35-bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-co-huong-dan

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - Toán lớp 10 Bài 1: Cho ∆ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13 a Tính số đo góc ∆ABC b Tính độ dài đường trung tuyến ∆ABC c Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d Tính độ dài đường cao nối từ đỉnh tam giác ABC Hướng dẫn giải a Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: · AB2 = AC + BC − 2AC.BC.cos ACB ⇔ 122 = 132 + 152 − 2.13.15.cos ·ACB 25 · ⇔ cos ·ACB = ⇒ ACB ≈ 5007' 39 · AC = AB2 + BC − 2AB.BC.cos ABC · ⇔ 132 = 122 + 152 − 2.12.15.cos ABC · · ⇔ cos ABC = ⇒ ABC ≈ 56015' Ta có tổng góc tam giác 3600 · ⇒ BAC = 180 − 5007'− 56015' = 73038' Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí b Ta có: AM = ma2 = ⇒ AM = AB2 + AC BC 122 + 133 152 401 − = − = 4 401  AB2 + BC AC 569 − = mb =  Tương tự ta tính được:  AC + BC AB2  m = − = 161  c c Để tính diện tích cách xác ta áp dụng cơng thức Hê – rông - Nửa chu vi tam giác ABC: p = AB + AC + BC 12 + 13+ 15 = = 20 2 - Diện tích tam giác ABC: S = p( p − AB) ( p − AC ) ( p − BC ) = 20 14 - Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC: SABC = AB.AC.BC AB.AC.BC 12.13.15 117 14 ⇒R= = = 4.R 4.SABC 28 4.20 14 - Bán kính đường tròn nội tiếp r tam giác ABC: SABC = pr ⇒r= SABC 20 14 = = 14 p 20 d Ta có: SABC = 1 ha.BC = hb.AC = hc.AB 2  2.SABC 2.20 14 14 = =  = BC 15   2.SABC 2.20 14 40 14 ⇒ hb = = = AC 13 13   2.SABC 2.20 14 10 14 = =  hc = AB 12  Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Bài 2: Cho ∆ABC có AB = 6, AC = 8, ¶A =1200 a Tính diện tích ∆ABC b Tính cạnh BC bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC Hướng dẫn giải µ = 1.6.8.sin1200 = 12 a Diện tích tam giác ABC: SABC = AB.AC.sin A 2 b Ta có: µ BC = AB2 + AC − 2AB.AC.cos A ⇒ BC = 62 + 82 − 2.6.8.cos1200 = 148 ⇒ BC = 37 - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: AB.AC.BC AB.AC.BC 6.8.2 37 111 SABC = ⇒R= = = 4.R 4.SABC 4.12 Bài 3: Cho ∆ABC có AB = 8, AC = 10, BC = 13 a ∆ABC có góc tù hay khơng? b Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC c Tính diện tích ∆ABC Hướng dẫn giải µ > 900 Vậy tam giác ABC có góc tù a Dễ dàng kiểm tra góc A b+c Diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức Hê – rông: SABC = p( p − AB) ( p − AC ) ( p − BC ) với p chu vi tam giác ABC AC + AB + BC + 10 + 13 31 = = 2 AB.AC.BC 8.10.13 13 ⇒ SABC ≈ 40 ⇒ R = = = 4.SABC 4.40 p= Bài 4: Cho ∆ABC có µA = 600 , Bµ = 450 , AC = Tính độ dài cạnh AB, BC bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC diện tích tam giác ABC HS tự giải Bài 5: Cho ∆ABC AC = 7, AB = cos A = tính BC, S, , R HS: Tự giải Bài 6: Cho ∆ABC có mb = 4, mc = a = tính độ dài cạnh AB, AC HS: Tự giải Bài 7: Cho ∆ABC có AB = 3, AC = diện tích S = 3 Tính cạnh BC HS: Tự giải Bài 8: Tính bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC biết AB = 2, AC = 3, Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí BC = HS: Tự giải Bài 9: Tính µA ∆ABC có cạnh a, b, c thỏa hệ thức b ( b2 − a2 ) = c ( a − c ) HS: Tự giải Bài 10: Cho ∆ABC CMR a b c d e tan A c + a − b = tan B c + b − a − cos C c = ( a − b ) + 4S sin C S = R sin A sin B sin C r uuur uuu ruuur uuu S= AB AC − AB AC a = b cos C + c cos B p ( p − a) ( p − b) ( p − c) f sin A = bc ( ) HS Tự giải Bài 11: Gọi G trọng tâm ∆ABC M điểm tùy ý CMR a MA2 + MB + MC = GA2 + GB + GC + 3GM 2 2 2 b ( ma + mb + mc ) = ( a + b + c ) HS Tự giải Bài 12: Cho ∆ABC có b + c =2a CMR a sin B + sin C = 2sin A b 1 = + hb hc HS Tự giải Bài 13: Cho ∆ABC biết A 3, −1 , B ( 0,3) , C 3,3 ( ) ( ) a Tính cạnh góc cịn lại ∆ABC b Tính chu vi diện tích ∆ABC HS Tự giải µ = 360 20 ', C µ = 730 Tính µA , cạnh b, c Bài 14: Cho ∆ABC biết a = 40, 6; B tam giác HS Tự giải µ cạnh µ = 33010 ' Tính µA, B Bài 15: Cho ∆ABC biết a = 42, 4m ; b = 36, 6m ; C c HS Tự giải Bài 16: Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B phái tránh núi , người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí đoạn dây AC CB 750 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm m dây? HS Tự giải BÀi 17: vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C · · bên bờ sông Biết CAB = 870 , CBA = 620 Hãy tính khoảng cách AC BC HS Tự giải Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, µA = α hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với Tính S∆ABC Hướng dẫn giải: A Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc 2  2  với  mb ÷ +  mc ÷ = a 3  3  a + b2 c a2 + c b2 ( − )+ ( − ) = a2 9 2 ⇔ 5a = b + c Mặt khác a = b + c − 2bc cos A 2a 2a ⇔ a = 5a − 2bc cos A ⇒ bc = = cos A cos α S ∆ABC = bc sin A = a tan α N ⇔ M B C Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng minh a b c 2bc A cos b+c A B C cos cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 lA lB lC a b c 1 1 1 + + > + + l A lB lC a b c lA = A Hướng dẫn giải: α α cos B 2 C D sử dụng tam giác cân đỉnh A có µA = 2α thông qua công thức a Trước hết chứng minh cơng sin α = 2sin diện tích để đến kết luận 1 A A S ∆ABC = bc sin A , S ∆ABD = cl A sin , S ∆ACD = bl A sin 2 2 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Mà S ∆ABC = S∆ABD + S ∆ACD ⇒ l A = 2bc A cos b+c A b = 1b+c = +  ÷ lA  bc  2b 2c B C cos cos 1 Tương tự = = + + , lB 2a 2c lC 2a 2b A B C cos cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 ⇒ lA lB lC a b c A B C cos cos cos c Ta có 2+ + < 1+1+1 lA lB lC l A lB lC 1 1 1 ⇒ + + > + + l A lB lC a b c cos Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C, m = S ∆ABC = ma + mb + mc ChứngAminh m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) N Hướng dẫn giải: M Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành Dễ thấy S ∆GBD = S∆GBC = S ∆AGB = S ∆AGC = S ∆ABC 2 Mà ∆GBD có ba cạnh ma , mb , mc 3 ⇒ S∆GBD 2 = ÷ 3 G C B P D m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) ⇒ S ∆ABC = 3S∆GBD = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh SWABCD = ( p − a )( p −Bb)( p − c )( p − d ) Với P = a+b+c+d b Hướng dẫn giải: a C x Do ABCD nội tiếp nên c A 024 2242 6188 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: d D Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí sin ·ABC = sin ·ADC cos ·ABC = − cos ·ADC S ABCD = S ABC + S ADC = ( ab + cd ) sin B ( ab + cd ) − cos B Trong tam giác ABC có AC = a + b − 2ab cos B Trong tam giác ADC có AC = c + d − 2cd cos D a + b − c2 + d 2 2 ⇒ a + b − 2ab cos B = c + d − 2cdcocD ⇔ cos B = 2( ab + cd ) = ( Do S ABCD = ) ( )  ( a + b2 ) − ( c + d ) 1 = ( ab + cd ) − cos B = ( ab + cd ) −   2(ab + cd )   ÷ ÷   2 2 ( ab + cd ) − ( a + b ) − ( c + d )  = ( a + b ) − ( c − d )  ( c + d ) − ( a − b )  4  a + b + c − d   a + b − c + d   a − b + c + d   −a + b + c + d  =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      a +b+c +d ⇒ SWABCD = ( p − a)( p − b)( p − c )( p − d ) Với p = Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh a + b + c cos A cos B cos C = + + 2abc a b c Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r Ta có AB + BC + CA = ⇔ AB + BC + CA2 + AB.BC + BC.CA + AB.CA ( ) ⇔ a + b + c = 2ac cos B + 2bc cos A + 2ab cos C a + b + c cos A cos B cos C ⇔ = + + 2abc a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a = x + x + 1, b = x + 1, c = x − chứng minh tam giác có góc 1200 Hướng dẫn giải:  x2 −1 >  ⇔ x >1 Điều kiện a, b, c cạnh tam giác 2 x + >  x2 −1 + 2x + > x2 + x +  Với x > a > b a > c nên a cạnh lớn Tính cos A = − ⇒ µA = 120 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Bài 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có a + b2 + c R abc A ( p − b)( p − c) b sin = bc a cot A + cot B + cot C = A Hướng dẫn giải: a Sử dụng định lí sin cosin b Gọi O tâm đường trịn nội tiếp Ta có A A S ∆ABC = pr = bc sin A =bc sin cos 2 ( 1) O Từ hình vẽ: r = ( p − a) tan S A A ⇒ ∆ABC = ( p − a) tan p (S ) Từ (1) (2) ∆ABC (2) C B A A A bc sin cos p 2 p ( p − a)( p − b)( p − c) A ⇔ = bc ( p − a ) sin p ⇒ sin = ( p − a) tan A ( p − b)( p − c) = bc Bài 25 Tam giác ABC có tính chất S ∆ABC = ( a + b − c ) ( a + c − b ) Hướng dẫn giải:  a + b + c   a + b − c   a − b + c   −a + b + c  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      Theo Hê rong S∆ABC =  ⇒ ( a + b − c) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c ) ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ⇔ b + c = a Tam giác ABC vuông 2 A Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: r ≤ R Hướng dẫn giải: r= S abc ,R = p 4S ⇒ p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − a ) ( p − b) ( p − c) r S2 = = = R pabc pabc abc Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 2p −a −b c = 2 2p −a −c b ( p − a)( p − c) ≤ = 2 2p −b−c a ( p − b)( p − c) ≤ = 2 abc r ⇒ ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤ ⇒ ≤ R Mà ( p − a )( p − b) ≤ Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh a b cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) 2 sin A + sin B 3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) c p< d S2 ≤ p − a + p − b + p − c ≤ 3p a + b4 + c ) ( 16 Hướng dẫn giải: − s in A + sin B  1  ≤  + ÷− 2 sin A + sin B  sin A sin B  1 1  ⇔ ≤  + ÷ 2 sin A + sin B  sin A sin B    ⇔ ≤  + ÷( sin A + sin B )  sin A sin B  3 b 3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) a BĐT ⇔ ⇔  a3 3abc b3 c3  ≤ R  + + ÷ ⇔ 3abc ≤ a + b3 + c 4R  R R 8R  c Từ ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + zx ⇒ ( x + y + z ) > x2 + y + z 2 Nên x, y,z dương x + y + z > x + y + z áp dung vào CM p −a + p −b + p −c > + + ( p −a + p −b + p −c ) p −a + p −b+ p −c = p ≤ 3( p − a + p − b + p − c ) = p a + b + c  a + b − c  a − b + c  −a + b + c  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      1 = (b + c) − a   a − (b − c)  ≤ (b + c) − a  a 16 16 2 = ( b + c + 2bc − a ) a ≤ ( 2b + 2c − a ) a 16 16  d S = p( p − a )( p − b )( p − c ) =  Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí = 1 2b a + 2c a − a ) ≤ ( a + b + c ) ( 16 16 Bài 28 S ∆ABC = Cho tam giác ABC Chứng minh ( a sin B + b sin 2B ) Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB C C C B A A B Xét trường C’ hợp A B C’ C’ + B góc nhọn hay vng, + B góc tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh a + b + c < 2ab + 2bc + 2ca Hướng dẫn giải: Ta có a − b < c ⇔ ( a − b ) < c ⇔ a + b − c < 2ab Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải: ( a + b + c) ≤ 3(a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( a + b2 + c2 ) = ( a a3 b b3 c c ) ≤ ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 ) ( a + b + c) ≥ 9( a + b + c) ⇒ a +b +c 3 = (a + b + c)3 = p tam giác 9 Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh 1 1 + 2+ ≤ 2 a b c 4r Hướng dẫn giải: a ≥ a − (b − c )2 ⇒ 1 ≤ 2 a a − (b − c ) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 1 1 ≤ , 2≤ 2 b b − (c − a ) c c − (a − b ) Tương tự 1 1 1 + 2+ 2≤ + + 2 2 a b c a − (b − c ) b − (c − a ) c − (a − b ) Nên = 1 + + ( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b) = 1 + + ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a ) ( p − a ) ( p − b) = p p2 p2 = = = 4( p − a) ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S 4r Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh a a b c + + ≥3 b +c − a a +c −b a +b −c 1 1 + + = hb hc r b c hb hc + + > ha2 hb2 hc2 r Hướng dẫn giải: a (b + c − a )(c + a − b) ≤ b +c −a +c + a −b =c (c + a − b)(a + b − c) ≤ c+a−b+a +b−c =a (b + c − a )(b + a − c ) ≤ b+c−a +b+a −c =b ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) ≤ abc ⇔ Mà a b c a b c + + ≥ 33 =3 (b + c − a) ( a + c − b ) ( a + b − c ) b +c −a a +c−b a +b−c b p = ( a + b + c ) ⇒ ⇔ abc ≥1 ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a) p a b c = + + S 2S 2S 2S 1 1 = + + ⇔ 1 1 + + = S 2S S 2S hb hc r p a b c 2 2S  a  2S  b  2S  c  c ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ b  2S  c  2S  a  2S  r Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí a b2 c 2S a b2 c2 ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ 2p b c a r b c a Ta có a + b ≥ 2ab ⇒ a2 a2 + b ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − b b b b2 c2 ≥ 2b − c , ≥ 2c − a c a Tương tự a b2 c Cơng lại ta có ⇔ + + ≥ a + b + c = p b c a Bài 33 Cho tam giác ABC có sin B + sin C = 2sin A Chứng minh A ≤ 600 Hướng dẫn giải: sin B + sin C = 2sin A ⇔ b + c = 2a cos A = b +c −a = 2bc 2 b2 + c2 2 = b + c ≥ = cos 600 2bc 4bc b2 + c − 4 Bài 34 Cho tam giác ABC có a + b = c Chứng minh có góc tù Hướng dẫn giải: 4 4  43   43  4 3 a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b ÷     4 4 4 2  43  4 ≥ a + b + a b  a + b ÷ ≥ a + b + 2a b a b   4 4 = a + b + 2a 2b = ( a + b ) a + b2 − c2 < ⇒ C ≥ 900 ⇒ c > a + b Mà cos C = 2ab Bài 35 Tam giác ABC có a + b + c = 36r có tính chất gì? Hướng dẫn giải: a + b + c = 36 Ta có ⇒ ( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a ) ( p − a )( p − b) S2 ( p − a )( p − b)( p − c ) = 36 = 36 p p p ( p − b)( p − c) ≤ ( p − b + p − c ) = a ( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a) ( p − a)( p − b) abc ≤ p 8p Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí ⇔ a2 + b2 + c ≤ Mà 9abc ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≤ 9abc a+b+c a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc ⇔ a ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) ≤ ⇔ a = b = c 2 Vậy tam giác ABC có a + b + c = 36r tam giác ABC Xem tiếp tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-10 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188