35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác28710

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có a =12, b =15, c =13 a Tính số đo góc ABC b Tính độ dài đường trung tuyến ABC c Tính S, R, r d Tính , hb , hc HS: Tự giải Cho ABC có AB = 6, AC= 8, ฀A 1200 a Tính diện tích ABC b Tính cạnh BC bán kính R HS: Tự giải Cho ABC có a = 8, b =10, c =13 a ABC co góc tù hay khơng? b Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC c Tính diện tích ABC HS: Tự giải ฀  450 , b  tính độ dài cạnh a, c bán kính đường trịn ngoại tiếp Cho ABC có ฀A  600 , B ABC diện tích tam giác HS: Tự giải 5 Cho ABC AC = 7, AB = cos A  tính BC, S, , R HS: Tự giải Cho ABC có mb  4, mc  a = tính độ dài cạnh AB, AC HS: Tự giải Cho ABC có AB = 3, AC = diện tích S  3 Tính cạnh BC HS: Tự giải Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = HS: Tự giải Tính ฀A ABC có cạnh a, b, c thỏa hệ thức b b  a  c a  c  HS: Tự giải 10 Cho ABC CMR a b c d e f tan A c  a  b  tan B c  b  a  cos C c  a  b   S sin C S  R sin A sin B sin C    S AB AC  AB AC a  b cos C  c cos B sin A  p  p  a  p  b  p  c  bc   HS Tự giải 11 Gọi G trọng tâm ABC M điểm tùy ý CMR ThuVienDeThi.com a MA2  MB  MC  GA2  GB  GC  3GM b ma  mb  mc  a  b  c  HS Tự giải 12 Cho ABC có b + c =2a CMR a sin B  sin C  2sin A b 1   hb hc HS Tự giải    13 Cho ABC biết A 3, 1 , B 0,3, C 3,3  a Tính cạnh góc cịn lại ABC b Tính chu vi diện tích ABC HS Tự giải ฀  360 20 ', C ฀  730 Tính ฀A , cạnh b,c tam giác 14 Cho ABC biết a  40, 6; B HS Tự giải ฀ cạnh c ฀  33010 ' Tính ฀A, B 15 Cho ABC biết a  42, 4m ; b  36, 6m ; C HS Tự giải 16 Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B phái tránh núi , người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời đoạn dây AC CB 750 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê m dây ? HS Tự giải 17 vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sơng Biết ฀ ฀  620 Hãy tính khoảng cách AC BC CAB  87 , CBA HS Tự giải Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, ฀A   hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với Tính SABC A Hướng dẫn giải: Hai đường trung tuyến BM, CN vng góc 2 2 với  mb    mc   a 3  3  a  b2 c2 a  c2 b2 (  ) (  )  a2 9 2  5a  b  c Mặt khác a  b  c  2bc cos A N M  B C 2a 2a  a  5a  2bc cos A  bc   cos A cos  S ABC  bc sin A  a tan  2 Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng minh ThuVienDeThi.com a b c A 2bc A cos bc A B C cos cos cos 2 2  111 lA lB lC a b c lA  1 1 1      l A lB lC a b c Hướng dẫn giải: B a Trước hết chứng minh công sin   2sin  cos  C D sử dụng tam giác cân đỉnh A có ฀A  2 thơng qua cơng thức diện tích để đến kết luận 1 A A S ABC  bc sin A , S ABD  cl A sin , S ACD  bl A sin 2 2 2bc A Mà SABC  SABD  SACD  l A  cos bc A cos  1bc   b    bc  2b 2c lA Tương tự  B C cos 1     , lB 2a 2c lC 2a 2b cos A B C cos cos 2 2  111 lA lB lC a b c cos A B C cos cos 2 2  111 lA lB lC l A lB lC cos c Ta có  1 1 1      l A lB lC a b c Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C, m  S ABC  ma  mb  mc Chứng minh A m m  ma m  mb m  mc  Hướng dẫn giải: Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành Dễ thấy SGBD  SGBC  SAGB  SAGC  S ABC 2 Mà GBD có ba cạnh ma , mb , mc 2  S GBD    3 3 m m  ma m  mb m  mc  ThuVienDeThi.com N M G C B P D  S ABC  3S GBD  m m  ma m  mb m  mc  Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh S฀ ABCD  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d ) Với P  abcd B Hướng dẫn giải: Do ABCD nội tiếp nên b sin ฀ABC  sin ฀ADC cos ฀ABC   cos ฀ADC S ABCD  S ABC  S ADC  C a x c A ab  cd sin B d ab  cd   cos B Trong tam giác ABC có AC  a  b  2ab cos B  D Trong tam giác ADC có AC  c  d  2cd cos D  a  b  2ab cos B  c  d 2 Do S ABCD  2 a  2cdcocD  cos B   b  c  d  2(ab  cd )  a  b  c  d  1   ab  cd   cos B  ab  cd      2(ab  cd )   2 1  2 2 ab  cd   a  b  c  d   a  b   c  d   c  d   a  b      4   a  b  c  d  a  b  c  d  a  b  c  d  a  b  c  d        2 2      abcd  S฀ ABCD  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d ) Với p  Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh a  b  c cos A cos B cos C    2abc a b c Hướng dẫn giải:            Ta có AB  BC  CA   AB  BC  CA2  AB.BC  BC.CA  AB.CA  a  b  c  2ac cos B  2bc cos A  2ab cos C  a  b  c cos A cos B cos C    2abc a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a  x  x  1, b  x  1, c  x  chứng minh tam giác có góc 1200 Hướng dẫn giải: ThuVienDeThi.com  x2 1   Điều kiện a, b, c cạnh tam giác 2 x    x 1  x2 1  x   x2  x   Với x  a > b a > c nên a cạnh lớn Tính cos A    ฀A  1200 Bài 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có a cot A  cot B  cot C  b sin a  b2  c2 R abc ( p  b)( p  c) A  bc A Hướng dẫn giải: a Sử dụng định lí sin cosin b Gọi O tâm đường trịn noi tiếp Ta có A A S ABC  pr  bc sin A =bc sin cos 2 1 O Từ hình vẽ: r  ( p  a ) tan S A A  ABC  ( p  a ) tan 2 p S  Từ (1) (2) ABC p   ( p  a ) tan (2) B C A A A bc sin cos 2 p ( p  a )( p  b)( p  c) A  bc( p  a ) sin p  sin A ( p  b)( p  c)  bc Bài 25 Tam giác ABC có tính chất SABC  a  b  c a  c  b  Hướng dẫn giải:  a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c      2 2      Theo Hê rong SABC    a  b  c  a  c  b   a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c  2  a  b  c a  c  b   a  b  c a  b  c   b  c  a Tam giác ABC vuông A Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: r  R Hướng dẫn giải: Ta có r  p  p  a  p  b  p  c   p  a  p  b  p  c  r S2 S abc     ,R  R pabc pabc abc p 4S ThuVienDeThi.com 2p a b c  2 2p a c b  ( p  a )( p  c)  2 2p bc a  ( p  b)( p  c)  2 abc r   p  a  p  b  p  c     R ( p  a )( p  b)  Mà Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c d cos A  cos B  cot A  cot B  2 sin A  sin B 3S  R sin A  sin B  sin C  p S2  p  a  p b  p  c  3p a  b4  c4   16 Hướng dẫn giải:  s in A  sin B  1      1 2 sin A  sin B  sin A sin B  1 1       2 sin A  sin B  sin A sin B  a BĐT         sin A  sin B   sin A sin B  b 3S  R sin A  sin B  sin C    a3 3abc b3 c3   R      3abc  a  b3  c3 4R  8R 8R 8R  c Từ x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z 2 Nên x, y,z dương x  y  z  x  y  z áp dung vào CM p a  p b  p c  + +  p a  p b  p c p a  p b p c  p   3 p  a  p  b  p  c  p a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c      2 2      d S  p( p  a)( p  b)( p  c)   1 (b  c)  a   a  (b  c)   (b  c)  a  a 16 16 1  b  c  2bc  a a  2b  2c  a a 16 16 1  2b a  2c a  a  (a  b  c ) 16 16  Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh SABC  ThuVienDeThi.com a sin 2B  b2 sin B  Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB C C C B A A B C’ A C’ B C’ Xét trường hợp + B góc nhọn hay vng, + B góc tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh a  b  c  2ab  2bc  2ca Hướng dẫn giải: Ta có a  b  c  a  b   c  a  b  c  2ab Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải: a  b  c   3(a  b  c )  a  b  c   a  b  c   a a b b3 c c   a  b  c a  b3  c  a  b  c   (a  b  c)3  p3 tam giác  a  b  c  9  a b c 3 Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh 1 1  2 2 2 a b c 4r Hướng dẫn giải: a  a  (b  c)  Tương tự Nên 1  2 a a  (b  c) 1 1  , 2 2 b b  (c  a ) c c  ( a  b) 1 1 1  2 2   2 2 a b c a  (b  c) b  (c  a ) c  (a  b) ThuVienDeThi.com  1   a  b  c a  b  c  b  c  a b  c  a  c  a  b c  a  b   1    p  b  p  c   p  c  p  a   p  a  p  b   p p2 p2    4( p  a )  p  b  p  c  p ( p  a )  p  b  p  c  S 4r Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh a a b c   3 bc a a c b a bc b 1 1    hb hc r c hb hc    ha2 hb2 hc2 r Hướng dẫn giải: (b  c  a )(c  a  b)  a bc a c  a b c (c  a  b)(a  b  c)  c  a b a bc a (b  c  a )(b  a  c)  bcabac b  a  b  c a  c  b (b  c  a )  abc  Mà a b c a b c    33 3 (b  c  a ) a  c  b  a  b  c  bc a a c b a bc b p  a  b  c    abc 1 a  b  c a  c  b (b  c  a) p a b c    S 2S 2S 2S 1 1 1 1        S 2S 2S 2S hb hc r p a b c 2 2S  a  2S  b  2S  c  c           b  2S  c  2S  a  2S  r a b2 c 2S a b2 c2         2p b c a r b c a ThuVienDeThi.com a2 a2 Ta có a  b  2ab   b  2a   2a  b b b 2 b2 c2  2b  c ,  2c  a c a Tương tự Cơng lại ta có  a b2 c2    a bc  2p b c a Bài 33 Cho tam giác ABC có sin B  sin C  2sin A Chứng minh A  600 Hướng dẫn giải: sin B  sin C  2sin A  b  c  2a cos A  b c a  2bc 2 b2  c2 2  b  c   cos 600 2bc 4bc b2  c2  4 Bài 34 Cho tam giác ABC có a  b  c Chứng minh có góc tù Hướng dẫn giải: 4 4  43   43  4 3 a  b  c  c   a  b   a  b  3a b  a  b      4 4 4 2  43  4  a  b  a b  a  b   a  b  2a b a b   4 4  a  b  2a 2b  a  b   c  a  b Mà cos C  a  b2  c2   C  900 2ab Bài 35 Tam giác ABC có a  b  c  36r có tính chất gì? Hướng dẫn giải: a  b  c  36 ( p  b)( p  c) ( p  c)( p  a ) ( p  a )( p  b) S2 ( p  a )( p  b)( p  c)  36  36 p p p Ta có ( p  b)( p  c)  2 p  b  p  c   a  ( p  b)( p  c) ( p  c)( p  a ) ( p  a )( p  b) abc  p 8p  a  b2  c2  9abc  a  b  c a  b  c  9abc abc Mà a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c ab  bc  ca   9abc ThuVienDeThi.com  a b  c   b c  a   c a  b    a  b  c 2 Vậy tam giác ABC có a  b  c  36r tam giác ABC ThuVienDeThi.com ... góc tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh a  b  c  2ab  2bc  2ca Hướng dẫn giải: Ta có a  b  c  a  b   c  a  b  c  2ab Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi tam giác... a b c Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a  x  x  1, b  x  1, c  x  chứng minh tam giác có góc 1200 Hướng dẫn giải: ThuVienDeThi.com  x2 1   Điều kiện a, b, c cạnh tam giác... c  b   a  b  c a  b  c   b  c  a Tam giác ABC vuông A Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: r  R Hướng dẫn giải: