Microsoft Word Chç �Á 3 PH¯€NG TRÌNH L¯âNG GIÁC S€ C¤P doc Trang 1 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Loại 1 Phương trình sin x m Nếu 1m phương trình vô nghiệm, vì[.]
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Loại 1: Phương trình sin x m Nếu m phương trình vơ nghiệm, 1 sin x với x Nếu m phương trình có nghiệm - Với m đẹp, cụ thể m 0; ; ; ; 1 2 x k 2 Khi sin x m sin x sin a , k x k 2 - Với m không đẹp, cụ thể m 0; ; ; ; 1 2 x arcsin m k 2 , k Khi sin x m x arcsin m k 2 Loại 2: Phương trình cos x m phương trình vơ nghiệm, 1 cos x với x Nếu m Nếu m phương trình có nghiệm - Với m đẹp, cụ thể m 0; ; ; ; 1 2 x k 2 , k Khi cos x m cos x cos a x k 2 - Với m không đẹp, cụ thể m 0; ; ; ; 1 2 x arccos m k 2 Khi cos x m , k x arccos m k 2 Loại 3: Phương trình tan x m Điều kiện: x k k Nếu m 0; ; 1; Khi tan x m tan x tan x k , k Nếu m 0; ; 1; Khi tan x m x arctan m k , k Loại 4: Phương trình cot x m Điều kiện: x k k Trang 1 Nếu m 0; ; 1; Khi cot x m cot x cot x k , k Nếu m 0; ; 1; Khi cot x m x arccot m k , k II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x 4 b) cos x 6 c) cos x 3 d) cos x 3 Lời giải: 3 x k 2 x k 3 a) cos x cos k x k 2 4 x k 4 5 2x k x k 6 b) PT cos x cos k 6 2 x x k k 6 x k x k 2 6 c) PT cos x cos k 3 x k x k 2 x 2k x k 2 12 d) cos x cos k x k x 7 k 2 12 Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x 6 b) cos x 3 c) cos x 1 5 d) sin x 3 Lời giải: a) cos x x k x k k 6 6 b) cos x x 2k x k k 3 12 Trang 4 c) cos x 1 x 2k x k 2 k 5 5 4 d) cos x 1 x 2k x k 2 k 5 5 Ví dụ Giải phương trình sau x a) sin 2 4 c) sin 3x 1 b) sin x 1 6 d) cos x 15 2 Lời giải: 3 x x a) sin 2k x k 4 k 2 2 4 b) sin x 1 x 2k x k k 6 2 x k x k 18 3 c) sin x 1 k 3 x 5 2k x 5 k 2 18 3 d) cos x 15 x 15 45 k 360 x 60 k 360 k x 30 k 360 x 15 45 k 360 Ví dụ Giải phương trình sau x a) sin 2 3 b) cos x 6 c) tan x 1 d) cot x 100 3 Lời giải: x k 2 x k 4 x 3 a) sin k x 10 k 4 2 3 x 4 k 2 3 2 2x k 2 x k b) cos x k 6 2x k 2 k x 12 c) tan x 1 x d) cot x 10 k x k k 2 50 x 10 60 k 180 x k 60 k Trang Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x 1 sin x b) cos x cos x 3 6 c) cos x cos x 3 3 d) sin x 1200 cos x Lời giải: 3 x x k 2 x k a) sin x 1 sin x k 3 x x k 2 x k 4 x x k 2 x k 2 b) cos x cos x k 3 6 x x k 2 x k 18 c) cos x cos x cos x cos x 3 3 3 3 2 x x k 2 x k 2 k x x k 2 x k 2 3 d) sin x 120 cos x sin x 120 cos 2 x sin x 120 sin 2 x 90 x 120 2 x 90 k 360 x 70 k.180 k x 120 x 90 k.360 x 210 k.360 Ví dụ Giải phương trình sau a) tan x cot x 4 6 c) cos x b) tan x x 3 tan 2 d) sin x Lời giải: 7 k a) PT tan x tan x 3x x k x , k 4 60 3 b) PT x x k x 1 k x k 1, k * c) PT cos x d) Ta có sin x 1 2 cos x cos x x k 2 x k , k 3 k sin x cos x x ,k Trang Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x 0 2sin x b) tan x 0 cos x Lời giải: a) Phương trình tương đương với cos x cos x 0 x 2sin x sin x tan x tan x b) Phương trình tương đương với 0 x k , k cos x cos x 0; Ví dụ Giải phương trình sau a) cot x 0 2sin x b) cos x 2sin x 0 tan x Lời giải: cot x cot x a) PT tương đương với 0 x k , k 2sin x sin x 0; b) PT tương đương với cos x 2sin x 4sin x 2sin x 0 0 tan x tan x 4sin x 2sin x 3sin x sin x 1 x tan x 3; cos x tan x 3;cos x Ví dụ Giải phương trình sau a) 2sin x 0 tan x b) tan x tan x 0 cos x Lời giải: x k 2sin x sin x a) PT tương đương 0 k 2 tan x x 7 k tan x 1 tan x tan x x k tan x b) PT tương dương 2 x k cos x cos x Ví dụ 10 Giải phương trình sau Trang a) cos x 0 sin x b) cos x 0 tan x Lời giải: a) Phương trình cho tương đương 5 x k cos x cos x 5 12 0 x k , k 12 s in3x s in3x s in3x tan x cos x b) Phương trình tương đương 0 x k tan x cos x Ví dụ 11 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin x đường tròn lượng giác 3 là? A B C D Lời giải: x k 2 x k 12 Phương trình sin x sin k 3 x k 2 x k Biểu diễn nghiệm x Biểu diễn nghiệm x 12 k đường trịn lượng giác ta vị trí (hình 1) k đường tròn lượng giác ta vị trí (hình 2) s Hình 12 s 12 Hình Vậy có tất vị trí biểu diễn nghiệm phương trình Chọn C Cách giải nhanh trắc nghiệm Ta đưa dạng x k 2 số vị trí biểu diễn đường trịn lượng giác n n Trang Xét x Xét x 12 k x k x 12 k k 2 có vị trí biểu diễn 2 có vị trí biểu diễn 2 cos x Mệnh đề sau sin x Ví dụ 12 Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình đúng? A x0 0; 4 B x0 ; 4 2 3 C x0 ; 2 3 D x0 ; Lời giải: Điều kiện sin x sin x Phương trình sin x 1 loai cos x sin 2 x cos 2 x 1 cos x sin x sin x 1 thoa man sin x 1 x Cho k 2 x k k k k Do nghiệm dương nhỏ ứng với k x 3 3 ; Chọn D Ví dụ 13 Hỏi đoạn 2017; 2017 , phương trình sin x 1 sin x có tất nghiệm? A 4034 B 4035 C 641 D 642 Lời giải: sin x 1 Phương trình sin x 1 x k 2 k sin x 2(vo nghiem) Theo giả thiết 2017 k 2 2017 2017 2 k 2017 2 xap xi k 320, 765 k 321, 265 k 320; 319; ;321 Vậy có tất 642 giá trị nguyên k tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Ví dụ 14 Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin x x 4 bằng: A B C D Trang Lời giải: x k 2 Ta có sin x sin x sin 4 4 3 x k 2 7 k 2 7 x 36 3 x 12 k 2 k x 11 k 2 3 x 11 k 2 12 36 7 x k kmin x 7 k 2 Cho 24 36 TH1 Với x 36 x k k 1 x 17 max 24 36 11 11 x k kmin x 11 k 2 Cho 24 36 TH2 Với x 36 x k 11 k 1 x 13 max 24 36 So sánh bốn nghiệm âm lớn x nghiệm 13 7 nghiệm dương nhỏ x Khi tổng hai 36 36 13 7 Chọn B 36 36 Ví dụ 15 Gọi x0 nghiệm âm lớn phương trình cos x 45 Mệnh đề sau đúng? A x0 30; 0 B x0 45; 30 C x0 60; 45 D x0 90; 60 Lời giải: Ta có cos x 45 5 x 45 30 k 360 cos x 45 cos 30 5 x 45 30 k 360 5 x 75 k 360 x 15 k 72 k 5 x 15 k 360 x 3 k 72 TH1 Với x 15 k 72 k TH2 Với x 3 k 72 k kmax 1 x 57 24 k max 1 x 69 24 So sánh nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình x 57 Chọn C x Ví dụ 16 Gọi X tập nghiệm phương trình cos 15 sin x Mệnh đề sau đúng? 2 A 290 X B 20 X C 220 X D 240 X Trang Lời giải: x x Ta có cos 15 sin x cos 15 cos 90 x 2 2 x 15 90 x k 360 x 50 k 240 k x 210 k 720 x 15 90 x k 360 Nhận thấy 290 X (do ứng với k nghiệm x 50 k 240 ) Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x Câu Giải phương trình sin 3 A x k k C x B x k k D x Câu Số nghiệm phương trình sin x 40 A B 2 k 3 k k 3 k với 180 x 180 C D Câu Với giá trị x giá trị hàm số y sin 3x y s in x nhau? x k 2 A k x k 2 C x k x k B k x k k D x k k Câu Tính tổng T nghiệm phương trình sin x cos x 0; 2 A T 3 B T 5 C T 2 D T Câu Trên khoảng ; 2 , phương trình cos x sin x có nghiệm? A B C D Câu Tổng nghiệm phương trình tan x 15 khoảng 90;90 A 0 B 30 C 30 D 60 Câu Giải phương trình cot x 1 5 A x k k 18 B x k k 18 Trang C x 5 k k 18 D x k k Câu Với giá trị x giá trị hàm số y tan x y tan x nhau? A x C x 12 k B x k k D x k Câu Số nghiệm phương trình tan x tan A 12 12 k k k k 3 3m ; k, m 3 khoảng ; 2 11 4 B C D Câu 10 Tổng nghiệm phương trình tan x tan x nửa khoảng 0; B A 3 C 2 D 5 Câu 11 Giải phương trình tan x cot x A x k k B x C x k k k k D Vô nghiệm Câu 12 Cho tan x Tính sin x 2 6 A sin x 6 B sin x 6 C sin x 6 D sin x 6 Câu 13 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình tan x ? A sin x B cos x C cot x D cot x Câu 14 Giải phương trình cos x tan x A x k k x k C k x k x k B k x k D x k k Câu 15 Tính tổng nghiệm đoạn 0;30 phương trình tan x tan 3x Trang 10 A 55 B 171 C 45 D 190 Câu 16 Tổng nghiệm phương trình 3cos x đoạn 0; 4 A S 15 B S 6 C S 17 D S 8 Câu 17 Tính tổng nghiệm đoạn 0;30 phương trình tan x t an3x A 55 B 171 C 45 D 190 Câu 18 Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm? cos x A 2sin x B C sin x D sin x cos x Câu 19 Khẳng định đúng? A cot x x B cot x x k 2 C sin x x k 2 D sin x x 3 Câu 20 Cho phương trình sin x sin x 4 k 3 k Tính tổng nghiệm thuộc khoảng 0; phương trình A 7 B C 3 D Câu 21 Trong phương trình sau, phương trình vơ nghiệm? A tan x 99 2 B cos x 2 C cot 2018 x 2017 D sin x Câu 22 Số nghiệm phương trình 2sin x đoạn 0; 2 A B Câu 23 Số nghiệm phương trình A C D s in3x đoạn 0; cos x B C D Vơ số Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin x m có nghiệm A m B m 1 C 1 m D m 1 Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x m vô nghiệm A m ; 1 1; B m 1; C m 1;1 D m ; 1 Câu 26 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x m có nghiệm? Trang 11 A B C D Vô số Câu 27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x m có 3 nghiệm Tính tổng T phần tử S A T B T C T 2 D T 6 Câu 28 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3sin x m có nghiệm? A B C D LỜI GIẢI CHI TIẾT 2x k 3 2x Câu 1: Ta có sin k x k Chọn D 3 2 3 x 40 60 k 360 x 50 k 180 Câu 2: Phương trình o x 40 180 60 k 360 x 80 k 180 x 130 ;50 Mặt khác 180 x 180 Chọn B x 100 ;80 x k 3 x x k 2 Câu 3: Có sin x s in x k k Chọn B x 3 x x k 2 Câu 4: Ta có sin x cos x sin x cos x sin x sin x 2 k 2 x x k 2 x x x k 2 x k 2 k 2 11 0 2 k k 0;1; 2 Vì x 0; 2 , suy 0 k 2 2 k k 0 Từ suy nghiệm phương trình đoạn 0; 2 5 3 ; ; ; T 3 Chọn A 2 Câu 5: Ta có cos x sin x cos x cos x 6 x x k 2 x k 2 k x x k 2 x 2 k 2 2 Trang 12 Vì x ; 2 , suy 2 k k 1 k 2 2 k 12 k 2 k 2 2 k k 2; 1 12 Vậy phương trình có nghiệm khoảng ; 2 Chọn A 2 Câu 6: Ta có tan x 15 x 15 45 k.180 x 30 k 90 90 30 k 90 90 k Do x 90 ;90 3 k 1 x 60 k 60 30 30 Chọn B k x 30 Câu 7: Ta có cot x 1 cot x 1 cot 6 3x 5 k 1 k x k k x Chọn A 18 3 18 x m cos x Câu 8: Điều kiện: x m cos x x m Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan x tan x 4 2x x k x 12 Đối chiếu điều kiện, ta cần có k 12 Vậy phương trình có nghiệm x Câu 9: Ta có tan x tan k k 12 k m k 3 k 3m k, m 3m ; k , m Chọn D 3 3 x k k 11 11 3 CASIO k Do x ; 2 k 2 0, 027 k 1, 72 k 0;1 Chọn B xap xi 11 4 Câu 10: Ta có tan x tan x tan x tan x x x k x Vì x 0; , suy k k k k k k 0;1; 2;3 3 Suy nghiệm phương trình 0; 0; ; ; 4 Trang 13 Suy 3 3 Chọn B x k cos x Câu 11: Điều kiện k sin x x k Phương trình tan x tan x tan x x x k x k k cot x Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x k không thỏa mãn x k Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chọn D Câu 12: Phương trình tan x tan x 2 2 x k x k k 2 Suy 2x k2 2x k2 k Z 2 Do sin x sin k 2 sin 6 Câu 13: Ta có tan x x Chọn C k k Xét đáp án C, ta có cot x x Câu 14: Điều kiện: cos x x k k Chọn C k k cos x Phương trình cos x.tan x tan x x k x k k Chọn C x k x k Câu 15: Phương trình tan x tan x x x k x Ta có x 30 k k k 60 30 k mà k k 0;1; ;19 Vậy tổng nghiệm cần tính k 95 Chọn D k 0 19 Câu 16: Ta có 3cos x cos x 1 x arccos k 2 k 3 Trang 14 x arccos x 0;4 TH1 Với x arccos k 2 k 0;1 k x arccos 2 x arccos 2 x 0;4 TH2 Với x arccos k 2 k 1; 2 k x arccos 4 Vậy tổng nghiệm phương trình S 8 Chọn D cos x Câu 17: Điều kiện cos3 x 3cos x cos x cos x 3 cos x Khi phương trình sin x sin x sin x.cos x cos x.sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x sin x x sin x sin x cos cos x sin x x k (thỏa mãn) Kết hợp 0;30 k 30 k Tổng nghiệm phương trình 45 Chọn C Câu 18: Phương trình 2sin x sin x Phương trình có nghiệm cos x cos x vơ nghiệm Phương trình sin x sin x vơ nghiệm Phương trình sin x cos x sin x sin x vô nghiệm Chọn A Câu 19: Ta có cot x x k , cos x x sin x x k sin x x k 2 x k x k x k 3 k Chọn D 3 x k 2 x k 2 x x k 2 Câu 20: Phương trình x k 3 x k 2 x x 3 k 2 4 Với x 0; ta giải điều kiện Suy nghiệm phương trình k k 1, 25 k 0;1 5 , Trang 15 Tổng nghiệm phương trình Chọn B Câu 21: Do 2 2 vô nghiệm Chọn B nên phương trình cos x 2 x k 2 3 Câu 22: Phương trình 2sin x sin x x 2 k 2 2 Kết hợp x 0; 2 x ; Chọn D 3 Câu 23: Điều kiện cos x x k 2 Phương trình sin x x k x k x x 2 Với x 0; , kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x ; ; đoạn 2 3 x x 0; Chọn C Câu 24: Với x , ta ln có 1 sin x Do đó, phương trình sin x m có nghiệm 1 m Chọn C Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm phương trình cos x a Phương trình có nghiệm a Phương trình vơ nghiệm a Phương trình cos x m cos x m m 1 Chọn A Do đó, phương trình cos x m vô nghiệm m m Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cos x a Phương trình có nghiệm a Phương trình vơ nghiệm a Do đó, phương trình cos x m có nghiệm m m 1 m 2 m m 2; 1; 0 Chọn C Câu 27: Phương trình cos x m cos x m 3 3 Phương trình có nghiệm 1 m 3 m 1 Trang 16 m S 3; 2; 1 T 3 2 1 6 Chọn D Câu 28: PT sin x m2 m2 có nghiệm 1 m2 3 Kết hợp m m 2 có giá trị nguyên m Chọn B Trang 17 ... phương trình 45 Chọn C Câu 18: Phương trình 2sin x sin x Phương trình có nghiệm cos x cos x vô nghiệm Phương trình sin x sin x vô nghiệm Phương trình. .. Do đó, phương trình sin x m có nghiệm 1 m Chọn C Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm phương trình cos x a Phương trình có nghiệm a Phương trình vơ nghiệm a Phương trình cos x ... đó, phương trình cos x m vơ nghiệm m m Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cos x a Phương trình có nghiệm a Phương trình vơ nghiệm a Do đó, phương trình cos