35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn giải - Giáo viên Việt Nam

Giaovienvietnam com 35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 Cho có a =12, b =15, c =13 a Tính số đo các góc của b Tính độ dài các đường trung tuyến của c Tính S, R, r d Tính HS Tự giải 2 Cho có AB = 6, AC= 8, a Tính diện tích b Tính cạnh BC và bán kính R HS Tự giải 3 Cho có a = 8, b =10, c =13 a co góc tù hay không? b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp c Tính diện tích HS Tự giải 4 Cho có tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác HS Tự giải 5 Cho AC = 7, AB =[.]

Giaovienvietnam.com 35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có a =12, b =15, c =13 a Tính số đo góc ABC b Tính độ dài đường trung tuyến ABC c Tính S, R, r d Tính , hb , hc HS: Tự giải ¶ Cho ABC có AB = 6, AC= 8, A 120 a Tính diện tích ABC b Tính cạnh BC bán kính R HS: Tự giải Cho ABC có a = 8, b =10, c =13 a ABC co góc tù hay khơng? b Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC c Tính diện tích ABC HS: Tự giải 0 µ µ Cho ABC có A  60 , B  45 , b  tính độ dài cạnh a, c bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC diện tích tam giác HS: Tự giải Cho ABC AC = 7, AB = HS: Tự giải cos A  tính BC, S, , R Cho ABC có mb  4, mc  a = tính độ dài cạnh AB, AC HS: Tự giải Cho ABC có AB = 3, AC = diện tích S  3 Tính cạnh BC HS: Tự giải Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = HS: Tự giải b  b2  a2   c  a  c  µA  ABC Tính có cạnh a, b, c thỏa hệ thức HS: Tự giải 10 Cho ABC CMR tan A c  a  b  2 a tan B c  b  a  cos C c   a  b   4S sin C b c S  R sin A sin B sin C r uuur uuu ruuur uuu AB AC  AB AC d e a  b cos C  c cos B sin A  p  p  a  p  b  p  c bc f S   HS Tự giải 11 Gọi G trọng tâm ABC M điểm tùy ý CMR Giaovienvietnam.com 2 2 2 a MA  MB  MC  GA  GB  GC  3GM b  ma  mb  mc    a  b  c  HS Tự giải 12 Cho ABC có b + c =2a CMR a sin B  sin C  2sin A 1   b hb hc HS Tự giải     A 3, 1 , B  0,3 , C 3,3 13 Cho ABC biết a Tính cạnh góc cịn lại ABC b Tính chu vi diện tích ABC HS Tự giải 0 µ µ 14 Cho ABC biết a  40, 6; B  36 20 ', C  73 Tính µA , cạnh b,c tam giác HS Tự giải µ µ µ 15 Cho ABC biết a  42, 4m ; b  36, 6m ; C  33 10 ' Tính A, B cạnh c HS Tự giải 16 Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B phái tránh núi , người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời đoạn dây AC CB 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê m dây ? HS Tự giải 17 vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sông Biết · · CAB  870 , CBA  620 Hãy tính khoảng cách AC BC HS Tự giải µ Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, A   hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với Tính S ABC Hướng dẫn giải: Hai đường trung tuyến BM, CN vng góc 2 2  2   mb    mc   a với     a  b2 c a  c2 b2 (  ) (  )  a2 9  5a  b  c 2 2 Mặt khác a  b  c  2bc cos A   a  5a  2bc cos A  bc  S ABC  bc sin A  a tan  2a 2a  cos A cos  Giaovienvietnam.com Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng minh 2bc A cos bc A B C cos cos cos 2 2  111 lA lB lC a b c lA  a b 1 1 1      l A lB lC a b c c Hướng dẫn giải: a Trước hết chứng minh công sin   2sin   cos 2 µ sử dụng tam giác cân đỉnh A có A  2 thơng qua cơng thức diện tích để đến kết luận 1 A A S ABC  bc sin A S ABD  cl A sin SACD  bl A sin 2 2, 2 , 2bc A SABC  S ABD  S ACD  l A  cos bc Mà A cos  1bc      bc  2b 2c b l A B C cos 1     , lB 2a 2c lC 2a 2b cos Tương tự A B C cos cos 2   111  lA lB lC a b c A B C cos cos cos 2 2  111 lB lC l A lB lC c Ta có l A cos  1 1 1      l A lB lC a b c Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C, m S ABC  ma  mb  mc Chứng minh m  m  ma   m  mb   m  mc  Hướng dẫn giải: Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành S GBD  S GBC  S AGB  S AGC  S ABC Dễ thấy A N M G C B P D Giaovienvietnam.com 2 ma , mb , mc  GBD 3 Mà có ba cạnh  S GBD 2   3 m  m  ma   m  mb   m  mc   SABC  3SGBD  m  m  ma   m  mb   m  mc  Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh P SWABCD  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d ) abcd B Với Hướng dẫn giải: Do ABCD nội tiếp nên b a sin ·ABC  sin ·ADC cos ·ABC   cos ·ADC S ABCD  S ABC  S ADC A d   ab  cd   cos B 2 2 Trong tam giác ABC có AC  a  b  2ab cos B D 2 Trong tam giác ADC có AC  c  d  2cd cos D Do  S ABCD   ab  cd  x c   ab  cd  sin B  a  b  2ab cos B  c  d  2cdcocD C a  cos B   b2    c  d  2( ab  cd )   a  b2    c2  d   ab  cd     cos B   2(ab  cd )      1  2 2  ab  cd    a  b2    c  d     a  b    c  d    c  d    a  b   4  a  b  c  d  a  b  c  d   a  b  c  d  a  b  c  d        2 2      abcd p  SWABCD  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d ) Với Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh a  b  c cos A cos B cos C    2abc a b c Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuu r  AB  BC  CA Ta có uu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r   AB  BC  CA2  2u AB.BC  BC CA  AB.CA  a  b  c  2ac cos B  2bc cos A  2ab cos C a  b2  c cos A cos B cos C     2abc a b c Giaovienvietnam.com 2 Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a  x  x  1, b  x  1, c  x  chứng minh tam giác có góc 120 Hướng dẫn giải: x2 1    x 1 2 x    x2 1  2x 1  x2  x   Điều kiện a, b, c cạnh tam giác Với x  a > b a > c nên a cạnh lớn Tính cos A    µA  1200 Bài 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có a cot A  cot B  cot C  sin a  b2  c R abc A ( p  b)( p  c )  bc b Hướng dẫn giải: a Sử dụng định lí sin cosin b Gọi O tâm đường tròn noi tiếp S ABC  pr  Ta có Từ hình vẽ: A A bc sin A =bc sin cos 2  1 O r  ( p  a) tan S A A  ABC  ( p  a ) tan p  SABC  Từ (1) (2)  A p  ( p  a) tan (2) B C A A A bc sin cos 2 p ( p  a )( p  b)( p  c ) A  bc ( p  a ) sin p  sin A ( p  b)( p  c)  bc Bài 25 Tam giác ABC có tính chất S ABC   a  b  c  a  c  b Hướng dẫn giải:  a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c  S ABC       2 2      Theo Hê rong   a  b  c  a  c  b    a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c   a  c  b    a  b  c   a  b  c   b  c  a Tam giác ABC vuông A 2 Giaovienvietnam.com Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam r  giác Chứng minh rằng: R Hướng dẫn giải: Ta có r p  p  a  p  b  p  c  p  a  p  b  p  c r S2 S abc ,R      p 4S R pabc pabc abc 2p ab c  2 Mà 2pac b ( p  a)( p  c)   2 2p b c a ( p  b)( p  c)   2 abc r   p  a  p  b  p  c    R ( p  a )( p  b)  Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh a b cos A  cos B   cot A  cot B  sin A  sin B 3S  R  sin A  sin B  sin C  p c S2  p  a  p  b  p  c  3p a  b4  c4   16 d Hướng dẫn giải:  a BĐT  s in A  sin B  1      2 sin A  sin B  sin A sin B  1 1      sin A  sin B  sin A sin B         sin A  sin B   sin A sin B   3S  R  sin A  sin B  sin C  b   a3 3abc b3 c3   2R2     4R  R R R   3abc  a3  b3  c3  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx c Từ   x  y  z   x2  y  z 2 2 Nên x, y,z dương x  y  z  x  y  z áp dung vào CM + p a  p b  p c   + p a  p b  p c  p a  p b p c  p  3 p  a  p  b  p  c   p  a  b  c   a  b  c   a  b  c  a  b  c        d S  p ( p  a )( p  b)( p  c)       Giaovienvietnam.com 1  (b  c)  a   a  (b  c)2   (b  c)  a  a 16 16   b  c  2bc  a  a   2b  2c  a  a 16 16 1   2b a  2c a  a   ( a  b4  c ) 16 16  Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh SABC  a sin B  b sin B   Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB A C C C Xét trường hợp + B góc nhọn hay vng, B A B A + B góc tù B 2 Bài 29 Cho C’ tam giác ABC Chứng minh C’ a  b  c  2ab  2bc  2ca C’ Hướng dẫn giải: a  b  c   a  b   c  a  b  c  2ab Ta có Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải:  a  b  c  3(a  b  c )   a  b  c    a  b2  c    a a3 b b3 c c3    a  b  c   a  b3  c   a  b  c  9 a  b  c  a b c 3  ( a  b  c)  p 9 tam giác 1 1  2 2 2 Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c 4r Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: a  a  (b  c )2  1  2 a a  (b  c)2 1 1  , 2 2 2 Tương tự b b  (c  a) c c  (a  b) 1 1 1  2 2   2 2 Nên a b c a  (b  c) b  (c  a ) c  (a  b)     a  b  c  a  b  c  b  c  a  b  c  a  c  a  b  c  a  b  1    p  b  p  c 4 p  c  p  a   p  a   p  b  p p2 p2   2 4( p  a)  p  b   p  c  p ( p  a )  p  b   p  c  4S 4r Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh a a b c   3 bca acb a bc b 1 1    hb hc r c hb hc    ha2 hb2 hc2 r Hướng dẫn giải: (b  c  a )(c  a  b)  a bc a c  a b c (c  a  b)( a  b  c)  c  a b  a b c a (b  c  a)(b  a  c)  bcabac b   a  b  c   a  c  b  (b  c  a )  abc  Mà abc 1  a  b  c   a  c  b  (b  c  a ) a b c a b c    33 3 (b  c  a )  a  c  b   a  b  c  b c a a c b a b c Giaovienvietnam.com b  p p a b c  a  b  c     S S S 2S 1 1     1 1 S 2S 2S 2S    hb hc r p a b c 2 2 S  a  2S  b  S  c          b S c S a S r       c a b c 2S a b2 c         2p b c a r b c a Ta có a  b  2ab  a2 a2  b  2a   2a  b b b b2 c2  2b  c  2c  a c , a Tương tự Cơng lại ta có  a2 b2 c2    a b c  2p b c a 2 Bài 33 Cho tam giác ABC có sin B  sin C  2sin A Chứng minh A  60 Hướng dẫn giải: sin B  sin C  2sin A  b  c  2a cos A  b c a  2bc 2 b2  c2 2  b  c   cos 600 2bc 4bc b2  c2  4 Bài 34 Cho tam giác ABC có a  b  c Chứng minh có góc tù Hướng dẫn giải: 4 4     a  b  c  c   a  b   a  b  3a b a  b      4 4 4 4 2    a  b  a b  a  b   a  b  2a b a b    a  b  2a 2b   a  b   c  a  b Mà cos C  a  b2  c2   C  900 2ab 2 2 Bài 35 Tam giác ABC có a  b  c  36r có tính chất gì? Giaovienvietnam.com Hướng dẫn giải: a  b  c  36 Ta có  ( p  b)( p  c ) ( p  c)( p  a ) ( p  a )( p  b) S2 ( p  a )( p  b)( p  c)  36  36 p p p ( p  b)( p  c)   p  b  p  c   a ( p  b)( p  c) ( p  c)( p  a) ( p  a)( p  b) abc  p 8p  a  b2  c  9abc   a  b  c   a  b  c   9abc abc 2 Mà a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   ab  bc  ca   9abc  a  b  c  b  c  a  c  a  b   a  b  c 2 2 2 Vậy tam giác ABC có a  b  c  36r tam giác ABC  ...  2bc  2ca C’ Hướng dẫn giải: a  b  c   a  b   c  a  b  c  2ab Ta có Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải:  a  b ...  b  c  a Tam giác ABC vuông A 2 Giaovienvietnam.com Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam r  giác Chứng minh rằng: R Hướng dẫn giải: Ta có r p  p...     2abc a b c Giaovienvietnam.com 2 Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a  x  x  1, b  x  1, c  x  chứng minh tam giác có góc 120 Hướng dẫn giải: x2 1    x 1 2 x 