35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho
có a=12, b=15, c=13 Tính số đo các góc của
Tính độ dài các đường trung tuyến của
Tính S, R, r Tính
HS: Tự giải Cho
có AB=6, AC=8,
Tính diện tích
Tính cạnh BC và bán kính R HS: Tự giải Cho
có a=8, b=10, c=13
co góc tù hay không? Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Tính diện tích
HS: Tự giải Cho
có
tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp
và diện tích tam giác HS: Tự giải Cho
AC=7, AB=5 và
tính BC, S,
, R HS: Tự giải Cho
có
và a=3 tính độ dài cạnh AB,AC HS: Tự giải Cho
có AB =3, AC=4 và diện tích
. Tính cạnh BC HS: Tự giải Tính bán kính đường tròn nội tiếp
biết AB=2, AC=3, BC=4 HS: Tự giải

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ∆ABC có a =12, b =15, c =13 a Tính số đo góc ∆ABC b Tính độ dài đường trung tuyến c Tính S, R, r ∆ABC , hb , hc d Tính HS: Tự giải Cho ∆ABC có AB = 6, AC= 8, ¶A =1200 ∆ABC a Tính diện tích b Tính cạnh BC bán kính R HS: Tự giải Cho ∆ABC có a = 8, b =10, c =13 ∆ABC a co góc tù hay không? b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆ABC c Tính diện tích HS: Tự giải Cho ∆ABC ∆ABC có tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp diện tích tam giác HS: Tự giải cos A = ∆ABC Cho Cho µA = 600 , B µ = 450 , b = AC = 7, AB = HS: Tự giải ∆ABC có mb = 4, mc = tính BC, S, ,R a = tính độ dài cạnh AB, AC HS: Tự giải Cho ∆ABC có AB = 3, AC = diện tích HS: Tự giải Tính bán kính đường tròn nội tiếp HS: Tự giải Tính 10 Cho µA CMR tan A c + a − b = tan B c + b − a Tính cạnh BC biết AB = 2, AC = 3, BC = có cạnh a, b, c thỏa hệ thức HS: Tự giải ∆ABC a ∆ABC ∆ABC S =3 b ( b2 − a ) = c ( a − c2 ) c = ( a − b ) + 4S b c S = R sin A sin B sin C S= d e − cos C sin C uuur2 uuur2 uuuruuur AB AC − AB AC ( ) a = b cos C + c cos B sin A = f bc p ( p − a) ( p − b) ( p − c) HS Tự giải 11 Gọi G trọng tâm b M điểm tùy ý CMR MA + MB + MC = GA2 + GB + GC + 3GM 2 a ∆ABC ( ma + mb + mc ) = ( a + b + c ) HS Tự giải 12 Cho ∆ABC a b có b + c =2a CMR sin B + sin C = 2sin A 1 = + hb hc HS Tự giải 13 Cho ∆ABC ( ) ( A 3, −1 , B ( 0,3) , C 3,3 biết ) a Tính cạnh góc lại b Tính chu vi diện tích HS Tự giải 14 Cho 15 Cho ∆ABC ∆ABC ∆ABC µ = 360 20 ', C µ = 730 a = 40, 6; B ∆ABC µ = 33010 ' a = 42, 4m b = 36, 6m C biết HS Tự giải Tính µA , cạnh b,c tam giác µA, B µ biết ; ; Tính cạnh c HS Tự giải 16 Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B phái tránh núi , người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời đoạn dây AC CB đến B phải tốn thê m dây ? HS Tự giải 750 Hỏi so với việc nối thẳng từ A 17 vị trí A B cách 500m bên bờ sông từ vị trí C bên bờ sông Biết · · CAB = 870 , CBA = 620 Hãy tính khoảng cách AC BC HS Tự giải Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, với Tính S ∆ABC µA = α hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc A B C M N Hướng dẫn giải: Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với ⇔ 2  2   mb ÷ +  mc ÷ = a 3  3  a + b2 c a + c2 b2 ( − )+ ( − ) = a2 9 ⇔ 5a = b + c Mặt khác a = b + c − 2bc cos A ⇔ a = 5a − 2bc cos A ⇒ bc = 2a 2a = cos A cos α S ∆ABC = bc sin A = a tan α Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi Chứng minh A B C D l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C lA = a 2bc A cos b+c A B C cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 lA lB lC a b c cos b 1 1 1 + + > + + l A lB lC a b c c Hướng dẫn giải: sin α = 2sin a Trước hết chứng minh công sử dụng tam giác cân đỉnh A có kết luận 1 A S ∆ABC = bc sin A S ∆ABD = cl A sin 2 , S ∆ABC = S∆ABD + S ∆ACD Mà , µA = 2α 2bc A ⇒ lA = cos b+c A = 1b+c = +  ÷ lA  bc  2b 2c B C cos 1 = = + + , lB 2a 2c lC a 2b cos Tương tự ⇒ A B C cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 lA lB lC a b c cos A B C cos cos + + < 1+1+1 lA lB lC l A l B lC cos c Ta có ⇒ A B C P M 1 1 1 + + > + + l A l B lC a b c thông qua công thức diện tích để đến A S∆ACD = blA sin 2 cos b α α cos 2 N D G Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi m= A, B, C, S ∆ABC = ma + mb + mc ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua Chứng minh m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) Hướng dẫn giải: Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành Dễ thấy Mà S ∆GBD = S∆GBC = S∆AGB = S∆AGC = S ∆ABC ∆GBD có ba cạnh ⇒ S∆GBD 2 = ÷ 3 2 ma , mb , mc 3 m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) ⇒ S ∆ABC = 3S ∆GBD = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d SWABCD = ( p − a )( p − b)( p − c )( p − d ) Chứng minh B C A D a b c d x P= a+b+c+d Với Hướng dẫn giải: Do ABCD nội tiếp nên sin ·ABC = sin ·ADC cos ·ABC = − cos ·ADC S ABCD = S ABC + S ADC = = ( ab + cd ) sin B ( ab + cd ) − cos2 B Trong tam giác ABC Trong tam giác có ADC AC = a + b − 2ab cos B có AC = c + d − 2cd cos D ⇒ a + b − 2ab cos B = c + d − 2cdcocD (a ⇔ cos B = + b2 ) − ( c2 + d ) 2(ab + cd )  ( a + b2 ) − ( c + d )  ÷ ( ab + cd ) −  ÷ − cos B = 2(ab + cd )   S ABCD = Do = ( ab + cd ) 2  2 2 ( ab + cd ) − ( a + b ) − ( c + d )  = ( a + b ) − ( c − d )  ( c + d ) − ( a − b )  4  a + b + c − d  a + b − c + d   a − b + c + d  − a + b + c + d  =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      p= ⇒ SWABCD = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ) Với a+b+c+d Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh a + b + c cos A cos B cos C = + + 2abc a b c Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur Ta có ( AB + BC + CA) =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ AB + BC + CA2 + AB.BC + BC.CA + AB.CA ⇔ a + b + c = 2ac cos B + 2bc cos A + 2ab cos C ⇔ a + b + c cos A cos B cos C = + + 2abc a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c minh tam giác có góc 1200 a = x + x + 1, b = x + 1, c = x − Hướng dẫn giải: Điều kiện a, b, c cạnh tam giác x >1 Với Tính x2 −1 >  ⇔ x >1 2 x + > x2 −1 + 2x + > x2 + x +  a > b a > c nên a cạnh lớn cos A = − ⇒ µA = 1200 Bài 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có cot A + cot B + cot C = a a2 + b2 + c2 R abc B A C O sin A ( p − b)( p − c) = bc b Hướng dẫn giải: a Sử dụng định lí sin cosin b Gọi O tâm đường tròn noi tiếp A A S ∆ABC = pr = bc sin A =bc sin cos 2 ( 1) Ta có Từ hình vẽ: r = ( p − a ) tan S A A ⇒ ∆ABC = ( p − a ) tan p ( S∆ABC ) p = ( p − a ) tan Từ (1) (2) ⇔ A A A bc sin cos 2 p ( p − a)( p − b)( p − c) A = bc( p − a)sin p ⇒ sin A ( p − b)( p − c ) = bc (2) chứng S ∆ABC = Bài 25 Tam giác ABC có tính chất ( a + b − c) ( a + c − b) Hướng dẫn giải: Theo Hê rong ⇒ ( a + b − c)  a + b + c   a + b − c  a − b + c  − a + b + c  S ∆ABC =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      ( a + c − b) = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c ) ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( −a + b + c ) ⇔ b + c = a Tam giác ABC vuông A Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: r ≤ R Hướng dẫn giải: r= p ( p − a) ( p − b) ( p − c) 4( p − a) ( p − b) ( p − c) r S2 S abc ⇒ = = = ,R = R pabc pabc abc p 4S Ta có ( p − a )( p − b ) ≤ Mà 2p−a−b c = 2 ( p − a )( p − c ) ≤ 2p −a −c b = 2 ( p − b)( p − c) ≤ 2p −b−c a = 2 ⇒ ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤ abc r ⇒ ≤ R Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh a b cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) 2 sin A + sin B 3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) p< p − a + p −b + p − c ≤ 3p c S2 ≤ a + b4 + c4 ) ( 16 d Hướng dẫn giải: ⇔ a BĐT − s in A + sin B  1  ≤  + ÷− 2 sin A + sin B  sin A sin B  ⇔ 1 1  ≤  + ÷ sin A + sin B  sin A sin B    ⇔ ≤  + ÷( sin A + sin B )  sin A sin B  3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) b ⇔  a3 3abc b3 c3  ≤ 2R  + + ÷ 4R  8R R 8R  ⇔ 3abc ≤ a + b + c c Từ ( x + y + z) = x + y + z + xy + yz + zx ⇒ ( x + y + z ) > x2 + y + z 2 x + y + z > x2 + y + z Nên x, y,z dương áp dung vào CM p −a + p−b + p−c > + + ( p −a + p −b + p −c ) p−a+ p−b+ p−c = p ≤ 3( p − a + p − b + p − c ) = p  a + b + c  a + b − c  a − b + c  −a + b + c  = ÷ ÷ ÷ ÷ S = p ( p − a )( p − b)( p − c)  2 2     d = 1  (b + c ) − a   a − (b − c )2  ≤  (b + c )2 − a  a 16 16 = 2 b + c + 2bc − a ) a ≤ ( 2b + 2c − a ) a ( 16 16 = 1 2b a + 2c a − a ) ≤ (a + b + c ) ( 16 16 S ∆ABC = Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB C A C’ B C A a sin B + b sin B ) ( C’ B C’ C A B Xét trường hợp + B góc nhọn hay vuông, + B góc tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh a + b + c < 2ab + 2bc + 2ca Hướng dẫn giải: a − b < c ⇔ ( a − b ) < c ⇔ a + b − c < 2ab Ta có Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p không đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải: ( a + b + c) ≤ 3(a + b2 + c ) ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( a + b2 + c ) = ( a a b b3 c c3 ) ≤ ( a + b + c ) ( a + b3 + c ) ( a + b + c) ≥ 9( a + b + c) ⇒ a +b +c 3 = ( a + b + c)3 = p 9 tam giác Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh 1 1 + 2+ 2≤ 2 a b c 4r Hướng dẫn giải: a ≥ a − (b − c ) ⇒ Tương tự = 1 1 ≤ , 2≤ 2 b b − (c − a ) c c − ( a − b) 1 1 1 + 2+ 2≤ + + 2 2 a b c a − (b − c ) b − (c − a ) c − (a − b) Nên = 1 ≤ 2 a a − (b − c ) + + ( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b) 1 + + ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a ) ( p − a ) ( p − b) p p2 p2 = = = = 4( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S 4r Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh a a b c + + ≥3 b + c −a a +c −b a +b −c 1 1 + + = hb hc r b c hb hc + + > ha2 hb2 hc2 r Hướng dẫn giải: (b + c − a)(c + a − b) ≤ a (c + a − b)(a + b − c) ≤ b+c− a +c + a −b =c c + a −b+ a +b −c =a (b + c − a )(b + a − c) ≤ b+c −a +b+a −c =b ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) ≤ abc ⇔ Mà a b c a b c + + ≥ 33 =3 (b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) b+c −a a +c −b a +b−c p= b ⇔ p a b c ( a + b + c) ⇒ = + + S 2S 2S 2S 1 1 = + + ⇔ 1 1 S 2S 2S S + + = hb hc r p a b c c ⇔ abc ≥1 ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a) 2 S  a  2S  b  S  c  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ b  2S  c  2S  a  2S  r a b c 2S a2 b2 c2 + + ≥ ⇔ + + ≥ 2p b c a r b c a a2 a2 a + b ≥ 2ab ⇒ + b ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − b b b Ta có b2 c2 ≥ 2b − c ≥ 2c − a c a Tương tự , Công lại ta có a b2 c ⇔ + + ≥ a +b+c = 2p b c a Bài 33 Cho tam giác ABC có sin B + sin C = 2sin A Chứng minh Hướng dẫn giải: sin B + sin C = 2sin A ⇔ b + c = 2a cos A = b +c −a = 2bc 2 b2 + c2 2 = b + c ≥ = cos 600 2bc 4bc b2 + c2 − A ≤ 600 Bài 34 Cho tam giác ABC có a +b = c Chứng minh có góc tù Hướng dẫn giải: 4 4  43   43  4 3 a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b ÷     4 4 4 4 2   ≥ a + b + a b  a + b ÷ ≥ a + b + 2a b a b   = a + b + 2a b = ( a + b ) ⇒ c2 > a + b2 cos C = Mà a + b2 − c < ⇒ C ≥ 900 2ab Bài 35 Tam giác ABC có a + b + c = 36r có tính chất gì? Hướng dẫn giải: a + b + c = 36 Ta có ⇒ ( p − b)( p − c) ≤ ( p − b + p − c ) = a ( p − b)( p − c ) ( p − c )( p − a ) ( p − a )( p − b) abc ≤ p 8p ⇔ a2 + b2 + c ≤ Mà ( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a ) ( p − a)( p − b) S2 ( p − a )( p − b)( p − c ) = 36 = 36 p p p 9abc ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≤ 9abc a+b+c a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc ⇔ a ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) ≤ ⇔ a = b = c 2 Vậy tam giác ABC có a + b + c = 36r tam giác ABC [...]... 2 Ta có 2 b2 c2 ≥ 2b − c ≥ 2c − a c a Tương tự , Công lại ta có a 2 b2 c 2 ⇔ + + ≥ a +b+c = 2p b c a Bài 33 Cho tam giác ABC có sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A Chứng minh rằng Hướng dẫn giải: sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A ⇔ b 2 + c 2 = 2a 2 cos A = b +c −a = 2bc 2 2 2 b2 + c2 2 2 2 = b + c ≥ 1 = cos 600 2bc 4bc 2 b2 + c2 − A ≤ 600 4 3 Bài 34 Cho tam giác ABC có 4 3 a +b = c 4 3 Chứng minh rằng có một... góc tù Hướng dẫn giải: 3 4 4 4 4  43   43  4 4 3 3 3 a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b 3 ÷     4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 2 2  4  ≥ a 4 + b 4 + a 3 b 3  a 3 + b 3 ÷ ≥ a 4 + b 4 + 2a 3 b 3 a 3 b 3   = a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) ⇒ c2 > a 2 + b2 cos C = Mà 2 a 2 + b2 − c 2 < 0 ⇒ C ≥ 900 2ab Bài 35 Tam giác ABC có a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2 thì có tính chất gì? Hướng dẫn giải:.. .Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 2+ 2≤ 2 2 a b c 4r Hướng dẫn giải: a 2 ≥ a 2 − (b − c ) 2 ⇒ Tương tự = 1 1 1 1 ≤ 2 , 2≤ 2 2 2 b b − (c − a ) c c − ( a − b) 2 1 1 1 1 1 1 + 2+ 2≤ 2 + 2 + 2 2 2 2 a b c a − (b − c ) b − (c... c) ( p − a ) 4 ( p − a ) ( p − b) p p2 p2 1 = = = 2 = 2 4( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S 4r Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng a a b c + + ≥3 b + c −a a +c −b a +b −c 1 1 1 1 + + = ha hb hc r b c hb hc ha 1 + + > ha2 hb2 hc2 r Hướng dẫn giải: (b + c − a)(c + a − b) ≤ a (c + a − b)(a + b − c) ≤ b+c− a +c + a −b =c 2 c + a −b+ a +b −c =a 2 (b + c − a )(b + a −... b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 9abc a+b+c a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc ⇔ a ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) ≤ 0 ⇔ a = b = c 2 2 Vậy tam giác ABC có 2 a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2 thì tam giác ABC đều ... b 4 + 2a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) ⇒ c2 > a 2 + b2 cos C = Mà 2 a 2 + b2 − c 2 < 0 ⇒ C ≥ 900 2ab Bài 35 Tam giác ABC có a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2 thì có tính chất gì? Hướng dẫn giải: a 2 + b 2 + c 2 = 36 Ta có ⇒ 2 ( p − b)( p − c) ≤ ( 2 p − b + 2 p − c ) = a ( p − b)( p − c ) ( p − c )( p − a ) ( p − a )( p − b) abc ≤ p 8p ⇔ a2 + b2 + c 2 ≤ Mà ( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a ) ( p − a)( p − b) S2 ( p − a ... tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh a + b + c < 2ab + 2bc + 2ca Hướng dẫn giải: a − b < c ⇔ ( a − b ) < c ⇔ a + b − c < 2ab Ta có Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p không đổi tam giác có. .. cos C = + + 2abc a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c minh tam giác có góc 1200 a = x + x + 1, b = x + 1, c = x − Hướng dẫn giải: Điều kiện a, b, c cạnh tam giác x >1 Với Tính x2... ) ( −a + b + c ) ⇔ b + c = a Tam giác ABC vuông A Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: r ≤ R Hướng dẫn giải: r= p ( p − a) ( p −