựng OH  SC Do BD   SAC   BD  SC Suy SC   DHB   góc hai mặt phẳng  SCD   SBC  Như DHB Tam giác ABD cạnh a nên AO  a  AC  a Dựng AK  SC  AK  SA.OC SA  OC 2  a  OH  Tam giác DHB có đường trung tuyến HO  AK a  2 a   90o BD   DHB vng H hay DHB 2 Do  SCD    SBC  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB  a, AD  a 2, SA  a SA   ABCD  Gọi M trung điểm AD, I giao điểm BM AC Chứng minh  SAC    SMB  Lời giải:  Ta có: tan CAD CD a   AD a 2 Mặt khác tan  AMB  AB a   AM a 2   cot   Do tan CAD AMB  CAD AMB  90o Suy  AIM  90o  AC  BM I Mặt khác SA   ABCD   SA  BM Do BM   SAC    SMB    SAC  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB Biết SA  SB  a Trang a) Chứng minh SH   ABCD  b) Chứng minh tam giác SBC vuông c) Chứng minh  SAD    SAB  ;  SAD    SBC  Lời giải: a) Do SAB cân S nên đường trung tuyến đồng thời đường cao suy SH  AB  SAB    ABCD  Mặt khác   SH   ABCD   AB   SAB    ABCD  b) Do SH   ABCD   SH  BC Mặt khác BC  AB  BC   SAB   SBC vuông B c) Tương tự câu b ta chứng minh AD   SAB  suy  SAD    SAB  Mặt khác: SA2  SB  AB  4a  SAB S  SA  SB vuông Lại có: AD   SAB   AD  SB  SB   SAD    SBC    SAD  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm SB, BC CD a) Chứng minh  SAD    SAB  b) Chứng minh AM  BP  SBP    AMN  Lời giải: a) Gọi H trung điểm AD Do SAD cân S nên đường trung tuyến đồng thời đường cao suy SH  AD  SAD    ABCD  Mặt khác   SH   ABCD   AD   SAD    ABCD   SH  AB  AB   SAD    SAB    SAD  Khi   AB  AD  MN / / SC   AMN  / /  SHC  b) Ta có:   AN / / HC   2; tan HCD  Dễ thấy tan BPC   HCD   90o  HC  BP  BPC Mặt khác SH  BP  BP   SHC   SBP    AMN  Mà  AMN  / /  SHC   BP   AMN     BP  AM Trang Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD  a) Chứng minh  SAC    SBD  b) Chứng minh  SAD    SCD  c) Gọi BE DF đường cao tam giác SBD Chứng minh  ACF    SBC  ;  AEF    SAC  Lời giải: a) Ta có: ABCD hình vng nên AC  BD Mặt khác SA   ABCD   SA  BD Do BD   SAC    SBD    SAC   AD  AB  AD   SAB  b) Ta có:   AD  SA Do  SAD    SAB  c) Ta có: AD   SAB   AD  SB Mặt khác: DF  SB   ADF   SB  AF  SB  BC  AB  BC   SAB   BC  AF Lại có:   BC  SA Do AF   SBC    ACF    SBC  Dễ thấy tam giác SBD cân S có đường cao BE DF nên EF / / BD Mặt khác BD   SAC  (Chứng minh câu a) suy EF   SAC    AEF    SAC  Cách khác: Ta có AF   SBC   AF  SC Chứng minh tương tự ta có: AE  SC suy SC   AEF    SAC    AEF  Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC  vng góc với  ABC  a) Chứng minh  ABB    ACC   b) Gọi AH , AK đường cao ABC ABC  Chứng minh  BCC B   ABC  vng góc với  AHK  Lời giải: a) Ta có: CC    ABC   CC   AB Mặt khác AB  AC  AB   ACC     ABB    ACC   b) Do AH  BC , BB   ABC   BB  AH Suy AH   BCC B    AHK    BCC B  Mặt khác AH   BCC B   AH  BC  Lại có: AK  BC   BC    AHK    AHK    ABC   Trang Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông B với AB  a; BC  a 3, cạnh bên CC   2a Điểm M trung điểm cạnh AA, a) Chứng minh  ABBA    BCC B  BM  C M b) Tính cosin góc mặt phẳng  BMC   mặt đáy  ABC  Lời giải: a) Ta có: ABC ABC  lăng trụ đứng nên BB  AB Mặt khác ABC tam giác vuông B nên AB  BC Do AB   BCC B    ABBA    BCC B  BM  AB  AM  a 2; BC   BC  CC 2  a C M  AC 2  AM  a Do C M  MB  BC 2  BMC  BM  C M b) Diện tích tam giác ABC S ABC  Diện tích tam giác MBC  : S MBC   vuông M hay a2 a 10 MB.MC   2 Gọi  góc mặt phẳng  BMC   mặt đáy  ABC  Do ABC hình chiếu vng góc tam giác MBC  mặt phẳng  ABC  nên: S ABC  S MBC  cos   cos   S ABC  S MBC  10  Dạng 2: Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vng góc Ví dụ Cho tứ diện SABC có đáy tam giác ABC cạnh a, SA   ABC  SA  a Tìm thiết diện tứ diện SABC với    tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a)    qua S vng góc với BC b)    qua A vng góc với trung tuyến SI SBC Lời giải: a) Gọi I trung điểm BC AI  BC Mặt khác SA   ABC   SA  BC  BC   SAI  Thiết diện khối chóp qua S vng góc với BC tam giác SAI vng A có SA  a; AI  Do S SAI  a a2 SA AI  b) Dựng AK  SI , lại có BC   SAI   BC  AK Trang Suy AK   SBC   AK  SI Qua K dựng đường thẳng vng góc với SI cắt SB, SC E F  thiết diện tam giác AEF SA AI Ta có: AK  SA  AI SA2  SK SI  Do EF   a 21 Tam giác SAI vuông A có đường cao AH nên: SA2 SK EF SA2     2 SI SI BC SA  AI 2a 21 a  S AEF  AK EF  49 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên a Mặt phẳng    qua A, song song với BC vng góc với mặt phẳng  SBC  , xác định thiết diện mặt phẳng    với hình chóp tính diện tích thiết diện Lời giải: Gọi O trọng tâm tam giác ABC SO   ABC  (Do S ABC khối chóp đều) Gọi I trung điểm BC AI  BC mà BC  SO suy BC   SAI  Dựng AH  SI , lại có BC   SAI   BC  AH Suy AH   SBC  Qua K dựng đường thẳng song song với BC cắt SB, SC N M  thiết diện tam giác AMN Ta có: SA  AI  Suy MN  a  H trung điểm SI a a a BC  Lại có: SI  SB  IB   HI  2 Khi AH  AI  HI  a 10 a 10  S AMN  AH MN  16 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vng A B với AB  BC  a, AD  2a, SA   ABCD  SA  2a Gọi M điểm cạnh AB,    mặt phẳng qua M vng góc với AB Đặt x  AM   x  a  a) Tìm thiết diện hình chóp với    Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x Lời giải: a) Trong mặt phẳng  ABCD  , qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt CD Q Trong mặt phẳng  SAB  , qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt SB N Trang Do MQ  AB  MQ / / BC  Do cắt  SBC  theo giao tuyến NP  P  SC  NP / / BC Do MN / / SA  MN  MQ Vậy thiết diện hình thang MNPQ vuông M N Trong mp  ABCD  , dựng CE  AD cắt MQ F b) Ta có: MF  AE  BC  a  DE  a; FQ CF BM a  x     FQ  a  x ED CE BA a Suy MQ  2a  x, mặt khác AM SN NP x NP      NP  x AB SB BC a a Lại có: MN BM a  x    MN  2a  x SA BA a Diện tích thiết diện là: S MNPQ  MQ  NP MN  2a  a  x  Ví dụ Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh B, AB  a, SA   ABC  SA  a Điểm M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM  x,   x  a  Gọi    mặt phẳng qua M vng góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện SABC với    b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích có giá trị lớn Lời giải: a) Trong mặt phẳng  ABCD  , qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AC Q Trong mặt phẳng  SAB  , qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt SB N Do MQ  AB  MQ / / BC Do  cắt  SBC  theo giao tuyến NP  P  SC  NP / / BC Lại có: MN / / SA     cắt  SAC  theo giao tuyến PQ  PQ / / SA / / MN  MNPQ hình bình hành Do MN / / SA  MN   ABC   MN  AB Vậy thiết diện chóp với    hình chữ nhật MNPQ Ta có: AB  BC  a  BC  a Mặt khác AM MQ x MN BM a  x    MQ  x,    MN   a  x  AB BC a SA BA a Diện tích thiết diện S MNPQ  MN MQ  3.x  a  x  Trang 10  BC  AD Câu 15:   BC   SAD   BC  SA  BC  SD Mặt khác IH  SA  SA   BCH   SA  BH  , AD  AI  a Khi   SAB  ;  SAC    BHC Ta có d  D; SA   DS DA DS  DA 2  a  IH  a  BC Suy tam giác HBC vuông H  BH  HC Do  SAB    SAC  Chọn C  BC  AB Câu 16: Ta có   BC   SBA   BC  SA  , mặt khác tan SBA   SA  Suy   SBC  ;  ABC    SBA AB   60o Chọn B Do   SBC  ;  ABC    SBA  BC  AB Câu 17: Ta có   BC   SBA   BC  SA  Chọn D Suy   SBC  ;  ABC    SBA Câu 18: Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh S mặt đáy  ABC  Gọi E , F , G hình chiếu vng góc H cạnh AB , BC CA   SFH   SGH  Khi theo giả thiết tốn ta có SEH Trang 35 Các tam giác vuông SHE  SHF  SHG nên HE  HF  HG  H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chọn B Câu 19: Gọi H trung điểm AC Ta có: SH  BC (đường trung tuyến tam giác đều) Lại có  SBC    ABC   SH   ABC  Ta có: SH  a 3, AB  BC cos  ABC  2a cos 60o  a Dựng HE  AC , mà AC  SH  AC   SHE  nên góc   hai mặt phẳng  SAC   ABC  SHE Lại có HE  AB a SH   tan       60o Chọn A 2 HE Câu 20: Dựng OH  BC  OH đường trung bình tam giác BCD  OH  a Lại có BC  SO  BC   SHO  Do    SBC  ;  ABCD    SHO  Ta có tan   SO     60o Chọn C OH   60o  ABD tam giâc cạnh a Câu 21: Do BAD Mặt khác SA  SB  SD  a  Hình chiếu vng góc S mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD Ta có: OI  BC , BD  SO  BD   SIO    SBD; ABCD   SIO Khi   a OA   a  Lại có AI   OI  a   SO  SA2  OA2  SO  a 15 SO  tan    Chọn A OI Trang 36 Câu 22: Gọi I trung điểm AB ADCI hình vng cạnh a  CI  a  AB  ACB vuông C  BC  AC  Ta có   BC   SCA   SBC ; ABC   SCA  BC  SA   SA  Chọn A Lại có AC  a  tan SCA AC Câu 23: Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO   ABCD  , dựng MH / / SO  H trung điểm OC  HO  BD Ta có:   BD   MOH   BD  MH  Suy   MBD  ;  ABC    MOH Lại có SO  SA2  OA2  OM  a   MH  SC a   MH   MOH   45o   sin MOH 2 OM Chọn C Câu 24: SH  BC (đường trung tuyến tam giác đều) Lại có  SBC    ABC   SH   ABC  Do AB / / CD  giao tuyến d  SAB   SCD  đường thẳng qua S song song với AB  HK  AB Gọi K trung điểm CD   AB   SHK   SH  AB   SAB; SCD   KSH Do d   SHK    Ta có tan   HK a   Chọn B SH a 3 Câu 25: Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO   ABCD  Trang 37  AC  BD Ta có:   AC   SBD   AC  SD  AC  SO Dựng OH  SD  SD   ACH   Vậy   SBD  ;  SCD    CHO Ta có OC   OH  AC a a  , SO  SD  OD  2 a   OC  Chọn D , tam giác HOC vuông O  tan OHC OH Câu 26: Gọi H trung điểm cạnh huyền BC H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SH   ABC  Gọi I , K trung điểm AB SA Ta có: HI / / AC , IK / / SB (tính chất đường trung bình) BC  a  SB  SH  HB  a  KI  HI  a 2 AC a SA SB a  , HK    2 2 IH  IK  HK 2     tan KIH 2.IH IK  Do cos KIH Chọn B Câu 27: Do ABC tam giác vuông cân C  CH  AB Mặt khác CH  SH  CH   SAB   CH  SA Dựng HI  SA  SA   CHI    SAB; SAC   CIH Do  Ta có HI  SH HA SH  HA 2  a AC a , CH   2 CHI vuông H nên cos   HI  CI HI  HI  CH 2 Chọn D Câu 28: Do EF đường trung bình tam giác ABC nên EF / / BC suy giao tuyến d mặt phẳng  SEF   SBC  đường thẳng d qua S song song với BC  AB  BC Lại có   BC   SAB   d   SEB   BC  SA Trang 38  Do góc hai mặt phẳng  SEF   SBC  BSE Chọn C Câu 29: Ta có  ABC D    ABCD   AB  BCC     ABC D   BC  Mà AB   BCC   ,   BCC     ABCD   BC  BC  60o    ABC D  ;  ABCD    BC ; BC   C CC   BC  Tam giác BCC vuông C  tan C BC   CC   tan 60o.BC  a Chọn C Câu 30: Gọi H trọng tâm tam giác ABC  SH   ABC  Gọi M trung điểm BC  HM  BC  BC   SMH    60o SBC  ;  ABC    SM ; HM   SMH Do   Tam giác SMH vng H , có tan SMH   SH  HM tan 60o  SH HM a a  Chọn C Câu 31: Kẻ DM  SC  M  SC  Mà SBC  SDC  BM  SC  SBC  ;  SCD    BM ; DM   BMD Do SC   BMD    1  Suy  SAC  ;  SCD   BMD  OMD Diện tích SCD S SCD  a2 a DM SC   DM  2  Tam giác OMD vng O , có cos OMD OM 21  MD Chọn D Câu 32: Kẻ DH  AC  H  AC  mà DD  AC  AC   DDH  DD  HD    tan   Do  ACD  ;  ABCD    DH ; DH   D DH Ta có 1 1    2 2 DH AD CD a a    DH  a Trang 39 Suy tan   DD a a 3:  Chọn A DH Câu 33: Kẻ OH  SC  H  SC  nên SC   HBD    120o SBC  ;  SCD   60o   BH ; DH   BHD Do    60o  tan BHO   OB  OH  a Suy BHO OH a OH OC Ta có CHO  CAS     SA SC SA a 2 SA  2a  3SA2  6a  3SA  6SA2  6a  SA  a Chọn C Câu 34: Kẻ OH  SC  H  SC  nên SC   HBD    BHO  SBC  ;  SCD    BH ; DH   BHD Do  Ta có OB  AB a BD   ; 2 Và a OH OC a CHO  CAS      OH  SA SC a 6  Tam giác BHO vng O , có tan BHO OB  OH   60o    120o Chọn A Suy BHO  BHD Câu 35: AH  BC  H  BC   AH   BCD  Tam giác ABC vng, có AB  BH BC  BH  AB 18  BC Kẻ CM  BD  M  BD  , HK / /CM  HK  BD Ta có AH  BD, HK  BD  BD   AHK   BD  AK  ABD  ;  BCD    AK ; HK   AKH Do  Lại có HK BH CM BH 72   HK   CM BC BC 25 Mà AH BC  AB AC  AH   Vậy cos AKH   tan AKH 24   AH  nên tan AKH HK  Chọn C 34 Trang 40 Câu 36: Gọi H trung điểm BC  OH  BC mà OA  BC  SBC  ;  ABC    SH ; AH   SHA Suy BC   SAH    Tam giác ABC vuông cân A   AH  BC a  2   SA  Tam giác SAH vuông S   tan SHA AH Chọn D Câu 37: Gọi O  AC  BD Kẻ DM vng góc SA  BM  SA  SA   BMD   SAB  ;  SAD    BM ; DM   BMD Suy  Ta có OB  SB  SO  a a  OA  AB  OB  3 Tam giác SAO vuông  OM  SO.OA SO  OA Tam giác BMO vuông O , OB  OM   a 3 a 3   45o  BMD   90o   BMO vuông cân  BMO Chọn D Câu 38: Gọi M trung điểm BC , HK / / AM  K  BC  Suy HK  BC mà AH  BC  BC   AHK  Gọi E trung điểm BC  AE / / AM  AE / / HK   BCC B  ;  ABC   180o  EKH Do BC   AHKE     Xét hình thang vng AHKE có   180o  EKH AEK Gọi I hình chiếu K AE  AH  IK  a Và IE  AE  AI  AE  HK  AE   Suy tan IEK 1 2a 3a AE   2 2 IK 3a   Chọn C a 3:   cos IEK IE Câu 39: Gọi M trung điểm BC  AM  BC mà SA  BC x SBC  ;  ABC    SM ; AM   SMA Suy BC   SAM    Tam giác ABC vuông cân A   AM  BC a Trang 41  Tam giác SAM vng A, có tan SMA SA 1 AM   45o Chọn A Do SMA Câu 40: Gọi H trung điểm BC  OH  BC mà OA  BC  OBC  ;  ABC    OH ; AH   OHA Suy BC   OAH    Tam giác OBC vuông cân O   OM  BC a   OA  Tam giác OAH vuông O   tan OHA OH OBC  ;  ABC   30o Chọn A Vậy  Câu 41: Gọi M trung điểm BC  AM  BC mà SA  BC x SBC  ;  ABC    SM ; AM   SMA Suy BC   SAM       30o ;  ABC    SB; AB   SBA Ta có SB  SA  tan 30o.2a  Do tan x  3a SA 3a  3  :  2a   Chọn D AM   Câu 42: Gọi E trung điểm AB  CE  AB  CE   SAB  Kẻ EH  SB  H  SB  mà CE  SB  SB   CHE   SAB  ;  SBC    HE; CH   CHE Do  Tam giác SBC vuông C  CH  SC BC SC  BC  Tam giác CHE vuông H , có sin CHE  3a CE  CH    60o  Vậy CHE   SAB  ;  SBC   Chọn A Câu 43: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD   SO  CD Gọi M trung điểm CD    CD   SMO  OM  CD  SCD  ;  ABCD    SM ; OM   SMO Do  Trang 42  Tam giác SMO vuông O , có tan SMO SO  OM   60o    SCD  ;  ABCD   60o Chọn A Suy SMO Câu 44: Vì ABC hình chiếu MNP  ABC  Suy cos  MNP  ;  ABC   S ABC     MNP  ;  ABC   60o Chọn A S MNP 10 Câu 45: Tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác ABC đáy  ABC  Ta có: S ABC cos   ABC  ;  ABC    S ABC Khi cos   ABC  ;  ABC    S ABC a 3   S ABC 2a Suy   ABC  ;  ABC    30o Chọn C Câu 46: Do tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác  MNP  mặt đáy  ABC  Ta có: cos   MNP  ;  ABC    S ABC 3   S MNP Suy   MNP  ;  ABC    30o Chọn C Câu 47: Ta có: AM  a a , AC   a 2, MC  2 Áp dụng hệ thức Herong ta có: S AMC   p  p  a  p  b  p  c   a2 a2 , S ABC  4 Do tam giác ABC hình chiếu tam giác AMC  mặt đáy ABC nên cos   AMC   ;  ABC    S ABC  S AMC  Vậy   AMC   ;  ABC    45o Chọn B Câu 48: Trang 43   a Ta có BC  BC   AB  AC  AB AC.cos BAC   AB  AB  BB2  a  a  Mặt khác  AI  AC  CI    a 13 2  BI  BC   C I   Do AB2  AI  BI  Ta có: S ABI  13a  BAI vng A a 10 AB AI  S 30   a  cos  AB AC sin BAC  ABI  ;  ABC    ABC  S ABI 10 Chọn D S ABC  Câu 49: Gọi I trung điểm AD ABCI hình vng cạnh a  CI  AD Lại có CI  SA  CI   SAD   CI  SD Dựng IH  SD , mà CI  SD nên SD   CHI   Do   SCD  ;  SAD    CHI Mặt khác CIH vng I có CI  a, IH  d  A; SD  Mà d  A; SD    Vậy tan CHI SA AD SA  AD 2  2a 3  IH  3 CI   60o Chọn D   CHI IH Câu 50: Gọi O tâm hình vng ABCD OO   ABCD  Dựng OH  AB mà AB  OO  AB   OHO  HO   Do   OAB  ;  ABCD    O Khi tan   OO  Chọn C OH Trang 44 SAC; SCD  Câu 51: Ta có:  MNP  / /  SDC  nên     3 Lại có  ADC  60o , S ACD  S ABD  AB AD sin BAD AC  DA2  DC  DA.DC cos 60o  13 Dựng DH  AC  DH  S ACD 39  AC 13 Do DH  SA  DH   SAC   SC  DH  SAC; SCD   HKD Dựng HK  SC  SC   HKD    SC  SA2  AC  5, CD  3, SD   DK   Do sin HKD S SCD p  p  a  p  b  p  c  6   SC SC DH   78, 69o Chọn A   HKD DK 26 Câu 52: Gọi O tâm hình vng ABCD SO   ABCD  Dựng OH  SA, ta có  BD  SO  BD   SAC   BD  SA   BD  AC Do SA   BDH    DH ; BH   SAD  ;  SAB     Ta có: OD  a a SO.OA a , SO   OH   2 SA  Suy tan OHD OD  OH     cos DHO     nên cos   cos DHB  SAB  ;  SAD    Chọn B 3 Câu 53: Gọi E trung điểm BC  AE  BC  Lại có AA  BC   BB   AEA    ABC ; ABC    AEA    MNP; ABC      PEF Gọi F trung điểm MN  3 Dễ thấy  MNP; ABC       , AE   3, EF  2 Mặt khác tan   AA PE  , tan     AE EF Trang 45 Sử dụng Casio ta  MNP; ABC    arctan  arctan 3 17 13  cos  MNP; ABC    Chọn C 65 Câu 54: Gọi O trọng tâm tam giác ABC SO   ABC  Gọi M trung điểm BC OM  BC Mặt khác BC  SO  BC   SMO   BC  SA Dựng MI  SA  SA   BIC    SAB; SAC    BI ; CI  Ta có: OA  a a 33 , SO  SA2  OA2  3 Suy MI  3 SO.OA 11 d  O; SA   a 2 SA   MB   cos BIC   2cos MIB   Chọn C  tan MIB MI 15 11  AO  BC Câu 55: Ta có:   BC   SOA   BC  SA     SA  OA tan   a Do SOA Lại có AB  a , gọi M , N trung điểm SB SD, tam giác SAB vuông cân A nên AM  SB  BC  SA Lại có   BC  AM  AM   SBC   BC  AB Mặt khác  AC  SA  AC   SBD   MN   SBD    AC  BD a Vậy  AM , MN , mà AM   MN  AN   AMN  60o  SBC  ;  SAC     Do   SBC  ;  SAC    60o Chọn C Câu 56: Gọi O tâm hình thoi ABCD AC  BD Lại có BD  AA nên BD   AACC   Suy BD   AOC   suy góc hai mặt phẳng  ABD   CBD   AOC  Trang 46  OA  Mặt khác tan A AA AA AOA  45o   nên  OA AC  OC  45o   Tương tự C AOC   90o Chọn A Câu 57: Gọi H trung điểm CD Khi AH  CD (do tam giác ACD cân A) Mặt khác  ACD    BCD   AH   BCD  Tương tự BH  CD  CD   ABH   CD  AB Dựng HK  AB  AB   CKD   ABC; ABD   CKD Khi    90o Hai mặt phẳng  ABC   ABD  vng góc CKD Suy KH  CD (trung tuyến ứng với cạnh huyền)  KH  x, ACD  BCH  AH  BH  a  x AB Tam giác AHB vuông cân H  HK   2  a2  x2   x  2x2  a2  x2  x  a Chọn A Câu 58:  BD  AC Ta có:   BD   SAC   BD  SC  BD  SA Kẻ BI  SC  SC   BID  Vậy  BI ; ID   60o  SBC  ;  SCD     OI  SC  Dễ thấy     BIO  BID    60o  BIO   30o Trường hợp 1: BID Câu 59: Gọi H trọng tâm tam giác  ABC  SH   ABC  Gọi M trung điểm BC , mặt phẳng  SAM  dựng AI  SM , qua I dựng đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng SB, SC E F  BC  AM Khi   BC   SAM   EF   SAM   BC  SH Trang 47  EF  AI Do   AI   SBC    AEF    SBC   AI  SM Thiết diện tạo    với hình chóp tam giác cân AEF cân A có đường trung tuyến đồng thời đường cao Chọn B Câu 60: Gọi M , N trung điểm AB CD  MN  CD Ta có  , với O tâm hình vng ABCD CD  SO Do CD   SMN  Dựng MH  SN  MN   SCD  Qua H dựng đường thẳng song song với AB cắt SC , SD E F thiết diện hình thang ABEF Do tính chất đối xứng nên BE  AF  AFEB hình thang cân Chọn D  AB  AD Câu 61: Dựng QP / / AB ta có   AB   SAD   AB  SA Do PQ   SAD  , tương tự dựng MN / / AB  N  BC  suy thiết diện tạo  với hình chóp cho Hình thang MNPQ Do PQ   SAD   PQ  MQ  thiết diện hình thang vng Chọn C Câu 62: Gọi I trung điểm AB ADCI hình vng cạnh a  AC  DI Mặt khác DI  SA  DI   SAD  Vậy  SDI    SAD     mặt phẳng  SDI  Ta có: SD  SI  a  a  a 2, DI  a suy tam giác SDI cạnh a Vậy S SDI  SD a  Chọn C 4 Câu 63: Gọi E , F trung điểm AD BC Khi O  EF , EF  AD, mặt khác EF  SA Trang 48 Do EF   SAD    SEF    SAD  Ta có: SE  SA2  AE  a 2, EF  AB  a Diện tích thiết diện S  a2 EF SE  Chọn B 2 Trang 49 ... tuyến  ABC    BCMN  Gọi I trung điểm DE , tính đối xứng  IA  DE , IP  DE  Do DE   AIP    ABC   ;  BCMN    IA; IP   AIP Ta có AP  DE AD AB    nên I trọng tâm tam BC... , mặt khác DE  SA  DE   SAC   DE  SC  Dựng IH  SC  SC   EHD  Ta có: DI  DC sin ICD    ICD   60o tan ICD Suy DI  a sin 60o   IE  DE  DI  a DC 2a ; DE   DI a a   SA...2) Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90o b) Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc