Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG III Chuyên đề Dãy số Cấp số cộng – Cấp số nhân Giaovienvietnam com CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau ( Bước 1 Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 ( Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k ( 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1 Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng[.]
Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tùy ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n≥ p, ta thực sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 II VÍ DỤ VẬN DỤNG Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 1 1 2n − + + + + n = n , ∀n ∈ N * 2 Giải 1 = mệnh đề 2 1 1 2k − Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ nghĩa là: + + + + k = k 2 Bước 1: Với n = mệnh đề trở thành Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức cần chứng minh: 1 1 2k +1 − + + + + k +1 = k +1 2 Thật 1 1 + + + + k + k +1 2 k −1 = k + k +1 2 k +1 −1 = k +1 = VP VT = Vậy mệnh đề cho với n∈ N * Ví dụ 2: Chứng minh rằng: un = n + 3n + 5n chia hết cho , ∀n ∈ ¥ * Giải Bước 1: Với n = , vế trái chi hết cho Mệnh đề cho Bước 2: Giả sử mệnh đề cho với n = k , tức là: uk = k + 3k + 5k chia hết cho Ta chứng minh hệ thức cho với n = k + 1: Ta có: uk +1 = ( k + 1) + ( k + 1) + ( k + 1) Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân = ( k + 3k + 5k ) + ( k + 3k + 3) = uk + ( k + 3k + 3) Vậy uk +1 chi hết cho 3, ta điều phải chứng minh III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Chứng minh với n ∈ N*, ta có: a) + + … + n = n(n+ 1) b) 12 + 22 + + n2 = c) + + + n = n(n + 1) 3 e) 1.2+ 2.3+ + n(n + 1) = n(n + 1)(2n + 1) d) 1.4+ 2.7+ + n(3n+ 1) = n(n + 1)2 n(n + 1)(n + 2) f) 1 n + + + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + Bài Chứng minh với n ∈ N*, ta có: a) n3 + 11n chia hết cho b) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho c) 7.22n−2 + 32n−1 chia hết cho e) 32n+1 + 2n+2 chia hết cho B DÃY SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa u: ¥ * → ¡ n a u(n) d) n3 + 2n chia hết cho f) 13n − chia hết cho dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm: • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 un > với ∀n ∈ N* ( un > 0) • (un) dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 un < với ∀n ∈ N* (un > 0) Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* II VÍ DỤ VẬN DỤNG Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm dãy số: a )un = −2 n b)un = 2n + 5n + 2 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Giải −2 n −1 1 un +1 − un = − ÷− − ÷= < 0, ∀n ∈ N * n +1 n n(n + 1) a ) un = Nên dãy số giảm 2n + 5n + 5n + 2n + 10n + 19n + = = < 1, ∀n ∈ N * 2n + 5n + 10n + 19n + b ) un = un +1 un Nên dãy số giảm Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số: U1 = ∀n∈ N* U = 2U n+1 n Giải Ta có: U1=3 U2=2U1=3.2 U3=2.U2=3.22 Dự đốn: Un=3.2n-1.Sau khẳng định quy nạp III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) un = 2n2 − n2 + n d) un = − ÷ 3 b) un = n + (−1)n 2n + c) un = e) un = n + cos2 n f) un = n− n2 + (n + 1)! 2n Bài 2: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: a) un = d) un = 2n + 3n − b) un = n2 + n + 4n − c) un = 4n + e) un = n + cos2 n n2 + f) un = (−1)n n+ 2− n n Bài 3: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi: a) un = d) un = 2n + n+ b) un = n2 + 2n n + n+ 1 n(n + 1) e) un = c) un = n2 + n n + 2n + n f) un = (−1)n cos π 2n IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Câu 1: Trong dãy số sau, dãy số thõa mãn u0 = 1, u1 = 2, un = 3un −1 − 2un− , n = 2,3, A 1;2;4;8;16;36… C un = 2n + B 1;2;8;16;24;54… D un = 2n ( n=0;1;2….) u1 = n un+1 = un Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: A 10 B 1024 Ta có u5 bằng: ví i ∀n ≥ C 2048 D 4096 u1 = Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: Khi u50 bằng: un = un−1 + 2n ví i mäi n ≥ A 1274,5 B 2548,5 C 5096,5 D 2550,5 u1 = −1 Khi u11 bằng: n−1 ví i mäi n ≥ un = 2nu Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: A 210.11! B -210.11! C 210.1110 D -210.1110 u1 = Ta có u11 un+1 = un + n ví i ∀n ≥ Câu 5: Cho dãy số (un): A 36 B 60 Câu 6: Cho dãy số ( un ) A C 56 u1 = với un = − un−1 B C Câu 7: Cho dãy số (u n ) với u n = (−1) n+1 cos A B Câu 8: Cho dãy số (u n ) với u n = A u n −1 = 1− n 2n ví i n =2, 3, B u n −1 D 44 Giá trị u4 2π Khi u12 bằng: n C − 1− n Khi u n −1 bằng: n +1 2−n 2−n = n C u n −1 = n −1 2 D D − D u n −1 = n 2n u1 = n ∈ N * ) Khi số hạng thứ n+3 là? ( un = 2un −1 + 3un − Câu 9: Cho dãy số có A un +3 = 2un+ + 3un +1 B un +3 = 2un + + 3un C un +3 = 2un− + 3un +1 D un +3 = 2un+ + 3un−1 Câu 10: Cho dãy số có cơng thức tổng quát un = 2n số hạng thứ n+3 là? n n n A un +3 = B un +3 = 8.2 C un +3 = 6.2 D un +3 = Câu 11: Cho tổng S n = + + + + n Khi S3 bao nhiêu? A B C D Câu 12: Cho dãy số un = ( −1) Chọn khẳng định khẳng định sau đây? A Dãy tăng B Dãy giảm C Bị chặn D Không bị chặn n Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Câu 13: Dãy số un = dãy số có tính chất? n +1 A Tăng C Không tăng không giảm Câu 14: Cho dãy số un = sin A un +1 = sin π n +1 π Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây? n B Dãy số bị chặn C dãy tăng Câu 15: Dãy số un = A B Giảm D Tất sai D dãy số không tăng, không giảm 3n − dãy số bị chặn bởi? 3n + 1 B C D Tất sai Câu 16: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số giảm: A un = sin n B un = n2 + n n − n− C un = n D un = ( −1) ( + 1) n Câu 17: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số bị chặn A un = B un = n + n2 + 1 n 2n + 1D un = C un = n n+ Câu 18: Cho dãy số (un) vói un = 3n Hãy chọn hệ thức đúng: A u1 + u9 = u5 C 1+ u1 + u2 + + u100 = B u100 − u2u4 = u3 D uu u100 = u5050 Câu 19: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng un + bằng: A 3n + B 3n + C 3n.3 Câu 20: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng u2n A 2.3n B 9n C 3n + Câu 21: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng un - bằng: A 3n - B 3n C 3n - D 3(n + 1) D 6n D 3n - Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng u2n - bằng: A 32.3n - B 3n.3n - C 32n - D 32(n - 1) Câu 23: Hãy cho biết dãy số (u n) nằo dãy số tăng, biết công thức số hạng tổng quát un là: A ( −1) n+1 sin π n B ( −1) 2n ( + 1) n Câu 24: Xét dãy 1, 2, 3, 4, … C n+ 1+ n D n n +1 (1) 1 1, , , … (2) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … (3) Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 1 1 1, , , , , , … 2 3 (4) Với dãy trên, kết luận sau đúng: A (1) dãy đơn điệu giảm, (2) dãy đơn điệu giảm, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4) dạy đơn điệu không tăng B (1) dãy đơn điệu tăng, (2) dãy đơn điệu tăng, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4) dạy đơn điệu không tăng C (1) dãy đơn điệu tăng, (2) dãy đơn điệu giảm, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4) dạy đơn điệu không giảm D Cả ba câu sai Câu 25: Dãy số { un} xác định công thức un = 2n + với n = 0, 1, 2, … là: A Dãy số tự nhiên lẻ B Dãy 1, 3, 5, 13, 17 C Dãy số tự nhiên chẵn D Dãy gồm số tự nhiên lẻ số tự nhiên chẵn Câu 26: Trong dãy số sau, dãy số thoả mãn: u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - - 2un - , n = 2, 3, …? A 1, 2, 4, 8, 16, 32, … B 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, … C Dãy có số hạng tổng quát un = 2n + với n = 0, 1, 2, … D Dãy có số hạng tổng quát un = 2n với n = 0, 1, 2, … Câu 27: Xét câu sau: Dãy 1, 2, 3, 4, … dãy bị chặn (dưới trên) (1) 1 … dãy bị chặn không bị chặn Dãy 1, , , Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) C Cả hai câu Câu 28: Đặt S1(n) = + + + … + n S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 S3(n) = 13 + 23 + 33 + … + n3 Ta có A S1 ( n) = C S3 ( n) = 3n( n + 1) B Chỉ có (2) D Cả hai câu sai B S2 ( n) = 2 n ( n − 1) (2) n( n + 1) ( 2n + 1) D Đáp án khác Câu 29: Dãy số sau dãy tăng: A u n = (−1) n +1 sin π n B u n = 2n + 3n + C u n = n + n +1 D u n = (−1) n (3 n + 1) Câu 30: Cho dãy số un = A 10 Câu 31: Cho dãy số un = 2n Số số hạng thứ bao nhiêu? n +1 41 B C 1+ n Số số hạng thứ bao nhiêu? 2n + 15 D 11 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân A B C D u1 = Số hạng tổng quát dãy số là? un +1 = un + n Câu 32: Cho dãy số A un = ( n − 1) n B un = + n ( n + 1) C un = + ( n − 1) n n + ( 1) ( n + ) D un = + u1 = Câu 33: Cho dãy số n Số hạng tổng quát dãy số là? un +1 = un + ( −1) 2n A un = + n B un = − n C un = + ( −1) D un = n u1 = Câu 34: Cho dãy số Số hạng tổng quát dãy số là? un +1 = un + n n ( 2n + 1) ( n + 1) ( n − 1) n ( 2n + ) A un = + B un = + 6 ( n − 1) n ( 2n − 1) C un = + D Tất sai u1 = −2 Số hạng tổng quát dãy số là? Câu 35: Cho dãy số un +1 = −2 − u n −n + n +1 n +1 n A un = B un = C un = − D un = − n n n n +1 2 2 Câu 36: Cho tổng S ( n ) = + + + n Khi cơng thức S(n) là? n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n − 1) ( 2n + 1) C S ( n ) = n +1 2 n ( 2n + 1) D S ( n ) = B S ( n ) = A S ( n ) = Câu 37: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+………….+(2n-1)-2n+(2n+1) A S(n)= n+1 B S ( n ) = -n 1 C S ( n ) = 2n D S ( n ) = n Câu 38: Tính tổng S ( n ) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n n + Khi cơng thức S(n) là? ( ) A S ( n ) = n n+2 B S ( n ) = n n +1 C S ( n ) = 2n 2n + D S ( n ) = 2n Câu 39: Tính tổng s(n) = 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) Khi cơng thức S ( n ) gì? A S ( n ) = n + B S ( n ) = ( n + 1) C S ( n ) = n ( n + 1) D S ( n ) = 4n Câu 40: Tính tổng S ( n ) = 1.1!+ 2.2!+ + 2007.2007! Khi công thức S ( n ) là: A 2007! B 2008! C 2008!− D 2007!− Câu 41: Cho dãy số hữu hạn xác định sau: u0 = 1; u1 = -1; u2 = -1; u3 = 1; u4 = 5; u5 = 11; u6 = 19; u7 = 29; u8 = 41; u9 = 55 Hãy tìm cơng thức tổng qt cho 10 số hạng Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân A un = n2 + 3n − 1, n = 0,1, ,9 C un = n + 3n + 1, n = 0,1, ,9 B un = n2 − 3n − 1, n = 0,1, ,9 D Kết khác Câu 42: Trong dãy số 1, 3, 2, … số hạng kể từ số hạng thứ số hạng đứng trước trừ số hạng đứng trước số hạng này, tức un = un−1 − un−2 với n ≥ Tính tổng 100 số hạng dãy số Đáp số tốn là: A B C D u1 = Câu 43: Cho dãy số xác định công thức truy hồi: Tìm cơng thức tính un +1 = un ∀n ∈ ¥ * số hạng tổng quát un dãy số 3 3 A un = n B un = n −1 C un = n D un = n 2 −1 +1 u1 = * Tìm cơng thức tính un +1 = un + ∀n ∈ ¥ Câu 44: Cho dãy số xác định công thức truy hồi: số hạng tổng quát un dãy số A un = 2n + B un = 2n − C un = 2n + D un = 2n + u1 = Hỏi số 33 số hạng thứ un +1 = un + Câu 45: Cho dãy số xác định công thức truy hồi: mấy: A u15 B u17 C u14 D u16 C CẤP SỐ CỘNG (CSC) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai) Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d Tính chất số hạng: uk = Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + + un = với n ≥ uk−1 + uk+1 với k ≥ 2 n(u1 + un) = n 2u1 + (n − 1)d II VÍ DỤ VẬN DỤNG u1 − u3 + u5 = 10 u1 + u6 = 17 Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: Giải u1 − u3 + u5 = 10 ⇔ u1 + u6 = 17 Ta có: u1 + 2d = 10 u = 16 ⇔ 2u1 + 5d = 17 d = −3 Ví dụ 2: Một CSC có số hạng thứ 54 thứ -61 64 Tìm số hạng thứ 23 Giải Ta có: un = u1 + ( n − 1) d Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u = u + 53d (1) ⇔ 54 u4 = u1 + 3d (2) Giải hệph ơng trì nh (1), (2) ta đợ c: 143 u1 = , d =− 2 33 ⇒u23 = u1 +22d = III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó: a) un = 3n – b) un = 3n + d) un = 3n e) un = 7− 3n c) un = n2 n f) un = − Bài 2: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u2 + u5 − u3 = 10 u4 + u6 = 26 a) u = −15 b) u = 18 14 u − u = c) 7u u3 = 75 u7 + u15 = 60 2 u4 + u12 = 1170 d) Bài 3: tính tổng sau: a) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số thứ 105, số cuối 999 b) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 1/3, số thứ -1/3, số cuối -2007 3 Bài 4: Cho cấp số cộng có d > 0: có u1 + u15 = 302094 tổng 15 số hạng đầu 585 tìm cấp số cộng Bài 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Bài 6: Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 25 tổng bình phương chúng 165 Bài 7: Cho cấp số cộng ( un ) có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng ( un ) Bài 8: Cho cấp số cộng ( un ) có u2 + u5 = 42 u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng cấp số cộng Bài 9: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Bài 10: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu cấp số cộng (u n ) ) với cơng sai d có u = u10 = 10 thì: A u1 = d = -2 B u1 = −8 d = C u1 = d = D u1 = −8 d = -2 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Câu 2: Một cấp số cộng có số hạng Số hạng 15 Tổng số hạng bằng: A 135 B 405 C 280 D Đáp số khác Câu 3: Cho cấp số cộng (u n ) có u = 12 tổng 21 số hạng S 21 = 504 Khi u1 bằng: A B 20 C 48 D Đáp số khác Câu 4: Cho cấp số cộng (u n ) Tìm u1 cơng sai d biết Sn = 2n2 − 3n A u1 = −1; d = B u1 = 1; d = C u1 = 2; d = D u1 = −1; d = Câu 5: Cho cấp số cộng (u n ) Tìm u10 biết Sn = 3n − 2n A u10 = 50 B u10 = 53 C u10 = 55 D u10 = 60 Câu 6: Cho cấp số cộng (u n ) Tìm u1 công sai d biết u5 = 18; Sn = S n A u1 = 2; d = B u1 = 2; d = C u1 = 2; d = D u1 = 3; d = Câu 7: Cho CSC : -2 ; u2 ; ; u4 Hãy chọn kết đúng: A u2 = -6 ; u4 = -2 B u2 = ; u4 = C u2 = ; u4 = D u2 = ; u4 = 10 Câu 8: Chọn khẳng định Đúng khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác không) A Nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B Bình Phương chúng lập thành cấp số cộng C c,b,a theo thứ tự cúng lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai Câu 9: Cho CSC có tổng 10 số hạng 100 số hạng 100 10 Khi tổng 110 số hạng là? A 90 B -90 C 110 D -110 Câu 10: Chọn khẳng định sai khẳng định sau Cho CSC ( un ) có d khác khơngkhi đó: A u2 + u17 = u3 + u16 B u2 + u17 = u4 + u15 C u2 + u17 = u6 + u13 D u2 + u17 = u1 + u19 Câu 11: Cho CSN -2;4;-8….tổng n số hạng CSN là? A ( − − ( −2 ) − ( −2 ) n ) B ( −2 − ( ) 1− n ) C ( −2 − ( −2 ) − ( −2 ) 2n ) D ( −2 − ( ) 1− 2n ) Câu 12: Viết số xen số 22 để CSC có số hạng A 7;12;17 B 6,10,14 C 8,13,18 D Tất sai Câu 13: Cho dãy số un = − 2n Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây? A Ba số hạng dãy là: 5;3;1 B số hạng thứ n+1 dãy 8-2n C CSC với d=-2 D Số hạng thứ dãy -1 4 5 A s5 = B s5 = C s5 = − D s5 = − 5 Câu 15: Cho CSC có d=-2 s8 = 72 , số hạng nhiêu? 1 A u1 = 16 B u1 = −16 C u1 = D u1 = − 16 16 Câu 14: Cho CSC có u1 = , d = − Chọn khẳng định khẳng định sau đây? 10 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Câu 16: Cho CSC có u1 = −1, d = 2, sn = 483 Hỏi số số hạng CSC? A n=20 B n=21 C n=22 D n=23 Câu 17: Cho CSC có u1 = 2, d = 2, s = Chọn khẳng định khẳng định sau? A S tổng số hạng CSC B S tổng số hạng CSC C S tổng số hạng CSC D Tất sai Câu 18: Xác định x để số − x, x ,1 + x lập thành CSC A Khơng có giá trị x B x=2 x= -2 C x=1 -1 D x=0 Câu 19: Xác đinh a để số + 3a, a + 5,1 − a lập thành CSC A a = B a = ±1 C a = ± D Tất sai Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC Đẳng thức sau đúng? A a + c = 2ab + 2bc B a + c = 2ab − 2bc C a − c = 2ab − 2bc D a − c = ab − bc Câu 21: Cho CSC có A u1 = −20, d = −3 u4 = −12, u14 = 18 Khi số hạng cơng sai B u1 = −22, d = C u1 = −21, d = D u1 = −21, d = −3 u4 = −12, u14 = 18 Khi tổng 16 số hạng CSC là? Câu 22: Cho CSC có A 24 B -24 C 26 D – 26 u5 = −15, u20 = 60 Tổng 20 số hạng CSC là? Câu 23: Cho CSC có A 200 B -200 C 250 D -25 Câu 24: Trong dãy số sau dãy số CSC? n +1 A un = 3n B un = ( −3) C un = 3n + D Tất CSC Câu 25: Trong dãy số sau dãy số CSC? u1 = −1 un +1 = 2un + A u1 = −1 un +1 = un + B C un = n a1 = 321 an = an −1 − Câu 26: Cho dãy số (an) xác định D un = ( n + 1) ∀n = 2, 3, 4, Tổng 125 số hạng dãy số (an) là: A 16875 B 63375 C 635625 D 166875 Câu 27: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 u3 - u15 = 84 Số hạng u17 là: A 242 B 235 C 11 D Câu 28: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số nàolà cấp số cộng? u1 = un+1 = un − A u1 = un+1 = un + n B u1 = −1 un+1 − un = C u1 = un+1 = 2un + D Câu 29: Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y Kết sau đúng? x = y = A x = y = B x = y = −6 C x = y = −6 D Câu 30: Nếu cấp số cộng (un) với cơng sai d có u2 = u50 = 74 11 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân A u1 = d = B u1 = -1 d = C u1 = 0,5 d = 1,5 D u1 = -0,5 d = 2,5 Câu 31: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y Hãy chọn kết kết sau: x = −6 y = −2 x = y = A x = y = B C x = y = 10 D Câu 32: Cho cấp số cộng -4; x; -9 Hãy chọn kết kết sau: A x = 36 B x = -6,5 C x = D x = -36 Câu 33: Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: A u10 + u20 = u5 + u10 B u19 + u20 = 2u150 C u10.u30 = u20 D u10.u30 = u20 u1 = 150 Khi tổng 100 số hạng un = un−1 − ví i mäi n ≥ Câu 34: Cho dãy số (un) xác định bởi: dãy số A 150 B 300 C 29850 D 59700 Câu 35: Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 u5 = 1995 Khi u1001 A 4005 B 4003 C D Câu 36: Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng 100 số hạng S 10 = 100, S100 = 10 Khi đó, tổng 110 sốhạng là: A 90 B -90 C 110 D -110 Câu 37: Ba cạnh tam giác vng có độ dài số nguyên dơng lập thành cấp số cộng Thế cạnh có độ dài bằng: A 22 B 58 C 81 D 91 Câu 38: Cho ba s thực a, b, c khác Xét hai câu sau: (1) Nếu a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng (cơng sai khác 0) ba số 1 , , a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng (2) Nếu a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ba số 1 , , theo thứ tự a b c lập thành cấp số nhân Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai câu D Cả hai câu sai Câu 39: Số số hạng cấp số cộng chẵn Tổng số hạng thứ lẻ số hạng thứ chữan lần lợt 24 30 Biết số hạng cuối lớn số hạng đầu 10,5; số số hạng bao nhiêu? Đáp số toán là: A 20 B 18 C 12 D Câu 40: Cho p = 1, 2, …, 10 gọi Sp tổng 40 số hạng cấp số cộng mà số hạng đầu p công sai 2p - Khi đó, S1 + S2 + … + S10 bằng: A 80000 B 80200 C 80400 D 80600 Câu 41: Biết Cn,Cn,Cn lập thành cấp số cộng với n > 3, n bằng: A B C D 11 Câu 42: Xét câu sau: (1) Dãy số u1,u2,u3, gọi cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u n = un - + d với n = 2, 3, … 12 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân (2) Nếu dãy số u1,u2,u3, cấp số cộng với công sai d ≠ 0, un = u1 + (n + 1)d với n = 2, 3, … Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai câu D Cả hai câu sai Câu 43: Xét câu sau (1) Dãy số u1,u2,u3, gọi cấp số cộng với công sai d ≠ uk = uk−1 − uk+1 với k = 2, 3, … (2) Nếu dãy số u1,u2,u3, ,un cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u1 + un = uk + un− k với k = 2, 3, …, n - Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai câu D Cả hai câu sai Câu 44: Tìm tất giá trị x để + s inx;sin x;1 + sin x số hạng liên tiếp CSC π π + kπ , k ∈ Z B x = + k 2π , k ∈ Z π π 2π , k ∈Z C x = − + kπ ; x = − + k D π π 5π x = + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π , k ∈ Z 6 Câu 45: Giải phương trình + + 13 + …+ x = 280 A x = 53 B x = 55 C x = 57 A x = D x = 59 Câu 46: Giải phương trình ( x+1) + ( x+4 ) +…+ ( x+28 ) = 155 A x = 11 B x = C x = D x = Câu 47: Ba số 10;25;40 là: A Ba số hạng liên tiếp cấp số cộng B Ba số hạng u1 ; u4 ; u8 cấp số cộng C Ba số hạng cấp số cộng D Không thể ba số hạng cấp số cộng Câu 48: Một tam giác vng có chu vi 3, cạnh lập thành cấp số cộng Tìm cạnh A ;1; 2 B ;1; 4 C ;1; 3 D ;1; 4 Câu 49: Bốn nghiệm phương trình x − 10 x + m = số hạng liên tiếp cấp số cộng Hãy tìm m A 16 B 21 C 24 D Câu 50: Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng thứ n u n = − 3n công sai d bằng: A B C -3 D D CẤP SỐ NHÂN (CSN) 13 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* Số hạng tổng quát: un = u1.qn−1 với n ≥ Tính chất số hạng: uk2 = uk−1.uk+1 với k ≥ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = nu1 n S = u1(1− q ) n 1− q (q: cơng bội) vớ i q= vớ i q≠ II VÍ DỤ VẬN DỤNG Ví dụ 1: Tìm số hạng cấp số nhân (un ) có số hạng, biết: u3 = 3, u5 = 27 Giải u q = u3 = ⇔ ⇔ u1 = , q = ±3 u5 = 27 u1q = 27 Ta có: Vậy có hai dãy số: 1 ,1,3,9,27 , −1,3, −9,27 3 Ví dụ 2: Tìm số hạng cấp số nhân mà tổng số 19 tích 216 Giải Gọi số hạng liên tiếp cấp số nhân là: a ; a ; aq (với q công bội) q Theo giả thiết ta có: a q a.aq = 216 (1) a + a + aq = 19 (2) q Từ (1) (2) ta có a = q = h cq= Vậy số hạng cần tìm là: 4, 6, hay 9, 6, III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Tìm CSN biết u4 + u2 = 60 u5 + u3 = 180 a) u7 − u1 = 728 u1 + u3 + u5 = 91 b) u7 + u1 = 1460 u7 + u1 = 325 d) u1 + u3 = 20 u1 − u3 + u5 = 65 c) Bài 2: Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân sau: u5 = 96 u3 + u5 = 90 u20 = 8u17 6u2 + u5 = a) b) c) d) u9 = 192 u2 − u6 = 240 u3 + u5 = 272 3u3 + 2u4 = −1 Bài 3: Cho số lập thành cấp số nhân Biết công bội ¼ số hạng tổng số hạng đầu 25 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tìm góc 14 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Bài 5: Một cấp số nhân có số hạng đầu số hạng cuối 2187, công bội q = Hỏi cấp số nhân có số hạng Bài 6: Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối 486 tổng số hạng 728 Bài 7: Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu 31 tổng số hạng sau 62 Bài 8: Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 27 tích hai số hạng cịn lại 72 Bài 9: cho số x, y, z, theo thứ tự lập thành CSN, đồng thời chúng số hạng đầu, số hạng thứ thứ CSC Tím số đó, biết tổng chúng bắng 13 Bài 10: cho số x,y,z, theo thứ tự lập thành CSN với công bội q khác 1, đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành CSC với công sai khác Tìm q IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho CSN có u1 = − , u7 = −32 Khi q ? A ± B ± C ±4 D Tất sai Câu 2: Cho CSN có u1 = −1, u6 = 0, 00001 Khi q số hạng tổng quát là? A q = −1 , un = n −1 10 10 A Số hạng thứ 103 Câu 4: Cho CSN có A số hạng thứ A b=-1 −1 , un = −10n −1 10 u1 = −1; q = Câu 3: Cho CSN có Câu 5: Cho dãy số B q = C q = −1 , un = n −1 10 10 −1 D q = −1 , un = ( n −) 10 10 n −1 Số 103 số hạng thứ bao nhiêu? 10 10 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Đáp án khác u1 = 3; q = −2 Số 192 số hạng thứ bao nhiêu? B số hạng thứ C số hạng thứ D Đáp án khác ; b , Chọn b để ba số lập thành CSN B b=1 C b=2 D Đáp án khác u2 = ; u5 = 16 Tìm q số hạng CSN? 1 1 1 A q = ; u1 = B q = − , u1 = − C q = 4, u1 = D q = −4, u1 = − 2 2 16 16 u4 = 16384 Số hạng u17 là: Câu 7: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 24 u11 3 3 A B C D 67108864 368435456 536870912 2147483648 Câu 6: Cho CSN có Câu 8: Cho cấp số nhân (un) biết u1 = ; u2 = -6 Hãy chọn kết đúng: A u5 = -24 B u5 = 48 C u5 = -48 D u5 = 24 Câu 9: Tổng 10 số hạng cấp số nhân (un) với u1 = -3 công bội q = -2 A -511 B -1025 C 1025 D 1023 Câu 10: Cho cấp số nhân (un) có: u2 = -2 u5 = 54 Khi tổng 1000 số hạng cấp số nhân 15 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân A 1− 31000 B 31000 − C 31000 − D 1− 31000 Câu 11: Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , … cấp số nhân với: A công bội phần tử B công bội phần tử C công bội phần tử D công bội phần tử Câu 12: Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, … Đây cấp số nhân với A Công bội phần tử 729 B Công bội phần tử 64 C Công bội phần tử 729 D Công bội phần tử 729 Câu 13: Trong cấp số nhân gồm số hạng dương, hiệu số số hạng thứ thứ 576 hiệu số số hạng thứ số hạng đầu Tìm tổng số hạng cấp số nhân này: A 1061 B 1023 C 1024 D 768 Câu 14: Nếu cấp số nhân ( u n ) có cơng bội q = − A u1 = B u1 = 128 1 u = − thì: C u1 = −8 D u1 = − 128 Câu 15: Cho cấp số nhân (u n ) với u1 = , công bội q = tổng số hạng S7 = 889 Khi số hạng cuối bằng: A 484 B 996 C 242 D 448 Câu 16: Nếu cấp số nhân (u n ) với u − u = 72 u − u = 144 thì: A u1 = 2; q = 12 B u1 = 12; q = −2 C u1 = 12; q = D u1 = 4; q = Câu 17: Cho cấp số nhân 16; 8; 4; …; 1 Khi số hạng thứ: 64 64 A 10 B 12 C 11 D Đáp số khác Câu 18: Cho cấp số nhân (u n ) biết u1 = ; u1 = 405 tông Sn = 1820 , tìm n A n = B n = C * n = D n = Câu 19: Cho cấp số nhân (u n ) biết S = ; S3 = 13 Tìm S5 A S5 = 121 hoac 181 16 B S5 = 121 hoac 35 16 C S5 = 144 hoac 185 16 D S5 = 141 hoac 183 16 Câu 20: Trong số sau, dãy số cấp số nhân: A 1,-3,9,-27,81 B 1,-3,-6,-9,-12 C 1,-2,-4,-8,-16 D 0,3,9,27,81 Câu 21: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = 3, u2 = −6 Lựa chọn đáp án A u3 = 12 B u3 = −12 C u3 = −18 D u3 = 18 Câu 22: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = 3, u5 = 48 Lựa chọn đáp án A u3 = 12 B u3 = −12 C u3 = 16 D u3 = − 16 Câu 23: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = −2, u = Lựa chọn đáp án A q = −4 B q = C q = −12 D q = 10 Câu 24: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u n = 81, un+1 = Lựa chọn đáp án A q= B q = C q = −9 D q=− 16 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Câu 25: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = −9, u = Lựa chọn đáp án A q=− B q = C q = −3 D q= Câu 26: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = −2, u = 10 Lựa chọn đáp án A q = −5 B q = C q = −12 D q = 12 Câu 27: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = −2, u = Lựa chọn đáp án D q = 10 A u5 = −512 B u5 = 256 C S5 = 256 Câu 28: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = − , u7 = −32 Khi q ? A ± B ± C ±4 Câu 29: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −1; q = A số hạng thứ 103 D Tất sai −1 Số 103 số hạng thứ bao nhiêu? 10 10 B số hạng thứ 104 C số hạng thứ 105 D Đáp án khác Lựa chọn đáp án 1 S8 = − S8 = − C D 64 264 Câu 30: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = −12, q = A 64 u8 = − B u8 = − 64 Câu 31: Trong dãy số ( un ) cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số cấp số nhân: A un = B n−2 un = −1 3n C un = n + D un = n − Câu 32: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3; q = −2 Số 192 số hạng thứ bao nhiêu? A số hạng thứ B số hạng thứ C số hạng thứ D Đáp án khác Câu 33: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = 2, u3 = −8 Lựa chọn đáp án A S6 = 130 B u5 = 256 C S5 = 256 D q = −4 Câu 34: Cho cấp số nhân ( un ) có u2 = ; u5 = 16 Tìm q số hạng cấp số nhân? q = 4, u1 = 16 B A q = ; u = 1 q = − , u1 = − C 2 q = −4, u1 = − A D 2 Câu 35: Xác định x để số 2x-1;x; 2x+1 lập thành cấp số nhân 1 x=± x=± B A 3 D Khơng có giá trị x C x = ± 16 u20 = 8u17 Công bội cấp số nhân là: u1 + u5 = 272 Câu 36: Cho cấp số nhân ( un ) có A q = B q = −4 C q = D q = −2 Câu 37: Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x,2y,3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm q? 17 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân A q= B q= C q=− D q = −3 u1 + u3 = Tổng 10 số hạng cấp số nhân là: 2 u1 + u3 = Câu 38: Cho cấp số nhân ( un ) có A S10 = 63 32( − 1) B S10 = 63 32 C S10 = 63 32(1 − 2) Câu 39: Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng là: S n = D S10 = 63 32( − 1) 3n − Số hạng thứ 3n −1 cấp số nhân? u5 = 35 u5 = 35 C u5 = u5 = 35 A B D Câu 40: Chọn khẳng định Sai khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSN (khác không) A Nghịch đảo chúng lập thành CSN B Bình Phương chúng lập thành CSN C c,b,a theo thứ tự cúng lập thành CSC D Tất khẳng định sai Câu 41: Trong dãy số sau, dãy số CSN u1 = A u = u n n +1 B un +1 = nun u1 = un +1 = −5un C D un +1 = un +1 − Câu 42: Trong dãy số sau, dãy số CSN A un = −1 3n B un = n −2 C un = n + D un = n − Câu 43: Xác định x để số 2x-1; x ; 2x+1 lập thành CSN? A x = ± C x = ± B x = ± D Khơng có giá trị x x1 = 12 Câu 44: Cho dãy số (xn) xác định x xn = n −1 ∀n = 2, 3, 4, Tổng 15 số hạng dãy số (xn) là: A 28697812 1594323 B 28697813 1594323 C 717453 398581 D 28697813 1594324 Câu 45: Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y Kết sau đúng? x=6 y=-54 A x=-10 y=-26 B x=-6 y=-54 C x=-6 y=54 D Câu 46: Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân: u1 = 2 un+1 = un A u1 = −1 un+1 = 3un B 18 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1 = −3 un+1 = un + 123 D 7, 77, 777, , 777 n ch÷sè C Câu 47: Dãy u1,u2,u3, gọi cấp số nhân với công bội q ta có A q số tuỳ ý un = un - 1q với n = 2, 3, … B q ≠ 0; q ≠ un = un - 1q + un - 2q với n = 3, 4, … C q ≠ 0; q ≠ un = un - 1q với n = 2, 3, 4, … D q số khác un = un - + q với n = 2, 3, … Câu 48: Xét câu sau: (1) Nếu dãy số u1,u2,u3, ,un cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) un = u0qn - với ∀n = 1, 2, 3, … (2) Nếu dãy số u1,u2,u3, ,un cấp số nhân với cơng bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) uk = uk−1uk+1 với ∀k = 2, 3, … Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai câu D Cả hai câu sai Câu 49: Cho cấp số nhân u1,u2,u3, ,un với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) Đặt: Sn = u1 + u2 + + un Khi ta có: A Sn = ( ) u1 qn + q+ B Sn = ( ) u1 qn − q− C Sn = ( ) u1 qn−1 − q+ D Sn = ( ) u1 qn−1 − q− Câu 50: Nếu s hạng cấp số nhân lùi vô hạn số nguyên dương, công bội nghịch đảo số nguyên dương tổng dãy 3, tổng hai số hạng là: A B C D Câu 51: Cho a1, a2, a3, … dãy số dương cho: an+2 = anan+1 với nguyên dương m Khi A Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân với giá trị dương a a2 B Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân a1 = a2 C Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân a1 = D Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân a1 = a2 = Câu 52: Cho cấp số nhân có n số hạng, số hạng 1, cơng bội r tổng s, r s khác Tổng số hạng cấp số nhân tạo thành cách thay số hạng cấp số nhân ban đầu số nghịch đảo là: A s B rns C s rn−1 D rn s Câu 53: Các số x; 4; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân số x; 5; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Khi |x - y| bằng: A B 10 C D Đáp số khác Câu 54: Giải phương trình + x + x +…+ x 2007 = A x = ±1 B x = 1 C x = 11 D x = ∨ x = −2 Câu 54: Trong dãy số sau, dãy số CSN 19 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân u1 = A u = u n n +1 B un +1 = nun u1 = un +1 = −5un C D un +1 = un +1 − 20 ... (1) Dãy số u1,u2,u3, gọi cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u n = un - + d với n = 2, 3, … 12 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân (2) Nếu dãy số u1,u2,u3, cấp số cộng... 45: Cho cấp số nhân: -2 ; x; -1 8; y Kết sau đúng? x=6 y =-5 4 A x =-1 0 y =-2 6 B x =-6 y =-5 4 C x =-6 y=54 D Câu 46: Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân:... a) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số thứ 105, số cuối 999 b) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 1/3, số thứ -1 /3, số cuối -2 007 3 Bài 4: Cho cấp số cộng có d > 0: có