he thong kien thuc va phuong phap giai toan 11 vo cong truong

sin y tang t - -1 - π 3 2π 3π π π A' - 2 2 - -1 2 O 1 2 11π - 3 4π (rad) - 5π 3 A -1 7π s cotang -1 π 5π π B 7π - -1 3π B' 5π -1 - 2020-2021 x cosin MỤC LỤC VẤN ĐỀ LƯỢNG GIÁC I ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC II CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC III HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC IV TÌM TẬP XÁC ĐỊNH: V SỰ BIẾN THIÊN: VI TÍNH CHẴN LẺ: VII TÍNH TUẦN HOÀN: VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG: IX PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN X PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP XI PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH: VẤN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT I QUY TẮC ĐẾM II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP III NHỊ THỨC NIU-TƠN IV XÁC SUẤT CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP 11 II DÃY SỐ 11 III CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 11 VẤN ĐỀ GIỚI HẠN 12 I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: 12 II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: 12 PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN: 12 III HÀM SỐ LIÊN TỤC: 14 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 14 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số y  f  x  điểm x0 : 14 Dạng 2: Tìm tham số để hàm số y  f  x  liên tục điểm x0 : 14 Dạng 3: Chứng minh phương trình f  x   có nghiệm: 14 VẤN ĐỀ ĐẠO HÀM 15 I CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 15 QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM 15 II TIẾP TUYẾN 15 VẤN ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 17 I PHÉP TỊNH TIẾN: 17 II PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: 17 III PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: 17 IV PHÉP QUAY: 17 V PHÉP DỜI HÌNH: 18 VI PHÉP VỊ TỰ: 18 VII PHÉP ĐỒNG DẠNG: 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 18 Dạng 1: Dựng ảnh hình qua phép biến hình 18 Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố phép biến hình 19 Dạng 3: Viết phương trình ảnh hình qua phép biến hình cho trước 19 ĐẶC BIỆT: CÔNG THỨC NHANH 19 VẤN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 20 QUAN HỆ SONG SONG 20 I Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song 20 Dạng 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng 20 Dạng 3: Tìm giao điểm đương thẳng d mặt phẳng 20 Dạng 4: Tìm thiết diện hình chóp, lăng trụ cắt mặt phẳng 21 II QUAN HỆ VUÔNG GÓC 21 Dạng 1: Chứng minh quan hệ vng góc 21 Dạng 2: Tìm hình chiếu Điểm lên MP 22 Dạng 3: Tính góc 22 Dạng 4: Tính khoảng cách 23 ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 23 CÁC DẠNG HÌNH CHĨP 24 CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ 25 PHỤ LỤC 27 HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP) 27 I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: 27 II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: 27 III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN: 28 IV TÂM CỦA TAM GIÁC 28 HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 28 I TỌA ĐỘ 28 II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 28 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 28 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ LƯỢNG GIÁC I ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC sin y tang t - - 3 -1 π 3 2π 3π A' π cotang π π - 2 2 - -1 2 O 1 2 7π (rad) x cosin 11π 4π - - 5π A -1 s -1 5π π B 7π - -1 3π B' 5π -1 - II CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC 1) Hằng đẳng thức bản: sin a  cos a  tan a.cot a  2) Cung liên kết: Cos đối Sin bù sin      sin  sin      sin  1  cot a  cos a sin a 3) Công thức cộng: sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b  tan a  cos  a  b   cos a.cos b sin a.sin b tan  a  b   2020-2021 cos     cos  cos       cos  tan      tan  tan       tan  cot      cot  cot       cot  tan a  tan b tan a.tan b 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 4) Công thức nhân đôi: sin 2a  2sin a.cos a Bí Kíp Võ Cơng Trường Chéo phụ     sin      cos  , cos      sin  2  2  cos 2a  cos a  sin a     tan      cot  , cot      tan  2  2  Tang, Cotang  sin       sin   cos a    2sin a tan a tan 2a   tan a 5) Công thức hạ bậc  cos 2a cos a   cos 2a sin a   cos 2a tan a   cos 2a 6) Công thức nhân ba sin x  3sin x  4sin x cos       cos  tan      tan  cot      cot  Sin = Cos (/2)     sin      cos  , cos       sin  2  2      tan       cot  , cot       tan  2  2  cos x  cos3 x  3cos x 7) Công thức biên tích thành tổng 8) Công thức biến tổng thành tích ab a b cos a  cos b  cos cos 2 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   ab a b sin a  sin b  cos sin 2 9) Công thức đặc biệt cos4 x  sin x  cos x  cos x  sin x    sin x cos x  sin x   cos x.sin x   sin 2 x      sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4   III cos x  sin x   3cos x.sin x   sin 2 x      sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC y  sin x TXĐ: D  TGT: T   1;1 TXĐ: D  Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Tính tuần hồn: Tuần hồn với chu kì 2    Sự biến thiên: Đồng biến   ;  ; Nghịch biến  2   3   ;  2  Đồ thị: 2020-2021 y  cos x TGT: T   1;1 Tính chẵn chẵn: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua trục tung Tính tuần hồn: Tuần hồn với chu kì 2 Sự biến thiên: Nghịch biến  0;  ; Đồng biến  ;   Đồ thị: 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 y  tan x y  cot x \ k / k     \   k / k   TGT: T  2  Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Tính tuần hồn: Tuần hồn với chu kì  Sự biến thiên: Ln đồng biến khoảng xác       3  định   ;  ;  ;   2 2  Đồ thị: TXĐ: D  IV Bí Kíp Võ Cơng Trường TXĐ: D  TGT: T  Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Tính tuần hồn: Tuần hồn với chu kì  Sự biến thiên: Luôn đồng biến khoảng xác định  0;  ;  ;   Đồ thị: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH: Phương pháp: B1: Lập điều kiện xác định (ĐKXĐ): u xác định v  v tan u xác định u xác định u  u   k ,  k  B2: Giải ĐKXĐ  Tìm điều kiện biến B3: Tùy theo ĐK biến, Ta kết luận TXĐ sau: x  a    x  b  D  \ a; b;  ;  a  x  b  D   a; b ;   V SỰ BIẾN THIÊN: Hàm số LG sơ cấp: Hàm số Chiều biến thiên Nghịch biến y  sin x Đồng biến Nghịch biến y  cos x Đồng biến y  tan x Luôn Đồng biến y  cot x Luôn Nghịch biến  cot u xác định u  k ,  k   x  a    x  b  D  a; b;    Khoảng Bên trái Oy Bên phải Oy Phía Ox Phía Ox  Khơng chứa x   k ,  k  Không chứa x  k ,  k    Tính chất bản: a) Nếu y  f  x  Đồng biến (Nghịch biến) K y  a f  x   b đồng biến (Nghịch biến) K b) Nếu y  f  x  Đồng biến (Nghịch biến) K y   f  x  Nghịch biến (Đồng biến) K 2020-2021 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 VI TÍNH CHẴN LẺ: Định nghĩa: Bí Kíp Võ Cơng Trường f  x  hàm chẵn  f   x   f  x  , x  D f  x  hàm lẻ  f   x    f  x  , x  D Tính chất: x 2n  Chẵn; x2n1  Lẻ Hằng số  Chẵn Chẵn  Chẵn  Chẵn Chẵn x() Chẵn  Chẵn (Chẵn)n  Chẵn k.Chẵn  Chẵn f Lẻ, g Chẵn  f  g  Chẵn f  x  Chẵn  f  ax  Chẵn f  x  Lẻ  f  ax  Lẻ Lẻ  Lẻ  Lẻ Lẻ x() Lẻ  Chẵn (Lẻ)2n+1 Lẻ k.Lẻ  Lẻ f Lẻ, g Lẻ f  g  Lẻ Chẵn  Lẻ  Không Chẵn, Không Lẻ Chẵn x() Lẻ  Lẻ (Lẻ)2n Chẵn |Chẵn|  Chẵn; |Lẻ|  Chẵn f Chẵn, g Chẵn (hay Lẻ) f  g  Chẵn VII TÍNH TUẦN HOÀN: Định nghĩa: f  x  tuần hồn với chu kì T  Tồn số T dương nhỏ cho: f  x  T   f  x  Tính chất: y  sin x, y  cos x tuần hoàn chu kì T  2 Nếu f  x  tuần hồn với chu kì T f  ax  b  tuần hồn với chu kì T '  T a y  tan x, y  cot x tuần hồn chu kì T   y  sin  ax  b , y  cos  ax  b tuần hồn chu kì T  2 a y  tan  ax  b , y  cot  ax  b tuần hồn chu kì T   Nếu y  sin u, y  cos u tuần hồn chu kì T T y  sin u, y  cos2 u tuần hoàn chu kì Nếu f  x  , g  x  tuần hồn với chu kì T1 , T2 a Nếu y  tan u, y  cot u tuần hồn chu kì T y  tan u, y  cot u tuiần hoàn chu kì T Nếu f  x  , g  x  tuần hồn với chu kì T1 , T2 f  x  g  x  , f  x   g  x  tuần hồn với chu kì f  x g  x tuần hồn với chu kì T  BC T1,T2   k.BCNN T1 ,T2   k  T  BCNN T1,T2  (Máy tính: LCM T1,T2  ) *  (Máy tính: k.LCM T1,T2  ) VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG: Định nghĩa:  f  x   m m  f  x  M   (*)  max f  x   M Phương pháp: Chặn hàm số B1: Biến đổi hàm số chứa HSLG (nếu được) B2: Dùng Bất đẳng thức LG Tính chất Bất đẳng thức  Biến đổi dạng: m  f  x   M min f  x   m B3: Dùng định nghĩa (công thức (*) )  Xác định GTLN–GTNN:  max f  x   M Bất đẳng thức LG:  sin u  1  sin u   sin u  tan u  1  cos u   cos2 u  cot u  0  cos u    sin u  cos u  2020-2021 1  sin u.cos u  2 1  sin u  cos2 u  0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường Tính chất Bất đẳng thức: A  B  AC  B C  A.C  B.C A B  A.C  B.C  A 1 IX C  0 C  0 1 A A  B  AC  B  D  C  D 2  A  B A B 0   A B A  B   A.C  B.D  C  D   A3  B  A B 3   A B m An0 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Dạng f  u   a 1   m A n Dạng f  u  f  v  u    k 2 sin u  a   ,( a  1) u      k 2 (Với   arcsin  a   sin1  a  ) u  v  k 2 sin u  sin v   u    v  k 2 cos u  a  u    k 2 ,( a  1) cos u  cos v  u   v  k 2 (Với   arccos  a   cos1  a  ) tan u  a  u    k (Với   arctan  a   tan 1  a  ) tan u  tan v  u  v  k cot u  a  u    k 1 cot u  cot v  u  v  k (Với   arccot  a   tan 1   ) a Trường hợp đặc biệt: Đối với PT sin u  a,cos u  a  Nếu a  1 cần lấy cơng thức nghiệm  Nếu a  cần lấy công thức nghiệm thay k 2 thành k   sin u   u   k 2 sin u  1  u    k 2 sin u   u  k 2  cos u   u   k cos u   u  k 2 cos u  1  u    k 2 X PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Phương trình bậc hai một HSLG PT có dạng: a sin u  b sin u  c  (1) (Tương tự cho cos u, tan u,cot u ) Cách giải: Xem sin u ẩn, Ta có PT bậc với ẩn sin u  Giải PT bậc 2, Ta PTLG  Giải PTLG bản, tìm nghiệm Phương trình bậc sinu; cosu PT có dạng: a.sin u  b.cos u  c (a  b2  0) (2) Cách giải: B1 Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu a2  b2  c2 PT có nghiệm a.sin u  b.cos u  c B2 a b c  (Chia vế PT cho a2  b2 ) sin u  cos u  2 2 2 a b a b a b c a b  sin u.cos   cos u.sin   (Đặt:  cos  ;  sin  ) a  b2 a  b2 a  b2 c  sin(u   )  (*) (Áp dụng công thức cộng) a  b2 B3 Giải PT (*)  Tìm nghiệm MỞ RỘNG: Loại 1: a.sin u  b.cos u  c.sin v (a  b2  c ) hay a.sin u  b.cos u  c.cos v (a  b  c ) 2020-2021 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường Loại 2: a.sin u  b.cos u  c.sin v  d cos v (a  b  c  d ) Cách giải: Chia vế cho 2 a2  b2  Biến đổi đưa dạng sin t  sin w hay cos t  cos w Phương trình (đẳng cấp) bậc hai sinu, cosu PT có dạng: a sin u  b cos u  c sin u.cos u  d ,(a  b  0) (3) Cách giải 1: Dùng công thức nhân đôi hạ bậc Biến đổi đưa PT bậc sin cos Cách giải 2: Chia vế cho cos2 u  hay sin 2u  Thu gọn, ta PT bậc hay bậc tan u  hay cot u  Chú ý KT: Nếu cos u  (hay sinu  ) thỏa PT(3) nghiệm cos u  (hay sinu  ) nghiệm PT(3) A  Phương trình đưa phương trình tích: A.B.C    B  C  XI PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH: Cách 1:  Biểu diễn điểm xác định công thức điều kiện công thức nghiệm lên Đường tròn lượng giác  Loại bỏ điểm trùng nghiệm so với điểm điều kiện  Kết luận: Nghiệm PT điểm lại (Mỗi điểm cộng thêm k 2 ) Cách 2:  Cho tham số nguyên (k) công thức điều kiện cơng thức nghiệm chạy từ đến tìm đủ số điểm đoạn 0;    Loại bỏ điểm trùng nghiệm so với điểm điều kiện  Kết luận: Nghiệm PT điểm lại (Mỗi điểm cộng thêm k 2 ) 2020-2021 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT QUY TẮC ĐẾM Qui tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động: Hành động thứ có n cách thực hiện, hành động thứ hai có m cách thực (khơng trùng với cách cảu hành động thứ nhất) Khi cơng việc thực n  m cách Qui tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp: Hành động thứ có n cách thực hiện, với cách thực hành động thứ có m cách thực hành động thứ hai Khi cơng việc thực n.m cách I HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP II Loại Hốn vị Chỉnh hợp Tở hợp Định nghĩa Mỗi vị trí xếp thứ tự n phần tử  n * gọi hoán vị n phần tử Mỗi vị trí xếp thứ tự k phần tử lấy n phần tử  n  k  gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Pn  n.(n  1).(n  2) 2.1  n ! n! Ank  n(n  1) (n  k  1)   n  k ! Mỗi tập hợp k phần tử lấy n phần tử  n  k  gọi tổ hợp chập k n phần tử Loại Hốn vị vịng quanh Chỉnh tở hợp  Cơng thức tính số lượng Cnk  CƠNG THỨC TỔ HỢP MỞ RỘNG Công việc thực Sắp xếp n phần tử theo vòng tròn Chọn k phần tử n phần tử xếp vào m vị trí  k  n, k  m Lấy k phần tử n phẩn tử để xếp thứ tự Lấy k phần tử n phẩn tử không xếp thứ tự Công thức đếm  n  1! Cnk Amk Công thức đặc biệt: 0!  Nếu k  n Ann  Cn0  Cnn  Cn1  n Cnk  Cnnk   k  n Cnk  Cnk 1 =Cnk11 n  Cnk  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n   k  n  Cnk  k 0 III n! k !(n  k )! Dấu hiệu nhận biết Lấy hết n phần tử để xếp thứ tự n! n!   n !  Pn 0!   k  n n! n(n  1)(n  2) (n  k  1) Ank   k !(n  k )! k! k! NHỊ THỨC NIU-TƠN Công thức nhị thức Niu-Tơn:  a  b n n  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   Cnk a n k b k   Cnnb n   Cnk a n k b k ,  n * k 0 Tính chất nhị thức Niu-tơn  Số số hạng công thức n   Số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng từ đến n; đồng thời tổng số mũ a b hạng tử n  Số hạng tổng quát thứ k  có dạng Tk 1  Cnk a n  k b k (k  0,1, , n)  Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnn  k ;0  k  n Một số dạng đặc biệt 2020-2021 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường Dạng 3.2: Giới hạn vô cực tổng, hiệu mà tổng hệ số lũy thừa bậc cao (Dạng thường có căn)  PP: Nhân chia biểu thức liên hợp để khử  Ta giới hạn dạng vô định  VD: lim x    x  x   lim   x  x   x  x  1 x  x x   lim x  1 x  x 0  Giới hạn tích: Phương pháp:   TH2: Biến thành tổng, hiệu  Ta giới hạn tổng, hiệu mục TH1: Biến thành thương  Ta dạng vô định VD: lim ( x  2) x  lim x  x  0 x2 x  x 2 III HÀM SỐ LIÊN TỤC: Hàm số liên tục điểm: y  f  x  liên tục x0  lim f  x   f  x0  x 2 x  x0 y  f  x  liên tục x0  lim f  x   lim f  x   f  x0  x  x0  x  x0  Hàm số liên tục khoảng hàm số liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b) xa xb Tính chất:  Hàm số đa thức liên tục  Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng  Tổng hiệu, hiệu, tích, thương hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm Điều kiện để phương trình có nghiệm: Nếu y  f  x  liên tục  a; b f  a  f b   tồn số c   a; b  cho f  c   Nói cách khác: Nếu y  f  x  liên tục  a; b f  a  f b   phương trình f  x   có nghiệm thuộc  a; b  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số y  f  x  tại điểm x0 : B1: Tính f  x0  B2: Tính lim f  x  (Hay tính lim f  x  , lim f  x  ) x  x0 x  x0 x  x0 B3: So sánh lim f ( x ) , f  x0   Kết luận x  x0 Dạng 2: Tìm tham số để hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x0 : B1: Tính f  x0  B2: Tính lim f  x  (Hay tính lim f  x  , lim f  x  ) x  x0 x  x0 x  x0 B3: Cho lim f ( x ) = f  x0  (Hay cho lim f  x   lim f  x   f  x0  ) Giải PT, HPT tìm tham số x  x0 x  x0 x  x0 Dạng 3: Chứng minh phương trình f  x   có ít nghiệm: B1: Chọn đoạn  a; b cho hàm số y  f  x  liên tục f  a  f b   B2: Kết luận: PT f  x   có nghiệm thuộc  a; b  2020-2021 14 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ ĐẠO HÀM I CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp  C    f  u   f   u  u  x    x    x   u    u  1   x   2.1 x  1  u  v   u  v  u.v   u.v  u.v  u   2.uu   u     u u  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u  tan x    tan u     k v   k v  u  u.v  v.u  k  k v        v2 v v v Đặc biệt         1 x  x a b c d ad  bc  ax  b      (cx  d )  cx  d  (cx  d ) b c adx  aex  d e  ax  bx  c      dx  e   dx  e  u    1     x x  sin x   cos x cos x 1  cot x   sin x Phép toán u cos u u   cot u   sin u QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM Khi tìm đạo hàm hàm số ta thực theo thứ tự ưu tiên sau: PHÉP TOÁN  HÀM HỢP  SƠ CẤP II TIẾP TUYẾN 1) Định lý: PT tiếp tuyến đường cong  C  : y  f  x  tiếp điểm M  x0 ; y0  có dạng: y  y0  k. x  x0  (*) Trong đó: + x0 : Hoành độ tiếp điểm; + y0  y  x0  : Tung độ tiếp điểm; + k  f   x0  : Hệ số góc tiếp tuyến 2) Quy tắc lập phương trình tiếp tuyến đường cong y  f  x  B1 Tìm đạo hàm y '  f '  x  B2 Dựa vào giả thiết, tính x0 , y0 , f   x0  B3 Thay vào PT (*), thu gọn, ta PT tiếp tuyến cần tìm (Chú ý: So điều kiện, loại PTTT có) 3) Chú ý:  Đường thẳng  d  : y  ax  b  Hệ số góc kd  a ; a b  d  d '  kd kd '  1  Đường thẳng  d  : ax  by  c   Hệ số góc kd   d d '  kd  kd ' ; 4) Các dạng phương trình tiếp tuyến: Giả thiết Theo GT, Ta có: x0 Biết hoành độ tiếp điểm Các đại lượng cần tính Tính: y0  y  x0  , k  f   x0  Biết tung độ tiếp điểm y0 Từ: y0  y  x0   Tính x0 k  f   x0  Biết hệ số góc TT k Từ: k  f   x0   Tính x0 y0  y  x0  2020-2021 15 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Biết TT song song ĐT d  Biết TT vuông góc ĐT d  Biết TT qua A  xA ; yA  TT giao điểm C  : y  f  x  Từ: k  f   x0   Tính x0 y0  y  x0  (Chú ý loại PTTT trùng PT ĐT d) k  kd k kd  1  k  Bí Kíp Võ Cơng Trường 1 kd Từ: k  f   x0   Tính x0 y0  y  x0  yA  y  x0   y  x0 . xA  x0  Giải PT tìm x0  Tính y0  y  x0  , k  f   x0  f  x0   ax0  b Giải PT tìm x0  Tính y0  y  x0  , k  f   x0  TT giao điểm  C  Ox y0  Từ: y0  y  x0   Tính x0 k  f   x0  TT giao điểm  C  Oy x0  Tính: y0  y  x0  , k  f   x0   d  : y  ax  b 2020-2021 16 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I PHÉP TỊNH TIẾN: Định nghĩa: Tv  M   M '  MM '  v Biểu thức tọa độ:  x  xM  a Tv a;b   M   M '   M '  yM '  y M  b Tính chất: Phép tịnh tiến biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm d) Tam giác thành tam giác e) Đường trịn thành đường trịn có bán kính II PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: Định nghĩa: ÑI  M   M '  I trung điểm MM ' Biểu thức tọa độ:  x  xI  x M ÑI  M   M '   M '  y M '  yI  y M Tính chất: Phép đối xứng tâm biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm d) Tam giác thành tam giác e) Đường trịn thành đường trịn có bán kính III PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: Định nghĩa: Ñ  M   M '   đường trung trực MM ' Biểu thức tọa độ: ax  by  c  xM '  xM  2a M M2   a b Ñ:ax  by c 0  M   M '   ax  y  y  2b M  byM  c M' M  a2  b2   x  xM ÑOx  M   M '   M '  yM '   yM  x   xM ÑOy  M   M '   M '  yM '  yM Tính chất: Phép đối xứng trục biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm d) Tam giác thành tam giác e) Đường trịn thành đường trịn có bán kính IV PHÉP QUAY: Định nghĩa:   IM  IM ' Q I ;   M   M '     IM ; IM '   Biểu thức tọa độ: 2020-2021 17 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường  x  xM cos   yM sin  QO;   M   M '   M '  yM '  yM cos   xM sin   x   yM QO ,90  M   M '   M '  yM '  x M  x  yM QO,90  M   M '   M '  yM '   x M Tính chất: Phép quay biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự ba điểm d) Tam giác thành tam giác e) Đường trịn thành đường trịn có bán kính V PHÉP DỜI HÌNH: Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách điểm Tính chất: Phép dời hình biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm c) Tam giác thành tam giác d) Đường trịn thành đường trịn có bán kính VI PHÉP VỊ TỰ: Định nghĩa: Biểu thức tọa độ: V I ,k   M   M '  IM '  k.IM  x M '  x I  k  x M  x I  V I ,k   M   M '    yM '  yI  k  yM  yI   x  k.x M VO,k   M   M '   M '  yM '  k.yM Tính chất: Phép vị tự tỉ số k biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với b) Đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài k a c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm d) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k e) Đường trịn bán kính r thành đường trịn có bán kính k r VII PHÉP ĐỒNG DẠNG: Định nghĩa: Phép đồng dạng tỉ số k  phép biến hình đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài k a Tính chất: Phép đơng dạng tỷ số k  biến: a) Đường thẳng thành đường thẳng b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm c) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k d) Đường trịn bán kính r thành đường trịn có bán kính k r CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Dựng ảnh một hình qua phép biến hình Phương pháp: B1: Tìm ảnh yếu tố xác định hình B2: Dựng ảnh hình theo yếu tố tìm 2020-2021 18 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Công Trường Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố phép biến hình Phương pháp: B1: Lập cơng thức tọa độ phép biến hình B2: Thay kiện giả thiết cho vào công thức tọa độ B3: Tìm đại lượng theo u cầu tốn Dạng 3: Viết phương trình ảnh một hình qua phép biến hình cho trước Phương pháp: Cách 1: Xác đinh yếu tố B1: Tìm yếu tố xác định hình cho B2: Tìm ảnh yếu tố qua phép biến hình cho trước  Suy yếu tố ảnh cần tìm B3: Từ yếu tố tìm B2  Lập phương trình ảnh cần tìm Cách 2: Thế biểu thức tọa độ B1: Lập biểu thức tọa độ phép biến hình cho  Rút biểu thức tọa độ điểm tạo ảnh B2: Thế biểu thức tọa độ vào phương trình hình (tạo ảnh) cho B3: Rút gọn  Ta phương trình ảnh cần tìm ĐẶC BIỆT: CÔNG THỨC NHANH Cho  : ax  by  c  0; v   v1; v2  Khi đó, ta có: 1) Tv ()   ' 2) ÑI      ' 3) ÑO      ' 4) ÑOx      ' 2020-2021   ' : ax  by  a. v1   b. v2   c     ': ax  by   2axI  2byI  c     ' : ax  by  c    ' : ax  by  c  5) ÑOy      '   ' : ax  by  c  6) QO;90 ()   '   ' : bx  ay  c  7) QO;90 ()   '   ' : bx  ay  c  8) VO;I  ()   '   ' : ax  by  kc  19 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 I QUAN HỆ SONG SONG Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song Chứng minh ĐT song song: Sử dụng kết hình học phẳng để chứng minh Chứng minh ĐT song song MP d  ( )   Chứng minh: ĐT không chứa  Cách d d '   d ( ) MP song song ĐT  khác chứa MP α d '  ( )  d  ( )    d ( ) ( ) (  )  Cách  Chứng minh: ĐT chứa MP song song với MP d' d β d α Chứng minh MP song song a, b  ( )  a  b  I   Cách a a'   ( ) (  )  b b'  a ', b '  (  )   Chứng minh: MP có chứa ĐT cắt lần lwutj song song ĐT chứa MP a' β b' a α I b Dạng 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng Cách 1: Tìm điểm chung phân biệt mặt phẳng  Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung A           AB        B         Cách 2: Tìm điểm chung mặt phẳng chứng tỏ mặt phẳng có chưa đường thẳng song song  Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song đường thẳng I          a    , b              Ix  Ix a b   a b  Cách 3: Tìm điểm chung mặt phẳng chứng tỏ mặt phẳng có chưa đường thẳng song song với mặt phẳng kia Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song đường thẳng I          a             Ix  Ix a   a    Dạng 3: Tìm giao điểm đương thẳng d và mặt phẳng TH1: Nếu   có sẵn chứa đường thẳng a cắt d I I giao điểm d      a     d     I ad  I  TH2: Nếu   khơng có sẵn chứa đường thẳng a cắt d ta thực sau: B1: Chọn mặt phẳng phụ    chứa d cho giao tuyến      dễ tìm B2: Tìm giao tuyến       B3: Trong    , tìm giao điểm I  d  I giao điểm d   2020-2021 20 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường     d             d     I   Dạng 4: Tìm thiết diện hình chóp, lăng trụ cắt mặt phẳng Cách 1: Tìm tất đoạn giao tuyến   với mặt hình chóp, lăng trụ  Thiết diện đa giác tạo đoạn giao tuyến Cách 2: Tìm tất giao điểm   với cạnh (nếu có) hình chóp, lăng trụ  Thiết diện đa giác tạo giao điểm d  I II QUAN HỆ VNG GÓC Dạng 1: Chứng minh quan hệ vng góc Chứng minh ĐT vng góc: Cách d  ( )   d a a  ( )  d  Chứng minh: ĐT vng góc với MP chứa ĐT a α Cách d  AB    d  BC d  AC   Chứng minh: ĐT vng góc cạnh tam giác có cạnh cịn lại nằm ĐT d A C B Chứng minh ĐT vng góc MP: Cách Cách d  a; d  b   a  b  I   d  ( ) a, b  ( )  ( )  (  )  ( )  (  )  d      ( )   ( )   d  Chứng minh: ĐT vng góc với ĐT cắt chứa MP d a α b I   Nếu MP vng góc ĐT nằm MP vng góc với giao tuyến MP vng góc MP  d   Cách ( )  (  )  d   ( )  ( )   d  ( )  (  )  ( )    MP phân biệt vuông góc MP thứ giao tuyến MP (nếu có) vng góc MP thứ d  Chứng minh MP vng góc:  Cách   (  ) ( )  (  )     ( )   Chứng minh: MP có chứa ĐT vng góc MP  2020-2021 21 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11     Cách     a,   b          a b  I  a, b     Bí Kíp Võ Cơng Trường   Chứng minh MP chứa ĐT vng góc với ĐT cắt chứa MP   a b Dạng 2: Tìm hình chiếu Điểm lên MP  Định nghĩa: H hình chiếu M lên    MH    H TH1: Có ĐT  qua điểm M vng góc mp   H  H hình chiếu M lên   TH2: Chưa có sẵn ĐT  TH1  Tìm mp    qua M        M   Tìm d         H M  Vẽ MH  d H  MH  ( ) H  H hình chiếu M lên   d H  Dạng 3: Tính góc Góc ĐT cắt ĐN: Là góc có số đo nhỏ (góc nhọn) góc tạo thành a I b Góc ĐT ĐN: Là góc đường thẳng cắt song song với đường thẳng a a '    a; b    a '; b ' b b' a' I b' a b Góc ĐT MP ĐN: Là góc đường thẳng Lấy A, B  d với hình chiếu mặt Tìm A ', B ' hình chiếu A, B phẳng lên   (d , ( ))   d , d ’  d’ (A’B’) hình chiếu d lên   (với d’ hình chiếu d lên  (d , ( ))   d , d ’ )) d A B d'  Đặc biệt: Nếu d cắt   I thì: A' B' d A AI     I     AI ,     AIH AH    taïi H  Góc MP ĐN: Là góc đường thẳng Cách xác định thường dùng: Góc hai vng góc với mặt MP góc ĐT chứa phẳng MP vng góc với giao tuyến MP a            d     (( ), (  ))  ( a, b) b      a    ; b          ,       a , b  a  d ; b  d  2020-2021 22 I  d' H  b d  a I 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường Cách xác định khác:   b γ        d ;     d          a      ,       a , b          b  a  Dạng 4: Tính khoảng cách Khoảng cách từ Điểm đến MP ĐN: Là khoảng Tìm H hình chiếu A lên () cách từ điểm Khi đó: đến hình chiếu lên mặt phẳng d ( A, ( ))  AH a d b   M H  Khoảng cách ĐT MP song song ĐN: Là khoảng Lấy A   cách từ điểm bất Khi đó: kì thuộc đường thẳng đến mặt d (, ( ))  d ( A,( )) phẳng Khoảng cách MP song song ĐN: khoảng cách từ điểm bất Lấy A    kì thuộc mặt phẳng Khi đó: đến mặt phẳng d (( ), ( ))  d ( A, ( )) Δ A H  A α β H Khoảng cách ĐT chéo ĐN: Là độ dài Tìm ĐT  vng góc a M vng đoạn vng góc góc với b N Khi đó: chung ĐT   a taïi M    d  a, b   MN   b taïi N  M a N Δ Cách khác:    a    d  a, b   d  b,      / / b  b b a     a,     b    d  a, b   d    ,       / /     a α b β ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: A B B A I  AB 2020-2021 H K     d  A,    d  B,   H K AB     I  23 d  A,    d  B ,     AI BI 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 CÁC DẠNG HÌNH CHĨP Hình chóp có mợt cạnh bên vng góc đáy:  Đường cao cạnh bên vương góc đáy Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc mặt đáy H , K hình chiếu A lên SB, SD  Đường cao SA ; BC, AD   SAB  ; AB, DC   SAD ; Bí Kíp Võ Cơng Trường S K H A AH   SBC  ; AK   SCD  D B * Nếu đáy hình vng BD   SAC  C S Ví dụ 2: Hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh bên SA vng góc mặt đáy M trung điểm BC ; H hình chiếu A lên SM  Đường cao SA ; BC   SAM  ; AH   SBC  ; H A C M B Hình chóp có mặt qua đỉnh và vng góc mặt đáy:  Đường cao hình chóp đoạn giao tuyến mặt S Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt (SAB), (SAC) vng góc mặt đáy (ABC)  Đường cao hình chóp đoạn giao tuyến SA mặt (SAB), (SAC) A C B Hình chóp có mợt mặt bên vng góc đáy:  Đường cao hình chóp đường cao mặt bên (hạ từ đỉnh hình chóp) Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có (SAB) vng góc mặt đáy (ABCD)  Đường cao SH tam giác SAB đường cao hình chóp S.ABCD S D A H B C Hình chóp đều: hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng tâm đáy Tính chất (chung): - Các cạnh bên nhau, cạnh đáy - Các mặt bên tam giác cân đỉnh hình chóp - Đường cao hình chóp SH (Với S đỉnh H tâm đáy) - Góc cạnh bên mặt đáy nhau, - Góc mặt bên mặt đáy 1) Hình chóp tam giác đều: a) Tính chất (riêng): Góc giữa cạnh Mặt đáy tam giác bên và mặt đáy Đường cao hình chóp SH (Với S đỉnh H giao điểm đường trung tuyến tam giác đáy) Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH  SBH  SCH   S Góc giữa mặt bên và mặt đáy h A β C Góc mặt bên mặt đáy là: SIH   (với I trung điểm B cạnh đáy) b) Công thức liên hệ: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a, Cách vẽ hình chóp tam giác S.ABC cạnh bên b, chiều cao h, góc cạnh bên mặt đáy , góc (hoặc tứ diện đều): Vẽ đáy ABC  Dựng trọng tâm H (Là giao mặt bên mặt đáy  Khi đó: điểm đường trung tuyến)  Vẽ SH vng góc (ABC)  Vẽ cạnh bên H 2020-2021 24 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 a a  b 3.cos  h tan  1  V  h  b.sin  a  h   a2 2 a b h  h tan  3 1) Hình tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy (hình chóp tam giác có tất cạnh Cho khối tứ diện cạnh a, chiều cao h, khoảng cách cạnh đối diện d Ta có: 3) Hình chóp tứ giác a) Tính chất (riêng): Mặt đáy hình vng Đường cao hình chóp SH (Với S đỉnh H giao điểm đường chéo đáy hình vng) Góc cạnh bên mặt đáy là: ha Bí Kíp Võ Cơng Trường a3 V 12 d a S Góc giữa mặt bên và mặt đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đáy A SAH  SBH  SCH  SDH   Góc mặt bên mặt đáy là: SIH   (với I trung điểm cạnh đáy) b) Công thức liên hệ: a2 a  b 2.cos  b2  h2  V  a h h  b.sin  a h  tan  a h tan  2 Hình chóp có tất cả cạnh bên nhau:  Đường cao hình chóp đoạn thẳng hạ từ đỉnh hình chóp đến tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Ví dụ: Hình chóp S.ABC cạnh bên SA, SB, SC đáy ABC tam giác vng B Đường cao hình chóp SI, với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (I trung điểm AC) D β H I C B Cách vẽ hình chóp tứ giác S.ABCD: Vẽ đáy hình bình hành ABCD  Vẽ H giao điểm hai đường chéo AC & BD  Vẽ SH vng góc (ABCD)  Vẽ cạnh bên S A C I B Tứ diện vuông: (Tứ diện có mặt tam giác vng đỉnh hay có cạnh đơi vng góc)  Chân đường cao ứng với đỉnh vng trực tâm mặt đối diện với đỉnh vng Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB, SBC, SCA tam giác vuông S Đường cao SH, (với H trực tâm tam giác ABC) S A C H B CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ Tính chất: Hình Lăng trụ có: + Các cạnh bên song song nhau; + Các mặt bên hình bình hành; + Hai mặt đáy song song nhau; + Đường cao đoạn thẳng nối từ điểm thuộc đáy đến hình chiếu lên đáy kia; + Góc cạnh bên mặt đáy nhau; + Góc mặt bên mặt đáy nhau; 2020-2021 25 A' C' B' h A φ H C B 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Toán 11 Lăng trụ đứng: lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy A' Lăng trụ đều: lăng trụ đứng có đáy đa giác C' A' Bí Kíp Võ Cơng Trường Hình hộp: lăng trụ có đáy hình bình hành D' C' A' B' h C' B' h B' h A A C B A' C B Đường cao: A’H (với H hình chiếu A’ lên (ABC) Hình lập phương: hình hộp có mặt dều hình vng A' B' B' D' B C' C' C Đường cao: A ' A, B ' B, C ' C, D ' D C D B C Đường chéo: AC '  AB Đường chéo: AC '  A B A D D 2020-2021 H D' D' A Đường cao cạnh bên A’A, B’B, C’C Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật (có mặt hình chữ nhật) C' B' h A B Đường cao cạnh bên A’A, B’B, C’C Hình hộp đứng: hình hộp có cạnh bên vng góc đáy (đáy hình bình hành) A' D φ C AB  AD  AA '2 26 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường PHỤ LỤC HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP) I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: 1) Tam giác vng: Cho ABC vng A có đường cao AH trung tuyến AM Ta có: A  BC  AB2  AC (Pi-ta-go)  AH BC  AB AC  AC  CH BC  AB2  BH BC 1 AB AC 2     AH  B AH AB AC H M AB  AC 2 2 BH AB AB CH AC AC       2 2 BC BC AB  AC BC BC AB  AC BC  AM   Diện tích: S  AB AC (bằng nửa tích độ dài cạnh góc vng) 2 2) Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân A có đường cao AH Ta có: C 45  AB  AC  a  BC  a  AH  a a H a AB AC BC 45 B  Diện tích: S    A a 2 3) Tam giác đều: Cho ABC cạnh a, có tâm I đường cao AH 4) Nửa tam giác đều: Ta có: A a a 30  AH   AI  2a a I a a2  IH   Diện tích: S  B C 60 H a C 5) Tam giác thường: Cho ABC độ dài cạnh BC  a, AC  b, AB  c , đường cao AH  , trung tuyến AM  ma , bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r Ta có: a b c    2R  Định lí cơsin: a2  b2  c2  2bc.cos A  Định lí sin: sin A sin B sin C b2  c a b2  c  a B  cos A   ma   2bc  Diện tích: S  a.ha II S bc.sin A S abc 4R A H S  p  p  a  p  b  p  c  (với p  S  p.r M C abc ) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: 1) Hình thang: Diện tích hình thang ABCD có đáy AB, CD: S   AB  CD  h (với h chiều cao h khoảng cách AB CD) 2) Hình thang vng: Diện tích hình thang ABCD vng A, D: S  3) Hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD: S   AB  CD  AD  AB  CD  h (với h chiều cao h khoảng cách AB CD) AC BD (bằng nửa tích độ dài đường chéo) 5) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật ABCD: S  AB.BC (bằng tích chiều dài chiều rộng) 6) Hình vng: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O  AC  BD  a  OA  OB  OC  OD  a  Diện tích: S  a 2 4) Hình thoi: Diện tích hình thoi ABCD: S  2020-2021 27 0983.900.570 Hê thống kiến thức phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRỊN:  Diện tích hình trịn bán kính R: S   R2  Chu vi đường trịn bán kính R: C  2 R IV     TÂM CỦA TAM GIÁC Trọng tâm tam giác giao điểm đường trung tuyến Trực tâm tam giác giao điểm đường cao Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường trung trực Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điiểm đường phân giác HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I TỌA ĐỘ Cho u  ( x; y ), v  ( x '; y ') x  x ' uv y  y' u  v  xx ' yy '  u  v   x  x '; y  y ' ku  (kx; ky ) u  x2  y cos u , v    u.v  xx ' yy ' u.v u.v Cho A  xA ; yA  , B  xB ; yB  AB   xB  xA ; yB  yA  AB  M trung điểm AB: x  xB y  yB xM  A ; yM  A 2 G trọng tâm tứ giác ABCD :  x  x  x  xD y A  yB  yC  yD  G A B C ;  4   G trọng tâm tam giác ABC: x  xB  xC y  yB  yC xG  A ; yG  A 3 M chia AB theo tỉ số k: x  kxB y  kyB xM  A ; yM  A 1 k 1 k  xB  xA    yB  yA  2 II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình: Đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  có VTPT n   A; B  hay có VTCP a   a; b  ,có: Phương trình tổng qt: A x  x0   B  y  y0    Ax  By  C  (với C   Ax0  By0 )  x  x0  at , t     y  y0  bt x  x0 y  y0  Phương trình tắc: ,  a.b  0 a b Chú ý: Phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  có hệ số góc k: y  y0  k  x  x0  Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng qua điểm A, B: x  xB y  yB  xA  xB y A  yB Khoảng cách từ điểm M  xM ; yM  đến đường thẳng : Ax  By  C  là: d M ,   AxM  ByM  C A2  B III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình: Đường trịn có tâm I  a; b bán kính R, có phương trình: Dạng 1:  x  a    y  b   R 2 2 Dạng 2: x  y  2ax  2by  c  , với điều kiện a2  b2  c  R  a2  b2  c 2020-2021 28 0983.900.570 ... I PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP 11 II DÃY SỐ 11 III CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 11 VẤN ĐỀ GIỚI HẠN 12 I GIỚI HẠN CỦA DÃY... phương pháp giải Tốn 11 Bí Kíp Võ Cơng Trường VẤN ĐỀ LƯỢNG GIÁC I ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC sin y tang t - - 3 -1 π 3 2π 3π A' π cotang π π - 2 2 - -1 2 O 1 2 7π (rad) x cosin 11? ? 4π - - 5π A -1 s... Gọi số tự nhiên có dạng: x  a1 an , a1  thuộc tập chứa chữ số theo đề B2: Chọn chữ số thỏa điều kiện toán đặt vào hàng số theo thứ tự ưu tiên: Hàng có điều kiện “mạnh” thực trước (Chú ý phân