Tài liệu hệ thống kến thức cơ bản, phân dạng bài tập về giới hạn của dãy số, và giới hạn của hàm số trong chương trình Toán 11. Cụ thể: Các giới hạn đặc biệt, quy tắc tính giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực.
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT Giới hạn hữu hạn a Giới hạn đặc biệt: 0; n n lim q n ( q 1) ; (k n n k lim C C lim lim n n b Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b ) lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b lim un a (nếu b 0) b b) Nếu un 0, n lim un= a a lim un a c) Nếu un ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un a c Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u q + u q + … = u1 1 q q 1 Giới hạn vô cực a Giới hạn đặc biệt: lim n lim nk (k b Định lí: a) Nếu lim un lim lim q n (q 1) ) 0 un b) Nếu lim un = a, lim = lim un =0 c) Nếu lim un = a 0, lim = lim un = neáu a.vn neáu a.vn d) Nếu lim un = +, lim = a lim(un.vn) = a a Lưu ý: Khi tính giới hạn có dạng vơ định: cách khử dạng vơ định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: + Dạng vô định , , – , 0. phải tìm PP giải: Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n n 1 n 1 lim a) lim 2n 2 n 1 VD: toanc3.online n n 3n lim 2n b) lim 3 n 1 2 n 1 + Dạng vô định – PP giải: Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức VD: a b a ab b a b a b a b a b; lim n2 3n n = lim n 3n n n 3n n n 3n n 3n = lim n 3n n = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu B BÀI TẬP Bài Tính giới hạn sau: (Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n) 2n n 3n2 2n n4 d) lim (n 1)(2 n)(n2 1) a) lim 2n n 4n2 n2 e) lim 2n n b) lim 3n3 2n2 n n3 2n n f) lim 3n 2n2 c) lim Bài Tính giới hạn sau: (Chia tử mẫu cho luỹ thừa số cao n) 3n 3n 2n 5n 1 d) lim 5n a) lim 4.3n 7n1 2.5n 7n 2.3n 7n e) lim n 2.7n b) lim 4n 1 6n 5n 8n 2.3n 6n f) lim n n1 (3 5) c) lim Bài Tính giới hạn sau: (Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n) a) lim d) lim 4n 2n n 4n n 4n 2n n 4n n b) lim n2 n n2 n (2n n 1)( n 3) e) lim (n 1)(n 2) Bài Tính giới hạn sau: a) lim n2 2n n 1 d) lim 1 n n 3n g) lim 4n 2n n 4n n b) lim n2 n n2 e) lim n2 n n h) lim c) lim f) lim n2 n6 n4 n2 n 4n 4n 3n n c) lim 2n n3 n 1 n2 n6 n4 n2 =oOo= - f) lim i) lim n2 n2 n 4n 4n 3n n §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Giới hạn hữu hạn 1.1 Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c (c: số) x x0 x x0 1.2 Định lí: a) Nếu lim f ( x) L lim g ( x) M thì: x x0 x x0 lim f ( x) g ( x) L M lim f ( x) g ( x) L M lim f ( x).g ( x) L.M lim x x0 x x0 x x0 x x0 f ( x) L (nếu M 0) g ( x) M b) Nếu f(x) lim f ( x) L L lim f ( x) L x x0 x x0 c) Nếu lim f ( x) L lim f ( x) L x x0 x x0 1.3 Giới hạn bên: lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực 2.1 Giới hạn đặc biệt: k chẵn k lẻ lim x k ; lim x k x lim c c ; lim x c 0 x x k lim x 0 x x ; x 0 x 1 lim lim x 0 x x 0 x lim 2.2 Định lí: Nếu lim f ( x) L lim g ( x) thì: x x0 f ( x )g( x ) xlim x0 0 neáu f ( x ) neáu xlim x0 g( x ) x x0 L lim g( x ) dấu x x0 L lim g( x ) trái dấu x x0 lim g( x ) x x0 lim g( x ) vaø L.g( x ) x x0 lim g( x ) vaø L.g( x ) x x0 * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: khử dạng vô định toanc3.online , , – , 0. phải tìm cách Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng 0 P( x) với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = x x0 Q( x) a) L = lim Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn VD: lim x 2 b) L = lim x x0 x3 ( x 2)( x x 4) x x 12 lim lim 3 x 2 x x2 ( x 2)( x 2) x2 P( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc Q( x) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu x x 2 4 x 1 lim lim x 0 x x x 2 4 x x 2 x VD: lim c) L = lim x x0 P( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa không đồng bậc Q( x) Giả sử: P(x) = m u( x) n v( x) với m u( x0 ) n v( x0 ) a Ta phân tích P(x) = m u ( x) a a n v( x) x 1 1 1 1 x x 1 1 x lim x 0 x 0 x x x 1 1 = lim x 0 3 x ( x 1) x P( x) Dạng : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x Q( x) VD: lim – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp VD: 2 2 x2 5x x x 2 lim a) lim x x x x 1 x x 2 2x x b) lim lim 1 x x x 1 x 1 1 x Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim x x lim x x x x x x lim 0 x x 1 x x x Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng VD: lim ( x 2) x 2 x lim x x 2 x x 0 x2 B BÀI TẬP Bài Tìm giới hạn sau: Không phải dạng vô định thay số 1 x x x x 0 1 x a) lim d) lim x 1 b) lim 3x x x 1 e) lim x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 3 x 2 x2 2 x7 3 x 0 b) lim e) lim x 1 Bài Tìm giới hạn sau: Dạng a) lim 1 x 1 x x b) lim x 2 x x x c) lim x x 2 3 x e) lim x x x toanc3.online x2 c) lim x 0 x f) lim x 11 x x 3x c) lim h) lim x Bài Tìm giới hạn sau: Dạng – x x5 x 1 x xm 1 f) lim n x 1 x x 16 i) lim x 2 x x c) lim x 3x x 1 x 11 x e) lim x 2 x2 5x 2x.3 4x 1 h) lim x 0 x Bài Tìm giới hạn sau: Dạng x 1 2x2 x a) lim b) lim x x x x x2 x 2x 4x 1 4x2 2x x lim d) lim e) x x 4x2 x x 3x x (2 x 1) x g) lim x x 5x2 x 1 x2 1 x 16 x 0 0 1 4x 1 6x d) lim x 0 x2 4x 6x 1 g) lim x 0 x a) lim x2 2x x 1 f) lim 0 x4 1 x 1 x3 x x x5 x e) lim x 1 (1 x)2 x x x n n (1 x)(1 x)(1 3x) g) lim h) lim x 1 x 0 x 1 x Bài Tìm giới hạn sau: Dạng x 1 4x 1 lim a) lim b) x x2 x 4 4x x3 x x x 1 x 3x x3 x 3x d) lim x 3 x4 8x2 a) lim x2 2 Bài Tìm giới hạn sau: Dạng d) lim sin x 4 c) lim x x x x 3x 4x2 x 2 1 x x x 0 x x3 x f) lim x 1 x2 1 x 1 1 x i) lim x 0 x x2 x x3 x x x 1 f) lim x x x c) lim x2 5x i) lim x x 1 b) lim x x x x d) lim x x x x x f) lim 3x3 x x Bài Tìm giới hạn sau: Giới hạn bên x 15 a) lim x 2 x x2 d) lim x 2 x2 x 15 b) lim x 2 x 2 x e) lim x 2 x x 3x x c) lim x 3 x 3 2 x f) lim x 2 x x Bài Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: 1 x 1 3 a) f ( x ) x 3 x2 2x c) f ( x ) 84 x x 16 x x taïi x x x2 x b) f ( x ) x 1 x x taïi x x 3x x x taïi x taïi x d) f ( x ) x x x x Bài Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: x3 x a) f ( x ) x mx x taïi x x m x b) f ( x ) x 100 x taïi x x x 3 =oOo= §2 HÀM SỐ LIÊN TỤC A LÝ THUYẾT Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x) , lim f ( x) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) rút kết luận x x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x) f (a), lim f ( x) f (b) x a x b Định lí Hàm số đa thức liên tục R Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: + Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 + Hàm số y = f ( x) liên tục x0 g(x0) g ( x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x) , M = max f ( x) Khi với a ;b a ;b T (m; M) tồn số c (a; b): f(c) = T B BÀI TẬP Bài Xét tính liên tục hàm số điểm ra: x 3 a) f ( x ) x 1 x taïi x 1 x x 5x x c) f ( x ) x 3x 1 x taïi x x 1 cos x x e) f ( x ) x x 1 taïi x x 3 2 x b) f ( x ) x taïi x 1 x 4 x 5 x d) f ( x ) x taïi x ( x 5)2 x x 1 f) f ( x ) x 2 x x taïi x x Bài Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: x x a) f ( x ) 2mx x x3 x2 2x b) f ( x ) x 1 3x m taïi x m x x x 6 x 0, x c) f ( x ) x ( x 3) n x x2 x x d) f ( x ) x m x x taïi x x x x x Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: x3 x a) f ( x) x 4 x2 c) f ( x) x 4 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3x b) f ( x) 5 2 x x2 d) f ( x) x 2 x x x x x Bài Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: x2 x x a) f ( x) x m x x3 x x x c) f ( x) x 1 3x m x toanc3.online x2 x b) f ( x) 2 mx x2 d) f ( x) 2mx x x x x x Bài Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3 3x b) x3 x x c) x x Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x5 3x b) x5 x c) x4 x3 3x2 x Bài Chứng minh phương trình: x 5x x có nghiệm (–2; 2) Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) m( x 1)3 ( x 2) x b) x4 mx 2mx c) a( x b)( x c) b( x c)( x a) c( x a)( x b) d) (1 m2 )( x 1)3 x x =oOo= -BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Tìm giới hạn sau: n sin n n 2n 25n1 e) lim 5n2 1 n 3n3 n 2n d) lim 2n 3n n 2n 3n2 n (1)n 4.3n f) lim (1)n1 2.3n a) lim b) lim g) lim n2 3n n2 Bài Tìm giới hạn sau: g) lim n3 3n2 n h) lim 1 n2 n4 n x2 5x a) lim x 3 x x 15 x x3 3x x 1 3x x x x3 x g) lim x 1 x x d) lim 8x2 b) lim1 x x x c) lim x3 x x x 3x c) lim x 3 x3 3x x 1 x x x2 h) lim x 2 x x e) lim x3 x x x 2 x x 16 ( x 2)2 i) lim x 1 x2 1 f) lim Bài Tìm giới hạn sau: x2 x 2 x7 x2 x a) lim b) lim 1 2x d) lim x4 x 2 2x e) lim x 1 x3 2 x x2 x 1 x 1 x 1 k) lim x 0 x 1 x 0 g) lim x 0 l) lim x 0 x 1 f) lim x 0 x8 3 x 2x x2 1 x 16 1 x 1 x x i) lim x2 x2 m) lim h) lim c) lim x 2 x 2 4x x2 x x 7 5 x2 Bài Tìm giới hạn sau: x 3x x 2 x2 2 x 5x d) lim x 2 ( x 2)2 a) lim x 1 x 1 x x 3x e) lim x 3 x b) lim 3x3 x x 1 x 1 x x f) lim x 0 x x c) lim Bài Xét tính liên tục hàm số: 1 x a) f ( x) x x 2x 12 x c) f ( x) x x 10 2 R 1 cos x x sin x b) f ( x) x = 1 x R x x d) f ( x) x = 1 x x x x x x Bài Tìm a để hàm số liên tục R: 2a x a) f ( x) x x x x x 1 x2 x x 2 c) f ( x) x a x 2 x2 x b) f ( x) x x a x x2 4x x d) f ( x) x ax x Bài Chứng minh phương trình: x3 x x có nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình: a) m( x 1)3 ( x 4) x ln có nghiệm với giá trị m b) x3 mx ln có nghiệm dương toanc3.online ... i) lim n2 n2 n 4n 4n 3n n §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Giới hạn hữu hạn 1.1 Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c (c: số) x x0 x x0 1.2 Định lí: a) Nếu lim f... tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới. .. L lim f ( x) L x x0 x x0 1.3 Giới hạn bên: lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực 2.1 Giới hạn đặc biệt: k chẵn k lẻ