phuong phap giai cac dang toan ham so bac nhat

MỤC LỤC Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT §1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ §2.HÀM SỐ BẬC NHẤT §3 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑎 ≠ 0) 18 §4 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU 31 §5 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG = y ax + b ( a ≠ ) 41 ÔN TẬP CHƯƠNG II 48 Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT §1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ §2.HÀM SỐ BẬC NHẤT A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x, x gọi biến số Khi y hàm số x ta có thể= viết y f= ( x ) , y g ( x ) , Khi hàm số cho công thức y = f ( x ) , ta hiểu biến số x lấy giá trị mà f ( x ) xác định Tập hợp giá trị gọi tập xác định hàm số, kí hiệu D Giá trị f ( x ) x0 kí hiệu f ( x0 ) hay y0 = f ( x0 ) Khi x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi hàm số y gọi hàm Đồ thị hàm số Tập hợp " G " tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng ( x; f ( x ) ) mặt phẳng tọa độ goi đồ thị hàm số y = f ( x )  x0 ∈ D M ( x0 ; y0 ) ∈ " G " hay " G " qua điểm M ( x0 ; y0 ) ⇔   y0 = f ( x0 ) Hàm số đồng biến, nghịch biến Cho hàm số y = f ( x ) xác định D D khoảng đoạn nửa khoảng với x1 , x2 ∈ D • Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) < f ( x2 ) hàm số y = f ( x ) đồng biến D • Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) > f ( x2 ) hàm số y = f ( x ) nghịch biến D Hàm số bậc Hàm số bậc hàm số cho công thức = y ax + b, a, b số cho trước a ≠ Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax (đã học lớp 7) Hàm số bậc y =ax + b ( a ≠ ) xác định với x thuộc  Hàm số đồng biến  a > 0, hàm số nghịch biến  a < B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng TÌM TẬP XÁC ĐỊNH (TXĐ) CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải Hàm số f ( x ) chứa bậc hai A ( x ) , điều kiện: A ( x ) ≥ Hàm số f ( x ) chứa biến số mẫu A( x) (hoặc A ( x ) : Β ( x ) ), điều kiện: B ( x ) ≠ B ( x) Ví dụ Với giá trị x hàm số sau xác định? x2 + = y f= b) y = g ( x ) = a) ( x) x −4 Giải a) f ( x ) xác định khi: x − ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x ≠ ±2 x−3 + 5− x x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 3≤ x ≤5 b) g ( x ) xác định khi:  5 − x ≥ x ≤ −x : x − x2 Ví dụ Tìm tập xác định D hàm số = y h= ( x) Giải − x ≥  x≤0 1 − x ≠  x ≠ ±1   ⇔ ⇔ x ∈∅ h ( x ) xác định khi:  x ≥  x≥0  x ≠0  x ≠  Vậy tập xác định hàm số D = ∅ (Tức khơng có giá trị x để hàm số xác định) = y f= ( x) Ví dụ Tìm tập xác định D hàm số x x +1 Giải f ( x) xác định khi: x + ≠ ⇔ x ≠ −1 ⇔ x ∈  Vậy tập xác định D =  Ví dụ Tìm tập xác định D hàm số y= f ( x)= x − + − x2 Giải x −1 ≥ x ≥ ⇔ ⇔x= f ( x) xác định khi:  − ≤ x ≤ 1 − x ≥   Vậy tập xác định D = {1} Chú ý: Tập xác định D hàm số có phần tử, vài phần tử, vơ số phần tử khơng có phần tử Dạng TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SƠ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x) • Thế giá trị x= x0 ∈ D vào biểu thức hàm số tính giá trị biểu thức (đôi ta rút gọn biểu thức, biến đổi x0 thay vào để tính tốn) • Thế giá trị y = y0 ta y0 = f ( x) Giải phương trình f ( x) = y0 để tìm giá trị biến số x (chú ý: chọn x ∈ D ) f ( x) = − x − x = 1; x = −1 Ví dụ Tính giá trị hàm số y = 4 Giải TXĐ:  Ta có: 3 f (1) = − 12 − = − − = −1; 4 4 3 f (−1) = − (−1) − = − − = − − = − = −1 4 4 4 x2 − = y f= ( x) Khi f(-3) ? Ví dụ Cho hàm số x+3 Giải Điều kiện x ≠ −3 Vì x = −3 khơng thỏa mãn điều kiện nên khơng tồn f (−3) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = mx + m − , biết f (2) = Tính f (3) Giải TXĐ:  Ta có f (2) = ⇔ m.2 + m − = ⇔ 3m = ⇔ m = ⇒ f ( x) = x + ⇒ f (3) = 3.3 + = 11 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = (3 − 2) x − Tìm x , biết f ( x) = Giải TXĐ:  Ta có f ( x) = ⇔ (3 − 2) x − =0 ⇔ (3 − 2) x = 1 ⇔x= ⇔ x = + 2 (3 − 2) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = x + − x a) Tìm x , biết f ( x) = 1; b) Tìm x cho f ( x) = 0,5; c) Tìm m để có giá trị x thõa mãn f ( x) = m Giải Điều kiện: ≤ x ≤ a) Ta có: f ( x) =1 ⇔ x + − x =1 ⇔ ( x + − x ) =12 ⇔ x + x 1− x +1− x = ⇔ x 1− x = 0 ⇔ x= − x = ⇔x= x = (thỏa mãn điều kiện) b) Ta có: f ( x) = 0,5 ⇔ x + − x = 0,5 ⇔ ( x + − x ) = 0,52 ⇔ x + x − x + − x =0, 25 ⇔ x 1− x = −0,75 (khơng xảy x − x ≥ 0) Do khơng có giá trị x để f ( x) = 0,5 c) Ta có: f ( x) = x + − x ⇒ f ( x) = ( x + − x ) 2 ⇔ f= ( x) x − x + ≥ (vì x − x ≥ ) Suy f ( x) ≥ (dấu xảy x = x = ) Mặt khác: x 1− x ≤ x +1− x 1 = (dấu xảy x = ) 2 2 Do m = f ( x) ≤ ⇒ m ≤ Do ≤ m ≤ có giá trị x thỏa mãn f ( x) = m Chú ý: Ta chứng minh f ( x) ≥ số cách khác sau: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức B = ) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức A + B ≥ A + B với A, B ≥ (dấu “=” xảy A = A ≥ A với A thỏa mãn điều kiện ≤ A ≤ Dạng BIỂU DIỄN ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG Phương pháp giải • Để biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ ta làm sau: y b Kẻ đường thẳng vng góc với trục hồnh điểm a M(a;b) Kẻ đường thẳng vng góc với trục tung điểm b Hai đường thẳng cắt điểm điểm M • Xác định khoảng cách hai điểm A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) x y B yB x A − xB ; BH = y A − yB Ta có: AH = Ta có: AB = AH + BH ⇒ AB = a O A H yA AH + BH xB xA hay: AB = x ( xB − x A ) + ( yB − y A ) (*) 2 Ví dụ Biểu diễn hai điểm A ( 2;1) B ( 4;5 ) mặt phẳng tọa độ Tính khoảng cách hai điểm Giải y B Biểu diễn điểm A, B hình vẽ ta Trong ∆ABH ,  = 90°; AH = − = 2; BH = − = H có: A O H x Áp dụng định lí Py-ta-go vào ∆ABH vng H, ta có: AB = AH + BH = 22 + 42 = 20 ⇒ AB = 20 = Chú ý: Sau thực hành ta vận dụng công thức (*) Ta có AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( − 2) + ( − 1) = Hình Ví dụ Cho tam giác ABC có A(1;1); B(3;3) C(5;1) a) Tính chu vi tam giác ABC b) Chứng minh tam giác ABC vuông cân Giải ( − 1) a) Ta có: AB = ( − 1) AC= 2 + ( − 1) = = 2 + (1 − 1) = 4; BC= ( − 3) + (1 − 3) = + 4= 2 Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC= 2 + 2 + 4= ( ) +1 b) Ta có: • AB = BC = 2 , suy ∆ABC cân B • 2  AB = =  = BC ⇒ AB + BC = AC  2  AC= 4= 16 ( (1) ) ⇒ ∆ABC vuông B (2) Từ (1) (2) suy ∆ABC vng cân B Ví dụ Cho điểm A(2;4), B(-1;0) C(0;4) a) Biểu diễn điểm A, B, C mặt phẳng tọa độ y b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC C Giải A a) Biểu diễn điểm A(2;4), B(-1;0) C(0;4) hình B -1 O Hình 2 x b) Ta thấy A, B, C không thẳng hàng nên A, B, C ba đỉnh tam giác Áp dụng công thức: ( x N − xM ) MN = AB 5;= AC 2;= BC + ( y N − yM ) , ta tính được= 17 Chu vi tam giác ABC là: + + 17 = + 17 (đvd) S ABC Diện tích tam giác ABC là: = 1 CA = 4.2 (đvdt) BH= 2 Ví dụ Cho hai điểm A(2;4) B(-1;0) hệ trục tọa độ Oxy y a) Biểu diễn điểm A, B mặt phẳng tọa độ b) Tìm điểm C trục hoành cho ∆ABC cân A A Giải a) Biểu diễn điểm A(2;4), B(-1;0) hình b) Vì C nằm trục hoành Ox nên tung độ điểm C 0, C(x;0) với x ≠ Áp dụng cơng thức: MN = tính AB = 5; AC = ( x N − xM ) ( x − 2) 2 B -1 + ( y N − yM ) , ta O H C x Hình + ( − 4) AC Ta có ∆ABC cân A ⇔ AB = ⇔ ( x − 2) + ( − ) =5 ⇔ ( x − ) + 16 =25 ⇔ ( x − ) =9 2 ⇔x= x = −1 (loại điều kiện x ≠ −1 ) Vậy C(5;0) ∆ABC cân A Chú ý: • Ta giải cách khác sau: ∆ABC cân A ⇔ HB = HC ⇔ HC = (vì HB = 3) ⇔ x − = ⇔ x = Do đó, kết hợp với kiến thức hình học giải tốn đơn giản hơn, nhanh • Ta thay đổi u cầu tốn thành “Tìm điểm C trục hồnh cho ∆ABC cân” Với yêu cầu ta phải giải toán ba trường hợp: - Trường hợp 1: ∆ABC cân A x - Trường hợp 2: ∆ABC cân B Trường hợp 3: ∆ABC cân C Dạng ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ ĐIỂM KHƠNG THUỘC ĐỒ THÌ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải Cho hàm số y = f ( x) có miền xác định D có đồ thị G, đó:  x0 ∈ D • M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị G   y0 ∈ f ( x0 ) • M ( x0 ; y0 ) không thuộc đồ thị G y0 ≠ f ( x0 ) x0 ∉ D Ví dụ Cho hàm số= y f= ( x) ( x Trong điểm A(9;3), B(4; -2), M(-1;1) ) N + 3; − điểm không thuộc điểm thuộc đồ thị (G) hàm số cho ? Giải Ta có: M ∉ (G ) x = −1 hàm số khơng xác định B ∉ (G ) , = ≠ −2 A ( 9;3) ∈ (G ) , f (9) = ( = ) N + 3; − ∉ (G ) vì: f (4 + 3)= + 3= ( ) +1 = + ≠ − Ví dụ Điểm M ( −1;1) thuộc đồ thị hàm số hàm số ? (A) y = x ; (B) y = x ; (C) = y x + 2; Giải Loại (A), (B) tung độ M âm Loại (D), hồnh độ tung độ M dấu Chọn (C) Ví dụ Khi m thay đổi, tìm tập hợp điểm M có tọa độ sau: a) M (m;3); b) M (2; m) (D) y = − x3 Giải a) Ta có f(m) = 3, m thay đổi f(m) nhận giá trị không đổi Hàm số y = f(m) = hàm Đồ thị hàm số y = đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ (hình 4) Tập hợp điểm M(m;3) đường thẳng song song với trục hồnh cắt trục tung điểm có tung độ (hình 4) b) Tập hợp điểm M(2; m) đường thẳng song song với trục tung cắt trục tung điểm có hồnh độ (hình 5) y y y=3 O x=2 M(m;3) m m M(2;m) O x x Hình Hình Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = (m + 1) x − 2m a) Tìm m để đồ thị hàm số cho qua điểm A(1 ; 1) b) Chứng minh đồ thị hàm số cho qua điểm cố định với m Giải a) A (1;1) ∈ d : y = (m + 1) x − 2m ⇔ = (m + 1).1 − 2m ⇔ m = b) M ( x0 ; y0 ) ∈ d : y = (m + 1) x − 2m ⇔ y0 = (m + 1) x0 − 2m ⇔ m( x0 − 2) + ( x0 − y0 ) = d qua M với m (1) với m, tức là: x0 − = =  x0 ⇔  − y0 =  x0 =  y0 Vậy d qua điểm (2; 2) cố định với m Dạng XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT (1) Xét tam giác vng ABO, ta có: OB  ≈ 630 26' = tan OAB ⇔ OAB == OA 1,5  = 1800 − OAB  ≈ 116034' ⇒ BAx (Trong giá trị tuyệt đối hệ số góc đường thẳng y = −2 x + ) Ví dụ Cho đường thẳng ( d ) := y mx + Tính góc tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox, biết ( d ) qua điểm A ( −3;0 ) Giải Vì A ( −3;0 ) ∈ ( d ) : y = mx + ⇒ m = Khi ( d ) có phương trình = y x + 3 y (d):y = x+ Gọi α góc tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox Khi ta có: tan α = ⇒ α = 300 A α -3 o Vậy góc tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox x Hình 20 300 x ( d ) đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy điểm có tung độ 3; ( d ) cắt ( d1 ) ( d ) A Ví dụ Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = −2 x ( d ) = B Chứng minh rằng:  AOB = 900 Giải Vẽ ba đường thẳng , ( d ) , ( d1 ) , ( d ) hình 21 Xét hai tam giác AHO OHB, ta có: (d1) A HA HO AHO = OHB = 900 ; = = HO HB ^ ^  Do đó: ∆AHO ∽ ∆OHB ⇒  AOH = OBH - y B H O Hình 21 (d2) x  =900 ⇒  Mà  AOH + HOB AOB =900 Chú ý: ( d1 ) : y = −2 x có hệ số góc a1 = −2 ; ( d ) = 1 x có hệ số góc a2 = 2 −1 , đó: ( d1 ) ⊥ ( d ) Ta thấy: a1.a2 = ( −2 ) = Dạng XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải • Gọi phương trình đường thẳng cần tìm • Chú ý rằng: Gọi Ta cần xác định a b góc tạo đường thẳng với trục Ox Ta có: Ví dụ 1.−XácKhi định đườngnhọn thẳng góc thì( d ) qua điểm A ( −2;3) có hệ số góc −2 Giải − Khi góc tù Gọi phương trình đường thẳng ( d ) là: = y ax + b Vì ( d ) có hệ số góc −2 nên a =−2 ⇒ ( d ) : y =−2 x + b Vì A ( −2;3) ∈ ( d ) nên =− ( ) ( −2 ) + b ⇔ b =−1 Do phương trình đường thẳng ( d ) y = −2 x − Ví dụ Xác định đường thẳng ( d ) qua điểm A ( −1;1) tạo với trục Ox góc 450 Giải Đường thẳng (d ) có dạng = y ax + b Vì A ( −1;1) ∈ ( d ) nên = a ( −1) + b ⇔ b = a + Vì ( d ) tạo với trục Ox góc 450 nên a = tan 450 =1 ⇒ b = Do phương trình đường thẳng ( d ) y= x + Ví dụ Xác định đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 0;1) tạo với đường thẳng y = góc 600 Giải Đường thẳng ( d ) có dạng = y ax + b Vì A ( 0;1) ∈ ( d ) nên 1= a.0 + b ⇔ b = Vì đường thẳng y = song song với trục hồnh nên từ đề ta có ( d ) tạo với trục Ox góc 600 = a tan = α tan= 600 Ta có: Vậy ( d )= :y 3x + C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Đường thẳng ( d ) qua giao điểm hai đường thẳng y= x + , y = x song song với đường thẳng = y x + + là: ( ) (A) y= 4x + − ; (B) y =+ 2 x + 1; (C) y= 2x + − ; (D) y= x + y Đường thẳng = x + vng góc với đường thẳng đây? 2 − x− ; (A) y = 2 y 2x − ; (B) = −2 x + ; (C) y = y (D) = x− 2 y Đường thẳng y = ( m + 1) x − vng góc với đường thẳng = (A) −2 (B) −3 (C) −1 x + 2011 m ? (D) Xác định đường thẳng ( d ) biết có hệ số góc qua điểm A ( −3;2 ) Tính hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A (1;2 ) B ( 3;4 ) Cho đường thẳng ( d ) : mx + Tính góc α tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox, biết: ( a) ( d ) qua điểm b) ( d ) qua điểm B ( 6; −3) A − 3;0 ) Xác định đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 0;3) tạo với đường thẳng y = góc 600 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ (C) (C) (B) = y x + AB : y = x + ⇒ đường thẳng AB có hệ số góc a = a) α = 600 ( ) b) m =−1 < nên − tan 1800 − α =−1 ⇔ 1800 − α =450 ⇔ α =1350 7.= y x + ÔN TẬP CHƯƠNG II A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Hàm số + Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x theo quy tắc f cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y mà y = f ( x ) y gọi hàm số x x gọi biến số + Cách cho hàm số: Hàm số thường cho cơng thức Chú ý: Có số cách khác cho hàm số như: Bảng, sơ đồ Ven, đồ thị + Đồ thị hàm số: Tập hợp điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng ( x; f ( x ) ) mặt phẳng tọa độ gọi đồ thị hàm số y = f ( x ) + Tính đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D khoảng, nửa khoảng hay đoạn, với x1 , x2 ∈ D : Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) < f ( x2 ) hàm số y = f ( x ) đồng biến D Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) > f ( x2 ) hàm số y = f ( x ) nghịch biến D Hàm số bậc + Hàm số bậc hàm số cho công thức = y ax + b , a, b số cho trước a ≠ + Tập xác định:  + Khi a > hàm số đồng biến  ; Khi a < hàm số nghịch biến  + Đồ thị hàm số đường thẳng + Hệ số a ( a ≠ ) gọi hệ số góc đường thẳng = y ax + b + Cho hai đường thẳng (d ) : = y ax + b ( a ' ≠ ) Ta có: a' ( d ) / / ( d ') ⇔ a = b ≠ b ' a ' b = b ' ( d ) ≡ ( d ') ⇔ a = ( d ) cắt ( d ') ( d ) ⊥ ( d ') ⇔ a ≠ a' a.a ' = −1 ( a ≠ 0) đường thẳng (d ') = : y a'x + b' B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT Phương pháp giải Bước Tìm tập xác định ( TXĐ hàm số bậc ) Bước Vẽ đồ thị Cách + Xác định hai điểm phân biết đồ thị vẽ đường thẳng qua hai điểm Cách + Xác định giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ: • Cho • Cho thuộc trục tung thuộc trục hoành Vẽ đ hẳ MN đ đồ hị hà ố Ví dụ Cho hàm số (d ) : y= x − (d ') : y =− x + Vẽ đồ thị (d ) ( d ') hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm ( d ) ( d ') Giải + + TXĐ:  y Vẽ ( d ) : x =0 ⇒ y =0 − =−1 ⇒ A ( 0; −1) Cho thuộc trục tung Cho y = ⇒ = x − ⇒ x = ⇒ B (1;0 ) thuộc trục hoành Vẽ đường thẳng AB ta đồ thị ( d ) (hình 22) + d d' Vẽ ( d ') : Cho x = ⇒ y = + = ⇒ C ( 0;3) thuộc trục tung C B O -1 A Hình 22 I D x Cho y =0 ⇒ =− x + ⇒ x =3 ⇒ D ( 3;0 ) thuộc trục hoành Vẽ đường thẳng CD ta đồ thị ( d ') + Xác định tọa độ giao điểm I ( d ) ( d ') : Cách Từ giao điểm I ta vẽ đường vng góc với hai trục tọa độ ta xác định I ( 2;1) Cách Gọi tọa độ giao điểm I ( xI ; yI ) Vì giao điểm ( d ) ( d ') nên I vừa thuộc ( d ) , vừa thuộc ( d ') x1 − x − nên y= Vì I ( xI ; yI ) ∈ ( d ) : y = Vì I ( xI ; yI ) ∈ ( d ') : y =− x + nên y1 =− x1 + Suy ra: x1 − =− x1 + ⇔ x1 =4 ⇔ x1 =2 ⇒ y1 =− x1 + =−2 + =1 Vậy tọa độ giao điểm I ( 2;1) Chú ý • Hồnh độ giáo điểm I nghiệm phương trình x − =− x + • Số giao điểm ( d ) : y = f ( x ) ( d ') : y = g ( x ) số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) ngược lại Ví dụ Vẽ đồ thị ( G ) hàm số y= x − Giải Vẽ x − (G ) : y = x − =  − x + ( x ≥ 2) ( x < 2) (1) (2) y (2) (1) Đồ thị ( G ) gồm hai nhành (1) (2) Nhánh (1) ( G ) : điều kiện x ≥ Cho x = ⇒ y = − = ⇒ A ( 2;0 ) thuộc O B A2 trục hoành Cho x = ⇒ y = − =1 ⇒ B ( 3;1) x=2 Hình 23 x Vẽ tia AB ta nhánh (1) đồ thị ( G ) Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu đồ thị ( G ) có hình chữ V hình 23 Chú ý Hai nhánh ( G ) đối xứng qua đường thẳng x = Ví dụ Cho hàm số y =x + x − a) Vẽ đồ thị ( G ) hàm số m b) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x + x − = Giải 3 x − a) Vẽ ( G ) : y = x + x − =  − x + ( x ≥ 1) (1) ( x < 1) (2) Đồ thị ( G ) gồm hai nhánh (1) (2) y (2) (1) Nhánh (1) ( G ) : điều kiện x ≥ y=m m Cho x =1 ⇒ y = 3.1 − =1 ⇒ A (1;1) Cho x = ⇒ y = 3.2 − = ⇒ A ( 2;4 ) O A x Vẽ tia AB ta nhánh (1) đồ thị ( G ) Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu đồ thị ( G ) hình m b) Số nghiệm phương trình x + x − = Hình 24 24 (*) số giao điểm đường thẳng ( d ) : y = m đồ thị ( G ) : y =x + x − Từ đồ thị ta thấy: + Nếu m < phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu m = phương trình (*) có nghiệm + Nếu m > phương trình (*) hai nghiệm phân biệt Ví dụ Với giá trị tham số a phương trình x − a + = x + nhất? (Thi vào khối PT chuyên Toán – Tin ĐHSPHN năm học 1997-1998) Giải (*) có nghiệm + Ta có: (*) ⇔ x − a = x + − (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao y x − a đồ thị điểm đồ thị ( G ) := ( G ') : y = y (G) (G') y = 2x - a x + −1 Vẽ hai đồ thị ( G ) ( G ') hình 25 -a Phương trình (*) có nghiệm ⇔ (1) y= x+3 -1 -3 có nghiệm -4 ⇔ ( G ) ( G ') có điểm chung ⇔ a a = −4 = −2 2 -2 a O -1 x Hình 25 ⇔a= −8 a = −4 Dạng XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước Viết phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường cho trước Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Ví dụ Tìm m n để đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x + − n qua hai điểm A ( 2; −1) B ( −3; −6 ) Giải Ta có: A ∈ ( d ) nên −1 =( m − 1) + − n ⇔ 2m − n =−1 ⇔ n =2m + B ∈ ( d ) nên −6 =( m − 1) ( −3) + − n ⇔ −3m − n =−11 (2) Thay (1) vào (2) ta được: −3m − ( 2m + 1) = −11 ⇔ −5m = −10 ⇔ m = ⇒ n= 2m + 1= 2.2 + 1= (1) Vậy m = n = ( d ) : y= x − qua hai điểm A ( 2; −1) B ( −3; −6 ) Ví dụ Viết phương trình đường thẳng ( d ) cắt ( d ') điểm có tung độ −1 biết ( d ) có hệ số góc Giải Gọi A giao điểm ( d ) ( d ') Vì A có tung độ −1 nên hồnh độ điểm A −1 = x − hay x = Do : A ( 2; −1) Gọi phương trình đường thằng ( d ) là: = y ax + b ⇒ (d ) : y = x + b Ta có ( d ) có hệ số góc nên a = Vì A ( 2; −1) ∈ ( d ) nên −1 =2.2 + b ⇔ b =−5 Do phương trình đường thẳng ( d ) = y x − y x − điểm M ( −1;1) Viết phương trình đường thẳng Ví dụ Cho đường thẳng ( d ) : = ( d ') qua song song với ( d ) Giải Gọi phương trình đường thẳng ( d ') = y ax + b y x − nên a = b ≠ −2 Vì ( d ') / / ( d ) : = Mặt khác ( d ') qua M ( −1;1) nên: = a ( −1) + b ⇔ −3 + b =1 ⇔ b = (thỏa mãn) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: = y x + Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M ( 2;4 ) , N ( 0;2 ) Tìm điểm A mặt phẳng tọa độ Oxy cho AM = AN Giải Cách Tọa độ trung điểm đoạn MN là: = xI xM + x N yM + y N = 1;= yI = hay I (1;3) 2 y mx + n Gọi phương trình đường trung trực MN ( d ) := Gọi phương trình đường thẳng MN là: = y ax + b Ta có M ( 2;4 ) ∈ MN ⇒ 4a = a.2 + b hay b = −2a + 4; N ( 0;2 ) ∈ MN ⇒ = a.0 + b hay b = ⇒ a = Do phương trình đường thẳng MN là: y= x + Vì AM = AN ⇒ A thuộc đường trung trực đoạn MN hay A ∈ ( d ) Vì ( d ) đường trung trực MN nên ( d ) ⊥ MN ⇔ m.1 =−1 ⇒ m =−1 ⇒ (d ) : y =− x + n Vì I (1;3) trung điểm đoạn MN nên đường thẳng ( d ) qua I (1;3) ⇒ =( −1) + n ⇒ n =4 Vậy tập hợp điểm A đường thẳng ( d ) : y =− x + Cách Gọi tọa độ A ( x; y ) Ta có: AM = AN ⇔ (2 − x) + (4 − y) = (0 − x) + (2 − y) ⇔ (2 − x) + (4 − y ) = (0 − x) + (2 − y ) 2 2 ⇔ − x + x + 16 − y + y = x + − y + y ⇔ 16 − x = 4y ⇔ y =− x + Vậy tập hợp điểm A mặt phẳng Oxy thỏa mãn tốn đường thẳng có phương trình: y =− x + Dạng CỰC TRỊ Phương pháp giải • Vận dụng bất đẳng thức đại số • Vận dung quan hệ đường xiên đường vng góc • Vận dụng hệ thức lượng tam giác vng • Vận dụng đồ thị Ví dụ Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O ( 0;0 ) đến đường thẳng ( d ) có phương trình = y 2m − 2 x+ đạt giá trị lớn ( với m ≠ −2 ) m−2 m−2 Giải = b Vì tung độ gốc ≠ nên ( d ) không qua gốc tọa độ m−2 Trường hợp 1: Xét m = Khi ( d ) : y = −2 Do khoảng cách từ O ( 0;0 ) đến (d ) Trường hợp Xét m ≠ Khi (d )  −1  cắt trục hoành điểm A  ;0  cắt trục tung điểm  m −1    B  0;  ⇒ OA = OB = m −1 m−2  m−2 Kẻ OH vng góc với ( d ) H độ dài OH khoảng cách từ O đến ( d ) Áp dụng hệ thức 1 = + vào tam giác vng ABO ta có: h a b2 1 OA2 OB = + ⇒ OH = = 2 2 2 OH OA OB OA + OB ( m − ) + ( m − 1) = ⇒ OH = 5m − 12m + (dấu “=” xảy m = 2 ≤ = 6  5 m −  + 5  ) Kết hợp hai trường hợp ta có m = OH max = Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B có hồnh độ x tung độ y thỏa mãn (*) Chứng minh khoảng cách AB ≤ đẳng thức x − + y − = Giải ( x ≥ 1; y ≥ ) ( x ≥ 1; y ≤ ) ( x ≤ 1; y ≥ ) ( x ≤ 1; y ≤ ) = x+ y  x− y = Điều kiện (*) ⇔  +y − x= − x=  −y y N A M P B ⇒ Tập hợp điểm A, B thỏa mãn (*) hình vng MNPQ hình 26 -2 O -1 x Q Hình 26 ⇒ AB ≤ MP ≤ Dấu “=” xảy A, B hai đỉnh đối hình vng MNPQ C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Hàm= số y 1 không xác định với: + x−2 2− x (A) x = (B) x > (C) x < ( (D) Với x thuộc  ) Với giá trị m hàm số y = m − x + hàm số bậc đồng biến? (A) − < m < ; (B) m > m < − ; (C) m ≠ ±2 ; (D) Với giá trị m thuộc  Cho hàm số y = f ( x ) = ax5 + bx3 + 2007 x + với a, b ∈ * , biết f Cho hàm số y = ( ) = , tính f ( − ) ( m − 3) x + m ( x − 1) + a) Với giá trị m hàm số cho hàm số bậc nhất? b) Với giá trị vừa tìm m câu a, hàm số cho đồng biến hay nghịch biến? y Cho đường thẳng ( d ) := x+3 a) Vẽ đường thẳng ( d ) b) Tính góc tạo đường thẳng ( d ) trục Ox c) Tính diện tích tam giác đường thẳng ( d ) tạo với hai trục tọa độ Xác định hàm số = y ax + b , biết đồ thị song song với đồ thị hàm số y = −2 x qua điểm A (1; −3) −2 x + 3; Cho đường thẳng ( d1 ) : y = ( d ) : y = x + 1; −2 x − ( d3 ) : y = Không vẽ đồ thị hàm số đó, cho biết vị trí tương đối đường thẳng nào? Cho đường thẳng ( d1 ) : y = ( 2m − 1) x + m − 1; ( d ) : y = ( m + 3) x − a) Tìm giá trị m để ( d1 ) / / ( d ) b) Tính giá trị m để ( d1 ) qua gốc tọa độ −2 x + 25 cho khoảng cách OM nhỏ nhất, với Tìm điểm đường thẳng ( d ) : y = O gốc tọa độ HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ (D) (B) ( ) f − = a) m = b) Đồng biến b) 36052'; c) (đvdt) y = −2 x − ( d1 ) / / ( d3 ) ; a) m = 4; ( d2 ) ⊥ ( d ) ( d1 ) ⊥ ( d ) b)m = ±1 Gọi tọa độ điểm M ( a; b ) Khoảng cách OM = a + b2 −2 x + 25 nên b =−2a + 25 ⇔ 2a + b =25 Ta có M ( a; b ) ∈ ( d ) : y = ( Áp dụng bất đẳng thức ( ax + by ) ≤ a + b 2 )( x + y ) với ( x; y ) = ( 2;1) , ta có: 252 = ( 2a + b ) ≤ ( 22 + 12 )( a + b ) ⇔ ≤ a + b ⇒ OM ≥ Do OM 25  2a + b = a = 10  =⇔ ⇔ ⇒ M (10;5 ) a b = b =   Chú ý Ta giải tốn sau : OM ⇔ OM ⊥ ( d ) Ta xác định tọa độ điểm M cách: + Lập phương trình đường thẳng ( d ') qua O ( 0;0 ) vng góc với đường thẳng ( d ) + M giao điểm ( d ) ( d ') ... điểm O đến ( d ) lớn , đạt m = §4 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Hai đường thẳng song song a′x + b′ ( a′ ≠ ) song song với Hai đường thẳng y =ax + b ( a ≠ )... HỆ SONG SONG Phương pháp giải Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm = y ax + b + Sử dụng điều kiện hai đường thẳng song... thẳng song song với đường thẳng sau: x+3 y x + 1; ( d2 ) : y = ; − x+2; ( d1 ) : = ( d3 ) : y = 2 :y ( d )= ( d5 ) : y= 0,5 x − ; ( d6 ) : y = + 2x ; − 2x Lời giải Hai cặp đường thẳng song song