rut gon phan thuc va phuong phap giai

RÚT GỌN PHÂN THỨC I Phương pháp giải Muốn rút gọn phân thức ta có thể: Phân tích tử mẫu thành nhân tử ( cần) để tìm nhân tử chung; Chia tử mẫu cho nhân tử chung Chú ý: Có cần đổi dấu tử mẫu để nhận nhân tử chung tử mẫu (lưu ý tới tính chất A     A) II Một số ví dụ Ví dụ Rút gọn phân thức sau: a) A  x2  x  ; x  x  12 b) B  a  5a  ; a  a  4a  x3  x  x  c) C  x  8x  17 x  10 Giải a) Ta có:  x  1    x   3 x   3 x2  x   A  x  x  3x  12 x  x     x    x   x  3 A  x   x    x   x   x  3 x  2 a  a  4a  a  a  1   a  1 b) Ta có: B   a  (a  4a  4) a4   a  2 B B a a 2  1 a    a   a  a     a  1 a  1 a   a    a  a    a  1 a    a  1 a   a2  a   x  1  x2  4 x  x  1   x  1 c) Ta có: C   x  x  x  x  10 x  10  x  1  x  x  10  C  x  1 x   x    x   x  1 x   x  5 x  Ví dụ Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab  bc  ca  Rút gọn biểu thức sau:  a  b b  c   c  a  A 2 1  a 1  b 1  c  2 Giải Tìm cách giải Nhận thấy mẫu thức phân tích thành nhân tử cách sử dụng giả thiết Do nên thay  ab bc ca vào mẫu phân tích đa thức thành nhân tử Những toán rút gọn có điều kiện, nên vận dụng biến đổi khéo léo điều kiện Trình bày lời giải Thay  ab bc ca , ta được1  a  a  ab  bc  ca  a   a  b  a  c  Tương tự:  b2   b  c  c  a   c   c  a  c  b   a  b b  c   c  a  Vậy A    a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b  2 a3  4a  a  Ví dụ Cho biểu thức P  a  7a3  14a  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Giải Tìm cách giải Khi rút gọn biểu thức, cần phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Để tìm giá trị nguyên a, cần tách phần nguyên cho phân thức có giá trị ngun Chẳng hạn P  a 1 ta viết P   , số nguyên nên để P số nguyên a2 a2 có giá trị nguyên Do a  phải ước số a2 Trình bày lời giải a) Ta có: a2  a  4   a  4 a  4a  a   a  a  14a  a  2a  5a  10a  4a  a  1  a     a  1 a  1 a    a    a  a    5a  a     a    a  1 a   a   a  P b) Ta có: P   Vậy P  Z  (a  2) a2  Z  a  1;  3  a 1;1;3;5 a2 Ví dụ Cho phân thức F ( x)  x  x3  x  x  x  x3  x  x  Xác định x để phân thức F ( x) có giá trị nhỏ Giải Tìm cách giải Trong phân thức F ( x) bậc tử thức mẫu thức 4, lớn Do việc tìm giá trị nhỏ gặp nhiều khó khăn, cần rút gọn biểu thức F ( x) Khi F ( x) viết dạng phân thức mà tử thức mẫu thức bậc hai, ta tìm cực trị cách lấy biểu thức F ( x)  m , cho kết qủa tử thức viết dạng đẳng thức (a  b)2 Trình bày lời giải F ( x)  x  x3  x  x  x  x3  x  x  x   x  x3  x  x  x  x3  x  x  x   x  x  x  1   x  x  1 x2  x  x  1 x     x  x  1   x  x  1  x  x  1 x   2 2 2 x2  x   x  2x 1 x  x  x  x   3x  x   x  1 Xét F ( x)      0 x  2x 1 4 x2  8x  4  x  1 Suy F ( x)  Dấu xảy x  Vậy giá trị nhỏ F ( x)  Ví dụ Cho biểu thức B  x  x  x3  x  Chứng minh biểu thức B không âm với x  x3  3x   x  1 giá trị x Giải Tìm cách giải Chứng minh biểu thức khơng âm với giá trị x, ta cần phải rút gọn biểu thức Sau chứng tỏ tử thức khơng âm mẫu thức dương Trình bày lời giải B B x   x  x  1   x  x  1  x   x x3  x  1   x  1 x2  x  1  x  1 2 x2   Vây B không âm với giá trị x 2  x  1  x  1  x  1  x2  1986 Ví dụ Tính P   1992 19862  3972  3 1987 1983.1985.1988.1989 (Thi Học sinh giỏi NewYork (Mỹ) – năm học 19861987 ) Giải Tìm cách giải Bài tốn chứa số lớn Nhiều số gần với 1986, tự nhiên đặt 1986  x , biểu diễn số gần với 1986 theo x, ta biểu thức P biến x Sau rút gọn biểu thức P Trình bày lời giải Đặt 1986  x Ta có: x P  x   x  x  3  x  1  x  3 x  1 x   x  3 x   3x  x   x  x  3x  3  x  1  x  3 x  1 x   x  3  x  3 x   x  1 x  3 x  1   x  3 x  1 x   x  3 P  x  hay P  1996   1997 Nhận xét Phương pháp giải đại số hóa cách đặt x  1986 , sau rút gọn phân thức đại số Nhiều biểu thức số ta giải đại số III Bài tập vận dụng 1.1 Rút gọn biểu thức:  a  1  11 a  1  30 b) N   a  1  18  a  2a   x3  x  12 x  45 a) 3x  19 x  33x  Hướng dẫn giải – đáp số a) x3  x  12 x  45 x3  x  x  3x  15x  45  3x3  19 x  33x  3x3  x  10 x  30 x  3x    x  3  x2  x  15  x  5 x  3 x     x  3  3x2  10 x  3  3x  1 x  3 3x   a  1  5  a  1  6 a  1  11 a  1  30     b) N   4 2  a  1  18  a  2a   3  a  1  18  a  1  15 2 N a  2a   a  2a   2  a  1  5  a  1  1     a  2a  3a  6a 1.2 Rút gọn biểu thức: n3  2n2  A ; n  2n2  2n  x5  x  x3  x  3x  ; x2  x  M N xy  y  y  x   x2 y  y  x2  Hướng dẫn giải – đáp số A n3  2n2  n3  n  n   n3  2n2  2n  n3  n2  n2  n  n  n  n  1   n  1 n  1 n2  n    n  n  1  n  n  1  n  n  n  x5  x  x3  x  3x  x  x    x  x     x   M  x2  x   x   x    N x   1 x  3 x4 xy  y  y  x   x2 y  y  x2   y 1   x2  2 y  1 x  1.3 Rút gọn biểu thức: P  abc  a  b  c   ab  bc  ca  1 a 2b    a  b  Hướng dẫn giải – đáp số P abc  bc  a   ab  b  ac  c  a  1 bc   b  c   a 2b  a  b   b  1  a  1   a  1 b  1 c  1  c   b  1 a  1 a  1 a   2003 2013  21.2004  1  2003.2008   1.4 Tính giá trị biểu thức sau: P  2004.2005.2006.2007.2008 ( Tuyển sinh 10, Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2003 – 2004 ) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  2003 Ta có:  x  x  10   31 x  1  1  x  x  5  4 P  x  1 x   x  3 x   x  5 x   10 x  31x  30  x  x    x  1 x   x  3 x   x  5 Phân tích tử thức thành nhân tử, ta được: P  x   x  3 x  5 x  1 x     x  1 x   x  3 x   x  5 1.5 Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab  bc  ca  Rút gọn biểu thức sau: a B  2bc  1 b  2ca  1 c 2ab  1  a  b b  c  c  a  2 Hướng dẫn giải – đáp số Thay  ab  bc  ca, ta được: a  2bc   a  bc  ab  ca  a  a  b   c  a  b    a  c  a  b  Tương tự: b2  2ca    b  c  b  a  ; c  2ab    c  a  c  b  Vậy  a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b     a  b  b  c   c  a  B 2 2 2  a  b b  c  c  a   a  b  b  c   c  a  1.6 Cho A  x  x3  x  x  x3  x  x  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng, A không âm với giá trị x Hướng dẫn giải – đáp số x  x3  1  x3  x  x3  x  a) A   x  x  x  x  x  x  x  1  x  x  x   x  1 x  x  1 2 2  x  1  x  1  x  1  x2   1  x  1 b) A  x2   Vậy biểu thức A không âm x 3x  1.7 Cho phân thức M  x  x3  x  x  a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị lớn biểu thức M Hướng dẫn giải – đáp số a) M   3x  3x   x  x3  x  x  x  x  x3  x  x  3x  3  2  x  1 x  x  6 x  x  b) x2  x    3  Dấu xảy  x  1 x  2x  Vậy giá trị lớn phân thức M  x  1 1.8 Rút gọn phân thức: x  x  x  x  3x  A x2  x   x  x8   x 2020 Q  x  x   x 2022 Hướng dẫn giải – đáp số x  x    x  x     x    x    x  x  3  Ta có: A   x  1 x  2  x  1 x  2 x  Ta có: Q   3  x  1 x  1 x 1   x  3  x  1  x  x8   x 2020 1  x4  x8   x2020    x2  x6  x10   x2022   x  x8   x 2020   2020 1  x 1  x  x   x   x2 x y z x2  y  z 1.9 Cho   Rút gọn biểu thức: P  (ax+by+cz)2 a b c Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x y z    k suy ra: x  ak ; y  bk ; z  ck a b c Từ ta có P  Suy P  a k  b2 k  c2 k  a k  b2 k  c2 k   k  a  b2  c2  k  a  b2  c2  a  b2  c 2 1.10 Cho a  b  c  abc Chứng minh rằng: a  b2  c2   b  a  c   c  a  b2  ab  bc  ca   abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét tử thức ta có: ab  ac  a 2b  bc  a c  b 2c   ab  a 2b  abc    ac  a c  abc    bc  bc  abc   3abc  ab  a  b  c   ac  a  b  c   bc  a  b  c   3abc   a  b  c  ab  ac  bc   3abc  abc  ab  ac  bc  3 Vậy suy ra: a  b2  c2   b  a  c   c  a  b2  ab  bc  ca   abc Điều phải chứng minh x 1.11 Chứng minh giá trị biểu thức P  x 2  a  1  a   a x   a  1  a   a x  không phụ thuộc vào giá trị x Hướng dẫn giải – đáp số x Ta có: P  x 2  a  1  a   a x   a  1  a   a x   x  ax  a  a  a x  x  ax  a  a  a x  1  x   1  x  a  1  x  a  1  x 1  a  a    a  a  1  x   1  x  a  1  x  a 1  x 1  a  a   a  a 2 2 2 2 2 2 2 Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị x 1.12 Tính giá trị biểu thức P  x3  x 1  xy    x  y  2 , với x  499; y  999 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P  P x  x  1 1  xy  x  y 1  xy  x  y  x  x  1 x  1 x   x  1 y  1 x  1 y  1  y  1 y  1 Điều kiện x  1; y  1 Với x  499, y  999 thay vào ta P 499 499 1    999  1 999  1 1000.998 2000 1.13 Tính giá trị biểu thức: A  x  x  5  y  y  5   xy  3 với x  y  2020 x  x    y  y    xy Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  x  x  5  y  y  5   xy  3 x  x  y  y  xy   x  x    y  y    xy x  x  y  y  xy  x  y    x  y     x  y   x  y  1  x  y   x y  x  y   x  y   x  y  6 x  y  x  y    x  y     x  y   x  y  1  x  y   x y  x  y   x  y   x  y  6 x  y Điều kiện x   y; x  y  6 Với x  y  2020 giá trị biểu thức A  2019 2020 1.14 Cho ax  by  cz  Chứng minh rằng: ax  by  cz bc  y  z   ca  z  x   ab  x  y  2 abc  Hướng dẫn giải – đáp số Xét bc  y  z   ca  z  x   ab  x  y  2  bcy  2bcyz  bcz  caz  2cazx  cax2  abx2  2abxy  aby   a x  aby  acz    abx  b y  bcz    acx  bcy  c z   a x   a  b  c   ax  by  cz    ax  by  cz    a  b  c   ax  by  cz  (vì ax  by  cz  )  b y  c z  2abxy  2bcyz  2cazx  Từ suy ra, vế trái ax  by  cz bc  y  z   ca  z  x   ab  x  y  2 ax  by  cz   2  a  b  c   ax  by  cz  a  b  c