Bài tập về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân chọn lọc - Giáo viên Việt Nam

Giaovienvietnam.com CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học A LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số nguyên dương thể thử trực tiếp làm sau: n =1 - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n - Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên với n mà không n = k ≥1 (gọi giả thiết quy n = k +1 nạp) Bằng kiến thức biết giả thiết quy nạp, chứng minh mệnh đề với B CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Ví dụ Với mối số ngun dương n(n + 1)(n + 2) S= A n(n + 1)(2n + 1) S= C Đáp án C n , đặt S = 12 + 22 + + n2 Mệnh đề đúng? n(n + 1)(2n + 1) S= B n(n + 1)(2n + 1) S= D Lời giải n ∈ ¥* Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học , ta có đẳng n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = thức 1(1 + 1)(2.1 + 1) =1 n =1 =1 - Bước 1: Với vế trái , vế phải n =1 Vậy đẳng thức với n = k ≥1 -Bước 2: Giả sử đẳng thức với , tức chứng minh (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = = 6 n = k +1 Ta phải chứng minh đẳng thức với , tức chứng minh ( k + 1) ( k + 1) + 2( k + 1) + [ ][ ] = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1)2 = + (k + 1)2 Mà (k + 1)( k + 1)(2k + 1) k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) ( k + 1)(k + 2)(2k + 3) + (k + 1)2 = = 6 Trang Suy (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = Giaovienvietnam.com n = k +1 Do đẳng thức với Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n S = 12 = n =1 + Với (loại phương án B D); 2 S =1 + = n=2 + Với (loại phương án A) Vậy phương án C STUDY TIP Câu Ngồi kết nêu ví dụ 1, đề cập đến kết tương tự sau: n(n + 1) + + + n = 1) n (n + 1) 3 + + + n = 2) n(n + 1)(2n + 1)(3n + 3n − 1) 14 + 24 + + n = 30 3) n (n + 1) (2n + 2n − 1) 15 + 25 + + n5 = 12 4) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1.2.3 + 2.3.4 + + n( n + 1)( n + 2) = 5) Nhận xét: Từ ví dụ tập phần nhận xét, ta thấy bậc vế trái nhỏ bậc vế phải đơn vị Lưu ý điều tính tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định Từ kết ví dụ này, hồn tồn đề xuất câu hỏi trắc nghiệm sau đây: n, S = 12 + 22 + + n Với số nguyên đặt Mệnh đề sai? 1 S = 2n3 + 3n + n S = ( n + 1) − ( n + 1)  + n3 − n  6 6 A B n ( n + 1) ( 2n + 1) S =  ( n + 1) − 3n ( n + 1) − ( n + 1)  S=  6 C D 2 n, a, b, c + + + n = an + bn + cn, Với số nguyên dương ta có 2 M = ab + bc + ca số Tính giá trị biểu thức 25 25 M= M= M = 25 M = 23 216 A B C D ( Câu ) ( Trang ) Giaovienvietnam.com Câu Câu n, + + + n > 2017 Tìm tất số nguyên dương để n ≥ 18 n ≥ 20 n ≥ 17 n ≥ 19 A B C D 2 n , + + + n < 2018 S Tính tổng tất số nguyên dương thoả mãn S = 153 S = 171 S = 136 S = 190 A B C D Ví dụ Đặt Tn = + + + + 2 n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? π π Tn = cos n +1 Tn = cos n +1 Tn = 2 B C D Tn = A Đáp án B (có Lời giải Tn = cos Ta chứng minh π 2n +1 phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: π π cos 1+1 = cos = n =1 2 Bước 1: Với vế trái , cịn vế phải n =1 Vậy đẳng thức với π Tk = cos k +1 n = k ≥1 Bước 2: Giả sử đẳng thức với , nghĩa Ta phải chứng minh đẳng thức với Thật vậy, Câu n = k +1 Tk +1 = cos , tức chứng minh Tk +1 = + Tk = + cos Tk +1 = + Tk π 2k +2 π 2k +1 nên theo giả thiết quy nạp ta có π π  π  π π + cos k +1 = + cos  k + ÷ = cos k + Tk +1 = 2.2 cos k + = cos k + 2 2   Mặt khác, nên Vậy phương án B STUDY TIP Ngoài cách làm trên, ta làm theo cách sau: kiểm tra tính – sai phương n án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể T1 = n =1 + Với (loại phương án A, C D) Nhận xét: Từ kết ví dụ 2, đề xuất câu hỏi đây: 511π Tn = sin Tn = + + + + n n 1024 Đặt (có dấu căn) Tìm để n = 10 n =8 n=9 n = 11 A B C D Trang Câu Cho dãy số ( un ) số là: ( un ) un = 2sin A un = cos C Ví dụ Đặt Giaovienvietnam.com xác định π 2n +1 u1 = un = cos B π 2n +1 un = sin 1 Sn = + + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) Sn = n +1 2(2n + 1) A Đáp án C un +1 = + un , ∀n ∈ ¥ Sn = B D ,với 3n − 4n + n∈¥* π n +1 Số hạng tổng quát dãy Mệnh đề đúng? Sn = π 2n +1 * C n 2n + Sn = D n+2 6n + Lời giải Cách 1: Rút gọn biểu thức Câu Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện 1 1  =  − ÷ (2k − 1)(2k + 1)  2k − 2k +  k Với số nguyên dương , ta có 1 1 1  1  n S n =  − + − + + − ÷ = 1 − ÷= 2 3 n − n +   n +  2n + Do đó: Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1 S1 = = n =1 1.3 Với (chưa loại phương án nào); 1 S2 = + = n=2 1.3 3.5 Với (loại phương án A,B D Vậy phương án phương án C Nhận xét: Từ kết ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây: 1 an + b + + + = a , b, c 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) cn + n∈ ¥* Với ,biết Trong số nguyên P = a +b +c Tính giá trị biểu thức P = 17 P = 10 P=9 P = 19 A B C D Trang Câu Với n∈¥* ,biết 1 an + b + + + = 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 4n + c T = ( a + b + c) ( a + b + c nguyên.Tính giá trị biểu thức T = 40 T =4 A B Câu Biết C ) T = 32 1 an + bn + c + + + = 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) ( 2n + 1) Giaovienvietnam.com Trong D ,trong n∈¥* a, b, c T = 16 số a , b, c số F = ( a + b) nguyên Tính giá trị biểu thức F =9 F =6 F =8 F = 27 A B C D Tính tổng S tất số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình 1 17 + + + < 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 35 a +c Câu A S = 153 B S = 136 n Ví dụ Tìm tất số nguyên dương cho n≥3 n≥5 A B Đáp án D C S = 272 D S = 306 2n +1 > n2 + 3n C Lời giải n≥6 D n≥4 n = 1, 2,3, 4, Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp ta dự đoán n +1 2 > n + 3n, n ≥ với Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: 24+1 = 25 = 32, 42 + 3.4 = 28 n=4 -Bước 1: Với vế trái cịn vế phải 32 > 28 n = Do nên bất đẳng thức với n = k ≥ 4, 2k +1 > k + 3k -Bước 2: Giả sử đẳng thức với nghĩa n = k + 1, Ta phải chứng minh bất đẳng thức với tức phải chứng minh ( k +1) +1 > ( k + 1) + ( k + 1) 2k + > k + 5k + hay 2k +1 > k + 3k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2.2k +1 > ( k + 3k ) 2k + > 2k + 6k Suy hay 2 2k + 6k − ( k + 5k + ) = k + k − ≥ + − = 16 k ≥ Mặt khác với Trang k +2 Giaovienvietnam.com > ( k + 3k ) > k + 5k + 2 n = k + Do hay bất đẳng thức với Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D STUDY TIP Dựa vào kết ví dụ 4, ta đề xuất toán sau: p 2n +1 > n + 3n, ∀n ≥ p, n ∈ ¥ * Tìm số nguyên tố nhỏ cho: p=3 p=5 p=4 p=7 A B C D C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG S n n≥3 Câu Tổng góc đa giác lồi cạnh, , là: S = ( n − ) 180° S = n.180° A B S = ( n − 1) 180° S = ( n − 3) 180° C D * S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n ( 3n + 1) n∈¥ Câu Với , rút gọn biểu thức 2 S = n ( n + 1) S = n ( n + 2) S = n ( n + 1) S = 2n ( n + 1) A B C D * * ( ) S = 1.1! + 2.2! + + n n ! k ! = k k − 2.1, ∀k ∈ ¥ n∈¥ n Câu Kí hiệu Với , đặt Mệnh đề đúng? S n = 2.n ! Sn = ( n + 1) !− S n = ( n + 1) ! S n = ( n + 1) !+ A B C D Câu n∈¥* Tn = 12 + 22 + 32 + + ( 2n ) Với , đặt đúng? Tn 4n + = M n 2n + A B Tn 4n + = M n 2n + Câu Câu M n = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) Tn 8n + = Mn n +1 Mệnh đề Tn 2n + = Mn n +1 C D p n≥ p > 2n + Tìm số nguyên dương nhỏ để với số nguyên p=5 p=3 p=4 p=2 A B C D * n n∈¥ >n Tìm tất giá trị cho n≥5 n =1 n≥6 n≥7 n =1 n≥5 A B C D 1 an + b + + + = ( 3n − 1) ( 3n + ) cn + a, b, c 2.5 5.8 n Với số nguyên dương , ta có: , T = ab + bc + ca số nguyên Tính giá trị biểu thức T =3 T =6 T = 43 T = 42 A B C D n Câu Trang Giaovienvietnam.com Câu Với số nguyên dương n≥2 , ta có:  an +      − ÷ − ÷ 1 − ÷ =      n  bn + , a, b T = a + b2 Câu Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 số nguyên Tính giá trị biểu thức P=5 P=9 P = 20 P = 36 A B C D 3 * + + + n = an + bn + cn + dn + e, ∀n ∈ ¥ Biết Tính giá trị biểu thức M = a+b+c+d +e 1 M= M= M =4 M =1 A B C D 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1 n Biết số nguyên dương , ta có ( ) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n 3n − = a2 n + b2 n + c2 n + d Tính giá trị biểu thức T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d M = T= 3 T =2 T =1 A B C D k k k n, k + + + n Biết , số nguyên dương Xét mệnh đề sau: n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n − 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n + 3n − 1) S1 = S2 = S3 = S4 = 30 , , Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D n 3" n∈¥* P : "7 n + 2" Q :"7 + Với , ta xét mệnh đề chia hết cho ; chia hết cho n Q : "7 + 6" chia hết cho Số mệnh đề mệnh đề : A B C D n n ≥ 2n −1 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ” Một học sinh trình bày lời giải toán bước sau: n =1 n ! = 1! = n ! ≥ 2n −1 2n−1 = 21−1 = 20 = Bước 1: Với , ta có: Vậy k −1 n = k ≥1 k!≥ Bước : Giả sử bất đẳng thức với , tức ta có ( k + 1) ! ≥ 2k n = k +1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với , nghĩa phải chứng minh Bước : Ta có ( k + 1) ! = ( k + 1) k ! ≥ 2.2 k −1 = k n Vậy n! ≥ 2n−1 Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? Trang với số nguyên dương Giaovienvietnam.com A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước 1 1 an + bn + + + = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) cn + dn + 16 D Sai từ bước Câu 14 Biết nguyên dương Tính giá trị biểu thức : T = 75 T = 364 A B T = ( a + c) ( b + d ) C T = 300 , a, b, c, d n số D T = 256 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án B Câu Câu 180° 360° Cách 1: Từ tổng góc tam giác tổng góc từ giác , S = ( n − ) 180° dự đoán Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ công thức Cụ n=3 S = 180° n=4 S = 360° thể với (loại ln phương án A, C D); với (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Đáp án A S Để chọn đúng, dựa vào ba cách sau đây: n Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n =1 S = 1.4 = n=2 S = 1.4 + 2.7 = 18 Với (loại phương án B C); với (loại phương án D) n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 S Cách 2: Bằng cách tính trường hợp ta dự S = n ( n + 1) đốn cơng thức n ( n + 1) + + + n = S Cách 3: Ta tính dựa vào tổng biết kết ( ) ( ) n n + 2n + 12 + 22 + + n = S = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n ( n + 1) Ta có: Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: n Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể S1 = 1.1! = n =1 Với (Loại phương án A, C, D) Trang Giaovienvietnam.com Sn Câu Câu Câu Câu Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện ( ) ( k k ! = k + − k ! = k + 1) k !− k ! = ( k + 1) !− k ! Suy ra: Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: n Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể T1 = 2 T1 = + = 5; M = = M1 n =1 Với nên (loại phương án B, C, D) Tn , M n Cách 2: Chúng ta tính dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: Tn 4n + 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1) ( 2n + 1) = Tn = ; Mn = M n 2n + Suy Đáp án B p=2 p > p +1 Dễ thấy bất đẳng thức sai nên loại phương án D p p=3 > p +1 Xét với ta thấy bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học p=3 n > 2n + n≥3 chứng minh với Vậy số nguyên dương nhỏ cần tìm Đáp án D n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học n > n , ∀n ≥ chứng minh Đáp án B 1 1  = − ( 3k − 1) ( 3k + )  3k − 3k + ÷  Cách 1: Với ý , có: 1 11 1 1  + + + =  − + − + + − ÷ ( 3n − 1) ( 3n + )  5 2.5 5.8 3n − 3n +  = 3n n = ( 3n + ) 6n + Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: T = ab + bc + ca = Suy Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = a = 1, b = 0, c = ta được: a + b 2a + b x + b = ; = ; = c = 10 2c + 3c + 22 Trang Câu Giải hệ phương trình ta Đáp án C a = 1, b = 0, c = Giaovienvietnam.com T = ab + bc + ca = Suy 1− k −1 k +1 = k2 k k Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:  n − n + n + 2n +     = = 1 − ÷1 − ÷  − ÷ =     n  2 3 n 2n 2n 4n a = 2, b = Suy P = a + b = 20 Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: Suy a + 3a + 2 = ; = n = 2, n = b 3b Cách 2: Cho ta Giải hệ phương trình trren ta a = 2; b = P = a + b = 20 Suy Câu Đáp án B 13 + 23 + + n3 = n ( n + 1) n + 2n3 + n = 4 Cách 1: Sử dụng kết biết: So sánh cách hệ 1 a = ;b = ;c = ; d = e = 4 số, ta n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = a , b, c, d , e Cách 2: Cho , ta hệ phương trình ẩn Giải hệ 1 a = ;b = ;c = ;d = e = M = a +b+c + d +e =1 4 phương trình đó, ta tìm Suy Câu 10 Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có: 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n3 + n + n 3 +) a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 3 Suy 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = ( 12 + 22 + + n ) − ( + + + n ) = n3 + n +) a2 = b2 = 1; c2 = d = Suy T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do n = 1, n = 2, n = 3, n = Cách 2: Cho sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = a = b = 1; c = d = 2 2 3 ; T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do Trang 10 Giaovienvietnam.com x1 x3 = x x = ⇔ x2 = Theo tính chất cấp số nhân, ta có Suy ta có m =1 m=7 m + 6m = + Điều kiện đủ: Với nên ta có phương trình x − x + 14 x − = 2 1, 2, Giải phương trình này, ta nghiệm Hiển nhiên ba nghiệm lập thành q = cấp số nhân với công bôị m =1 m = −7 D Vậy, giá trị cần tìm Do phương án STUDY TIP x2 Ta nghiệm cách khác: ( ) x1 + x2 + x3 = 7; x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = m + 6m ; x1 x2 x3 = Theo định lý Vi-ét x1 x3 = x22 Theo tính chất cấp số nhân Suy 2 ( m + 6m ) = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = x2 ( x1 + x2 + x3 ) x1 + x2 + x3 = 7; Thay ⇔ m + 6m − = Câu Câu Câu x2 = ( m + 6m ) ( m + 6m Thay vào x1 x2 x3 = ta 73 ) =8 Nhận xét: Từ kêt ví dụ này, ta đề xuất câu hỏi sau đây: m Biết tồn hai giá trị tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 2 x − x + ( m + 6m ) x − = lập thành cấp số nhân: Tính tổng bình phương hai giá trị 48 64 36 50 A B C D Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập x3  −7 x + ( m + 6m ) x − = thành cấp số nhân: Tính tổng bình phương ba số hạng cấp số nhân 49 13 21 14 A B C D 4.105 Một khu rừng có trữ lượng gỗ mét khối Biết tốc độ sinh trưởng khu 4% rừng năm Hỏi sau năm, khu rừng có mét khối gỗ 5 5 4.10 ( 0, 05 ) 4.105 ( 1, ) 4.105 ( 1, 04 ) ( 10, ) A B C D Lời giải u0 = 4.105 r = 4% = 0, 04 Đặt Trang 64 Giaovienvietnam.com Gọi un trữ lượng gỗ khu rừng sau năm thứ Khi ta có Suy ( un ) un+1 = un + un ( + r ) , n ∈ N cấp số nhân với số hạng đầu Do số hạng tổng quát cấp số nhân Sau năm, khu rừng có: un = u1.q = 4.105 ( + 0, 04 ) = ( 10, ) Câu n u0 ( un ) công bội q = + r un = u0 ( + r ) n mét khối gỗ Vậy phương án D Bài toán “Lãi kép” 100 7% Một người gửi số tiền triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất /năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Giả sử khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền lãi 10 suất khơng thay đổi, hỏi sau năm tổng số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận gần với số tiền số tiền đây? 196715000 196716000 183845000 183846000 A đồng B đồng C đồng D đồng Lời giải M = 108 r = 7% = 0, 07 Đặt (đồng) Mn n Gọi số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận sau năm Theo giả thiết, ta có ( Mn ) Do dãy số n Mn = M0 ( 1+ r ) Vì vậy, sau 10 M n +1 = M n + M n r = M n ( + r ) , ∀n ≥ cấp số nhân với số hạng đầu M0 công bội q = + r Suy năm tổng số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận M 10 = M ( + r ) 10 = 108 ( 1, 07 ) 10 ≈ 196715000 Vậy phương án A 0,58% 150 Câu 10 Một người gửi ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất tháng (kể từ tháng thứ , tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền lãi tháng trước tiền gốc 180 tháng trước đó) Sau tháng, người có triệu đồng? 34 32 31 30 A tháng B tháng C tháng D tháng Lời giải n Theo ví dụ , sau tháng gửi tiết kiệm, ta có Trang 65 Mn = M0 (1+ r) , Giaovienvietnam.com n M = 15.10 , r = 0, 0058 M n = 15.10 ( 1, 0058 ) n Do Cách 1: Kiểm tra phương án đến tìm phương án + Phương án A: + Phương án B: M 34 = 15.107 ( 1, 0058 ) 34 M 32 = 15.107 ( 1, 0058 ) 32 M 31 = 15.107 ( 1, 0058 ) 31 ≈ 182594000 (đồng) ≈ 180494000 (đồng) ≈ 179453000 + Phương án C: (đồng) Vậy, phương án B (Không cần kiểm tra phương án D phương án D, số tháng phương án C nên số tiền nữa) M n = 18.107 Cách 2: Theo giả thiết, ta có (đồng) n n 18.107 = 15.107 ( 1, 0058 ) ⇔ ( 1, 0058 ) = Do đó, ta có 6 n ≈ log  ÷: log ( 1, 0058 ) n ≈ 31,526 5 Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính hay n = 32 Do Vậy phương án B C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số nhân Câu Dãy số không cấp số nhân? 1 1 1 −1, − , − , − − ; − ; − ;1 25 125 A B 1 1; ; ; 2; 2; 4 2;8 27 C D Câu Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số nhân? ( un ) , ( ) , un = − 3n = − 3n A Dãy số với B Dãy số với tn = n t , ( wn ) , ( ) wn = 7.3 n 3n C Dãy số với D Dãy số với Câu Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân u1 = u1 = u1 = −1 u1 = −3     n u = u u = u + u = u u = u n + n n + n   n  n +1 n  n +1 A B C D Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công bội cấp số nhân u un +1 = n , ∀n ≥ ( un ) u1 = Câu Cho dãy số xác định Tìm số hạng tổng quát dãy số Trang 66 Giaovienvietnam.com −n A Câu Câu Câu Câu 1− n un = 3.4 B n −1 un = 3.4 C un = 3.4 D un = 3.4− n −1 ( xn ) x2 = −3 x4 = −27 x1 q Cho cấp số nhân có Tính số hạng đầu công bội cấp số nhân x1 = −1, q = −3 x1 = 1, q = x1 = −1, q = x1 = 1, q = −3 A B x1 = 3, q = −1 x1 = −3, q = x1 = 3, q = x1 = −3, q = −1 C D ( an ) a5 = 32 Tìm số hạng thứ mười cấp số nhân a10 = ±512 a10 = 1024 a10 = −1024 B C D x,12, y,192 y x Cho cấp số nhân Tìm x = 3, y = 48 x = 4, y = 36 x = −3, y = −48 x = 2, y = 72 A B x = 3, y = 48 x = −3, y = −48 x = 3, y = −48 x = −3, y = 48 C D Cho cấp số nhân a10 = ±1024 A có ( un ) Cho cấp số nhân có un = 405 n=5 A un = 3645 n=7 C a3 = u1 = 5, q = S n = 200, B D tìm n n=6 n=4 và un un = 1215 un = 135 ( an ) a1 = 20a1 − 10a2 + a3 Cho cấp số nhân có biểu thức đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ bảy cấp số nhân a7 = 156250 a7 = 31250 a7 = 2000000 a7 = 39062 A B C D Câu 10 Một tứ giác lồi có số đo góc lập thành cấp số nhân Biết số đo góc nhỏ số đo góc nhỏ thứ ba Hãy tính số đo góc tứ giác 50 ,150 , 450 , 2250 90 , 27 ,810 , 2430 , 210 , 630 , 269 80 ,320 , 720 , 2480 A B C D u4 + u6 = −540 ( un ) u3 + u5 = 180 u1 q Câu 11 Cho cấp số nhân có Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân u1 = 2, q = −3 u1 = 2, q = u1 = −2, q = u1 = −2, q = −3 A B C D Câu Câu 12 Cho cấp số nhân T = ( k + 1) ak A T = 17920 ( an ) có B a1 = 7, a6 = 224 T = 8064 Trang 67 C S k = 3577 T = 39424 Tính giá trị biểu thức D T = 86016 Dạng 3: Bài tập tổng Câu 13 Cho cấp số nhân A C S5 = 121 S5 = 114 A số hạng cấp số nhân ( un ) S2 = có 181 S5 = 16 S5 = Câu 14 Cho cấp số nhân S10 = Giaovienvietnam.com n ( un ) ( 411 + 1) 185 16 có D u1 = B Tìm S5 B biểu thức S10 = 5.49 S3 = 13 ( un ) S5 = 141 S10 = C S5 = 35 16 S5 = 183 16 hoặc 4u3 + 2u2 − 15u1 ( 410 + 1) 5.48 S5 = 121 đạt giá trị nhỏ Tính 210 − 3.26 S10 = D 1024 u4 + u7 S10 211 − 3.27 u1 = 2, Câu 15 Cho cấp số nhân có cơng bội dương biểu thức đạt giá trị nhỏ S = u11 + u12 + + u20 Tính S = 2046 S = 2097150 S = 2095104 S = 1047552 A B C D u4 + u6 = −540 ( un ) u3 + u5 = 180 S 21 Câu 16 Cho cấp số nhân có Tính 1 S21 = ( 321 + 1) S 21 = − ( 321 + 1) 21 21 S = − S = − 21 21 2 A B C D Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân m Câu 17 Tìm tất giá trị tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành x − ( 3x + 1) x + ( 5m + ) x − = cấp số nhân: m = −2 m = m = m = −4 A B C D m1 m2 Câu 18 Biết tồn hai giá trị để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành 2 x + ( m + 2m − 1) x − ( m + 2m − ) x − 54 = cấp số nhân: Tính giá trị biểu thức P = m13 + m23 P = −56 P = P = 56 P = −8 A B C D Câu 19 Một hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng) Sau đó, 10% cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên Nhưng sau thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá 10% mặt hàng lên Hỏi giá mặt hàng A cửa hàng sau hai tăng giá bao nhiêu? Trang 68 Giaovienvietnam.com A 120 B 121 C 122 D 200 Câu 20 Một người đem 100 triệu đồng gửi tiết kiệm với kỳ han tháng, tháng lãi suất số tiền mà người có Hỏi sau hết kỳ hạn, người lĩnh tiền? A 108 ( 0, 007 ) 10 ( 0, 007 ) C (đồng) B 108 ( 1, 007 ) 10 ( 1, 007 ) (đồng) D 0, 7% (đồng) (đồng) 1, 2% Câu 21 Tỷ lệ tăng dân số tỉnh M Biết số dân tỉnh M triệu người Nếu lấy kết xác đến hàng nghìn sau năm số dân tỉnh M bao nhiêu? 10320 3000 A nghìn người B nghìn người 2227 2300 C nghìn người D nghìn người Câu 22 Tế bào E Coli điều kiện ni cấy thích hợp 20 phút lại nhân đôi lần Nếu lúc đầu 1012 có tế bào sau phân chia thành tế bào? 1024.1012 256.1012 512.1012 512.1013 A tế bào B tế bào C tế bào D tế bào Câu 23 Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện 12288m , tích đế tháp Biết diện tích đế tháp tính diện tích mặt 2 6m 12m 24m 3m A B C D Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số nhân cấp số cộng Câu 24 Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai? A Dãy số B Dãy số C Dãy số ( an ) ( bn ) ( cn ) , với , với b1 = c1 = an +1 = an + 6, ∀n ≥ 1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân bn +1 ( 2b + 1) = 3, ∀n ≥ 1, n cn +1 = 3c − 10 ∀n ≥ 1, n vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân d1 = −3 d n +1 = 2d n − 15, ∀n ≥ 1, D Dãy số , với vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân x + y , x + y, 8x + y Câu 25 Các số theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời, số x+ , y x y − 1, x − y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm 3 x=− ,y=− x= ,y= x = −3, y = −1 x = 3, y = 8 8 A B x = 24, y = x = −3, y = −1 x = −24, y = −8 x = 3, y = C D ( dn ) , với a1 = Trang 69 Giaovienvietnam.com x, y , z 2;3;9 Câu 26 Ba số lập thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm số vào ba số (theo thứ tự cấp số cộng) ba số lập thành cấp số nhân Tính F = x2 + y + z A F = 389 F = 395 B F = 395 F = 179 F = 389 F = 179 F = 357 F = 441 C D D HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số nhân B Câu Đáp án A, C D B Các dãy số phương án đảm bảo dấu dãy số phương án B số hạng đầu âm cịn số hạng thứ tư dương nên dãy số phương án cấp số nhân C Câu Đáp án Kiểm tra phương án đến tìm phương án 4,1, −2 A: + Phương án Ba số hạng đầu dãy số không lập thành cấp số nhân nên dãy số ( un ) cấp số nhân 4; −2; −20 B: + Phương án Ba số hạng đầu dãy số không lập thành cấp số nhân nên dãy ( ) số cấp số nhân ( wn ) nên dãy số cấp số nhân 7 , , D: + Phương án Ba số hạng đầu dãy số không lập thành cấp số nhân nên dãy số ( tn ) cấp số nhân B Câu Đáp án Các kiểm tra câu Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công bội cấp số nhân B Câu Đáp án u 1 un +1 = n = un q= u ( ) n 4 Ta có: nên cấp số nhân có cơng bội Suy số hạng tổng quát n −1 1 un = u1.q n −1 =  ÷ = 3.41−n 4 + Phương án C: Ta có Vậy phương án wn +1 = 7.3n +1 = 3wn , ∀n ≥ B Trang 70 Giaovienvietnam.com Câu Đáp án Ta có  x1q = −3  x2 = −3  x = −1 ⇔ ⇔  q =  x4 = −27  x1q = −27 B Do Câu B Đáp án phương án A a1q =  a3 = a =  ⇔ ⇔  a1q = 32 q =  a5 = 32  Câu  x1 =   q = −3 Ta có: a1 = 2, q = a10 = a1q = 1024 Với a1 = 2, q = −2 a10 = a1q = −1024 Với a10 = ±1024 A Vậy Suy phương án C Đáp án Theo tính chất cấp số nhân, ta có: y = 12.192 = 2304 ⇒ y = ±48 a1 =  q = −2 Cũng theo tính chất cấp số nhân, ta có: xy = 122 = 144 y = −48 x = −3 với C Vậy phương án D Đáp án Với Câu y = 48 S n = u1 Ta có: x = 3; − qn 1− q nên theo giả thiế, ta có: 1− = 200 ⇔ 3n = 81 ⇔ n = 1− n Suy Câu u4 = u1.q3 = 135 Đáp án Gọi q Vậy đáp án D B công bội cấp số nhân ( an ) 20a1 − 10a2 + a3 = ( q − 10q + 20 ) = ( q − ) − 10 ≥ −10, ∀q 2 Ta có Dấu xảy q = Trang 71 Giaovienvietnam.com a7 = a1.q = 2.5 = 31250 Suy B Vậy phương án B Câu 10 Đáp án Cách 1: Kiểm tra dãy số phương án có thỏa mãn yêu cầu tốn khơng 50 ,150 , 450 , 2250 A: + Phương án Các góc khơng lập thành cấp số nhân 0 0 0 15 = 3.5 ; 45 = 3.15 ; 225 ≠ 3.45 + Phương án B: Các góc 90 , 270 ,810 , 2430 lập thành cấp số nhân 90 = 810 0 0 + 27 + 81 + 243 = 360 B Hơn nữa, nên phương án C D: A + Phương án Kiểm tra phương án a, aq, aq , aq , q > Cách 2: Gọi góc tứ giác a = aq q = Theo giả thiết, ta có nên a,3a,9a, 27 a Suy góc tứ giác 3600 Vì tổng góc tứ giác nên ta có: 0 a + 3a + 9a + 27 a = 360 ⇔ a = Do đó, phương án 90 ) A Câu 11 Đáp án Ta có B (vì ba phương án cịn lại khơng có phương án có góc u4 + u6 = −540 ⇔ ( u3 + u5 ) q = −540 Kết hợp với phương trình thứ hai hệ, ta tìm u3 + u5 = 180 ⇔ u1 ( q + q ) = 180 Lại có u1 = q = −3 Vì nên A Vậy phương án A Câu 12 Đáp án a6 = 224 ⇔ a1q5 = 224 ⇒ q = a1 = Ta có (do ) Trang 72 q = −3 Sk = Do a1 ( − q 1− q k ) =7 Giaovienvietnam.com (2 k − 1) nên T = 10a9 = 10a1q = 17920 k S k = 3577 ⇔ ( − 1) = 3577 ⇔ 2k = 29 ⇔ k = Suy A Vậy phương án n Dạng 3: Bài tập tổng số hạng cấp số nhân A Câu 13 Đáp án ⇒ u1q = ⇒ u1 = u3 = S3 − S2 = q Ta có 9 + =4 S2 = u1 + u1q = q2 q Vì nên Do q=− ⇔ q − 9q − = ⇔ q = u1 = 1, u6 = u1q = 243 q =3 + Với u − u − 243 S5 = = = 121 1− q 1− Suy 243 q=− u6 = − u = 16, 64 + Với u − u 181 S5 = = 1− q 16 Suy A Vậy phương án B Câu 14 Đáp án q Gọi công bội cấp số nhân Khi 4u3 + 2u2 − 15u1 = ( 4q + 1) − 122 ≥ −122, ∀q Dấu xảy 4q + = ⇔q=− 10 Suy ra:  1 1−  − ÷ 10 ( 410 − 1) 1− q 4  S10 = u1 = = 1− q 5.48  1 1−  − ÷  4 Trang 73 Giaovienvietnam.com B Vậy phương án C Câu 15 Đáp án q q > Gọi công bội cấp số nhân, 1024 512 u4 + = 2q + u7 q Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 2q + 512 512 512 = q + q3 + ≥ 3 q q3 = 24 q q q u4 + Suy S10 = 1024 u7 u1 ( − q10 ) Ta có Do 1− q = 211 − 2; S10 = S = S 20 − S10 = 2095104 Câu 16 Đáp án Ta có đạt giá trị nhỏ 24 q3 = u1 ( − q 20 ) 1− q = 221 − Vậy phương án C A u4 + u6 = −540 ⇔ ( u3 + u5 ) q = −540 Kết hợp với phương trình thứ hai hệ, ta tìm ⇔ u1 ( q + q ) = 180 Vì 512 q ⇔ q = q = −3 nên u1 = S 21 = Suy A Vậy phương án Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân B Câu 17 Đáp án d −8 − =− = a Cách 1: Ta có u1 ( − q 21 ) 1− q = q = −3 Lại có u3 + u5 = 180 21 ( + 1) Điều kiện cần để phương trình choc ó ba nghiệm lập thành cấp số nhân nghiệm phương trình x=2 Thay vào phương trình cho, ta − 2m = ⇔ m = Trang 74 x= 38=2 Với m = 2, Giaovienvietnam.com x − x + 14 x − = ⇔ x = 1; x = 2; x = ta có phương trình m=2 B Ba nghiệm lập thành cấp số nhân nên giá trị cần tìm Vậy, phương án Cách 2: Kiểm tra phương án đến tìm phương án A Câu 18 Đáp án d −54 − =− = 27 a Ta có Điều kiện cần để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân x = 27 = phải nghiệm phương trình cho ⇔ m + 2m − = ⇔ m = 2; m = −4 Vì giả thiết cho biết tồn hai giá trị tham số thỏa mãn m nên m=2 P = 23 + ( −4 ) = −56 Suy A Vậy phương án B Câu 19 Đáp án Sau lần tăng giá thứ giá mặt hàng M = 100 + 100.10% = 110 Sau lần tăng giá thứ hai giá mặt hàng M = 110 + 110.10% = 121 A A là: là: B Suy phương án Suy phương án B Câu 15 Đáp án D M = 108 Số tiền ban đầu r = 0, 7% = 0, 007 Đặt (đồng) Số tiền sau tháng thứ Số tiền sau tháng thứ hai M1 = M + M r = M ( + r ) M = M + M 1r = M ( + r ) Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu Do M = 108 ( 1, 007 ) Trang 75 M6 = M0 (1+ r) m = −4 giá trị Giaovienvietnam.com Câu 16 Đáp án C P0 = 2000000 = 2.106 r = 1, 2% = 0, 012 Đặt Pn n M Gọi số dân tỉnh sau năm Pn +1 = Pn + Pn r = Pn ( + r ) Ta có: ( Pn ) P0 q = 1+ r Suy cấp số nhân với số hạng đầu cơng bội Do số dân tỉnh Câu 17 sau 10 P9 = M ( + r ) = 2.106 ( 1, 012 ) năm là: 10 ≈ 2227000 Đáp án C Lúc đầu có 1022 số nhân với Do 20 tế bào lần phân chia tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp u1 = 1022 cơng bội q=2 phút phân đôi lần nên sau bào nhận sau Câu 18 M 3 có lần phân chia tế bào Ta có Vậy, số tế bào nhận sau u10 u10 = u1q = 512.10 là số tế 12 Đáp án A u0 un ≤ n ≤ 11 n Gọi diện tích đế tháp diện tích bề mặt tầng thứ , với Theo giả thiết, ta có Dãy số ( un ) un +1 = un ≤ n ≤ 10 lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u0 = 12288 q= công bội 11 Diện tích mặt tháp 1 u11 = u0 q11 = 12288  ÷ = m 2 Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số nhân cấp số cộng Câu 19 Đáp án D Kiểm tra phương án đến tìm phương án sai a2 = 3; a2 = 3; + Phương án A:Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng chứng an = 3, ∀n ≥ ( an ) minh Do dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (cơng sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) Trang 76 Giaovienvietnam.com ( bn ) bn = 1, ∀n ≥ + Phương án B: Tương tự phương án A, Do dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (cơng sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) ( cn ) cn = 2, ∀n ≥ + Phương án C: Tương tự phương án A, Do dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (công sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) d1 = −3, d = 3, d3 = + Phương án D: Ta có: Ba số hạng khơng lập thành cấp số cộng không lập thành cấp số nhân nên dãy số số nhân Câu 20 ( dn ) Đáp án A x + y, x + y,8 x + y + Ba số lập thành cấp số cộng nên ( x + y ) + ( 8x + y ) = ( 5x + y ) ⇔ x = y + Ba số Thay Với Câu 21 cấp số cộng không cấp x + , y − 1, x − y x = 3y y = −1 Đáp án C vào ta x = −3 lập thành cấp số nhân nên y + y − = ⇔ y = −1 y= ; với x= 5   x + ÷( x − y ) = ( y − 1) 3  y= x + z = 2y Theo tính chất cấp số cộng , ta có x + y + z = 21 y = 21 ⇔ y = Kết hợp với giả thiết , ta suy x = y−d = 7−d z = y+d =7+d d Gọi công sai cấp số cộng 2;3;9 x + 2, y + 3, z + x, y , z Sau thêm số vào ba số ta ba số hay − d ,10,16 + d ( − d ) ( 16 + d ) = 102 ⇔ d + 7d − 44 = Theo tính chất cấp số nhân, ta có d = −11 d =4 Giải phương trình ta 18, 7, − d = −11 F = 389 Với , cấp số cộng Lúc Trang 77 Giaovienvietnam.com Với d =4 , cấp số cộng 3, 7,11 Lúc F = 179 Trang 78 ... chiếu ,… tiếp tục thế, Xét dãy số với un = CAn Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng: ( un ) Dãy số ( un ) Dãy số Dãy số n∈ ¥* ( un ) gọi dãy số tăng ta có gọi dãy số giảm ta có un +1 > un un... trình bậc hai với ngun dương, ta tìm B CÁC DẠNG TỐN VỀ CẤP SỐ CỘNG Câu Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? A Dãy số B Dãy số C Dãy số D Dãy số ( an ) ( bn ) ( cn ) ( dn ) , với , với an = 2n... 10 Ta có nên dãy số tăng Suy bị chặn u1 = un = − < 1, ∀n ≥ un 3n + Lại nên dãy số bị chặn Câu 17 Đáp án D • • • Dãy số (an ) Dãy số Dãy số Dãy số • Dãy số Câu 18 Đáp án B • • • Dãy số (an ) (bn