tai lieu chu de phuong trinh luong giac so cap

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Loại 1: Phương trình sin x  m  Nếu m    phương trình vơ nghiệm, 1  sin x  với x  Nếu m    phương trình có nghiệm   - Với m đẹp, cụ thể m  0;  ;  ; ; 1 2    x    k 2 Khi sin x  m  sin x  sin a   , k    x      k 2   - Với m không đẹp, cụ thể m  0;  ;  ; ; 1 2    x  arcsin m  k 2 Khi sin x  m   , k    x    arcsin m  k 2  Loại 2: Phương trình cos x  m  Nếu m    phương trình vơ nghiệm, 1  cos x  với x  Nếu m    phương trình có nghiệm   - Với m đẹp, cụ thể m  0;  ;  ; ; 1 2    x    k 2 Khi cos x  m  cos x  cos a   ,  k    x    k 2   - Với m không đẹp, cụ thể m  0;  ;  ; ; 1 2    x  arccos m  k 2 Khi cos x  m   , k    x   arccos m  k 2  Loại 3: Phương trình tan x  m  Điều kiện: x    k  k       Nếu m  0;  ; 1;   Khi tan x  m  tan x  tan   x    k ,  k        Nếu m  0;  ; 1;   Khi tan x  m  x  arctan m  k ,  k       Loại 4: Phương trình cot x  m  Điều kiện: x    k  k    Trang 1    Nếu m  0;  ; 1;   Khi cot x  m  cot x  cot   x    k ,  k        Nếu m  0;  ; 1;   Khi cot x  m  x  arccot m  k ,  k      II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình sau   a) cos  x     4    b) cos  x     6    c) cos  x     3    d) cos   x    3  Lời giải:   3  x    k 2  x    k  3  a) cos  x      cos   k    x     k 2   4  x     k   4  5    2x    2k x   k     6 b) PT  cos  x      cos    k      6   2 x      k x    k   6       x    k x    k 2      6 c) PT  cos  x     cos     k   3   x       k  x     k 2         x    2k x   k 2     12 d) cos   x     cos    k         x     k  x  7  k 2  12   Ví dụ Giải phương trình sau   a) cos  x    6    b) cos  x    3    c) cos   x   1 5    d) sin  x    3  Lời giải:       a) cos  x     x    k  x   k  k    6 6       b) cos  x     x   2k  x   k  k    3 12  Trang  4   c) cos   x   1   x    2k  x   k 2  k    5 5   4   d) cos   x   1   x    2k  x    k 2  k    5 5  Ví dụ Giải phương trình sau x  a) sin     2 4 c) sin  3x  1    b) sin   x   1 6  d) cos  x  15   2 Lời giải: x   3 x  a) sin         2k  x   k 4  k    2 2 4      b) sin   x   1   x    2k  x    k  k   6     2  x    k x   k   18 3 c) sin  x  1     k   3 x   5  2k  x  5   k 2   18 3 d) cos  x  15    x  15  45  k 360  x  60  k 360    k    x  30  k 360  x  15  45  k 360 Ví dụ Giải phương trình sau x  a) sin      2 3   b) cos   x    6  c) tan  x  1  d) cot  x  100   3 Lời giải:  x      k 2  x  k 4  x    3 a) sin         k    x  10  k 4 2 3  x    4  k 2   3 2     2x   k 2 x    k     b) cos   x       k      6    2x     k 2 x  k   12 c) tan  x  1   x   d) cot  x  10     k  x      k k   2   50   x  10  60  k 180  x     k 60  k      Trang Ví dụ Giải phương trình sau a) sin  x  1  sin  x       b) cos  x    cos  x   3 6       c) cos  x    cos  x    3 3   d) sin  x  1200   cos x  Lời giải:   3 x   x   k 2  x   k a) sin  x  1  sin  x       k   3 x     x   k 2 x     k    4      x   x   k 2 x    k 2       b) cos  x    cos  x       k   3 6    x     x    k 2  x    k   18         c) cos  x    cos  x     cos  x    cos   x   3 3 3 3       2    x   x   k 2  x    k 2   k    x     x    k 2  x  k 2  3  d) sin  x  120   cos x   sin  x  120   cos  2 x   sin  x  120   sin  2 x  90   x  120  2 x  90  k 360  x  70  k.180   k    x  120  x  90  k.360  x  210  k.360 Ví dụ Giải phương trình sau     a) tan  x    cot  x   4 6   c) cos x  b) tan  x  x  3  tan 2 d) sin x  Lời giải:    7 k    a) PT  tan  x    tan   x   x    x  k  x   , k   4 60  3  b) PT  x  x    k   x  1  k  x   k  1,  k  *  c) PT  cos x  d) Ta có sin x  1 2   cos x   cos x    x   k 2  x   k ,  k    3  k  2sin x    cos x   x   ,k   Trang Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x  0 2sin x  b) tan x  0 cos x  Lời giải: a) Phương trình tương đương với  cos x   cos x  0  x  sin x  sin x     tan x  3 tan x    b) Phương trình tương đương với 0  x   k , k   cos x  cos x  0;       Ví dụ Giải phương trình sau a)  cot x 0 2sin x  b) cos x  2sin x  0 tan x  Lời giải: cot x    cot x  a) PT tương đương với 0    x   k , k   2sin x  sin x  0;      b) PT tương đương với cos x  2sin x   4sin x  2sin x  0 0 tan x  tan x  4sin x  2sin x   3sin x   sin x  1     x  tan x   3; cos x   tan x   3;cos x  Ví dụ Giải phương trình sau a) 2sin x  0 tan x  b) tan x  tan x  0 cos x  Lời giải:   x   k   2sin x  sin x  a) PT tương đương 0 k   2 tan x   x  7  k  tan x  1       tan x  tan x    x    k tan x      b) PT tương dương   2 x    k  cos x   cos x    Ví dụ 10 Giải phương trình sau Trang a)  cos x 0  sin x b) cos x  0  tan x Lời giải: a) Phương trình cho tương đương  5  x  k cos x      cos x 5   12 0  x  k , k   12  s in3x s in3x  s in3x     tan x  cos x    b) Phương trình tương đương 0  x    k  tan x cos x      Ví dụ 11 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin  x    đường tròn lượng giác 3  là? A B C D Lời giải:      x    k 2 x    k      12 Phương trình  sin  x    sin     k   3   x        k 2  x    k   Biểu diễn nghiệm x   Biểu diễn nghiệm x    12  k đường trịn lượng giác ta vị trí (hình 1)  k đường tròn lượng giác ta vị trí (hình 2)  s  Hình  12 s  12 Hình Vậy có tất vị trí biểu diễn nghiệm phương trình Chọn C Cách giải nhanh trắc nghiệm Ta đưa dạng x    k 2   số vị trí biểu diễn đường trịn lượng giác n n Trang  Xét x    Xét x    12  k  x    k  x    12 k k 2   có vị trí biểu diễn 2   có vị trí biểu diễn 2 cos x  Mệnh đề sau  sin x Ví dụ 12 Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình đúng?   A x0   0;   4    B x0   ;  4 2   3 C x0   ; 2     3  D x0   ;     Lời giải: Điều kiện  sin x   sin x  Phương trình sin x  1 loai  cos x sin 2 x  cos 2 x 1   cos x     sin x sin x  1 thoa man   sin x  1  x   Cho     k 2  x    k   k    k  k    Do nghiệm dương nhỏ ứng với k   x  3  3   ;   Chọn D     Ví dụ 13 Hỏi đoạn  2017; 2017  , phương trình  sin x  1 sin x   có tất nghiệm? A 4034 B 4035 C 641 D 642 Lời giải: sin x  1  Phương trình    sin x  1  x    k 2  k    sin x  2(vo nghiem) Theo giả thiết 2017     k 2  2017  2017  2  k 2017  2  xap xi k   320, 765  k  321, 265   k  320; 319; ;321 Vậy có tất 642 giá trị nguyên k tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D   Ví dụ 14 Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin x  x    4  bằng: A  B   C  D   Trang Lời giải:    x    k 2       Ta có sin  x     sin  x    sin   4 4   3 x        k 2  7 k 2 7    x  36  3 x  12  k 2    k    x  11  k 2 3 x  11  k 2   12 36 7  x   k    kmin   x  7 k 2 Cho  24 36 TH1 Với x     36  x   k    k  1  x   17 max  24 36 11 11  x   k    kmin   x   11 k 2 Cho 24 36 TH2 Với x     36  x   k   11  k  1  x   13 max  24 36 So sánh bốn nghiệm âm lớn x   nghiệm  13 7 nghiệm dương nhỏ x  Khi tổng hai 36 36 13 7     Chọn B 36 36 Ví dụ 15 Gọi x0 nghiệm âm lớn phương trình cos  x  45   Mệnh đề sau đúng? A x0   30; 0  B x0   45; 30  C x0   60; 45  D x0   90; 60  Lời giải: Ta có cos  x  45   5 x  45  30  k 360  cos  x  45   cos 30   5 x  45  30  k 360 5 x  75  k 360  x  15  k 72    k   5 x  15  k 360  x  3  k 72 TH1 Với x  15  k 72   k   TH2 Với x  3  k 72   k    kmax  1  x  57 24  k max  1  x  69 24 So sánh nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình x  57 Chọn C x  Ví dụ 16 Gọi X tập nghiệm phương trình cos   15   sin x Mệnh đề sau đúng? 2  A 290  X B 20  X C 220  X D 240  X Trang Lời giải: x  x  Ta có cos   15   sin x  cos   15   cos  90  x  2  2   x   15  90  x  k 360  x  50  k 240    k    x  210  k 720  x  15    90  x   k 360  Nhận thấy 290  X (do ứng với k  nghiệm x  50  k 240 ) Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2x   Câu Giải phương trình sin      3 A x  k  k    C x   B x   k  k    D x  Câu Số nghiệm phương trình sin  x  40   A B 2 k 3  k     k 3 k   với 180  x  180 C D Câu Với giá trị x giá trị hàm số y  sin 3x y  s in x nhau?  x  k 2 A   k     x   k 2  C x  k   x  k B     k   x   k   k    D x  k  k   Câu Tính tổng T nghiệm phương trình sin x  cos x   0; 2  A T  3 B T  5 C T  2 D T       Câu Trên khoảng  ; 2  , phương trình cos   x   sin x có nghiệm?     A B C D Câu Tổng nghiệm phương trình tan  x  15   khoảng  90;90  A 0 B 30 C 30 D 60 Câu Giải phương trình cot  x  1   5  A x    k k   18   B x    k  k    18 Trang C x  5   k k   18  D x    k  k      Câu Với giá trị x giá trị hàm số y  tan   x  y  tan x nhau?   A x  C x    12  k   B x   k  k    D x  k Câu Số nghiệm phương trình tan x  tan A  12  12 k k  k    k  3 3m   ; k, m     3   khoảng  ; 2  11 4  B C D Câu 10 Tổng nghiệm phương trình tan x  tan x  nửa khoảng  0;   A  B 3 C 2 D 5 Câu 11 Giải phương trình tan x cot x  A x  k  k   B x   C x  k  k     k   k   D Vô nghiệm     Câu 12 Cho tan  x     Tính sin  x   2 6     A sin  x     6    B sin  x    6    C sin  x     6    D sin  x    6  Câu 13 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình tan x  ? A sin x  B cos x  C cot x  D cot x  Câu 14 Giải phương trình cos x tan x  A x  k  k      x  k  C  k     x  k   x   k  B  k    x  k   D x    k  k    Câu 15 Tính tổng nghiệm đoạn  0;30 phương trình tan x  tan 3x Trang 10 A 55 B 171 C 45 D 190 Câu 16 Tổng nghiệm phương trình 3cos x   đoạn  0; 4  A S  15 B S  6 C S  17 D S  8 Câu 17 Tính tổng nghiệm đoạn  0;30 phương trình tan x  t an3x A 55 B 171 C 45 D 190 Câu 18 Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm? cos x   A 2sin x   B C sin x   D sin x cos x   Câu 19 Khẳng định đúng? A cot x   x    k 2 B cot x   x  C sin x   x  k 2  D sin x   x    3   Câu 20 Cho phương trình sin  x    sin  x  4    k 3  k   Tính tổng nghiệm thuộc khoảng  0;    phương trình A 7 B  C 3 D  Câu 21 Trong phương trình sau, phương trình vô nghiệm? A tan x  99   2  B cos  x    2  C cot 2018 x  2017 D sin x   Câu 22 Số nghiệm phương trình 2sin x   đoạn  0; 2  A B Câu 23 Số nghiệm phương trình A C D s in3x  đoạn  0;    cos x B C D Vô số Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin x  m có nghiệm A m  B m  1 C 1  m  D m  1 Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x  m  vô nghiệm A m   ; 1  1;   B m  1;   C m   1;1 D m   ; 1 Câu 26 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x  m  có nghiệm? Trang 11 A B C D Vô số   Câu 27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos  x    m  có 3  nghiệm Tính tổng T phần tử S A T  B T  C T  2 D T  6 Câu 28 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3sin x  m   có nghiệm? A B C D LỜI GIẢI CHI TIẾT 2x   k 3  2x   Câu 1: Ta có sin        k  x    k    Chọn D 3 2  3  x  40  60  k 360  x  50  k 180 Câu 2: Phương trình         o   x  40  180  60  k 360  x  80  k 180  x  130 ;50 Mặt khác 180  x  180   Chọn B    x  100 ;80  x  k 3 x  x  k 2 Câu 3: Có sin x  s in x     k  k    Chọn B x   3 x    x  k 2    Câu 4: Ta có sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  sin   x  2     k 2   x   x  k 2 x      x       x   k 2  x    k 2     2    k 2 11   0    2    k   k  0;1; 2 Vì x   0; 2  , suy   0    k 2  2    k   k  0   4 Từ suy nghiệm phương trình đoạn  0; 2   5 3  ; ; ;  T  3 Chọn A 2       Câu 5: Ta có cos   x   sin x  cos   x   cos   x  6             x   x  k 2  x    k 2   k      x      x   k 2  x  2  k 2     2  Trang 12   Vì x   ; 2  , suy 2   k    k  1     k 2  2    k   12    k    2  k 2  2    k     k  2; 1  12    Vậy phương trình có nghiệm khoảng  ; 2  Chọn A 2  Câu 6: Ta có tan  x  15    x  15  45  k.180  x  30  k 90 Do x   90 ;90    90  30  k 90  90    k  3  k  1  x  60 k      60  30  30 Chọn B   k   x  30   Câu 7: Ta có cot  x  1    cot  x  1  cot     6  3x       5 k 1  k  x    k  k     x  Chọn A 18 3 18       x    m   cos   x   Câu 8: Điều kiện:     x  m  cos x  x    m      Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan x  tan   x  4   2x    x  k  x   12 Đối chiếu điều kiện, ta cần có k  12 Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 9: Ta có tan x  tan  k   k  12  k    m k  3  k 3m   k, m   3m   ; k , m    Chọn D  3 3 x  k  k    11 11    3 CASIO k  Do x   ; 2     k  2   0, 027  k  1, 72   k  0;1 Chọn B xap xi 11 4  Câu 10: Ta có tan x  tan x   tan x  tan x  x  x  k  x  Vì x   0;   , suy  k k   k k     k    k  0;1; 2;3    3  Suy nghiệm phương trình  0;   0; ; ;   4  Trang 13 Suy      3 3  Chọn B    x  k  cos x   Câu 11: Điều kiện   k   sin x  x  k   Phương trình  tan x   tan x  tan x  x  x  k  x  k  k    cot x Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x  k không thỏa mãn x  k  Vậy phương trình cho vô nghiệm Chọn D     Câu 12: Phương trình tan  x      tan  x    2 2    x    Suy 2x    k  x     k  k      2  k2  2x     k2  k  Z    2    Do sin  x    sin    k 2   sin   6     Câu 13: Ta có tan x   x    Chọn C    k  k    Xét đáp án C, ta có cot x   x   Câu 14: Điều kiện: cos x   x   k  k    Chọn C   k  k     cos x  Phương trình cos x.tan x     tan x       x   k x  k     k    Chọn C    x  k  x  k Câu 15: Phương trình tan x  tan x  x  x  k  x  Ta có  x  30   k  k   k 60  30   k  mà k    k  0;1; ;19  Vậy tổng nghiệm cần tính  k    95 Chọn D  k 0 19   Câu 16: Ta có 3cos x    cos x  1  x   arccos  k 2  k    3 Trang 14  x  arccos  x 0;4  TH1 Với x  arccos  k 2   k  0;1   k  x  arccos  2   x   arccos  2  x 0;4  TH2 Với x   arccos  k 2   k  1; 2   k   x   arccos  4  Vậy tổng nghiệm phương trình S  8 Chọn D cos x  Câu 17: Điều kiện   cos3 x  3cos x   cos x  cos x  3  cos x  Khi phương trình  sin x sin x   sin x.cos x  cos x.sin x cos x cos x  sin x cos x  cos x sin x   sin  x  x    sin x   sin x cos  cos x    sin x   x  k (thỏa mãn) Kết hợp  0;30   k  30   k  Tổng nghiệm phương trình         45 Chọn C Câu 18: Phương trình 2sin x    sin x  Phương trình có nghiệm cos x    cos x   vô nghiệm Phương trình 2sin x    sin x   vơ nghiệm Phương trình sin x cos x    sin x   sin x  vơ nghiệm Chọn A Câu 19: Ta có cot x   x    k , cos x   x  sin x   x  k sin x   x    k 2  x     k  x   k  x    k  3  k Chọn D  3   x    k 2  x    k 2  x   x   k 2  Câu 20: Phương trình      x    k     x   k  2 x     x   k 2    4 Với x   0;   ta giải điều kiện  Suy nghiệm phương trình   k       k  1, 25  k  0;1  5 , Trang 15 Tổng nghiệm phương trình  Chọn B Câu 21: Do 2   2  vô nghiệm Chọn B  nên phương trình cos  x    2    x   k 2  3 Câu 22: Phương trình 2sin x    sin x    x  2  k 2    2  Kết hợp x   0; 2   x   ;  Chọn D 3  Câu 23: Điều kiện cos x   x  k 2 Phương trình  sin x   x  k  x  k x    x    2  Với x   0;     , kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x   ; ;   đoạn 2 3  x     x    0;  Chọn C Câu 24: Với x  , ta ln có 1  sin x  Do đó, phương trình sin x  m có nghiệm 1  m  Chọn C Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm phương trình cos x  a  Phương trình có nghiệm a   Phương trình vơ nghiệm a  Phương trình cos x  m   cos x  m  m  1 Do đó, phương trình cos x  m vô nghiệm  m    Chọn A m  Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cos x  a  Phương trình có nghiệm a   Phương trình vơ nghiệm a  Do đó, phương trình cos x  m  có nghiệm m   m  1  m    2  m    m  2; 1; 0 Chọn C     Câu 27: Phương trình cos  x    m   cos  x    m  3 3   Phương trình có nghiệm  1  m    3  m  1 Trang 16 m   S  3; 2; 1   T   3   2    1  6 Chọn D Câu 28: PT  sin x  m2  m2  có nghiệm  1     m2  3 Kết hợp m    m  2  có giá trị nguyên m Chọn B Trang 17 ...  11 k 2 Cho 24 36 TH2 Với x     36  x   k   11  k  1  x   13 max  24 36 So sánh bốn nghiệm âm lớn x   nghiệm  13 7 nghiệm dương nhỏ x  Khi tổng hai 36 36 13 7...   k   TH2 Với x  3  k 72   k    kmax  1  x  57 24  k max  1  x  69 24 So sánh nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình x  57 Chọn C x  Ví dụ 16 Gọi X tập nghiệm phương