bai giang phuong trinh luong giac co ban

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục tiêu: Nắm vững phương trình lượng giác cách giải  Kiến thức + Biết cách áp dụng cơng thức nghiệm phương trình lượng giác + Vận dụng để giải trường hợp mở rộng phương trình lượng giác I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình sin x = a  Nếu a  : Phương trình vô nghiệm  Nếu a  Đặt a  sin  a  sin   , phương trình tương đương với  x    k 2 sin x  sin    k    x      k 2  x     k 360 sin x  sin     k    x  180     k 360  x  arcsin a  k 2 sin x  a   k    x    arcsin a  k 2 Tổng quát:  f  x   g  x   k 2 sin f  x   sin g  x    k    f  x     g  x   k 2 Các trường hợp đặc biệt  sin x   x   sin x  1  x    sin x   x  k k    k 2    k 2 k   k   Phương trình cos x  a  Nếu a  : Phương trình vơ nghiệm  Nếu a  Đặt a  cos  a  cos   , phương trình tương đương với cos x  cos   x    k 2 k   cos x  cos    x      k 360  k    cos x  a  x   arccos a  k 2 k   Tổng quát: cos f  x   cos g  x   f  x    g  x   k 2 k   Các trường hợp đặc biệt   Trang   k    cos x   x  k 2  cos x  1  x    k 2  cos x   x    k k   k   Phương trình tan x  a Điều kiện cos x   tan x  tan   x    k  k     tan x  tan    x     k 180  k     tan x  a  x  arctan a  k  k    Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k    Phương trình cot x = a Điều kiện sin x   cot x  cot   x    k  k     cot x  cot    x     k 180  k     cot x  a  x  arc cot a  k  k    Tổng quát: cot f  x   cot g  x   f  x   g  x   k  k    TOANMATH.com Trang   SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện: x    k , k   Đặt a  tan   đặc biệt  x    k  không đặc biệt  x  arctan a  k Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: a  Đặt a  sin   đặc biệt  x    k 2   x      k 2 k   Trường hợp 1: a  tan x = a Trường hợp 1: a  sin x = a Phương Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: a  cos x  a Đặt a  cos  trình lượng  đặc biệt giác  x    k 2   x    k 2 k   cot x = a  không đặc biệt  x  arcsin a  k 2   x    arcsin a  k 2 k    không đặc biệt  x  arccos a  k 2   x   arccos a  k 2 k   Điều kiện x  k , k   Đặt a  cot   đặc biệt  x    k  không đặc biệt  x  arc cot a  k II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang     Ví dụ Giải phương trình 2sin  x    1 4  Hướng dẫn giải 1  sin  3x        sin  x    sin  4 4       2    3 x    k 2 3 x     k 2  x  36  k    k   3 x        k 2 3 x        k 2  x  5  k 2    3 36  2   x  36  k Vậy phương trình cho có nghiệm  k    x  5  k 2  36 2  Ví dụ Giải phương trình sin  x   7     sin  x        2  Hướng dẫn giải    sin  3x   2  2  2  2       sin  x     sin  x    sin  x          2 2  8  3 x   x   k 2  x   15  k   3 x  2     x  2   k 2  x  11  k      60  k   8   x   15  k Vậy phương trình cho có nghiệm  k    x  11  k  60     Ví dụ Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình sin  x  x  16 x  80   4  Hướng dẫn giải        x  x  16 x  80  k Ta có sin  x  x  16 x  80    4   3x  x  16 x  80  4k  x  16 x  80  x  4k 3 x  4k 3 x  4k     2k  10 2 x  9 x  16 x  80  x  24kx  16k  3k   Xét x  2k  10 18k  90  9k    98 98  9x     3k    3k  3k  3k  3k  TOANMATH.com Trang   Vì x  * nên x  *  3k   Ư  98   1; 2; 7; 14; 49; 98  x  * Lại có   3k    3k   1; 2;7;14; 49;98  k  1;3;17 2k  10   k     Với k  x  12 (thỏa mãn 3x  4k )  Với k  x  (thỏa mãn x  4k )  Với k  17 x  12 (khơng thỏa mãn x  4k ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương x  4;12 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho phương trình sin  x     m2 , m tham số Với giá trị m phương trình có m 1 nghiệm? A m   B m   C m   D Không tồn giá trị m Câu 2: Phương trình sin x  A x  C x    có nghiệm thỏa mãn  x  2 5  k 2 , k    B x   k 2 , k   D x  Câu 3: Số nghiệm phương trình A B Câu 4: Cho phương trình sin   sin x  đoạn  0;3   cos x C D x  m  , m tham số Với giá trị m phương trình vơ nghiệm? A 3  m  B m  C m   D Không tồn giá trị m ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình sin  x     TOANMATH.com m2 có nghĩa x    D   , m  m 1 Trang   m  1  1  m  Ta có 1  sin  x       m  1    m  m  2m  m2 Giải 1 Ta có 1   0  m  1 m 1 m 1  Giải   Ta có m2 1   m 1   m  m 1 m 1 Kết hợp nghiệm ta có m   Câu Phương trình sin x  có nghĩa x    D       x   k 2 x   k 2     6 Do sin  nên sin x   sin x  sin    k   6  x      k 2  x  5  k 2   6 Vì   x  nên x   Câu Phương trình Ta có sin x  có nghĩa   cos x   cos x   x  k 2  D   \ k 2   cos x sin x k   sin x   x  k    cos x  x   2k  1  Kết hợp với điều kiện ta có  k    x    k  Do x   0;3   x   , x  , x  3 5 , x , x  3 2 Vậy phương trình có nghiệm Câu Phương trình sin Ta có 1  sin x  m  có nghĩa x    D   x   1  m    10  m  8 (vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm với m   Dạng 2: Phương trình cos x = b TOANMATH.com Trang   Ví dụ mẫu   Ví dụ Giải phương trình cos  x    6  1 Hướng dẫn giải 1  cos  x     6       cos  x    cos  x     k 2  k    6         x    k 2  x  12  k 2 x      x       k 2  x  5  k 2 x    12   x  Vậy phương trình cho có nghiệm  x     k 24 k   5  k 24   k 24 k   5  k 24   Ví dụ Giải phương trình cos  x    sin x  3   2 Hướng dẫn giải    cos  x          sin x  cos  x    cos   x  3 3  2     k 2    x    x  k 2  x  42     x       x  k 2  x  5  2k   18 k    k 2   x  42  Vậy nghiệm phương trình  k    x  5  2k  18 Ví dụ Cho phương trình cos  x     m2 , m tham số Tìm m để phương trình cho có nghiệm m 1 Hướng dẫn giải Phương trình cos  x     m2 có nghĩa x    D   , m  m 1 m  1  1  m  Ta có 1  cos  x       m     2  m  TOANMATH.com Trang   m  2m  m2 Giải 1 Ta có 1   0  m  1 m 1 m 1  m2 1   m 1   m  m 1 m 1 Giải   Ta có Kết hợp nghiệm ta có m   Vậy với m   phương trình cho có nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình cos x   có nghiệm    x   k 2 ,k  A   x  3  k 2  3   x   k 2 B  ,k   x  3  k 2  5   x   k 2 C  ,k   x  5  k 2     x   k 2 D  ,k   x    k 2  x Câu 2: Phương trình cos   có nghiệm A x   5  k 2 , k   B x   5  k 2 , k   C x   5  k 4 , k   D x   5  k 4 , k   Câu 3: Phương trình cos x  cos A x   C x    15  45 C x    15 có nghiệm  k 2 , k    k B x   k 2 ,k  Câu 4: Phương trình cos x  A x    D x  45  45   k 2 ,k  k 2 ,k  có nghiệm ,k  B x    k 2 , k   D x       k , k    k 2 , k   Câu 5: Phương trình cos x  cos x có tập nghiệm với phương trình TOANMATH.com Trang   A sin 3x  B sin x  D sin x    cos  x    với  x  2 3  Câu 6: Số nghiệm phương trình A C sin x  B C D  5  cos  x   có họ nghiệm? Câu 7: Phương trình sin    A họ nghiệm B họ nghiệm C họ nghiệm D họ nghiệm ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình cos x   có nghĩa x    D   Ta có cos x    cos x   3   k 2 x   3 3  Do cos nên cos x   cos x  cos   k   4  x  3  k 2  Câu x Phương trình cos   có nghĩa x    D   x x  Ta có cos    cos  2 Do cos 5  x  x 5 5  nên cos   cos  cos  x  k 4  k    2 2 Câu Phương trình cos x  cos12 có nghĩa x    D   Do cos12  cos  15 nên cos 3x  cos12  cos x  cos    3 x  15  k 2 x    3 x    k 2 x   15    15 k 2 45 k    k 2  45  Câu Phương trình cos x  TOANMATH.com có nghĩa x    D   Trang    cos x  Ta có cos x     cos x      cos x  cos  x    k 2  k    4 Xét cos x  Xét cos x  2  2  3 3  cos x  cos x  k 2  k    4 Kết hợp nghiệm ta x    k k   Câu Phương trình cos x  cos x có nghĩa x    D    x  x  k 2  x  k 2 k 2 Ta có cos x  cos x   x k    k  x   x  k 2  x  3  sin 3x 3x k 0  k  x  k   ; 2 sin x   x   sin x   x  sin x   x   k 2  k    ;    k 2  x   k 2  x  Vậy phương trình sin    k k   ;  k  k    3x  có tập nghiệm với phương trình cos x  cos x Câu Phương trình Ta có   cos  x    có nghĩa x    D   3    x    k 2      12 cos  x     cos  x     x     k 2   3      x   7  k 2  12  Do  x  2 nên x   23 17 ; x 12 12 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn  x  2 Câu  5  cos  x   có nghĩa x    D   Phương trình sin    TOANMATH.com Trang 10     5  cos  x   k 2   5   5  cos  x    sin  cos  x   sin   Vì sin  nên sin  6      5 cos  x  5  k 2    cos  x   10    cos  x  10  k (vì 1  cos  x  )    cos  x    cos  x   k    cos  x  7  10 Ta có cos  x  1   x   arc cos  k 2 10 10 cos  x     cos   x    k 2 3 cos  x  7 7   x   arc cos  k 2 10 10 k   ; k    x    2k  k    ; k    x    arc cos 7  2k  k    10 Vậy phương trình có họ nghiệm Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu   Ví dụ Giải phương trình tan  x    4  1 Hướng dẫn giải     k  Điều kiện cos  x     x    k  x   , k   4 20  1  tan  x     5x         tan  x    tan  4 4   k  x    12  k  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x    60  60 k k   Ví dụ Giải phương trình tan  x    cot x 4    , k   , k    2 Hướng dẫn giải    3 k      cos  x     x    k x    Điều kiện   4 sin x   x  l  x  l     tan  x   k;l       k   , k     tan   x   x    x  k  x   4 4 2  TOANMATH.com Trang 11   Vậy phương trình cho có nghiệm x   k , ( k  )  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Nghiệm phương trình tan  x  15   với 90  x  270 A x  210 B x  135 C x    D x  120 tan x   có nghiệm Câu 2: Phương trình A x  C x  60  k , k   B x    k , k   D x      k 2 , k    k , k   Câu 3: Phương trình tan x  có nghiệm A x     k , k   B x   D x  C Vô nghiệm Câu 4: Nghiệm phương trình tan x   tan A 4 B   3  k , k    k , k    2   khoảng  ;   2  C 3 D 2   Câu 5: Phương trình tan  sin x   có họ nghiệm? 4  A họ nghiệm B họ nghiệm Câu 6: Phương trình lượng giác A x  k  C Vô nghiệm D họ nghiệm   tan   x    có nghiệm 4  B x  ,k  C x  k , k    D x   k   ,k   k , k   ĐÁP ÁN 1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có tan 45   tan  x  15   tan 45  x  15  45  k 180  x  30  k 180  k    Với 90  x  270  90  30  k 180  270  k   x  210 Câu Phương trình 3.tan x   có nghĩa  cos x   x  TOANMATH.com     k  D   \   k  2  Trang 12   tan x    tan x    tan x  tan Ta có    x    k  k    3 Câu Phương trình tan x  có nghĩa  cos x   x      k   D   \   k  2    tan x  Ta có tan x     tan x   Xét tan x   tan x  tan  Xét tan x    tan x  tan Vậy x    x   k  k      x  k  k    3  k  k    Câu Phương trình tan x   tan Ta có tan x   tan   có nghĩa  cos x   x   tan x  tan     k  D   \   k  2    x  k  k    5 4   Do x   ;   nên x  2  Câu Ta có       sin x   cos  sin x   , x   4 4  Phương trình xác định với x    D      tan  sin x    sin x  arc tan  k  sin x  arc tan  4k 2  4  Với k  arc tan  4k   sin x  (vơ lí)  Với k  1 4 arc tan  4k  1  sin x  1 (vơ lí)  Vậy cho phương trình vơ nghiệm Câu Phương trình   tan   x    có nghĩa 4     k     k   cos   x     x   k  x    D \   k   2  4   Ta có        tan   x     tan   x     x   k  x  k  k    4 4  4  TOANMATH.com Trang 13   Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu   1 Ví dụ Giải phương trình cot  x    6  Hướng dẫn giải    k  , k   Điều kiện sin  x     x   k  x   6 12  1  cot  x     2x        cot  x    k 6  k  x   k  , k   Vậy phương trình cho có nghiệm x   k  , k    4     x   cot   x     Ví dụ Giải phương trình tan     18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4     4   x   k x   k cos   x           18    x   k ,  k ; m     18 sin    x      x  k  x    k     18 18 18    4      4     x     x    tan   x   cot   x  Ta có     18     18        x   cot   x    3cot   x    18   18   18     cot     5    cot   x     x   k  x    k ,  k    18 18  18  Vậy phương trình cho có nghiệm x   5  k ,  k    18 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình 3cot x   có nghiệm A x  C x      k , k   B x   k 2 , k   D Vô nghiệm 3  Câu 2: Cho phương trình cot  x   vô nghiệm? A m  2 TOANMATH.com  k , k      m  , m tham số Với giá trị m phương trình  B 2  m  Trang 14   C m   D Không tồn giá trị m Câu 3: Phương trình cot x.cot x   có nghiệm A x  C x     k , k      x   k ,k  B   x  5  k   k , k   D x   k  ,k  ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình 3cot x   có nghĩa sin x   x  k  D   \ k   k    Ta có 3cot x    cot x     cot x  cot  x   k  k    3 Câu 3  Tập giá trị y  cot  x       nên với m   phương trình ln có nghiệm  Vậy khơng tồn giá trị m để phương trình vô nghiệm Câu sin x   x  k k Phương trình cot x.cot x   có nghĩa    x sin x   x  k k   Tập xác định D   \  x     Ta có cot x.cot x   cos x cos x cos x  2sin x  2sin x 1  1  1  2 sin x sin x sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x    sin x  sin sin x    1  cot x.cot x       sin x     2sin x sin x  sin  sin x  1     x   k 2   Nếu sin x  sin    x  5  k 2     k 2 x   Nếu sin x  sin   x  7  k 2  TOANMATH.com Trang 15      x   k Kết hợp nghiệm ta có  k    x  5  k  TOANMATH.com Trang 16 ... có cos    cos  2 Do cos 5  x  x 5 5  nên cos   cos  cos  x  k 4  k    2 2 Câu Phương trình cos x  cos12 có nghĩa x    D   Do cos12  cos  15 nên cos 3x  cos12... trình cot x = a Điều kiện sin x   cot x  cot   x    k  k     cot x  cot    x     k 180  k     cot x  a  x  arc cot a  k  k    Tổng quát: cot f  x   cot...   5 cos  x  5  k 2    cos  x   10    cos  x  10  k (vì 1  cos  x  )    cos  x    cos  x   k    cos  x  7  10 Ta có cos  x  1   x   arc cos 