tai lieu chu de phuong trinh luong giac co chua tham so

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ THAM SỐ Trong chủ đề có số tốn bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình tốn 11, khảo sát hàm số lớp 12 để giải quyết) Phương pháp giải toán tác giả xin trình bày chi tiết thơng qua hệ thống ví dụ cụ thể Ví dụ Có giá trị tham số m thuộc tập E  3; 2; 1;0;1;2 để phương trình m sin x cos x  cos2 x  m  có nghiệm? a) b) c) d) Lời giải: Phương trình tương đương với m sin x  cos x  m  Phương trình có nghiệm  m  2   m  3  m    m   Mà m  E   m  3; 2; 1 Chọn B Ví dụ Cho phương trình m sin x  sin x cos x  3m cos2 x  Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm  4 a) m  0;   3  4 b) m   \ 0;   3  4 c) m  0;   3  4 d) m   0;   3 Lời giải: Phương trình  m  cos x  cos x  sin x  3m   sin x  m cos x   m 2 Phương trình có nghiệm   m   m  m  3m  m    m  Chọn C  3   sin   x     tan  Gọi S tập hợp tất giá trị thực  Ví dụ Cho phương trình sin x  tan  thuộc đoạn [0;2 ] để phương trình có nghiệm Tổng phần tử tập S a)  b)  c)  d)  Lời giải: sin x  Điều kiện:  cos   Phương trình tương đương với   cos x  3sin 2  3sin 2 sin x  cos x  sin x (1) Trang Nếu sin x    cos x   : không thỏa (1) Do phương trình có nghiệm ln thỏa mãn điều kiện sin x  cos   Để phương trình có nghiệm   (3sin 2)  16  25 cos   cos    k    cos 2      , k   : thỏa điều kiện sin 2  sin 2   3 5 7    5 7    S   ; ; ;    tổng     4 4 4 4 4  Chọn C     Ví dụ Cho phương trình sin  x   cos  x    m  sin x  cos x Gọi S  [a; b] tập tất 3 6   giá trị tham số m để phương trình có nghiệm Tính a + b a) a + b = - b) a  b   c) a + b = d) a + b = Lời giải:         Ta có sin  x   cos  x    sin  x    sin  3 6 2  6 2     1    1 sin x cos  sin cos x   sin x  cos x     2  6    PT  sin x  cos x   m  sin x  cos x  cos x  Phương trình có nghiệm  1  m2  2 m2     m   2  m  2 a  2   S   2;2     a  b  b  Chọn C Ví dụ Cho phương trình sin x  cos6 x  3sin x cos x  m   Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) b) c) 13 d) 15 Lời giải:    Ta có sin x  cos6 x  sin x  cos2 x  3sin x cos2 x sin x  cos2 x    3sin x cos2 x   sin 2 x m Phương trình   sin 2 x  3sin x cos x     3sin 2 x  sin x  12  m 4 Trang   Đặt t  sin x   3t  6t  12  m   t  1  15  m t 1;1 Vì 1  t      t  1  12 Do để phương trình có nghiệm   15  m  12 m   m  15   m  3;4;5; ;15 Chọn C Ví dụ Cho phương trình 3tan  tan x  cot x   m Có giá trị nguyên m nhỏ 2018 sin x để phương trình có nghiệm? a) 2004 b) 2008 c) 2011 d) 2012 Lời giải: sin x  k Điều kiện:  x  k   cos x    Phương trình viết lại  tan x    tan x  cot x  m sin x      tan x  cot x   tan x  cot x  m Đặt t  tan x  cot x Điều kiện: t    Phương trình trở thành t   t  m  3t  t  m  Xét hàm f (t )  3t  t tren ( ; 2]  [2; ) Bảng biến thiên T  f '(t ) f (t ) -2  - +   14 10 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có n ghiệm  m   10  m  m  m  7;8;9; ;2017   có 2011 giá trị m  2018 Chọn C Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x  m tan x có nghiệm x  k    a) m    ;4      b) m   ;4      c) m    ;4    d) m   1;4  Lời giải: Điều kiện cos x  Trang Phương trình  sin x.cos x  m.sin x sin x  4.sin x cos x.cos x  m (*) cos x cos x   Vì x  k  nên sin x  Khi (*)  cos2 x cos2 x   m  x  k Đặt t  cos2 x , với  suy t   0;1 Phương trình trở thành m  8t  4t cos x  Xét hàm f ( x )  8t  4t với t  (0;1), ta   f (t )  Do phương trình có nghiệm    m  Chọn A Ví dụ Cho phương trình cos x   m  1 cos x  m   Tìm tất giá trị thực tham số m để   3  phương trình có nghiệm thuộc khoảng  ;  2  a) 1  m  b) 1  m  c) 1  m  d) 1  m  Lời giải:  cos x   Phương trình  cos x   m  1 cos x  m     cos x  m Nhận thấy phương trình cos x  khơng có nghiệm khoảng   3   ;  (Hình vẽ)     3  Do u cầu tốn  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng  ;   1  m  2  Chọn C Ví dụ Cho phương trình cos2 x  1  m  cos x  m   Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình có nghiệm? a) b) c) 10 d) 11 Lời giải: Đặt t  cos x  1  x  1 Phương trình trở thành t  1  m  t  m    t  2t   m  t  1 (1) Trang  Xét t  : (1) trở thành = (không thỏa mãn)  Xét t  : (1)  Xét hàm f (t )  t  2t   2m t 1 t  2t  t  2t  với t  [  1;1), ta có f '(t )   t   1;1 t 1  t  1 Bảng biến thiên t -1 f '(t ) f (t )  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm  m   m  m   m  10; 9; 8; ;0   có 11 giá trị m 10;10 Chọn D Ví dụ 10 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x  cos2 x  m sin x có nghiệm   thuộc khoảng  0;   12   1 a) m   0;   2 1  b) m   ;2  2  c) m   0;1 1  d) m   1;  4  Lời giải: Ta có: cos2 x   cos6 x  cos3 x  3cos x  cos x  cos2 x  2 Phương trình cho  cos2 x    cos3 x  3cos x  cos x  m 2  cos2 x    cos3 x  3cos x  1  cos x  m   cos x  1 m  cos3 x  cos2 x  3cos x  (*)   4t  4t  3t    Đặt t  cos x , với x   0;    4t   t   ;1 Khi (*)  m  t 1  12    Trang  f (t )    23 ;1      Xét hàm f (t )  4t  đoạn  ;1 , ta  f (t )    max   ;1      Vậy để phương trình m  f (t ) có nghiệm m   0;1 Chọn C Ví dụ 11 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm x thuộc    đoạn   ;   2 a) m   b) m   c) 1  m  d) 1  m  Lời giải: Nếu dùng điều kiện có nghiệm:  m  1  m     2m  m   (đáp án A) sai hồn tồn    x    ;  sin x quét hết tập giá trị [-1; 1] với cos x không  2 x    Lời giải Đặt t  tan , với x    ;    t  [1;1]  2 Phương trình trở thành 2t 1 t2  m   m  t  4t   2m 2 1 t 1 t max f (t )   1;1 Xét hàm f (t )  t  4t  đoạn [-1;1] Tìm  f (t )  2 min  1;1 Do yêu cầu toán 2  2m   1  m  Chọn C Ví dụ 12 Cho phương trình mx  42  42 cos x Tổng tất giá trị nguyên tham số m để   phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 a) – 54 b) – 35 c) 35 d) 51 Lời giải: 42  cos x  1   Vì x   0;  nên phương trình  x2  2 Xét hàm f  x   1  cos x   x sin x cos x      với x   0;  , ta có f '( x)   0, x   0;  x x  2  2   Suy f(x) đồng biến  0;  nên lim f ( x )  f ( x )  lim f ( x )     f ( x)   x0    2 x Trang Vậy để phương trình cho có nghiệm 22  m  16 m   m  19; 18; 17 Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x  -2 f’(x) -1 + f(x) -  +  -1  m Có số nguyên m để phương trình f 3cos  x  1  1   có nghiệm? a) b) c) d) 13 Lời giải: Đặt t  3cos x  x  1    2  t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t   2; 4 1  f (t )  Do để phương trình có nghiệm  1   m   6  m  2 m   m  6; 5; 4; ; 2   có giá trị Chọn C Ví dụ 14 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x  -1 f’(x) + -  +  f(x) -2  Có số nguyên dương m để phương trình f  2sin x  1  f (m) có nghiệm? a) b) Trang c) d) Lời giải: Đặt t  sin x    1  t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t   1;3 2  f  t   Do để phương trình có nghiệm  2  f ( m)  Cũng từ bảng biến thiên suy f(m) nhận giá trị từ - đến 1  m  m   m  1; 2;3   có giá trị  Chọn B Ví dụ 15 Cho phương trình cos 3x    2m  cos x  m   Tìm tất giá trị thực tham số    m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng   ;   3 a) 1  m b)  m  c)  m  d)  m  Lời giải:       Với x    ;    3x    ;    3   Đặt t  cos x  1  t  1 Phương trình trở thành 2t    2m  t  m    t1   Ta có    2m     phương trình có hai nghiệm  t  m  2 Ta thấy ứng với nghiệm t1  cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng     ;   3 Do yêu cầu toán  1  t2  (tham khảo hình vẽ)  1  m     m  Chọn B Cách khác: Trang Yêu cầu toán tương đương với phương trình 2t    m  t  m   có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn P   1  t2     a f 1   a f  1    Ví dụ 16 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x  sin  x     m có 4   3  nghiệm thuộc khoảng  0;    a) 3  m  1  b) 3  m  1  c) 1  m  1  d) 1  m  1  Lời giải: Phương trình viết lại sin x  sin x  cos x   m   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , suy sin x  t  4       3  Với x   0;    x    ;     t  0;  4    Phương trình trở thành t  t   m (*)   Xét hàm f (t )  t  t  0;  Ta có f '  t   2t   0, t  0;   Suy f  t  đồng biến 0;  kết luận f    m  f      3  m  1     Thử lại m  1    sin  x      có nghiệm x  4   3  thuộc  0;    Lí dẫn đến sai lầm tốn u cầu có hai nghiệm khác với u cầu có nghiệm Dựa vào đường trịn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu toán  phương trình (*) có  nghiệm t thuộc 1;   f 1  m  f     1  m  Chọn D Ví dụ 17 Cho phương trình m sin x  3sin x cos x  m   Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m  3  thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có nghiệm thuộc  0;  Tổng phần tử S   a) -15 b) -14 c) d) 15 Lời giải: Trang Phương trình  m  sin x  1  3sin x cos x    3sin x cos x  m cos2 x   Nhận thấy cos x  khơng thỏa phương trình Chia hai vế cho phương trình cos2 x ta tan x  3tan x  m   Đặt t  tan x , ta phương trình bậc hai t  3t  m    3  Để phương trình cho có ba nghiệm thuốc  0;   phương trình t  3t  m   có hai nghiệm   m trái dấu  m    m  1   m  5; 4; 3; 2   S  14 m[ 5;5] Chọn B Ví dụ 18 Cho phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x Số giá trị nguyên tham số  2  m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;   3 a) b) c) d) Lời giải: Phương trình  1  cos x  cos x  m cos x   1  cos2 x   cos  1  1  cos x  cos x  m      cos x  m    2  Với x  0;    phương trình cos x  1 vơ nghiệm  3   2   4  Với x  0;    x  0;   3   Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu toán m 1     4  m  2 Vì m     m  3; 2 Chọn B   Ví dụ 19 Có số thực m để phương trình  sin x  1 cos2 x   2m  1 cos m  có nghiệm thuộc đoạn 0;2 ? a) b) c) d) Lời giải: sin x   Phương trình   sin x  1 cos x  1 cos x  m    cos x    cos x  m  Trang 10  a; b  Giá trị a + b  2 a) b) c) d)   Lời giải:   Phương trình  m    sin x  m    sin x  1  sin x    sin x Xét hàm số f  t   t  t với t  [0; ) Hàm đồng biến [0; ) nên suy f   m    sin x  f    sin x  m    sin x   sin x  m    sin x   sin x  m  sin x   sin x Đặt u   sin x , sin x   1;1   u  0;    Phương trình trở thành: m  u  u  1 Xét hàm g  u   u  u  với u  0;  Ta có g '  u   2u  1; g '  u    u    Bảng biến thiên u g’(u) - + g(u) 1 -1  Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm    m  1  a      a b    b    Chọn D Ví dụ 29 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình   sin x   cos x   2 cos3 x  m  cos3 x  m   cos2 x  m   2  có nghiệm thuộc 0;  ?   a) b) c) d) Trang 17 Lời giải: Phương trình tương đương với  sin x  sin x  2 cos3 x  m   cos3 x  m   cos3 x  m  Xét hàm f  t   2t  t với t  Ta có f '  t   6t     f  t  đồng biến Mà f  sin x   f   sin x  cos3 x  m  , suy sin x  cos3 x  m    sin x  cos x  m   2  sin x  cos3 x  m  (vì sin x  0, 0;  )     cos x  cos x  m   m  2 cos x  cos x   2    Đặt u  cos x, x  0;   u    ;1 Khi phương trình trở thành: m  2u3  u          u     ;1   Xét g  u   2u3  u  1, có g '  u   6u2  2u; g '  u         u      ;1    Bảng biến thiên u  g’(u) g(u)  - 0 1 -  28 27  m  1 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm   4  m   28  27 m   m  4; 3; 2; 1 Chọn D Ví dụ 30 Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos2 x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) b) c) d) Lời giải: Điều kiện: cos x  m  Phương trình cho tương đương với  sin x  sin x  cos x   cos x  m  cos2 x  m Trang 18   sin x  cos x   sin x  cos x  cos2 x  m  cos  m   sin x  cos x   sin x  cos x   cos2 x  m  2 cos x  m Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t    hàm số f(t) đồng biến Mà f  sin x  cos x   f   cos2  m , suy sin x  cos x  cos2 x  m   sin x  cos x   cos2  m   sin x  cos2 x  m  sin x  cos x  m   Vì sin x  cos x  sin  x      2;   4   m  m  1;0;1   phương trình cho có nghiệm    m   Chọn B Ví dụ 31 Cho phương trình sin x  m  sin x  sin x  sin x  m   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 Lời giải: a  sin x  m Đặt  b  sin x Phương trình trở thành: a  b  a3  b3     a  b  2  a3  b3    a  b    a  b   12  a  b    a  b   a  ab  b     a  b  3ab  a  b  12    a  b  a   b     Với b    sin x  : vô nghiệm  Với a    sin x  m   sin x  Phương trình có nghiệm 1   8m 8m m    m  12   m  4;5;6; ;12 Với a  b    sin x  m  sin x   m   sin x  sin x Đặt t  sin x  1  t  1 , ta m  t  4t Xét hàm f  t   t  4t đoạn [-1;1], ta 5  f  t   với t   1;1 m Suy phương trình có nghiệm  5  m    m  5; 4; ;4;5 Hợp hai trường hợp ta 18 giá trị nguyên m (vì m  4; m  lặp lại) Chọn A Trang 19 Ví dụ 32 Cho phương trình tan x   sin x  cos x   m  sin x  3cos x  Có giá trị nguyên   tham số m thuộc đoạn [-2018; 2018] để phương trình có nghiệm thuộc  0;  ?  2 a) 2015 b)2016 c) 2018 d)4036 Lời giải: Điều kiện: cos x  Vì cos x  nên phương trình tương đương với   tan x   tan x   m  tan x  3   Đặt t  tan x  1, x   0;    t  1;    2     Khi phương trình trở thành 3t t   m t   m  3t  3t t2    t  5t  3t  3t Xét hàm f  t   với t  1;   Ta có f '  t    0, t  1;   t 2 (t  2)2 Bảng biến thiên t  f’(t) +  f(t) Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm m >     m  3;4; ;2018   có 2016 giá trị m m 2018;2018 Chọn B Ví dụ 33 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cos2 x  cos x  m  m có nghiệm a) b) c) d) Lời giải: cos2 x  u  m Đặt u  cos x  m , ta có hệ  u  cos x  m u   cos x Trừ vế theo vế ta cos2 x  u  u  cos x    u  cos x  cos x  u  1    u  cos x   Với u  cos x  ta m  cos x  cos x  3  khao sat (1)  m  cos x   cos x  1  m  cos2  cos x   m   ;3 4  Trang 20  Với u   cos x, ta  cos x  m  cos x   cos x   m  cos x  cos x cos x   khao sat m  cos x  cos x  m  0;2  m  0;1;2;3   có số nguyên dương thỏa mãn Chọn C Ví dụ 34 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình  cos x   sin x  m có nghiệm a) b) c) d) Lời giải: 1  cos x   2 Điều kiện:     k 2  x   k  (Hình vẽ) 1  sin x  m   PT   m2 2   sin x  cos x     sin x  cos x   sin x cos x    1   dieu kien Đặt t  sin x  cos x  t   ; 2   Phương trình (1) trở thành  2t  2t  2t   m2  1   Xét hàm f  t    2t  2t  2t  với t   ; 2   Ta có f '  t     1    0, t   ; 2 2t  2t    4t    max f  t   f    Suy   1   min f  t   f         m2 4  1  Do để phương trình có nghiệm   m    3 1 1  m  1 m   m  5;6;7;8;9 Chọn D Cách khác: Bài tốn lập m vế nên dùng MODE nhanh Trang 21  2 5 Nhập hàm d F ( X )   cos X   sin X với Start   ; End  ; Step : 114 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3sin x  m   có nghiệm? A B C D Câu Tìm m để phương trình m sin x  cos x x  m  vô nghiệm A  m  B m   m  C  m  D m   m  Câu Với giá trị sau tham số m phương trình sin x  m cos x  14 có nghiệm? A B – C D – Câu Tìm giá trị tham số m để phương trình 3sin x  m cos x  vơ nghiệm A m   4;4  B m   4;   C m  (; 4]  [4;  ) D m   ; 4  Câu Tìm m để phương trình 3sin x  cos x  m có nghiệm A  5 m 2 B  5 m 2 C m   D  m Câu Tìm điều kiện m để phương trình m sin x  3cos x  có nghiệm? B 4  m  A m  34  m  4 C  m  D m  Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 3sin x  cos x  m có nghiệm A m  5 B 5  m  Câu Tìm m để phương trình m  A 2  m  C m  D 1  m  cos x  sin x  có nghiệm cos x  sin x  B  m  C  m  11 D 2  m  1 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương tình m sin x   m  1 cos x  2  vô nghiệm A m  1  m  B m  2  m  C   m  D m    m  Câu 10 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x   m  1 cos x  m  có nghiệm A B C D Câu 11 Có giá trị nguyên tham số m   2018;2018 để phương trình  m  1 sin x  sin x  cos x  A 4036 có nghiệm? B 2020 C 4037 D 2019 Trang 22 Câu 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x   m  1 cos x  m   có   3  nghiệm khoảng  ;  ? 2  A 1  m  B 1  m  D 1  m  C 1  m    Câu 13 Tìm m để phương trình  sin x  1 cos2 x   2m  1 cos x  m  có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 0;2 ? A B C D   Câu 14 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình  sin x  1 cos2 x  cos x  m  có nghiệm thuộc đoạn 0;2  ? A  m  B   m  C  Câu 15 Cho phương trình sin x  sin x    m  D  m   sin x  cos x  m  Để phương trình có hai    nghiệm x1; x2 thuộc đoạn   ;  m   a; b  Giá trị b – a  2 A 3 B  Câu 16 Cho phương trình  sin x  1  D  C  cos x  sin x  2sin x  3sin x  Tính tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0;2 phương trình cho A 7 B  C 16  D   2  Câu 17 Tìm m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có hai nghiệm x  0;   3 ( a; b] Giá trị a + b A – B C  D Câu 18 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin s  cos4 x  cos2 x  m có bốn nghiệm    phân biệt thuộc đoạn   ;   4  m  A   m  47  64 B 47 m 64 C 47 m 64 D 47 m 64 Câu 19 Tìm m nguyên để phương trình cos3 x  m  cos x  m  cos x có nghiệm? A B C D Trang 23 Câu 20 Tìm tất tập giá trị tham số m để phương trình m  m    sin x  sin x có nghiệm  ;  Giá trị    A   B   C   2 D   2 Câu 21 Có tất số nguyên dương m để phương trình sin x  m  sin x  m có nghiệm thực? A B C D Câu 22 Có tất số nguyên dương m để phương trình cos2 x  m  cos x  m có nghiệm thực? A B Câu 23 Cho phương trình C  sin x  m  D  sin x  m   sin x  m  Gọi S   a; b  tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thực Tính giá trị P  a  b A P  162 49 B P  49 162 C P  D P  Câu 24 Tìm tất số thực m để phương trình cos x   m  1 cos x  cos x  có nghiệm phân    biệt khoảng   ;2     A  m  B 1  m  C  m  D 2  m  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-B 8-C 9-C 10-C 11-B 12-B 13-A 14- 15-B 16-A 17-C 18-B 19-A 20-A 21-D 22-A 23-A 24-A Câu 1: Chọn B Ta có 3sin x  m    sin x  m2  Phương trình có nghiệm 1  m2     m2  Kết hợp m    m  2 Câu 2: Chọn B  m 2 Phương trình vơ nghiệm  m   1   2m  1  3m  4m     m   Trang 24 Câu 3: Chọn B Phương trình có nghiệm   m  14  m  13 Vậy giá trị tham số m phương án m  4 giá trị cần tìm Câu 4: Chọn A Phương trình vơ nghiệm  32  m   m  16  4  m  Câu 5: Chọn A Phương trình có nghiệm    4    2m   m  2 25 5  m 2 Câu 6: Chọn C  m  4 Phương trình có nghiệm  m   3  52  m  16   m  Câu 7: Chọn B Phương trình có nghiệm 32   4   m  m  25  5  m  Câu 8: Chọn C Dễ thấy cos x  sin x    x    Do phương trình  m  cos x  sin x    cos x  sin x    m  1 cos x    m   sin x   m Phương trình cho có nghiệm   m  1   m      m   11m  24 m    2 m2 11 Câu 9: Chọn C Phương trình  m sin x   m  1 cos x  2 vô nghiệm  2m   1  m  2   2   m  m  m    5m  m      m 1 Câu 10: Chọn C Phương trình cho có nghiệm    m  1   m  1  3m  m   2    m  Kết hợp m    m  0;1 Câu 11: Chọn B PT   m  1  cos x  sin x  cos x   m   m cos x  cos x  2sin x  cos x    m  1 cos x  sin x  m  Trang 25 Phương trình cho có nghiệm   m  1  22   m  1  m   m  2 m   Kết hợp   có 2020 giá trị tham số m m  [[2018;2018] Câu 12: Chọn B Phương trình   cos x   m  1 cos x  m   cos2 x   m  1 cos x  m   cos2 x  2m cos x  cos x  m   cos x  cos x  m    cos x  m    cos x    cos x  1 cos x  m      cos x  m    3    3  Với x   ;   cos x   1;0  nên phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng  ;  2  2  chi 1  m  Câu 13: Chọn A Phương trình   sin x  1  cos x  cos x  m    cos x  m     x   k 2  sin x       sin x  1 cos x  1 cos x  m     cos x    x    k      cos x  m  cos x  m  Trên đoạn 0;2 phuowngt rình x       k  x    k  có nghiệm x  ; x   3 phương trình cho có nghiệm thực TH1: Phương trình cos x  m có nghiệm thực khác x    ; x   TH2: Phương trình cos x  m có nghiệm nghiệm x  m   m  1    m0 Vậy có giá trị m Câu 14: Chọn A   x   k 2 sin x   Phương trình      cos x  cos x  m   cos x  cos x  m  Trang 26 Với xc  0;2  phương trình x     k  có nghiệm x  để phương trình cho có 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2 phương trình cos2 x  cos x  m  có nghiệm thuộc đoạn 0;2 khác nghiệm x   Đặt t  cos x t   1;1 Điều kiện toán thỏa mãn phương trình t  t  m   m  t  t có nghiệm phân biệt t   1;1 \ 0 Lập bảng biến thiên cho hàm số f  t   t  t với t   1;1 T -1 + - f(t)  + 1 0 -2 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm  m  Câu 15: Chọn B   Phương trình   cos x  sin x  sin  x    m 6              cos  x    sin  x    m   1  sin  x     sin  x   3 6  6           sin  x    sin  x     m 6 6      2         Với x    ;   x     ;  đặt t  sin  x   t    ;1  3 6  2    Khi f  t   4t  4t   m    Để phương trình có nghiệm x1, x2 thuộc đoạn   ;  ta xét  2   b   TH1: f  t   m có nghiệm kép t   ;1  , mà t     ;1  nên trường hợp loại  a      3 TH2: f  t   m có nghiệm t1 , t2    ; m  2;2   2      Suy b  a   Câu 16: Chọn A Trang 27 Phương trình   sin x  1   sin x  1    cos x  sin x   sin x  1 sin x  1  sin x   cos x  sin x      cos x  sin x   cos  x        6      x    k 2  Với sin x      x  7  k         x    k 2  x   k 2     Với cos x  x     cos  x       6 6    x       k 2  x     k 2   7 11 7   Với x  0;2   x   ; ;  suy tổng nghiệm phuowngt rình  6 2 Câu 17: Chọn C   Phươn trình   cos x  1 cos x  m cos x   m  sin x  m 1  cos x 1  cos x   1  cos x  cos x  m cos x   1  cos x  m  m cos x  1  cos x  cos x  1    cos x  m cos x  m  m cos x cos x  m   2  Với cos x  1  x    k , kết hợp x   0;   vô nghiệm  3   2   3  Với cos 2x  m x   0;   x   0;  , dựa vào đường trịn lượng giác để phương  3  4 1  trình có nghiệm cos x   1;   2  1  Do S   1;    a  b   2  Câu 18: Chọn B Phương trình   sin x  cos x   sin x cos x  cos x  m 1  cos x   sin 2 x  cos2 x  m    cos2 x  m 2 2    cos x  cos x  m  cos x  cos x   m    Với x    ;   x   ;  , đặt t  cos x suy f  t   4t  t   m  4 Để phương trình cho có nghiệm phương trình f  t   m có nghiệm phân biệt thuộc  1;1 Trang 28 Ta có bảng biến thiên t  -1 f(t) 47 16 Dựa vào bảng biến thiên suy 47 47  4m   m 16 64 Câu 19: Chọn A Phương trình   cos3 x  cos x   m m  cos x    cos x.cos x  m  m  cos x  cos x  cos x  m  m  cos x   cos x   cos x  m  cos x  m  cos x Đặt a  cos x, b  m  cos x ta có: a3  a  b3  b   a  b   a  ab  b       a  b  a  ab  b   a  b Do cos x  m  cos x  m  8cos3 x  cos x   cos3 x  3cos x   cos3 x Vậy phương trình có nghiệm km   2;2  , kết hợp m   suy có giá trị nguyên tham số m Câu 20: Chọn A Đặt a   sin x a  0;  sin x   1;1   Khi m  m   a  a2   m   m   a  a    m  1 a  m  1 a    m  1 a  1  1  1  1    a  a     m  1 a     a   4  4  2  2 1  1  a   m   a  a  m   a2  a  m    a   2  2 2 1  9   Với a  0;   a    0;   nên phương trình có nghiệm   m      2  4      m    ;1            Câu 21: Chọn D Phương trình  sin x  sin x  m  sin x  m  sin x  sin x  sin x  1  m  sin x  m  sin x  4 Trang 29 1  2 sin x   m  sin x  sin x   m  sin x 1  1    sin x     m  sin x      2  2  sin x    m  sin x sin x   m  sin x  2  TH1: sin x   m  sin x  m   sin x  1  sin x  sin  sin x  2 1 3   Với sin x   1;1 m  sin x  sin x    sin x      ; 3 2 4   3 9 Suy phương trình có nghiệm m   ;  , kết hợp m    m  1;2;3 4 4   1  sin x  TH2: sin x   m  sin x    m  sin x  sin x Với sin x   1;0  m  sin x  sin x  0;2  Suy phương trình có nghiệm n  0;2  , kết hợp m    m  0; 1; 2 Kết hợp trường hợp suy m  0; 1; 2; 3 Câu 22: Chọn A Phương trình  cos2 x  cos x  1  m  cos x  m  cos x  4 1  cos x   m  cos x    cos  m  cos x 1  1  2   cos x     m  cos x      2  2   cos x    m  cos x  cos x   m  cos x  2  2 1  TH1: Với cos x   m  cos x  m   cos x  1  cos x  cos x  cos x    cos x    2  Với cos x   1;1 2  1 3    cos x      phương trình có nghiệm m   ;3  2 4  Kết hợp m     m  1;2;3  1  cos x  TH2: Với cos x   m  cos x   m  cos x  cos x Với 1  cos x   cos2 x  cos x  0;2   phương trình có nghiệm m  0; 2 Suy phương trình có nghiệm m  0; 2 , kết hợp m     m  1; 2 Kết hợp trường hợp suy m  1;2;3 Câu 23: Chọn A Dễ thấy với sin x  m phương trình  8sin x   sin x  m  Trang 30 Với sin x  m chia vế phương trình cho  sin x  m  ta  sin x  m   sin x  m    3  2  sin x  m   sin x  m  t   sin x  m  Đặt t     t t 2     sin x  m  t  2 Với t   sin x  m  sin x  m  m  Với t  2  9  m   sin x  m  8  sin x  m  8sin x  8m  sin x  m có nghiệm sin x  m 9 162  9  m S ; P 7 49  7 Câu 24: Chọn A Phương trình  cos3 x  3cos x   m  1 cos x   cos x  cos3 x  3cos x   m  1 cos x  cos2 x  cos3 x   m   cos x  cos2 x   x   k  cos x     2   cos  m   cos x  cos2 x  x cos x   m Với x        3   k  x    ;2    x   ;  , để phương trình cho có nghiệm phân biệt   2        khoảng   ;2   phương trình cos2 x  cos x   m có nghiệm thuộc   ;2       Đặt t  cos x, t   1;1 tốn thỏa mãn phương trình f  t   4t  2t   m có nghiệm t1   1;0  t2   0;1 Dựa vào bảng biến thiên suy   m    m  Trang 31 ... có: cos2 x   cos6 x  cos3 x  3cos x  cos x  cos2 x  2 Phương trình cho  cos2 x    cos3 x  3cos x  cos x  m 2  cos2 x    cos3 x  3cos x  1  cos x  m   cos x  1 m  cos3...  cos3 x  3cos x   m  1 cos x   cos x  cos3 x  3cos x   m  1 cos x  cos2 x  cos3 x   m   cos x  cos2 x   x   k  cos x     2   cos  m   cos x  cos2 x  x cos... Phương trình   cos3 x  cos x   m m  cos x    cos x.cos x  m  m  cos x  cos x  cos x  m  m  cos x   cos x   cos x  m  cos x  m  cos x Đặt a  cos x, b  m  cos x ta có: a3