LA T E X b y N H Ó M W T T E X B E G IN N IN G Mục lục 1 Hàm số lượng giác Phương trình lượng giác 3 1 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 1 1 1 LÝ THUYẾT 3 1 1 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 5 Dạng 1 Tìm tập xác định của[.]
1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 LÝ THUYẾT 1.1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Dạng Chu kỳ hàm số lượng giác Dạng Chứng minh T0 chu kì hàm số lượng giác Dạng Bảng biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Dạng Sử dụng phép biến đổi đồng tính chất hàm số lượng giác Dạng Các toán sử dụng bất đẳng thức biết để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Dạng Các tốn sử dụng tính đồng biến nghịch biến Dạng Các toán liên quan đến a sin x + b cos x = c 1.1.3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN 1.2.1 Tóm tắt lí thuyết 1.2.2 Kỹ 1.2.3 Bài tập tự luận 1.2.4 Bài tập Trắc nghiệm 1.2.5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.3.1 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác 1.3.2 Phương trình bậc sin cos Dạng Phương trình bậc sin cos 1.3.3 Phương trình sin cos Dạng Phương trình sin cos 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Dạng Phương pháp đưa tổng bình phương Dạng Phương pháp đối lập Dạng Phương pháp chứng minh nghiệm Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng Phương pháp đưa hệ phương trình Dạng Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 1.4.1 Phương trình lượng giác có nghiệm khoảng, đoạn 1.4.2 Dạng tốn khác phương trình lượng giác thường gặp 3 5 10 12 15 15 16 16 16 16 26 26 28 28 30 35 37 37 37 40 40 43 43 47 47 47 48 49 49 49 50 51 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Mục lục LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING MỤC LỤC Chương 1.1 1.1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT a) Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R Å ã π π • Hàm số đồng biến khoảng − + k2π; + k2π 2 å Ç 3π π nghịch biến khoảng + k2π; + k2π 2 • Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng • Hàm số y = sin x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π • Đồ thị hàm số y = sin x y −π − π2 π π x b) Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R • Hàm số y = cos x nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) • Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng • Hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π • Đồ thị hàm số y = cos x Đồ Å thị hàm ã số y = cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số π y = sin x theo véc tơ #» v = − ;0 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π x π c) Hàm số y = tan x ™ π + kπ, k ∈ Z • Tập xác định: D = R\ LATEX by NHểM W-T-TEX-BEGINNING ò ã Tp giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π Å ã π π • Hàm đồng biến khoảng − + kπ; + kπ 2 π • Đồ thị nhận đường thẳng x = + kπ, k ∈ Z làm đường tiệm cận • Đồ thị y −π − π2 O π π x d) Hàm số y = cot x • Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} • Tập giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π • Hàm nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) • Đồ thị nhận đường thẳng x = kπ, k ∈ Z làm đường tiệm cận • Đồ thị 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y − 3π 1.1.2 3π − π2 O π π x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING −π PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC | Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác • y= • y= f (x) xác định ⇔ g(x) 6= g(x) » 2n f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, n ∈ N∗ • y = sin [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định • y = cos [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định • y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) 6= π + kπ,k ∈ Z • y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) 6= kπ,k ∈ Z Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = sin π2 2x − Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = cot(2x + 3) πã Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = tan x − Å Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = cot Ç 2π − 3x å Å tan 2x πã + cot 3x + Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = sin x + (5) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = tan 5x sin 4x − cos 3x (6) Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = √ (7) Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = sin x sin x − cos2 x − cos x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Điều kiện xác định hàm số y = π A x 6= + kπ, k ∈ Z kπ , k ∈ Z C x 6= Å − cos x sin x B x 6= k2π, k ∈ Z Câu Tập xác định hàm số y = tan 2x − ™ π π +k |k ∈Z A D = R \ ß ™ π C D = R \ + kπ | k ∈ Z ß D x 6= kπ, k ∈ Z πã 5π B D = R \ + kπ | k ∈ Z ® 12 ´ 5π π D D = R \ +k |k ∈Z 12 ® ´ Câu Tập xác định hàm số y = sin x − cos2 x ß ™ ß ™ π π A D = R \ B D = R \ + kπ | k ∈ Z + kπ | k ∈ Z ®2 ´ ß4 ™ π 3π π D D = R \ +k |k ∈Z + k2π | k ∈ Z C D = R \ 4 cot x Câu Tập xác định hàm số y = cos x − ß ™ ß ™ π π B D = R \ + kπ | k ∈ Z A D = R \ k | k ∈ Z 2 C D = R \ {kπ | k ∈ Z} D D = R sin x + Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = − cos x π D x 6= A x 6= k2π B x 6= kπ C x 6= + kπ Å πã Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = tan 2x − π π 5π π A x 6= + k B x 6= + kπ C x 6= + kπ D x 6= 12 Câu Tập xác định hàm số y = tan x + cot x A D = R ß B D ™ π C D = R \ D D + kπ | k ∈ Z 2x Câu Tập xác định hàm số y = − sin2 x ß ™ π + k2π | k ∈ Z B D A D = R \ ß2 ™ π + kπ | k ∈ Z C D = R \ D D π + k2π 5π π +k 12 =R\ß {kπ | k ∈ Z}.™ π =R\ k |k ∈Z ™ π + kπ | k ∈ Z =R\ ß2 ™ π + k2π | k ∈ Z =R\ ß 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC √ cot x − ™ ß ™ π B D = R \ + k2π | k ∈ Z + kπ ; lπ | k,l ∈ Z ®6 ´ ™ π π 2π + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z D D = R \ Câu Tập xác định hàm số y = Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y = π 2π A D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z ® ´ π 2π C D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z ® ´ s + cot2 x − sin 3x ® ´ π π 2π B D = R \ k ; + n | k,n ∈ Z ® ´ π 2π D D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z Câu 11 Tìm tập ß xác định D của™ hàm số y = tan 2x ß ™ π π π B D = R \ + kπ | k ∈ Z A D = R \ − + k | k ∈ Z ® ´ ß2 ™ π kπ π D D = R \ + |k∈Z + kπ | k ∈ Z C D = R \ 4 − sin x Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số y = sin x + ß ™ π A D = R \ B D = R \ {k2π | k ∈ Z} + k2π | k ∈ Z ®2 ´ 3π D D = R \ {π + k2π | k ∈ Z} + k2π | k ∈ Z C D = R \ cot x Câu 13 Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = cos x π π B x 6= k2π C x 6= kπ D x 6= k A x 6= + kπ 2 Câu 14 Tập xác định hàm số y = √ − sin 6x A D = R \ {kπ | k ∈ Z} ™ B D = R ß ß ™ π π D D = R \ + kπ | k ∈ Z + k2π | k ∈ Z C D = R \ 4 √ Câu 15 Hàm số y = cos x − + − cos2 x xác định π B x = A x 6= + kπ, k ∈ Z C x 6= kπ, k ∈ Z D x = k2π, k ∈ Z tan 2x Câu 16 Tìm tập xác định D hàm số y = √ sin 2x − cosß2x ß ™ ™ π π π π π π π π +k ; + l | k,l ∈ Z B D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z A D = R \ 12 2 ß4 ™ ß3 ™ π π π π π π π π C D = R \ D D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z +k ; + l | k,l ∈ Z 3 12 Å ã + cos x π Câu 17 Tập xác định hàm số y = cot x + + cos đ x ò A D = R \ − + k2π | k ∈ Z B D = R \ + kπ,k2π | k ∈ Z ß ™ π C D = R \ {k2π | k ∈ Z} D D = R \ − + kπ | k ∈ Z − cos 3x Câu 18 Tìm tập xác định D hàm số y = + sin 4x đ ò π π π 3π +k |k ∈Z B D = R \ − A D = R \ − + k | k ∈ Z 2 ß ™ ß ™ π π π π C D = R \ − + k | k ∈ Z D D = R \ − + k | k ∈ Z LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING π ß6 π C D = R \ A D = R \ ß CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 19 Tìm tất giá trị m để hàm số y = sin x + m có tập xác định D = R A m > B m < −1 C −1 m D m > − sin 2x Câu 20 Hàm số y = √ có tập xác định D = R m cos x + A m > B < m < C m 6= −1 D −1 < m < | Dạng Tính chẵn lẻ hàm số LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Phương pháp giải Ta thực bước sau:Tìm tập xác định D hàm số, • Nếu D tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực bước • Nếu D khơng tập đối xứng (tức ∃x ∈ D mà −x ∈ / D), ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ Xác định f (−x), đó: • Nếu f (−x) = f (x) kết luận hàm số hàm chẵn • Nếu f (−x) = −f (x) kết luận hàm số hàm lẻ • Ngồi kết luận hàm số không chẵn không lẻ Chú ý: a) Hàm số y = sin x hàm số lẻ b) Hàm số y = cos x hàm số chẵn c) Hàm số y = tan x hàm số lẻ d) Hàm số y = cot x hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số 9π a) y = f (x) = sin 2x + Ç å b) y = f (x) = tan x + cot x Ví dụ 10 Xét tính chẵn lẻ hàm số y = tan7 2x sin 5x MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Cho hàm số f (x) = sin 4x g (x) = tan |2x| , đó: A f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ B f (x) g hàm số lẻ C f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn D f (x) g (x) hàm số chẵn Câu Cho hàm số f (x) = sin 2x g (x) = cos 2x A f (x) g (x) hàm số chẵn B f (x) g (x) hàm số lẻ C f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ D f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC πã Câu Cho hàm số f (x) = tan 4x g (x) = sin x + Khi đó: A f (x) g (x) hàm số lẻ B f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ C f (x) g (x) hàm số chẵn D f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn Å Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn A y = sin |2016x| + cos 2017x B y = cot 2015x − 2016 sin x C y = tan 2016x + cot 2017x D y = 2016 cos x + 2017 sin x Câu Tìm hàm số chẵn A y = sin x B y = cot x C y = cos x D y = tan x Câu Cho hàm số f (x) = cos 2x g(x) = tan 3x chọn mệnh đề A f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số chẵn B f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số lẻ C f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số chẵn D f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số lẻ Câu Hàm Åsố ãlà hàm số chẵn? π A y = sin x + C y = sin 2x Câu Hàm số sau hàm số chẵn A y = tan 3x cos x C y = sin2 x + sin x πã D y = tan x − sin 2x Å B y = cos x + B y = sin2 x + cos x D y = sin2 x + tan x Câu 10 Hàm số sau hàm số chẵn A y = sin 3x B y = x cos x C y = cos x tan 2x D y = tan x sin x Câu 11 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin2 x D y = cos x sin x Câu 12 Trong hàm số sau hàm số hàm số chẵn? A y = sin 2x B y = cos 3x C y = cot 4x D y = tan 5x Câu 13 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = sin 2x B y = x cos x C y = cos x cot x D y = Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua tung? Å trục ã π A y = sin x cos 2x B y = sin3 x cos x − tan x C y = D y = cos xsin3 x tan2 x + Câu 15 Cho hàm số f (x) = sin 2x g (x) = tan2 x Chọn mệnh đề A f (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số lẻ B f (x) hàm số lẻ, g (x) hàm số chẵn C f (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số chẵn D f (x) g (x) hàm số lẻ tan x sin x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu Cho hàm số y = sin x + Hàm số là: A Hàm số không chẵn không lẻ B Hàm số lẻ có tập xác định C Hàm số chẵn D Hàm số lẻ 10 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 16 Cho hai hàm số f (x) = đúng? A f (x) lẻ g (x) chẵn C f (x) chẵn, g (x) lẻ |sin 2x| − cos 3x cos 2x g (x) = Mệnh đề sau 2 + tan2 x + sin 3x B f (x) g (x) chẵn D f (x) g (x) lẻ LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 17 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng quaãgốc tọa độ? Å π B y = sin x + A y = sin x Å ã √ √ π C y = cos x − D y = sin 2x Câu 18 TrongÅcác hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? Å Å πã πã πã A y = cos x + + sin (π − 2x) B y = sin x − + sin x + 4 Å ã √ √ √ π − sin x D y = sin x + cos x C y = sin x + | Dạng Chu kỳ hàm số lượng giác Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hồn tìm chu kì Sử dụng kết sau 2π |a| 2π • Hàm số y = α cos(ax+b) (α.a 6= 0) hàm số tuần hoàn với chu kì T = |a| • Hàm số y = α sin(ax+b) (α.a 6= 0) hàm số tuần hồn với chu kì T = • Hàm số y = α tan(ax + b) (α.a 6= 0) hàm số tuần hồn với chu kì π T = |a| π • Hàm số y = α cot(ax+b) (α.a 6= 0) hàm số tuần hoàn với chu kì T = |a| • Nếu hàm số y = f (x) chứa hàm số lượng giác có chu kì T1 , T2 , , Tn hàm số f có chu kì T bội chung nhỏ T1 , T2 , , Tn • Nếu hàm số y = f (x) tuần hồn với chu kì T hàm số y = f (x) + c (c số) hàm số tuần hồn với chu kì T Một số dấu hiệu nhận biết hàm số y = f (x) khơng phải hàm tuần hồn: Hàm số y = f (x) hàm tuần hoàn điều kiện sau bị vi phạm • Tập xác định hàm số tập hữu hạn • Tồn số a cho hàm số không xác định với x > a x < a • Phương trình f (x) = k có nghiệm số nghiệm hữu hạn • Phương trình f (x) = k có vơ số nghiệm thứ tự < xn < xn+1 < mà |xn − xn+1 | → hay ∞ Ví dụ 11 Xét tính tuần hồn tìm chu kì (nếu có) hàm số sau: y = cos2 x − ... LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π x π c) Hàm số y = tan x ™ π + kπ, k ∈ Z • Tập xác định:... = sin x + Hàm số là: A Hàm số không chẵn không lẻ B Hàm số lẻ có tập xác định C Hàm số chẵn D Hàm số lẻ 10 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 16 Cho hai hàm số f (x) = đúng?... (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số lẻ B f (x) hàm số lẻ, g (x) hàm số chẵn C f (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số chẵn D f (x) g (x) hàm số lẻ tan x sin x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu Cho hàm số