phuong phap giai toan ham so luong giac va phuong trinh luong giac

1 CHINH PHỤC TOÁN THPT LÊ QUANG XE PHƯƠNG PHÁP S scale=0.7 A B D I GIẢI TOÁN LỚP 11 C MATHS  Blog Fanpage toanthayxe.com Phone 0967003131 Contact lequangxe@gmail.com LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Bài HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng toán thường gặp Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác 12 Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác 18 C Bài tập trắc nghiệm 21 Bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30 A Phương trình lượng giác 30 B Một số kỹ giải phương trình lượng giác 32 Dạng Sử dụng thành thạo cung liên kết 32 Dạng Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng 41 Dạng Hạ bậc gặp bậc chẵn sin cos 46 Dạng Xác định nhân tử chung để đưa phương trình tích 50 C Bài tập trắc nghiệm 77 Bài MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 87 A Một số dạng toán thường gặp 87 Dạng Giải số phương trình bậc hai hàm số lượng giác 87 Dạng Phương trình bậc sin cos 105 Dạng Giải phương trình đẳng cấp 122 Dạng Giải phương trình đẳng cấp 132 Dạng Một số phương trình lượng giác khác 139 Dạng Một số phương trình lượng giác đặc biệt 146 B Bài tập trắc nghiệm 157 Bài BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 168 A Bài tập tự luận 168 B Bài tập trắc nghiệm 180 PHẦN I ĐẠI SỐ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNGChûúng TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §0 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Một số kiến thức a) Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) (II) A (−1; 0) (I) O (III) (IV) + cos A(1; 0) B (0; −1) Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α I + + + + Góc phần tư II III + − − − − + − + IV − + − − b) Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = c) Cung góc liên kết Cung đối cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α Cung bù cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α Cung π cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cung phụ π −α cos π sin −α π tan −α π cot −α = sin α = cos α = cot α = tan α Cung π +α cos π sin +α π tan +α π cot +α π = − sin α = cos α = − cot α = − tan α d) Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a + tan b tan(a + b) = − tan a tan b + tan x π tan +x = − tan x cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a tan b − tan x π tan −x = + tan x e) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Cơng thức nhân đ sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α Công thức hạ bậc − cos 2α sin2 α = + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α f) Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin(b − a) cot a − cot b = sin a sin b Đặt biệt √ π √ π ○ sin x − cos x = sin x − ○ sin x + cos x = sin x + g) Cơng thức biến đổi tích thành tổng Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 √ π cos x − √ π = − cos x + = Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ rad 0 tan α cot α kxđ 2π √3 − √ − √ − 5π 2√ π √3 2 √ √ 3 3π √4 2√ cos α π √4 √2 2 π sin α π √2 √2 3 √ 1 kxđ 2 − √2 − √ − − −1 −1 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác có tọa độ M(cos α, sin α) y − 12 , √ − (0, 1) √ √ 2 , 2π √ ,2 − 3π 5π (−1, 0) π √ − √ , 2 120◦ π 90◦ π 60◦ 150◦ 7π − 12 , − π (1, 0) 360 0◦ ◦ 2π 210◦ 5π , −2 √ √ − 22 , − 22 ,2 π 30◦ 180◦ √ 2 , √ √ 330◦ 240◦ 4π √ 270◦ 3π 300◦ 5π 7π 11π x √ , −2 √ √ 2 , − 2 √ 2, − (0, −1) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất 1.1 a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f (x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f (x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f (x) xác định tập (a; b) ⊂ R ○ Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ○ Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) c) Hàm số tuần hoàn ○ Hàm số y = f (x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta có (x + T) ∈ D (x − T) ∈ D f (x + T) = f (x) ○ Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Định nghĩa 1.1 Hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ◦ ≤ | sin x | ≤ ◦ ≤ sin2 x ≤ ○ Hàm số y = f (x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f (x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin (x + k2π) = sin x Hàm số 2π y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = | a| π π ○ Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; + k2π nghịch biến 2 Å ã π 3π khoảng + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 ◦ ○ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ ○ Đồ thị hàm số Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 π + k2π , k ∈ Z sin x = ⇔ x = kπ π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π π x Định nghĩa 1.2 Hàm số y = cos x ○ Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ® ≤ | cos x | ≤ ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos2 x ≤ ○ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f (x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng ○ Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos(x + 2π) = cos x Hàm số 2π y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = | a| ○ Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z ◦ ○ Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π cos x = ⇔ x = + kπ ○ Đồ thị hàm số y −π − π2 π π x Định nghĩa 1.3 Hàm số y = tan x π π ○ Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ + kπ, k ∈ Z , nghĩa x = + kπ ⇒ hàm 2 π số y = tan f (x) xác định ⇔ f (x) = + kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hồn với chu kì π T0 = | a| ○ Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − π π + kπ; + kπ , k ∈ Z 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z tan x = ⇔ x = kπ ◦ ○ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt tan x = ⇔ x = ◦ ◦ ○ Đồ thị hàm số y π −π − O π x π Định nghĩa 1.4 Hàm số y = cot x ○ Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x = kπ ⇒ hàm số y = cot f (x) xác định ⇔ f (x) = kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hồn với chu π kì T0 = | a| ○ Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z ◦ ○ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ π + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π cot x = ⇔ x = kπ cot x = ⇔ x = ○ Đồ thị hàm số y 3π π −π − − 3π Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 O π π x Trang 185 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I TH 2: cos x = Chia hai vế cho cos2 x ta − tan2 x + tan x + = 3(1 + tan2 x) ⇔ − tan2 x + tan x + =  tan x =  ⇔ tan x = −  π x = + kπ  ã Å , (k ∈ Z) ⇔ + kπ x = arctan − π + kπ  Å ã Vậy phương trình có nghiệm  , (k ∈ Z) x = arctan − + kπ Chọn đáp án A  x= Câu 18 Với giá trị x giá trị hàm số y = sin 3x y = sin x nhau? x = k2π π (k ∈ Z) A B x = k (k ∈ Z) π x = + k2π x = kπ π C D x = k (k ∈ Z) π (k ∈ Z) π x = +k ɓ Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin 3x = sin x ⇔ 3x = x + k2π ⇔ 3x = π − x + k2π x = kπ π π x = + k (k ∈ Z) Chọn đáp án C Câu 19 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin2 x + cos 2x Tính P = 2M − m2 A B C P = D P = ɓ Lời giải Ä ä Ta có y = sin2 x + cos 2x = sin2 x + − sin2 x = sin2 x + Mà −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ sin2 x ≤ ⇒ ≤ sin2 x + ≤ ® ⇒3≤y≤5⇒ Chọn đáp án D Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 M=5 ⇒ P = 2M − m2 = m=3 Trang 186 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 20 Hàm số y = + sin 2x · cos 2x có tất giá trị nguyên? A B C D ɓ Lời giải Ta có: y = + sin 2x · cos 2x = + sin 4x Mà −1 ≤ sin 4x ≤ ⇒ −2 ≤ sin 4x ≤ ⇒ ≤ + sin 4x ≤ Suy ra: ≤ y ≤ 7, y ∈ Z ⇒ y ∈ {3, 4, 5, 6, 7} Do y có giá trị nguyên Chọn đáp án A Câu 21 Tập xác định hàm số y = A D = R √ − sin x B D = R \ {kπ, k ∈ Z} π D D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R \ {0} ɓ Lời giải Do sin x ≤ với ∀ x ∈ R nên − sin x ≥ 0, ∀ x ∈ R Vậy tập xác định hàm số D = R Chọn đáp án A Câu 22 Hàm số y = sin x đồng biến khoảng Å khoảng ã sau? π π 3π A ;π B 0; C π; 2 D (−π; 0) ɓ Lời giải π Hàm số y = sin x đồng biến khoảng 0; Chọn đáp án B Câu 23 Mệnh đề sai? A Hàm số y = tan x hàm số lẻ C Hàm số y = sin x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số lẻ ɓ Lời giải Mệnh đề “Hàm số y = sin x hàm số chẵn” mệnh đề sai Chọn đáp án C Câu 24 Xét tập xác định hàm số khẳng định sau sai? A Hàm số y = sin 2x tuần hồn với chu kì T = π B Hàm số y = cos 2x tuần hoàn với chu kì T = π C Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T = π D Hàm số y = cot 2x tuần hoàn với chu kì T = π TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 187 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I ɓ Lời giải π Hàm số y = cot 2x tuần hồn với chu kì T = Do khẳng định hàm số y = cot 2x tuần hoàn với chu kì T = π sai Chọn đáp án D Câu 25 7π nghiệm phương trình sau đây? √ √ √ A sin x + = B cos x − = C cos x + = Hỏi x = D sin x − √ 3=0 ɓ Lời giải √ 7π ñ √ sin x − = 7π  sin x =  sin x = sin Với x = suy  ⇔ 7π ⇔  cos x − = cos x = cos cos x = Chọn đáp án D   Câu 26 Trong phương √ tình sau, phương trình tương đương với phương trình cos x = √ A sin x = B sin x + = C tan x = D tan2 x = ɓ Lời giải Ta có: cos2 x = ⇔ cos2 x = sin2 x Mà sin2 x + cos2 x = ⇒ sin2 x = Do đó: tan2 x = = cos2 x Vậy cos2 x = ⇔ tan2 x = Chọn đáp án D Câu 27 Giá trị lớn M hàm số y = − sin 3x A M = −1 B M = C M = D M = ɓ Lời giải Ta có −1 ≤ sin 3x ≤ ⇒ −2 ≤ −2 sin 3x ≤ ⇒ ≤ − sin 3x ≤ π 2π Vậy max y = đạt sin 3x = −1 ⇔ x = − + k , k ∈ Z Chọn đáp án B Câu 28 Hình đồ thị hàm số y = sin x? y A O Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 y x O B x Trang 188 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y y O x x O C D ɓ Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số y = sin x đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng π Mặt khác, hàm số y = sin x đồng biến khoảng 0; (tức khoảng gần bên phải gốc O, đồ thị hàm số lên từ trái qua phải) Chọn đáp án C Câu 29 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x + − m = có nghiệm A m > B m < C < m < D ≤ m ≤ ɓ Lời giải Ta có cos x + − m = ⇔ cos x = m − Phương trình có nghiệm −1 ≤ m − ≤ ⇔ ≤ m ≤ Chọn đáp án D Câu 30 Trong phương trình sau, phương trình vô nghiệm √ (I) cos x = (I I) sin x = − A (I I) B (I) C (I I I) (I I I) sin x + cos x = D (I), (I I), (I I I) ɓ Lời giải 1 ∈ [−1; 1] nên phương trình (I) cos x = ln có nghiệm 3 √ √ 3 ○ Vì − ∈ [−1; 1] nên phương trình (I I) sin x = − ln có nghiệm 2 ○ Vì ○ Ta có phương trình dạng a sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Phương trình (I I I) có 12 + 12 < 22 nên vơ nghiệm Chọn đáp án C Câu 31 Phương trình cos 2x − sin x + = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây?   sin x = −1 sin x = −1 −5  A sin x = B sin x = C  D 7 sin x = sin x = − 2 ɓ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 189 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Ta có  2 cos 2x − sin x + = ⇔ − sin x − sin x + = ⇔ sin x + sin x − = ⇔  sin x = sin x = − ⇔ sin x Chọn đáp án B Câu 32 Số điểm biểu diễn tập nghiệm phương trình sin3 x − sin2 x + sin x = đường tròn lượng giác A B C D ɓ Lời giải Phương trình tương đương với   sin x = x = kπ ä  sin x sin2 x − sin x + = ⇔  sin x = ⇔ π x = + k2π sin x = (loại) Ä (k ∈ Z) Vậy có ba điểm biểu diễn tập nghiệm phương trình đường trịn lượng giác A (1; 0), B(−1; 0), C(0; 1) Chọn đáp án C Câu 33 √ Tất họ nghiệm phương trình sin2 x + sin x cos x − cos2 x = π π π π A x = + k2π, x = + kπ, Z B x = + kπ, x = + kπ, Z π π π π C x = + kπ, x = + kπ, Z D x = + kπ, x = + k2π, Z ɓ Lời giải Ta có √ √ sin2 x + sin x cos x − cos2 x = ⇔ cos2 x − sin x cos x =  cos x = √  ⇔ tan x =  π x = + kπ  ⇔ , k ∈ Z π x = + kπ Chọn đáp án B Câu 34 √ Biến đồi phương trình cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) dạng sin(ax + b) = sin(cx + d) với π π b, d thuộc khoảng − ; Tính b + d 2 π π π π A b+d = B b+d = C b+d = − D b+d = 12 Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 190 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ɓ Lời giải Phương trình đã√ cho tương đương với √ √ cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) ⇔ cos 3x − sin x = cos x − sin 3x √ √ π π π π π = sin x + ⇒ b+d = + = ⇔ cos 3x + sin 3x = sin x + cos x ⇔ sin 3x + 6 Chọn đáp án B Câu 35 Tìm tổng tất nghiệm phương trình cos(sin x) = thuộc đoạn [0; 2π] A 2π B C π D 3π ɓ Lời giải Ta có cos(sin x) = ⇔ sin x = k2π, mà −1 sin x nên sin x = (k = 0) ⇔ x = k π (k ∈ Z) Suy x = 0, x = π, x = 2π (x ∈ [0; 2π]) Do tổng nghiệm 3π Chọn đáp án D Câu 36 Số nghiệm thuộc khoảng (0; 3π) phương trình cos2 x + A B C cos x + = D ɓ Lời giải cos x + = Đặt t = cos x với |t| ≤ Phương trình: cos2 x +  t = −2  Phương trình trở thành + t + = ⇔ t=− Loại t = −2 |t| ≤  2π x = + k2π 1 2π  , (k ∈ Z.) Với t = − ⇒ cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ 2π 2 x=− + k2π t2 2π 2π 2π 7π + k2π ta có < + k2π < 3π ⇔ − < k2π < ⇔− ⇔ m2 > ⇔ m = Chọn đáp án B Câu 39 Tìm tất giá trị thực Å tham ã số m để phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = π 3π có nghiệm khoảng ; 2 A −1 ≤ m ≤ B −1 ≤ m < C −1 < m < D −1 ≤ m < ɓ Lời giải  cos x =  Ta có: cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = ⇔ cos x = m Å ã π 3π Nhận thấy cos x = khơng có nghiệm khoảng ; Do u cầu tốn ⇔ cos x = m 2 Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 192 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Å có nghiệm thuộc khoảng π 3π ; 2 ã ⇔ −1 ≤ m < Chọn đáp án B Câu 40 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin2 x − sin x cos x + cos2 x = đường tròn lượng giác A B C D ɓ Lời giải Phương trình cho tương đương Ä ä sin2 x − sin x cos x + cos2 x = sin2 x + cos2 x ⇔ −4 sin2 x − sin x cos x − cos2 x = ⇔ (2 sin x + cos x)2 = ⇔ sin x + cos x = ⇔ tan x = − Vậy có vị trí biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Chọn đáp án B Câu 41 Trong hàm số sau hàm số hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x + sin2 x C y = cos x − sin x D y = cos x sin x ɓ Lời giải Xét hàm ® số y = f (x) = cos x + sin x có tập xác định D = R x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (− x) = cos (− x) + sin2 (− x) = cos x + sin2 x = f (x) Suy hàm số y = cos x + sin2 x hàm số chẵn Chọn đáp án B Câu 42 Tập xác định hàm số y = tan 2x π A R\ + kπ, k ∈ Z π C R\ + kπ, k ∈ Z π π +k ,k ∈ Z π D R\ + k2π, k ∈ Z B R\ ɓ Lời giải π π π Hàm số xác định cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z π π Vậy tập xác định hàm số D = R \ +k ,k ∈ Z Chọn đáp án B TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 193 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Câu 43 Phương trình sau vô nghiệm? √ A sin x − cos x = √ C sin x − cos x = −1 √ B sin x − cos x = √ D sin 2x − cos 2x = ɓ Lời giải Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Ä√ ä2 √ Ta có + (−1)2 < 32 nên phương trình sin x − cos x = vô nghiệm Chọn đáp án B Câu 44 Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [0; 2] B [−1; 1] C [0; 1] D [−2; 2] ɓ Lời giải Hàm số có tập xác định D = R Ta có −1 ≤ sin 2x ≤ 1,∀ x ∈ R Vậy tập giá trị hàm số cho [−1; 1] Chọn đáp án B Câu 45 Khẳng định sau sai tính tuần hồn chu kì hàm số? A Hàm số y = tan x hàm số tuần hồn chu kì π B Hàm số y = cot x hàm số tuần hoàn chu kì π C Hàm số y = cos x hàm số tuần hồn chu kì π D Hàm số y = sin x hàm số tuần hoàn chu kì 2π ɓ Lời giải Hàm số y = f (x) = cos (x + π) = − cos x = f (x) Chọn đáp án C Câu 46 Tìm tập xác định hàm số y = cos x π + kπ; k ∈ Z A D = R\ π C D = k ;k ∈ Z B D = R \ {kπ; k ∈ Z} π D D = R\ k ;k ∈ Z ɓ Lời giải π Hàm số cho xác định cos x = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z π Vậy tập xác định hàm số D = R \ + kπ; k ∈ Z Chọn đáp án A Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 194 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 47 π Giải phương trình sin x = sin ta có nghiệm   π x = + k2π x   A  B  , k ∈ Z 2π x= + k2π x  x π  C x = + k2π, k ∈ Z D  x π + kπ , k ∈ Z 2π + kπ = π = + k2π , k ∈ Z π = − + k2π = ɓ Lời giải π x = + k2π π  Ta có sin x = sin ⇔  , k ∈ Z 2π x= + k2π Chọn đáp án A  Câu 48 √ Phương trình sin x − = có nghiệm π 2π A x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 3 2π π + kπ,k ∈ Z C x = + kπ; x = 3 π + kπ,k ∈ Z π D x = ± + k2π,k ∈ Z B x=± ɓ Lời giải  π √ x = + k2π √ π  = sin ⇔ , k ∈ Z Ta có sin x − = ⇔ sin x = 2π + k2π x= π 2π Vậy phương trình cho có nghiệm x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 3 Chọn đáp án A Câu 49 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = − cos x + A −2 B −2 C π là: D ɓ Lời giải π π π Ta có: −1 ≤ cos x + ≤ ⇔ −2 ≤ −2 cos x + ≤ ⇔ − ≤ − cos x + 4 − (−2) Vậy giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số cho ≤ Chọn đáp án D Câu 50 Hãy nêu tất hàm số hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x thỏa mãn π điều kiện đồng biến nhận giá trị âm khoảng − ; TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 195 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I A y = tan x; y = cotx C y = tan x, y = cos x B y = sin x, y = cot x D y = sin x, y = tan x ɓ Lời giải Vì hàm số y = cot x nghịch biến khoảng xác định nên loại đáp án y = sin x, y = cot x π Dựa vào đồ thị hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x y = tan x khoảng − ; ta thấy hàm y = sin x y = tan x thỏa mãn Chọn đáp án D Câu 51 Số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) phương trình sin x = A B C D ɓ Lời giải π + k2π  Ta có sin x = ⇔ sin x = ⇔  , (k ∈ Z) 5π x= + k2π 5π π Vậy phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề Mà x ∈ (−π; π) ⇒ x = ; x = 6  x= Chọn đáp án C Câu 52 π π Tính tổng S nghiệm phương trình sin x = đoạn − ; 2 5π π π π A S= B S= C S= D S= 6 ɓ Lời giải π x = + 2kπ  Ta có sin x = ⇔  , (k ∈ Z) 5π + 2kπ x= π π π π Vì x ∈ − ; nên x = ⇒S= 2 6  Chọn đáp án B Câu 53 Một họ nghiệm trình cos 2x + sin x − = Å phương ã Å ã π π 1 A − arcsin − + kπ B − arcsin − + kπ 2 Å 4ã Å ã4 1 + k2π + k2π C π + arcsin − D π − arcsin − 4 ɓ Lời giải ä Ta có cos 2x + sin x − = ⇔ − 2sin2 x + sin x − = Ä Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 196 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  ⇔ −4sin x + sin x + = ⇔  sin x = sin x = − π + k2π (k ∈ Z) Å ã  x = arcsin − + k2π ã Å ○ sin x = − ⇔  (k ∈ Z)  + k2π x = π − arcsin − ○ sin x = ⇔ x = Chọn đáp án D Câu 54 Nghiệm âm lớn phương trình − sin x − 2cos2 x = 7π 3π π A − B − C − 12 2 π D − ɓ Lời giải Ta có Ä ä − sin x − 2cos2 x = ⇔ − sin x + − sin2 x = ⇔ −2sin2 x − sin x + = ⇔  sin x =  sin x = − Phương trình sin x = − < −1 vơ nghiệm π Với sin x = ⇔ x = + k2π, k ∈ Z −3π π nghiệm âm lớn phương trình Với k = −1 ⇒ x = − 2π = 2 Chọn đáp án C Câu 55 Ä √ ä Nghiệm phương trình sin x cos x − = π π A x = k2π; x = ± + k2π (k ∈ Z) B x = ± + k2π (k ∈ Z) π π C x = kπ; x = ± + k2π (k ∈ Z) D x = kπ; x = ± + kπ (k ∈ Z) 6 ɓ Lời giải  sin x = x = kπ Ä √ ä √  Ta có: sin x cos x − = ⇔  ⇔ , k ∈ Z π x = ± + k2π cos x = Chọn đáp án C  Câu 56 Số nghiệm phương trình sin 2x + A B √ cos 2x = √ khoảng 0; C π D ɓ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 197 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I √ √ π π = ⇔ sin 2x + = Ta có sin 2x + cos 2x = ⇔ sin 2x + 3   π π 2x + = + k2π x = kπ π π  3  ⇔  ⇔ Kết hợp x ∈ 0; ta x = nghiệm π π 2π x = + kπ 2x + = + k2π 3 π phương trình khoảng 0; Chọn đáp án A √ √ Câu 57 √ Phương trình sin 8x − cos 6x = (sin 6x + cos 8x) có nghiệm âm lớn x1 nghiệm dương nhỏ x2 , giá trị 2x1 + x2 π π π π A B C − D − 28 14 14 28 ɓ Lời giải Ta có sin 8x − cos 6x = √ √ √ (sin 6x + cos 8x) ⇔ sin 8x − cos 8x = sin 6x + cos 6x √ √ 3 ⇔ sin 8x − cos 8x = sin 6x + cos 6x 2 2 π π ⇔ sin 8x − = sin 6x +  π π 8x − = 6x + + k2π  ⇔  π 5π 8x − = − 6x + k2π  π x = + kπ  ⇔  π π , (k ∈ Z) x= +k 12 5π 84 π Nghiệm dương nhỏ x2 = 12 Å ã 5π π π Vậy 2x1 + x2 = − + =− 84 12 28 Chọn đáp án D Nghiệm âm lớnnhất x1 = − Câu 58 Để phương trình: sin x + phải thỏa điều kiện: A −2 ≤ a ≤ π π cos x − B − 1 ≤a≤ 2 = a2 + √ sin 2x − cos 2x có nghiệm, tham số a C −1 ≤ a ≤ ɓ Lời giải Phương trình tương đương với sin x + Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 π π cos x − = a2 + √ sin 2x − cos 2x D −3 ≤ a ≤ Trang 198 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ç√ å π π + sin 2x + = a +2 sin 2x − cos 2x sin 2 π π π + sin 2x + = a2 + cos sin 2x − sin cos 2x 6 π π 2 + sin 2x + = a + sin 2x − 6 π π sin 2x + − sin 2x − = a −1 6 π 2 cos 2x sin = a − ⇔ cos 2x = a2 − 2 1 a − ≤ ⇔ ≤ a2 ≤ ⇔ ≤ a2 ≤ ⇔ −2 ≤ a ≤ 2 Vậy để phương trình có nghiệm −2 ≤ a ≤ Chọn đáp án A Vì −1 ≤ cos 2x ≤ nên −1 ≤ Câu 59 x x Gọi S tập hợp nghiệm thuộc khoảng (0; 100π) phương trình: sin + cos 2 √ cos x = Tổng phần tử S 7375π 7525π 7550π 7400π A B C D 3 3 + ɓ Lời giải Ta có sin x x + cos 2 + √ √ cos x = ⇔ + sin x + cos x = √ ⇔ sin x + 3√cos x = ⇔ sin x + cos x = 2 π ⇔ sin x + =1 π ⇔ x = + k2π, k ∈ Z Theo đề cho ta có < x < 100π ⇔ < π 599 + k2π < 100π ⇔ − < k < 12 12 Mà k ∈ Z ⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3; 4, ; 48; 49} π π π π 50π Vậy S = + + 2π + + × 2π + · · · + + 49 × 2π = + 2π (1 + + + + · · · + 49) 6 6 50π 49 (49 + 1) 7375π = + 2π = Chọn đáp án A Câu 60 Tập hợp giá trị ïtham số m ị để phương trình sin 2x + m = cos x + 2m sin x có π 2π hai nghiệm thuộc đoạn − ; [a; b) ∪ {α} ∪ { β} với a, b, α, β số thực Tính tổng 3 a + b + α +√β ? √ √ √ 2+ 1+ 3 −1 + A B C D 2 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 199 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I ɓ Lời giải ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x + m = cos x + 2m sin x (∗) sin x cos x + m = cos x + 2m sin x sin x cos x − 2m sin x + m − cos x = sin x (cos x − m) − (cos x − m) = (cos x − m) (2 sin x − 1) = ñ sin x − = (1) cos x − m = (2) π x = + k2π  Giải (1): sin x = ⇔  (k ∈ Z) 5π + k2π x= ï ò π π 2π Khi PT (1) có nghiệm x = ∈ − ; ï 3 ò π 2π Để (*) có hai nghiệm thuộc đoạn − ; phương trình (2) có nghiệm thuộc 3 ï ò π 2π − ; 3ï ò π 2π Với x ∈ − ; ⇒ − ≤ cos x ≤ 3 ï ò 1 π 2π Với − ≤ m < m = phương trình (2) có nghiệm thuộc − ; 2 3 Với ≤ m < phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt √ π ⇒ x = (trùng với nghiệm phương trình Vậy PT(2) có nghiệm m = (1)) ï ị π 2π Tóm lại để phương trình sin 2x + m = cos x + 2m sin x có hai nghiệm thuộc đoạn − ; 3 ®√ ´ √ √ ï ã 1 3 2+ − ; ∪ {1} ∪ Nên a + b + α + β = + = 2 2 Chọn đáp án A HẾT  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131