cap so cong cap so nhan

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng u1 = a  , n  N* gọi 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  u n +1 = un + d cấp số cộng; d gọi công sai 2.1 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1 + (n − 1)d • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng ( u + uk + ) k • Tổng n số hạng S n xác định công thức : uk+1 = Sn = u1 + u2 + + un = n n u1 + un ) = 2u1 + ( n − 1) d  ( 2 Cấp số nhân  u1 = a , n  N* gọi 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  u = u q  n +1 n cấp số cộng; q gọi công bội 2.2 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1q n −1 • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u2k+1 = uk uk+ • Tổng n số hạng S n xác định công thức : S n = u1 + u2 + + un = u1 qn − q −1 Vấn đề Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: • Dãy số (u n ) cấp số cộng  un+1 − un = d không phụ thuộc vào n d cơng sai • Dãy số (u n ) cấp số nhân  u n +1 = q không phụ thuộc vào n q un cơng bội • Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng  a + c = 2b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí • Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân  ac = b2 • Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết tốn qua u1 d • Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu cơng bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 q Các ví dụ Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Lời giải Giả sử bốn số hạng a − 3x;a − x;a + x;a + 3x với công sai d = 2x Khi đó, ta có:  ( a − 3x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3x ) = 20   2 2  ( a − 3x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3x ) = 120  4a = 20 a=5    4a + 20x = 120 x = 1  Vậy bốn số cần tìm 2,4,6,8 Chú ý: * Cách gọi số hạng cấp số cộng giúp ta giải toán gọn * Nếu số hạng cấp số cộng lẻ gọi cơng sai d = x , chẵn gọi cơng sai d = 2x viết số hạng cấp số dạng đối xứng  a1 + a + + a n = p  * Nếu cấp số cộng (a n ) thỏa:  thì: 2  a1 + a + + a n = s ( ) 12 ns − p2 n ( n − 1)  1 a1 =  p − d  d =  n   n2 n2 − ( ) u − u + u = 10 Ví dụ Cho CSC (u n ) thỏa :   u + u6 = 26 Xác định công sai công thức tổng quát cấp số; Tính S = u1 + u4 + u7 + + u2011 Lời giải Gọi d công sai CSC, ta có: (u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 u + 3d = 10 u =    (u1 + 3d) + (u1 + 5d) = 26 d = u1 + 4d = 13 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có cơng sai d = số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − Ta có số hạng u1 ,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC gồm 670 số hạng với công sai d' = 3d , nên ta có: S = 670 ( 2u1 + 669d') = 673015 u + 3u − u = −21 Ví dụ Cho cấp số cộng (u n ) thỏa:  3u7 − 2u = −34 Tính số hạng thứ 100 cấp số ; Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; Tính S = u4 + u5 + + u30 Lời giải  u + 4d + 3(u1 + 2d) − (u1 + d) = −21 Từ giả thiết tốn, ta có:   3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = −34 u + 3d = −7 u =   d = −3 u1 + 12d = −34 Số hạng thứ 100 cấp số: u100 = u1 + 99d = −295 Tổng 15 số hạng đầu: S15 = 15 2u + 14d  = −285  27 2u + 26d   = 27 ( u1 + 16d ) = −1242 Ta có: S = u4 + u5 + + u30 = Chú ý: Ta tính S theo cách sau: S = S30 − S3 = 15 ( 2u1 + 29d ) − ( 2u1 + 2d ) = −1242 u − u + u = 10 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn   u + u6 = 26 Xác định cấp số cộng Tính tổng S = u5 + u7 ++ u2011 Lời giải u + d − (u1 + 2d) + u1 + 4d = 10 u + 3d = 10   1 Ta có:    u1 + 3d + u1 + 5d = 26 u1 + 4d = 13  u1 = 1,d = ; u5 = u1 + 4d = + 12 = 13 Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với công sai d = có 1003 số hạng nên S = 1003 ( 2u5 + 1002.6 ) = 3028057 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ví dụ Cho cấp số cộng (u n ) có u1 = tổng 100 số hạng đầu 24850 Tính S = + u1 u2 1 + + u2 u3 u49 u50 Lời giải Gọi d công sai cấp số cho Ta có: S100 = 50 ( 2u1 + 99d ) = 24850  d =  5S = 497 − 2u1 =5 99 5 + + + u1u2 u2 u3 u49 u50 = u − u 49 u − u1 u − u + + + 50 u1 u u2 u3 u 49 u 50 = 1 1 1 1 − + − + + − + − u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 = 1 1 245 − = − = u1 u50 u1 u1 + 49d 246 S= 49 246 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11   82 u1 + u5 =   11  u1 + u + u + u = 15   2 2  u1 + u + u + u = 85 Lời giải  q4 − = 15  u1 u (1 + q + q + q ) = 15 q −1    Ta có:  2 u1 + q + q + q = 85 u q − = 85   q −1 (  q4 −     q −1    ) q =  q −  45 (q − 1)(q + 1) 45  =  =  q =  q8 −  17 17 (q − 1)(q + 1)    Từ ta tìm u1 = 1,u1 = ( ) u + q + q + q + q = 11 u q(1 + q + q ) = 39   11  Ta có:  82 82 u1 (1 + q ) = u (1 + q ) =  11  11 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  q4 + q +q +q = 82  q = 3,q = 39  u = Ví dụ Cho cấp số nhân (u n ) thỏa:  27 u = 243u  Viết năm số hạng đầu cấp số; Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; Số số hạng thứ cấp số ? 6561 Lời giải Gọi q công bội cấp số Theo giả thiết ta có:    u1 q =  u q =   27  q = 27     u q = 243.u q q = u =   1  243 Năm số hạng đầu cấp số là: 2 2 u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 = ,u5 = 27 81 Tổng 10 số hạng đầu cấp số 10 1  3 −1 10   10  59048 q −1 S10 = u1 =   = 1 −    = q −1     19683 −1   2  un =  3n −1 = 6561 = 38  n = Ta có: u n = n −1 6561 Vậy số hạng thứ cấp số 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Dãy số (u n ) có phải cấp số cộng khơng ? Nếu phải xác định số công sai ? Biết: n Bài Dãy số (u n ) có phải cấp số nhân không ? Nếu phải xác định số un = 2n + un = −3n + u n = n + công bội ? Biết: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ un = Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí n Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải xác định công sai 2n + un = 3n + un = − 5n un = n n +1 un = u n = u n = n + n n Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội un = 2n un = 4.3n un = 2n un = − un = 2n − 3n −1 un = un = 3n − un = n Bài Tam giác ABC có ba góc A, B,C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C = 5A Xác định số đo góc A, B,C Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng sin A + sin B + sin C = 3+ tính góc tam giác Bài Cho dãy số (u n ) với un n +1 = 32 Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tính tổng S = u2 + u4 + u6 ++ u20 Số 19683 số hạng thứ dãy số Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại CSN Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng −9 tổng bình phương chúng 29 Cho bốn số nguyên dương, ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu cuối 37, tổng hai số hạng 36, tìm bốn số Bài u − u = Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  Tìm u1 ,d ?  u u7 = 75 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  u31 + u34 = 11 Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d  ;  Hãy tìm số hạng  u31 + u34 = 101 tổng quát cấp số cộng Gọi S1 ; S2 ; S3 tổng n1 ; n2 ; n3 số hạng đầu cấp số cộng Chứng minh rằng: S S1 S n − n ) + ( n − n1 ) + ( n1 − n ) = ( n1 n2 n3 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11  Bài Cho CSN (u n ) thỏa:  82 u1 + u5 =   11 Tìm cơng bội số hạng tổng quát cấp số Tính tổng S2011 1  Trên khoảng  ;1  có số hạng cấp số 2  Bài 10 1 Cho dãy số (xn ) : xn = , n = 1,2,3 Chứng minh tồn n CSC gồm 2011 số hạng mà số hạng thuộc dãy số Vấn đề Chứng minh tính chất cấp số Phương pháp: • Sử dụng cơng thức tổng qt cấp số, chuyển đại lượng qua số hạng đầu cơng sai, cơng bội • Sử dụng tính chất cấp số: i) a,b,c theo thứ tự lập thành CSC  a + c = 2b ii) a,b,c theo thứ tự lập thành CSN  ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Chứng minh số: 1, , thuộc CSC; 2,3,5 thuộc CSN Lời giải Giả sử 1, , số hạng thứ m,n,p CSC (u n ) Ta có: 3= 3− = up − un = u1 (p − n) p − n = vơ lí u1 (n − m) n − m số vơ tỉ, cịn − un − um số hữu tỉ Giả sử 2,3,5 ba số hạng thứ m,n,p CSN (vn ) có cơng bội q Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ p−n n−m Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có: um 2 = = q m − n ; = q p− n , suy   un  3 p− n  5 =   3 m −n = p(p−n)(m −n)  2p−n.3m−p.5n−m = vơ lí Ví dụ Chứng minh dãy số (u n ) là: CSC un = an + b CSN un = a.q n Lời giải Giả sử (u n ) CSC cơng sai d , : un = u1 + (n − 1)d = dn + u1 − d = an + b Giả sử: un = an + b  un+1 − un = a  un+1 = un + a, n Suy (u n ) CSC với công sai a Giả sử (u n ) CSN với công bội q , đó: u n = u1 q n Giả sử un = a.q n , suy u n +1 = q  u n +1 = q.u n , n un Suy dãy (u n ) CSN với cơng bội q Ví dụ Chứng minh : Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSC 9ab = 2a3 + 27c Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSN c(ca3 − b3 ) = Lời giải Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành CSC Suy ra: x1 + x3 = 2x2 (1) Mặt khác: x3 − ax2 + bx − c = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1x2 + x2 x3 + x3 x1 )x − x1x2 x3 Suy x1 + x2 + x3 = a (2) Từ (1) (2), ta suy 3x2 = a hay x2 = a Dẫn tới phương trình cho có nghiệm x2 = a , tức là: a a a 2a ba − a + b − c =  − + − c =  9ab = 2a + 27c       3 27       Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có đpcm Giả sử ba nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành CSN, suy x1x3 = x22 Theo phân tích trên, ta có: x1x2 x3 = c  x23 = c  x2 = c Hay phương trình cho có nghiệm x2 = c , tức là: ( c) 3 −a ( c) 3 + b c − c =  b c = a c  c(ca − b3 ) = Bài tốn chứng minh Ví dụ Chứng minh với cách chia tập X = 1,2,3, ,9 thành hai tập rời ln có tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Lời giải Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng Giả sử X chia thành hai tập A B đồng thời A B khơng có ba số lập thành CSC Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, nằm tập hợp, hai số thuộc A 1,4,7 phải thuộc B, nhiên số 1,4,7 lại lập thành CSC Tương tự cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) ta có hai số 5,7 khơng thể nằm tập Vì cặp (3;5) (5;7) hkoogn thuộc tập nên ta suy (3;7) thuộc A, thuộc B Khi ta xét trường hợp sau •  A , 3,4  A   A   B , 1,4,7 lập thành CSC nên  B ; 2,5,8 lập thành CSC nên  A   B Do 1,5,9  B lập thành CSC vơ lí •  B , 4,5  B   A mà 6,7  A   B 5,8  B   A , 2,3  A  1 B , 1,5  B   A Do đó: 3,6,9  B vơ lí Vậy tốn chứng minh Ví dụ Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: xn+m − xm − xn  m,n  * m+n Chứng minh rằng: (xn) cấp số cộng Lời giải Đặt an = xn − nx1 , ta có a1 = |am + n − am − an | Ở ta chứng minh an = 0, n  , m,n  m+n Thật vậy, ta có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí , n  , nên lim|an+1 − an |= hay n+1 lim|an+k − an |= 0, k  a n+1 − an  nên lim|a n + k − a n − a k |= n n+k Từ suy ak = 0, k  Mà an+k − an − ak  Vậy ta có điều phải chứng minh CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho ba số a,b,c lập thành cấp số cộng Chứng minh : a2 + 2bc = c2 + 2ab Cho a,b,c  lập thành cấp sô cộng.Chứng minh : 1 + = a+ b b+ c c+ a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un = ( un −k + un + k ) ,  k  n − Bài A B Cho tam giác ABC Chứng minh tan ; tan ; 2 C tan lập thành cấp số cộng  cosA;cos B;cosC lập thành cấp số cộng A B C Cho tam giác ABC.Chứng minh cot ; cot ; cot lập thành cấp số 2 cộng  sinA;sin B;sinC lập thành cấp số cộng Bài Cho a,b,c lập thành cấp số nhân Chứng minh : ( a + b + c )( a − b + c ) = a + b + c ( a + b2 )( b ) + c = ( ab + bc ) ( ab + bc + ca ) = abc ( a + b + c ) ( )( ) a n + bn + cn a n − bn + cn = a 2n + b2n + c2n ; n  * Bài Cho (un) cấp số nhân Chứng minh : a1an = ak an−k+1 , k = 1; n S n ( S 3n − S 2n ) = ( S 2n − S n ) Bài Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Điều cần đủ để ba số khác không a,b,c ba số hạng CSN tồn ba số nguyên khác không p,t,r cho p + t + r =  p t r a b c = Cho cấp số cộng (an) với số hạng khác không công sai khác 1 n −1 không.Chứng minh rằng: + + + = a1a a 2a a n −1a n a1a n  1 a a + a a = a a  3 Cho bốn số thực a1 ;a2 ;a3 ;a Biết :  1  + + =  a1a a a a 3a a1a Chứng minh : a1 ;a2 ;a3 ;a lập thành cấp số cộng Cho a,b,c ba số hạng thứ m,n,p cấp số cộng Chứng minh : a ( n − p) + b ( p − m ) + c ( m − n ) = Chứng minh điều kiện cần đủ để ba số a,b,c ba số hạng pa + qb + rc = CSC tồn ba số nguyên khác không p,q,r thỏa:  p + q + r = 6.Cho CSC (u n ) thỏa Sm = Sn ( m  n ) Chứng minh Sm + n = Chứng minh ba cạnh tam giác lập thành CSN cơng bội  −1 1+  ; CSN nằm khoảng    2   Bài Chứng minh ba số a,b,c  số hạng liên tiếp cấp số cộng số a + ab + b2 ; c + ca + a ; b2 + bc + c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (u n ) cấp số nhân Kí hiệu S = u1 + u2 + + un ; T= 1 + + + ; P = u1u u n Hãy tính P theo S,T n u1 u2 un Bài Cho hai số tự nhiên n,k thỏa k +  n Chứng minh tồn không hai giá trị k cho Ckn , Ckn+1 Ckn+ ba số hạng liên tiếp CSC Chứng minh không tồn k để Ckn , Ckn+1 , Ckn+ Ckn+ bốn số hạng liên tiếp CSC Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài n Cho (u n ) CSC Chứng minh rằng:  u k +1 k =0 Ckn = u1 + un +1 n + n +1 2k  2n +1 k =1 k Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s1 ,s2 ,s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss ,ss ,ss , ss + k ,ss + k ,ss 3 + k , cấp số cộng Chứng minh s1 ,s2 ,s3 , cấp số cộng Vấn đề Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: • a,b,c theo thứ tự lập thành CSC  a + c = 2b • a,b,c theo thứ tự lập thành CSN  ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Tìm x biết : x2 + 1,x − 2,1 − 3x lập thành cấp số cộng ; 1, x2 ,6 − x lập thành cấp số nhân Lời giải Ta có: x2 + 1,x − 2,1 − 3x lập thành cấp số cộng  x2 + + − 3x = 2(x − 2)  x2 − 5x + =  x = 2; x = Vậy x = 2,x = giá trị cần tìm Ta có: 1, x2 ,6 − x lập thành cấp số nhân  x4 = − x2  x =  Ví dụ Cho số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; số ( y + 1)2 ,xy + 1, ( x − 1)2 lập thành cấp số nhân.Tính x, y Lời giải Ta có số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành CSC nên suy ( 2x + 3y ) = 5x − y + x + 2y hay 2x = 5y (1) Các số ( y + 1) ,xy + 1, ( x − 1) lập thành CSN suy 2 ( xy + 1)2 = ( y + 1)2 ( x − 1)2  ( + 2y − 2x )( 4xy + 2x − 2y ) = (2) Thay (1) vào (2) ta : ( + 2y − 5y ) (10y + 5y − 2y ) = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  y ( − 3y )(10y + ) =  y = 0, y = ,y = − 10  10   3  Vậy (x; y) = ( 0; ) ;  ;  ;  − ; −   3   10  CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng 1; x; x   1; sin  − x  ; sin x 6  Bài Tìm x, y biết: Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số ( y − 1)2 ,xy − 1, ( x + 1)2 lập thành cấp số nhân Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số x + y, y − 1,2x − 3y lập thành cấp số nhân Bài Xác định a, b để phương trình x3 + ax + b = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài Tìm m để phương trình: mx − ( m − 1) x + m − = có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x3 − 3mx2 + 4mx + m − = có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bài Xác định m để: Phương trình x3 − 3x2 − 9x + m = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x − ( m + 1) x + 2m + = (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x + 2x + ( m + 1) x + ( m + 1) = có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/