RÚT GỌN PHÂN THỨC I Phương pháp giải Muốn rút gọn phân thức ta có thể: Phân tích tử mẫu thành nhân tử ( cần) để tìm nhân tử chung; Chia tử mẫu cho nhân tử chung Chú ý: Có cần đổi dấu tử mẫu để nhận nhân tử chung tử mẫu (lưu ý tới tính chất A A) II Một số ví dụ Ví dụ Rút gọn phân thức sau: a) A x2 x ; x x 12 b) B a 5a ; a a 4a x3 x x c) C x 8x 17 x 10 Giải a) Ta có: x 1 x 3 x 3 x2 x A x x 3x 12 x x x x x 3 A x x x x x 3 x 2 a a 4a a a 1 a 1 b) Ta có: B a (a 4a 4) a4 a 2 B B a a 2 1 a a a a a 1 a 1 a a a a a 1 a a 1 a a2 a x 1 x2 4 x x 1 x 1 c) Ta có: C x x x x 10 x 10 x 1 x x 10 C x 1 x x x x 1 x x 5 x Ví dụ Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca Rút gọn biểu thức sau: a b b c c a A 2 1 a 1 b 1 c 2 Giải Tìm cách giải Nhận thấy mẫu thức phân tích thành nhân tử cách sử dụng giả thiết Do nên thay ab bc ca vào mẫu phân tích đa thức thành nhân tử Những toán rút gọn có điều kiện, nên vận dụng biến đổi khéo léo điều kiện Trình bày lời giải Thay ab bc ca , ta được1 a a ab bc ca a a b a c Tương tự: b2 b c c a c c a c b a b b c c a Vậy A a b a c b a b c c a c b 2 a3 4a a Ví dụ Cho biểu thức P a 7a3 14a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Giải Tìm cách giải Khi rút gọn biểu thức, cần phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Để tìm giá trị nguyên a, cần tách phần nguyên cho phân thức có giá trị ngun Chẳng hạn P a 1 ta viết P , số nguyên nên để P số nguyên a2 a2 có giá trị nguyên Do a phải ước số a2 Trình bày lời giải a) Ta có: a2 a 4 a 4 a 4a a a a 14a a 2a 5a 10a 4a a 1 a a 1 a 1 a a a a 5a a a a 1 a a a P b) Ta có: P Vậy P Z (a 2) a2 Z a 1; 3 a 1;1;3;5 a2 Ví dụ Cho phân thức F ( x) x x3 x x x x3 x x Xác định x để phân thức F ( x) có giá trị nhỏ Giải Tìm cách giải Trong phân thức F ( x) bậc tử thức mẫu thức 4, lớn Do việc tìm giá trị nhỏ gặp nhiều khó khăn, cần rút gọn biểu thức F ( x) Khi F ( x) viết dạng phân thức mà tử thức mẫu thức bậc hai, ta tìm cực trị cách lấy biểu thức F ( x) m , cho kết qủa tử thức viết dạng đẳng thức (a b)2 Trình bày lời giải F ( x) x x3 x x x x3 x x x x x3 x x x x3 x x x x x x 1 x x 1 x2 x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 2 2 x2 x x 2x 1 x x x x 3x x x 1 Xét F ( x) 0 x 2x 1 4 x2 8x 4 x 1 Suy F ( x) Dấu xảy x Vậy giá trị nhỏ F ( x) Ví dụ Cho biểu thức B x x x3 x Chứng minh biểu thức B không âm với x x3 3x x 1 giá trị x Giải Tìm cách giải Chứng minh biểu thức khơng âm với giá trị x, ta cần phải rút gọn biểu thức Sau chứng tỏ tử thức khơng âm mẫu thức dương Trình bày lời giải B B x x x 1 x x 1 x x x3 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 Vây B không âm với giá trị x 2 x 1 x 1 x 1 x2 1986 Ví dụ Tính P 1992 19862 3972 3 1987 1983.1985.1988.1989 (Thi Học sinh giỏi NewYork (Mỹ) – năm học 19861987 ) Giải Tìm cách giải Bài tốn chứa số lớn Nhiều số gần với 1986, tự nhiên đặt 1986 x , biểu diễn số gần với 1986 theo x, ta biểu thức P biến x Sau rút gọn biểu thức P Trình bày lời giải Đặt 1986 x Ta có: x P x x x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 x 3x x x x 3x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 x 3 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x x 3 P x hay P 1996 1997 Nhận xét Phương pháp giải đại số hóa cách đặt x 1986 , sau rút gọn phân thức đại số Nhiều biểu thức số ta giải đại số III Bài tập vận dụng 1.1 Rút gọn biểu thức: a 1 11 a 1 30 b) N a 1 18 a 2a x3 x 12 x 45 a) 3x 19 x 33x Hướng dẫn giải – đáp số a) x3 x 12 x 45 x3 x x 3x 15x 45 3x3 19 x 33x 3x3 x 10 x 30 x 3x x 3 x2 x 15 x 5 x 3 x x 3 3x2 10 x 3 3x 1 x 3 3x a 1 5 a 1 6 a 1 11 a 1 30 b) N 4 2 a 1 18 a 2a 3 a 1 18 a 1 15 2 N a 2a a 2a 2 a 1 5 a 1 1 a 2a 3a 6a 1.2 Rút gọn biểu thức: n3 2n2 A ; n 2n2 2n x5 x x3 x 3x ; x2 x M N xy y y x x2 y y x2 Hướng dẫn giải – đáp số A n3 2n2 n3 n n n3 2n2 2n n3 n2 n2 n n n n 1 n 1 n 1 n2 n n n 1 n n 1 n n n x5 x x3 x 3x x x x x x M x2 x x x N x 1 x 3 x4 xy y y x x2 y y x2 y 1 x2 2 y 1 x 1.3 Rút gọn biểu thức: P abc a b c ab bc ca 1 a 2b a b Hướng dẫn giải – đáp số P abc bc a ab b ac c a 1 bc b c a 2b a b b 1 a 1 a 1 b 1 c 1 c b 1 a 1 a 1 a 2003 2013 21.2004 1 2003.2008 1.4 Tính giá trị biểu thức sau: P 2004.2005.2006.2007.2008 ( Tuyển sinh 10, Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2003 – 2004 ) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x 2003 Ta có: x x 10 31 x 1 1 x x 5 4 P x 1 x x 3 x x 5 x 10 x 31x 30 x x x 1 x x 3 x x 5 Phân tích tử thức thành nhân tử, ta được: P x x 3 x 5 x 1 x x 1 x x 3 x x 5 1.5 Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca Rút gọn biểu thức sau: a B 2bc 1 b 2ca 1 c 2ab 1 a b b c c a 2 Hướng dẫn giải – đáp số Thay ab bc ca, ta được: a 2bc a bc ab ca a a b c a b a c a b Tương tự: b2 2ca b c b a ; c 2ab c a c b Vậy a b a c b a b c c a c b a b b c c a B 2 2 2 a b b c c a a b b c c a 1.6 Cho A x x3 x x x3 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng, A không âm với giá trị x Hướng dẫn giải – đáp số x x3 1 x3 x x3 x a) A x x x x x x x 1 x x x x 1 x x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 b) A x2 Vậy biểu thức A không âm x 3x 1.7 Cho phân thức M x x3 x x a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị lớn biểu thức M Hướng dẫn giải – đáp số a) M 3x 3x x x3 x x x x x3 x x 3x 3 2 x 1 x x 6 x x b) x2 x 3 Dấu xảy x 1 x 2x Vậy giá trị lớn phân thức M x 1 1.8 Rút gọn phân thức: x x x x 3x A x2 x x x8 x 2020 Q x x x 2022 Hướng dẫn giải – đáp số x x x x x x x x 3 Ta có: A x 1 x 2 x 1 x 2 x Ta có: Q 3 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x x8 x 2020 1 x4 x8 x2020 x2 x6 x10 x2022 x x8 x 2020 2020 1 x 1 x x x x2 x y z x2 y z 1.9 Cho Rút gọn biểu thức: P (ax+by+cz)2 a b c Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x y z k suy ra: x ak ; y bk ; z ck a b c Từ ta có P Suy P a k b2 k c2 k a k b2 k c2 k k a b2 c2 k a b2 c2 a b2 c 2 1.10 Cho a b c abc Chứng minh rằng: a b2 c2 b a c c a b2 ab bc ca abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét tử thức ta có: ab ac a 2b bc a c b 2c ab a 2b abc ac a c abc bc bc abc 3abc ab a b c ac a b c bc a b c 3abc a b c ab ac bc 3abc abc ab ac bc 3 Vậy suy ra: a b2 c2 b a c c a b2 ab bc ca abc Điều phải chứng minh x 1.11 Chứng minh giá trị biểu thức P x 2 a 1 a a x a 1 a a x không phụ thuộc vào giá trị x Hướng dẫn giải – đáp số x Ta có: P x 2 a 1 a a x a 1 a a x x ax a a a x x ax a a a x 1 x 1 x a 1 x a 1 x 1 a a a a 1 x 1 x a 1 x a 1 x 1 a a a a 2 2 2 2 2 2 2 Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị x 1.12 Tính giá trị biểu thức P x3 x 1 xy x y 2 , với x 499; y 999 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P P x x 1 1 xy x y 1 xy x y x x 1 x 1 x x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 y 1 Điều kiện x 1; y 1 Với x 499, y 999 thay vào ta P 499 499 1 999 1 999 1 1000.998 2000 1.13 Tính giá trị biểu thức: A x x 5 y y 5 xy 3 với x y 2020 x x y y xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A x x 5 y y 5 xy 3 x x y y xy x x y y xy x x y y xy x y x y x y x y 1 x y x y x y x y x y 6 x y x y x y x y x y 1 x y x y x y x y x y 6 x y Điều kiện x y; x y 6 Với x y 2020 giá trị biểu thức A 2019 2020 1.14 Cho ax by cz Chứng minh rằng: ax by cz bc y z ca z x ab x y 2 abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét bc y z ca z x ab x y 2 bcy 2bcyz bcz caz 2cazx cax2 abx2 2abxy aby a x aby acz abx b y bcz acx bcy c z a x a b c ax by cz ax by cz a b c ax by cz (vì ax by cz ) b y c z 2abxy 2bcyz 2cazx Từ suy ra, vế trái ax by cz bc y z ca z x ab x y 2 ax by cz 2 a b c ax by cz a b c