CHUÛ ÑEÀ 3 DAÕY SOÁ CAÁP SOÁ COÄNG CAÁP SOÁ NHAÂN Baøi 01 PHÖÔNG PHAÙP QUY NAÏP TOAÙN HOÏC Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì c[.]
CHỦ ĐỀ DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Bài 01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HOÏC * Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: Bước Kiểm tra mệnh đề với n Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n k Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp Một cách đơn giản, ta hình dung sau: Mệnh đề n nên theo kết bước 2, với n 1 Vì với n nên lại theo kết bước 2, với n mệnh đề với số tự nhiên n 3, Bằng cách ấy, ta khẳng định * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n số tự nhiên) thì: Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n p; Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n minh với n k p ( p k p phải chứng CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A n B n p C n p D n p Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề A n với n Khẳng định sau đúng? A k p B k p C k p D k k p Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n với n p Bước 2, giả thiết mệnh đề A n với số tự nhiên n chứng minh với n k Trogn hai bước trên: A Chỉ có bước C Cả hai bước Câu Một học sinh chứng minh mệnh sau: Giả sử * với n Ta có: 8k k 1 88 k k , tức 8k 1 B Chỉ có bước D Cả hai bước sai đề ''8n chia hết cho 7, n * '' * chia hết cho 7 , kết hợp với giả thiết 8k chia hết suy chia hết cho Vậy đẳng thức * với n p phải k * Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp 1 1 * Câu Cho S n với n Mệnh đề sau đúng? 12 3 n n 1 12 A S B S 12 Câu Cho S n n n A S n 13 Câu Cho S n n B S n n C S 1 với n n n n n C S n D S 2n 2n * Mệnh đề sau đúng? với n 1 D S n * n n Mệnh đề sau đúng? n 2n A S n Câu Cho Pn n 2n 1 1 n2 B S n C S n n 3n 22 với n n C P n n D S n n 2n Mệnh đề sau đúng? n n A P B P * , hệ thức sau sai? Câu Với n A B C 12 22 D 2 42 n 2n n n n 62 2n n2 n2 n n 2n 2n Câu 10 Xét hai mệnh đề sau: 2n n 2n D P n 2n I) Với n II) Với n * , số n3 3n 5n chia hết cho 1 13 * , ta có n n 2n 24 Mệnh đề đúng? A Chỉ I B Chỉ II C Khơng có D Cả I II Bài 02 DÃY SỐ I – ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: * gọi dãy số * n u n Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , un u n viết tắt un , gọi u1 số hạng đầu, u n số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định tập M 1, 2, 3, , m với m * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , u1 số hạng đầu, u m số hạng cuối II –CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Dãy số cho phương pháp mô tả Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước III – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa Dãy số u n gọi dãy số tăng ta có un un với n Dãy số u n gọi dãy số giảm ta có un * un với n * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số un n tức dãy un với 3, 9, 27,81, không tăng không giảm Dãy số bị chặn Định nghĩa Dãy số u n gọi bị chặn tồn số M cho un * M, n Dãy số u n gọi bị chặn tồn số m cho un Dãy số u n * m, n gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m un * M, n CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu Cho dãy số u n , biết un n Năm số hạng dãy số n số đây? A ; ; ; ; C ; ; ; ; Câu Cho dãy số u n , biết un số đây? 1 1 A ; ; B ; ; 26 u1 Câu Cho dãy số u n , biết un ; ; ; ; D ; ; ; ; B n 3n Ba số hạng dãy số C 1 un số đây? A 1;2;5 B 1;4;7 1 ; ; 16 với n D ; ; Ba số hạng dãy số C 4;7;10 D 1;3;7 2n Tìm số hạng u5 n2 17 C u5 12 Câu Cho dãy số un , biết un A u5 B u5 Câu Cho dãy số un , biết un A u1 B u2 2n Mệnh đề sau sai? n C u3 Câu Cho dãy số un , biết un A u3 B u3 n C u3 u1 A u2 Câu Cho dãy số un , biết un A B Câu 10 Cho dãy số un , biết un A B un n.2 A u2 n 3 C u2 n 32 n 2n n B un C un n n n 2n n n un 2 14 27 D u4 Mệnh đề sau sai? 31 63 16 D u5 C D 7 2n số hạng thứ dãy số? Số 5n 12 D 10 n Tìm số hạng un C un n 1 D un 2n D un 5.5n Tìm số hạng u2 n n B u2 n 3n.3n D u2 n 32 n 5n Tìm số hạng un C un 5n Câu 14 Cho dãy số un , với un D u3 n Số số hạng thứ dãy số? 15 2n 1 5n C u4 Câu 13 Cho dãy số un , với un A un Tìm số hạng u4 C Câu 12 Cho dãy số u n , biết un A un un B Câu 11 Cho dãy số un , biết un A un C u4 15 B u3 un 1 Câu Cho dãy u n xác định 2 un u1 D u4 Tìm số hạng u3 n B u4 n Câu Cho dãy số u n xác định A u4 71 39 D u5 n n 2n 5.5n Tìm số hạng un B un D un n n n 2n n n Câu 15 Dãy số có số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ; có số hạng tổng qt cơng thức đây? A un n n B un n n Câu 16 Dãy số có số hạnh cho bởi: n n C un D un n2 n n 1;1; 1;1; 1; có số hạng tổng quát công thức đây? A un B un C un Câu 17 Cho dãy số có số hạng đầu là: số công thức đây? A un B un n 2n Câu 18 Cho dãy số un , xác định số hạng đây? A un n n B un n Câu 19 Cho dãy số un , xác định Câu 20 Cho dãy số un , xác định n 2;0;2;4;6; Số hạng tổng quát dãy C un u1 n un 2un C un 2 n 2n Số hạng tổng quát u n 2n un 2 D un un 2n Số hạng tổng quát u n dãy B un u1 D un D un n un 1 Số hạng tổng quát u n dãy số u1 un số số hạng đây? A un n C un 2n D un n dãy số số hạng đây? A un n B un C un n D un Câu 21 Cho dãy số un , xác định số số hạng đây? n(n 1)(2n 1) A un n (n 1)(2n 1) C un u1 dãy số số hạng đây? n n A un B un n n Câu 23 Cho dãy số un , xác định dãy số số hạng đây? n un D un u1 un n2 un B un Câu 22 Cho dãy số un , xác định n2 n(n 1)(2n 2) n(n 1)(2n 2) Số hạng tổng quát u n un n n C un u1 un Số hạng tổng quát u n dãy 1 un 2n D un n n Số hạng tổng quát u n A un B un n Câu 24 Cho dãy số u n n u1 un 3un , n Câu 25 Cho dãy số an , xác định A a1 C an a2 a3 an a4 a5 1 có số hạng tổng quát un truy hồi dãy số là: u A un 6un , n C C un 93 16 2n 2n với n n B u1 un 3un , n D u1 un 6un , n a1 D un * n Công thức Mệnh đề sau sai? an , n B a10 512 D an 2n an Vấn đề TÍNH TĂNG GIẢM VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ Câu 26 Cho dãy số sau Dãy số dãy số tăng? 1 1 A 1; 1; 1; 1; 1; 1; B 1; ; ; ; ; 16 1 1 C 1; 3; 5; 7; 9; D 1; ; ; ; ; 16 Câu 27 Trong dãy số u n cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số dãy số tăng? A un 2n B un Câu 28 Trong dãy số u n n C un n 3n D un 2n n cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số dãy số tăng? A un 3n B un Câu 29 Trong dãy số u n n C un D un n n cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số dãy số giảm? A un 2n B un Câu 30 Trong dãy số u n 3n n C un D un n2 sin n C un n cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số dãy số giảm? A un n B un n Câu 31 Mệnh đề sau đúng? D un n2 n n 2n A Dãy số un C Dãu số un dãy tăng n n dãy giảm n B Dãy số un Câu 32 Mệnh đề sau sai? n A Dãy số un dãy giảm n C Dãy số un n dãy giảm n Câu 33 Cho dãy số u n , biết un D Dãy số un 2n B Dãy số un 2n D Dãy số un n 3n Dãy số u n 3n n 2n cos dãy giảm dãy tăng n dãy tăng sin n dãy tăng bị chặn số đây? A B C Câu 34 Trong dãy số u n D cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số bị chặn trên? A un B un n2 C un n Câu 35 Cho dãy số u n , biết un C D un n bị chặn số B D Không bị chặn Câu 36 Cho dãy số u n , biết un sin n đây? A C sin n Dãy số u n cos n đây? A n cos n Dãy số u n bị chặn số B D Không bị chặn cos n sin n Dãy số u n bị chặn chặn Câu 37 Cho dãy số u n , biết un số m M đây? A m 2; M C m 1; M ;M 1 D m ;M 2 n 52 n Mệnh đề sau đúng? B m Câu 38 Cho dãy số un , biết un A Dãy số u n bị chặn không bị chặn B Dãy số u n bị chặn không bị chặn C Dãy số u n bị chặn D Dãy số u n không bị chặn Câu 39 Cho dãy số un , với un 1.4 2.5 , n n n sau đúng? A Dãy số u n bị chặn không bị chặn 1; 2; Mệnh đề B Dãy số u n bị chặn không bị chặn C Dãy số u n bị chặn D Dãy số u n không bị chặn 22 Câu 40 Cho dãy số un , với un 32 , n n2 2; 3; 4; Mệnh đề sau đúng? A Dãy số u n bị chặn không bị chặn B Dãy số u n bị chặn không bị chặn C Dãy số u n bị chặn D Dãy số u n không bị chặn Câu 41 Trong dãy số u n sau đây, dãy số dãy số bị chặn? A un n2 B un n n C un 2n D un n n Câu 42 Trong dãy số u n cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số bị chặn? A un 2n B un C un 3n u1 Câu 43 Cho dãy số un , xác định n D un un un , n * n2 Mệnh đề sau đúng? A un C un 2 Câu 44 Cho dãy số un , với un sin n A Số hạng thứ n dãy un B un D un Khẳng định sau đúng? sin n B Dãy số u n dãy số bị chặn C Dãy số u n dãy số tăng D Dãy số u n không tăng không giảm Câu 45 Cho dãy số un , với un Mệnh đề sau đúng? n A Dãy số u n dãy số tăng B Dãy số u n dãy số giảm C Dãy số u n dãy số bị chặn D Dãy số u n dãy số khơng bị chặn Bài 03 CẤP SỐ CỘNG I – ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đỗi d Số d gọi công sai cấp số cộng Nếu u n cấp số cộng với công sai d , ta có cơng thức truy hồi un Đặc biệt d nhau) d với n un * cấp số cộng dãy số khơng đỗi (tất số hạng II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí Nếu cấp số cộng u n có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát u n xác định công thức: un n d với n u1 III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk uk uk với k IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Định lí Cho cấp số cộng un Đặt S n u1 Sn Chú ý: Vì un u1 u2 u3 n u1 un un Khi n d nên cơng thức viết lại S n nu1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A ; 3; 7; 11; 15; B 1; 3; 6; 9; 12; C 1; 2; 4; 6; 8; D 1; 3; 5; 7; 9; Câu Dãy số sau cấp số cộng? 1 A B 15 2;12 2;9 2;6 2; ; ;0; ; ;1; 3 3 3 11 ; ; 3; ; ; D ;1; ; ; ; 3 5 5 3 1 Câu Cho dãy số ;0; ; 1; ; cấp số cộng với: 2 1 A Số hạng , công sai 2 1 B Số hạng , công sai 2 C n n d ... người ta đ? ?t h? ?t dẻ vào đầu tiên, sau đ? ?t tiếp vào ô thứ hai số h? ?t nhiều ô thứ 5, tiếp t? ??c đ? ?t vào ô thứ ba số h? ?t nhiều ô thứ hai 5,… tiếp t? ??c đến ô thứ n Bi? ?t đ? ?t h? ?t số ô bàn cờ người ta phải... dãy trước ghế Hỏi rạp h? ?t có t? ? ?t ghế? A 1635 B 1792 C 2055 D 3125 Câu 52 Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây, Hỏi có t? ? ?t. .. d D u2 12 T? ?nh u2 Câu 42 T? ?nh t? ??ng T 15 20 25 7515 A T 5651265 B T 5651256 C T 5651625 D T 5651526 2 2 2 Câu 43 T? ?nh t? ??ng T 1000 999 998 997 A T 500500 B T 500005 C T 505000 D T 500050 Câu