BAI-TAP-HE-THUC-LUONG-TRONG-TAM-GIAC-VUONG-CHUONG-1-LOP-9-1

CHƯƠNG – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHỦ ĐỀ – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A NỘI DUNG LÝ THUYẾT Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền: Định lý 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền ∆ABC vng A Giả thiết A AH ⊥ BC, (H ∈ BC) 2 AB = BH BC Kết luận AC2 = CH BC B H C Một số hệ thức liên quan tới đường cao: Định lý 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Giả thiết ∆ABC vuông A A AH ⊥ BC, (H ∈ BC) Kết luận AH = BH HC B H C Định lý 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng Giả thiết ∆ABC vuông A A AH ⊥ BC, (H ∈ BC) Kết luận AH BC = AB AC B H C Định lý 4: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Giả thiết ∆ABC vuông A A AH ⊥ BC, (H ∈ BC) Kết luận AH  AB2  AC2 B C H Công thức cần ghi nhớ: Cho ∆ABC vuông A (AB < AC), dựng AH ⊥ BC, (H ∈ BC) Khi đó, ta có: 1) AB2 = BH BC; AC2 = CH BC 2) AH BC = AB AC 3) AH = BH HC 4) AH  AB2  AC2 B CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG DẠNG – TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG TRONG TAM GIÁC VNG Câu Cho ∆ABC vng A có AB = 5cm, AC = 12cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH A 5cm B 12cm C H Câu Cho ∆ABC vuông A có AB = 8cm, BC = 10cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH A 8cm B H C 10cm Câu Cho ∆ABC vuông A có AC = 20cm, BC = 25cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH A 20cm B C H 25cm Câu Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH với H ∈ BC Có BH = 1,8cm, CH = 3,2cm Tính AH, AB, AC A B C H 1,8 cm 3,2 cm Câu Cho ∆ABC vuông A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC Có AB = 6cm, CH = 6,4cm Tính AH, BC, AC A cm B C H 6,4 cm Câu Cho ∆ABC vuông A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC Có AH = 4,8cm, BC = 10cm Tính AB, AC A 4,8 cm B H C 10 cm Câu (9/tr70/SGK) Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC L Chứng minh rằng: a) Tam giác DIL tam giác cân b) Tổng 1  không đổi I thay đổi cạnh AB DI DK DẠNG – TOÁN THỰC TẾ Câu Một người dùng cách ngắm thước eke để đo chiều cao với cách đo mơ hình Chiều cao tính từ chân đến mắt quan sát 180cm người đứng thẳng cách gốc 240cm Hãy tính chiều cao Câu Cầu dây văng dạng rẻ quạt hình vẽ bên Khoảng cách từ dây văng đến trụ tháp 100m 169m Tính chiều cao trụ tháp tính từ mặt nước biết cầu cách mặt nước 35m hai dây văng trụ tháp tạo thành góc vng Câu 10 Một cau bị bão quật ngã vào tường gãy ngang thân vơ tình tạo thành tam giác vng Hai người hai bên tường đo khoảng cách từ gốc cau đến tường khoảng cách từ cau đến tường 80cm 180cm Tính chiều cao tường chiều cao cau (khơng tính phần tàu lá) chưa bị bão quật ngã Câu 11 Một cần cẩu có cánh tay dài 8,5m nâng vật lên cao hình vẽ bên Biết vật cách thân cần cẩu 5,5m Hãy tính độ cao tối đa mà cần cẩu nâng vật lên Làm trịn kết đến hàng chục 90° Câu 12 Hai bạn Vũ Phúc hai đầu bể bơi, họ bơi phía bờ bên nơi có cờ Bạn Vũ bơi với vận tốc 0,75m/s bạn Phúc bơi với vận tốc 0,8m/s Chiều rộng bể 12m chiều dài 25m Tính thời gian bạn bơi tới cờ Câu 13 Bạn Mây xe đạp từ nhà đến trường xe đạp điện theo tuyến đường thẳng thường ngày Đi 1,8km gặp đoạn đường sửa chữa nên bạn Mây phải vịng qua trạm xăng nên tính đến đến trường thêm 8km Tính khoảng cách từ nhà bạn Mây đến trường theo tuyến đường thẳng thường ngày Câu 14 Hãy tìm 𝑥, 𝑦, 𝑧 hình sau A A 6cm 5cm B B C H C H y x y x 8cm 20cm Hình Hình A A x B y 5cm C H B H 4cm 1cm Hình y A y 6cm y 2cm H 1cm C Hình A B 7cm x C B x x C H 6,4cm Hình Hình A A AB = AC 15cm x B C H B y y 2cm x C z H 5cm Hình Hình A A 30cm B AB = AC AB = AC C H B y x y x C H 125cm Hình Hình 10 ̂ = 90°), AB = 12 cm, BC = 13cm Tính AC, đường cao AH (H ∈ BC), đoạn thẳng Câu 15 Cho ∆ABC (A BH, CH diện tích tam giác Câu 16 Cho ∆ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15cm, đường cao CH (H ∈ AB) chia AB thành hai đoạn AH HB với HB = 16cm Tính diện tích tam giác vng ABC Câu 17 Cho ABC cân A có cạnh bên 15cm, cạnh đáy 18cm Tính độ dài đường cao Câu 18 Tính diện tích tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12cm Câu 19 Cho ABC vuông A, đường phân giác BE (E ∈ AB), biết EC = 3cm, BC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC Câu 20 Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh 10cm, 17cm, 21 cm AM  AB  ̂ < 90°), kẻ BM ⊥ CA Chứng minh  2 Câu 21 Cho ABC cân A (A  1 MC  AC  Câu 22 Cho ABC vuông A với đường cao AH (H ∈ BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A lấy điểm D cho DB = DC = AB Chứng minh BD, DH HA độ dài ba cạnh tam giác vuông Câu 23 Cho ABC vuông A, đường cao AH (H ∈ BC) Gọi D, E hình chiếu H lên AB AC Chứng minh: CE  CA   1)  BD  AB  2) AH = BC BD CE 3) 3AH + BD2 + CE = BC2 4) √ BD2 + √CE = √BC2 3 Câu 24 Cho ABC vng A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, HB, HC tính độ dài đoạn thẳng lại biết 1) AB = 6cm AC = 8cm 2) AB = 15cm HB = 9cm 3) AC = 44cm BC = 55cm 4) AC = 40cm AH = 24cm 5) AH = 9,6cm HC = 12,8cm 6) BH = 12,5cm CH = 72cm Câu 25 Cho DEF vuông E có đường cao EK (K ∈ BC) Trong đoạn thẳng sau: DE, EF, EF, EK, KD, KF tính độ dài đoạn thẳng lại biết 1) EF = 20cm DF = 25cm 2) DE = 4cm DK = 3cm 3) EF = 12cm DE = 5cm 4) KD = 1cm KF = 3cm Câu 26 Cho HIV vng I có đường cao IS Trong đoạn thẳng sau: HI, VI, HV, IS, SH, SV tính độ dài đoạn thẳng lại biết 1) IV = cm VH = 2cm 3) SH = cm VS = cm 2) IS = cm SV = cm 4) HI = 12 cm VI = 2cm Câu 27 Cho ABC vuông A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, HB, HC tính độ dài đoạn thẳng cịn lại biết: 1) AB = 3a AC = 4a (với a độ dài cho trước, a > 0) 2) BH = 144.R CH = 25.R (với R độ dài cho trước, R > 0) 3) AH = a HB = a (với a độ dài cho trước, a > 0) Câu 28 Cho ABC vuông A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong đoạn thẳng sau AB, AC, BC, AH, HB, HC tính độ dài đoạn thẳng cịn lại biết: 1) AB = 15cm HC = 16cm 2) BC = 25cm AH = 12cm (AB < A3) Câu 29 Cho ABC vng A có đường cao AH (H ∈ BC), đường trung tuyến AM (M ∈ BC) Tính độ dài đoạn thẳng AM HM biết 1) AH = 4,8cm BC = 10cm 2) AB = 3cm AC = 4cm Câu 30 Cho ABC có đường cao AH (H ∈ BC), trung tuyến AM (M ∈ BC) AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm Chứng minh ABC tam giác vng Sau tính độ dài AM AH Câu 31 Cho ABC vuông A, đường cao AH (H ∈ BC) Có CH = 9cm, BH = 12cm Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Tính DE ̂=D ̂ = 900 ) có AC ⊥ BD H Biết HB = 8cm, HD = 18cm Tính Câu 32 Cho hình thang vng ABCD (A AB, AD, CD, BC, từ suy diện tích hình thang Câu 33 Cho hình thang ABCD có AB // CD hai đường chéo vng góc Biết BD = 15 cm đường cao hình thang 12cm Tính diện tích hình thang ABCD Câu 34 Cho ABC có góc nhọn, đường cao AH (H ∈ BC) Từ H vẽ HD, HE ⊥ AB, AC D E Biết AH = 4cm, AD = 3,2cm, AE = 2 cm Tính BC Câu 35 Cho ABC vng A, đường cao AH (H ∈ BC) 1) Tính cạnh ABC biết 2) Tính AH, biết HB  AH = 48cm HC 16 AB  BC = 125cm AC Câu 36 Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo DB = 68cm AD  Tính độ dài cạnh hình AB 15 chữ nhật Câu 37 Cho ABC vuông A, đường cao AH (H ∈ BC), trung tuyến AM (M ∈ BC) 1) Biết AB  AH = 42cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền AC 2) Biết AH 40 AB  AB < AC Tính tỉ số AM 41 AC Câu 38 Cho ABC vuông A có đường cao AH, phân giác AD (H ∈ BC; D ∈ BC) Biết BD = 15cm, DC = 20cm Tính AD (làm trịn đến hai chữ số thập phân) Câu 39 Cho ABC vng A có AH đường cao (H ∈ BC); phân giác AD (D ∈ BC) Biết DC DB HC  Tính HB Câu 40 Cho ABC, đường cao AH, phân giác AD (H ∈ BC; D ∈ BC) Cho AB = 6cm, AC = 8cm Tính diện tích ADH Câu 41 Cho ABC có trung tuyến BD CE cắt G (D ∈ AC; E ∈ AB) Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm Tính độ dài AB AC Câu 42 Cho ABC nhọn có AH đường cao (H ∈ BC) Gọi M N theo thứ tự hình chiếu vng góc H xuống AB AC Chứng minh AB.AM = AC.AN Từ suy AMN ABC đồng dạng với Câu 43 Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH ⊥ AC H, tia BH cắt DC I cắt đường thẳng AD K Chứng minh: 2) BH  HI.HK 1) AH.AC = BH.BK ̂=D ̂ = 900 ) có AC ⊥ BD H Chứng minh rằng: AB DC = Câu 44 Cho hình thang vng ABCD (A AH.AC Câu 45 Cho ABC có góc nhọn, AH đường cao với H ∈ BC Từ H vẽ HD, HE vng góc với AB, AC D E Đường thẳng DE cắt đường BC M Chứng minh MD.ME = MB.MC Câu 46 Cho đoạn thẳng AB có O trung điểm Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax ⊥ AB By ̂ = 900 ⊥ AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho COD 1) Chứng minh AB  4AC.BD 2) Lấy M ∈ CD Gọi E, F hình chiếu M OC, OD Chứng minh MC MD = EO.EC + FO.FD Câu 47 Cho ABC vuông A, đường cao AD với D ∈ BC Vẽ DE ⊥ AB E, DF ⊥ AC F Chứng minh 1) AE  AC2 AB AC.AB2 AF  AC2 +AB2 AC2 +AB2 2) 3) BC.BE.CF  EF 4) BE AB3  CF AC3 BC2  BE  CF2 Câu 48 Cho ABC nhọn có hai đường cao BD CE cắt H (D ∈ AC; E ∈ AB) Trên HB HC lần ̂ = ANB ̂ = 900 Chứng minh AM = AN lượt lấy điểm M N cho AMC Câu 49 Cho ABC vng cân A có đường trung tuyến BM với M ∈ AB Kẻ CD  BM D DH  AC H Chứng minh AH = 3HD Câu 50 Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC khác B C Gọi N giao điểm hai đường thẳng AM DC Chứng minh 1   2 AB AM AN 10 Câu 51 Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD CD AD = CD Vẽ đường cao BH (H ∈ AC) Gọi E giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh 1   2 CD CE CB2 Câu 52 Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD ⊥ CD AD = CD Vẽ đường cao BH (H ∈ AC) Gọi E giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh 1   2 BH AC BD Câu 53 Cho đường tròn tâm O bán kính R = 10 cm, A B hai điểm nằm đường tròn, I trung điểm đoạn thẳng AB 1)Tính AB OI = cm 2)Tính OI AB = 14 cm Câu 54 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 53 cm, C điểm đường tròn cho AC = 45 cm Gọi H hình chiếu C AB Ttính BC, AH, BH, CH OH Câu 55 Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15cm, đáy nhỏ CD = 5cm A  60o 1) Tính cạnh BC 2) Gọi M N trung điểm AB CD Tính MN Câu 56 Cho ABC vuông A, đường cao AH (H ∈ BC), tia phân giác ̂B cắt AC M, kẻ AK ⊥ BM (K ∈ BM) Gọi I giao điểm AH BM Chứng minh: 1) IH.IA = IK.IB 2) BH.BC = BK.BM ̂ ̂ = BMC 3) BHK Câu 57 Cho ∆ABC vuông A, có đường cao AH (H ∈ BC) Đường thẳng vng góc với BC B cắt tia CA M, kẻ BE ⊥ MH (E ∈ MH) Chứng minh: 1) AM.AC = BH.BC ̂ = ACB ̂ 2) AEM Câu 58 Cho ∆ABC vng A, có đường cao AH (H ∈ BC) Gọi M, N hình chiếu H AB, AC Chứng minh: 1) AM.AB = AN.AC 2) ∆AMN đồng dạng ∆ACB 3) HB HC = MA MB + NA NC Câu 59 Cho ∆ABC vuông cân A, M điểm cạnh BC (M ≠ B M ≠ C) Kẻ ME ⊥ AB E, MF ⊥ AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AEMF hình chữ nhật 2) ∆BME ∆CMF vng cân Từ suy ra: BM2 = 2ME2và CM2 = 2MF2 3) BM2 + CM2 = 2AM2 Câu 60 Cho ∆ABC cân A có AH BK đường cao (H ∈ BC; K ∈ AC) Kẻ đường thẳng vng góc với BC B cắt tia CA D Chứng minh: 11 1) BD = 2AH 2) BK + BC = 4AH Câu 61 Cho hình vng ABCD Gọi E nằm A B, tia CE cắt DA F, đường thẳng vng góc với CE C cắt tia AB K 1) Chứng minh ∆FCK vuông cân 2) Chứng minh tổng CE + CF không đổi E di động AB 3) Gọi CO đường cao ∆FCK Chứng minh ba điểm D, B, O thẳng hàng 4) Gọi O giao điểm DB FK Chứng minh CO đường cao ∆FKC Câu 62 Cho ∆ABC vng A (AB < AC) có đường cao AH (H ∈ BC), trung tuyến AM (M ∈ BC) Gọi E F hình chiếu H lên AB lên AC GọiI K trung điểm HB HC Chứng minh: 2) BC  BE  CF  3AH 1) AH.BC  HF.AC  HE.AB 3) AB AC = HB AB AC HC BE = 7) 4) AF.FC + AE.EB = HB HC BE2 + CF2 = BC2 6) AM ⊥ EF 8) EH.EB + FH.FC = AH.BC  BM  10)  2  1 BH  AB  MH 9) IE // KF 2 CF 5) AH  BC.HE.HF ; AH  BC.BE.CF 2 11) AB + AC = 2AM + BC 2 CHỦ ĐỀ – TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN A NỘI DUNG LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho ∆ABC vng A hình vẽ, ta định nghĩa: A A Cạnh huyền Cạnh kề Cạnh đối B Cạnh kề B C 12 Cạnh đối Cạnh huyền C sin 𝛼 = cạnh đối AB cạnh kề AC = ; cos 𝛼 = = cạnh huyền BC cạnh huyền BC tan 𝛼 = cạnh đối AB cạnh kề AC = ; cot 𝛼 = = cạnh kề AC cạnh đối AB Vì độ dài cạnh tam giác số dương cạnh góc vng ln nhỏ cạnh huyền nên ta có < sin 𝛼 < 1; < cos 𝛼 < 1; tan 𝛼 > 1; cot 𝛼 > Một số tính chất tỉ số lượng giác ̂ B ̂: a) Cho góc nhọn A ̂+B ̂ = 900 sin A = cos B ; tan A = tan B + Nếu A ̂